[请教]一道数学分析习题

helloyupp

& u" B7 W2 M  n4 d! K设f(x)在R上有定义，且
- L0 v7 L. o0 m3 Q, c  \9 Q5 h
, H' ?7 T6 L0 n5 l1 B
' X1 \- o+ `5 O/ r3 |3 j0 I8 z7 C（1）这种函数有几个？
（2）若f(x)为单调增加函数，问这种函数有几个？

- t6 p, }' ~' }4 }7 }7 eps:北大《数学分析解题指南》里面的习题。自学分析，无奈书后答案不详，还望高手不吝赐教啊，先谢谢了！

梦透明天

敢问可数个的结论怎么证明出来的

梦透明天

先看看再说

rivuletwj

第一题显然有无穷多个
( }5 O. y0 }% y  H7 o: A# ^* g第二题只有唯一一个f(x)=x
用反证法，假设存在x0使得f(x0)≠x0
若f(x0)>x0,由f的单增性可知f(f(x0))≧f(x0)>x0,这与f(f(x0))=x0矛盾
* ~1 L8 H) W" z" _% q若f(x0)<x0,同理可得矛盾
因此对于任意的x都有f(x)=x
另一方面，f(x)=x也符合条件，所以符合条件的函数存在且唯一。

baggio25465

回复 87lv 的帖子

8 T0 u" \1 |8 o! k# U
    精神可嘉

sxhqjfl

可以根据基本初等函数来逐个分析构造：

（1）常值函数（也称常数函数） y =c（其中c 为常数）

　　（2）幂函数 y =x^a（其中a 为实常数）

　　（3）指数函数 y =a^x（a＞0,a≠1）

　　（4）对数函数 y =log a(x)（a＞0,a≠1）

　　（5）三角函数：

　　正弦函数 y =sin(x)

　　余弦函数 y =cos(x)

　　正切函数 y =tan(x)

　　余切函数 y =cot(x)

　　正割函数 y =sec(x)

　　余割函数 y =csc(x)

　　（6）反三角函数：

　　反正弦函数 y =arcsinx 或y=sin-1x

　　反余弦函数 y =arccosx 或y=cos-1x

　　反正切函数 y =arctanx 或y=tan-1x

　　反余切函数 y =arccotx 或y=cot-1x

（反正割函数、反余割函数一般不用）

sxhqjfl

回复 1# helloyupp
3 }" |, n! S1 T' {$ l' S5 J7 ?
* J$ C$ P- K* g- g
    题目是找一个定义在R上的函数，且这个函数的反函数是其自身。
0 I; _$ m. l' V2 J7 J, T: `  初看此题，感觉没有什么思路。知识凭感觉写出了：y=x  和y=-x 。
后来看了二楼的做法有点启发。在得出【f(x)-f(y)】/x-y=-1 后，不能说明斜率恒等于-1，因为y是x对应的函数值。只能说明：对于定义域R上的任意x，点（x，f(x)）和点（f(x),x）的连线的斜率是-1.   但是可以特殊化，假设斜率是恒等于-1的，就得到y=-x+a（a为任意值）。
3 F7 h3 {+ m+ a) R" f$ q于是有了问题：怎样推导出满足条件的所有初等函数函数表达式？
已经有例子,反比例函数。

Galois.L

(1)有无数个，验证函数f（x）=-x+a，a为任意实数

彩虹天堂

回复 1# helloyupp

4 m9 R, C4 {8 r  o& [5 S
) X; j+ L# a6 C    先看看

87lv

回复 7# mrx
7 w. d5 D- Y& V

8 V7 b& u( D! y$ q' `    谢谢你，我考虑错了！！呵呵！！