[请教]一道数学分析习题

helloyupp

设f(x)在R上有定义，且


（1）这种函数有几个？
0 O9 V3 d. T8 i  M0 r（2）若f(x)为单调增加函数，问这种函数有几个？

1 N* A/ ]$ S. Z) K7 q. Y5 y2 X7 Aps:北大《数学分析解题指南》里面的习题。自学分析，无奈书后答案不详，还望高手不吝赐教啊，先谢谢了！

87lv

第一题无穷多个，第二题只有一个

* v4 D8 U, A# ]解：记y=f（x） .. ………………1
) Q2 s* _* T( \* \, W则有f（f（x））=f（y）=x ………2
. l$ |7 z; O9 |* ~7 p! ~" b
- t: G6 g+ _) ?" V由1，2 两式有

f（x）=y……..3
& t# A; E& K2 n+ e# [" ^f（y）=x………4

若x=y，则有f（x）=x

若x不等于y，则

由3，4两式得
6 A9 Q$ Z% \* [9 w5 w
) U; i& s- \, u/ q; d【f（x）- f（y）】/【x-y】=-1
也就是f（x）的斜率恒等于-1，上式x趋向于y的时候相当于导函数
1 b2 O7 Y; i& l$ {2 i3 a! `
) G2 a: s" ?4 Y3 p, a斜率恒等于-1就是f（x）=-x+a；a为任意常数
7 S3 ~3 W( B3 G. [* {4 d$ J
所有这种函数有无穷多个，而只有f（x）=x是增函数，于是增函数就只有一个

helloyupp

回复 2# 87lv


    非常感谢！

zhoutao15935

严谨吗？。。。。。。。。。。。。。。。

mrx

不严谨，下面的函数亦可：
f(x)=\left\{\begin{matrix}
' b. X1 H' `: K' ex,x= 0\\ \frac{1}{x},x\neq 0
\end{matrix}\right.

mrx

不严谨，下面的函数亦可：
% E) h+ m( P' f[tex] f(x)=\left\{\begin{matrix} x,x= 0\\ \frac{1}{x},x\neq 0 \end{matrix}\right.[/tex]

mrx

“【f（x）- f（y）】/【x-y】=-1
也就是f（x）的斜率恒等于-1，上式x趋向于y的时候相当于导函数
斜率恒等于-1就是f（x）=-x+a；a为任意常数"
由此不可以得出斜率是-1的结论，因为x、y并不是f（x）函数上面的任意两点，此时y是x的函数，不符合导函数的定义。

BenCam

87lv 中答案错误,因为x和y是有内在联系的，不是任取的，所以不能说明所有点的斜率都为-1！

(1)有可数个.
$ M: Y% w  D% y2 n- r$ B
(2)只有一个.因为存在反函数.

87lv

回复 7# mrx

6 }3 p6 F  e0 e- K. V, U- E7 L9 B
    谢谢你，我考虑错了！！呵呵！！

彩虹天堂

回复 1# helloyupp


) A5 B+ P# `6 t; ^    先看看