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[请教]一道数学分析习题

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helloyupp

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发表于 2009-11-9 01:21 |只看该作者 |正序浏览

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本帖最后由 helloyupp 于 2009-11-9 01:24 编辑

设f(x)在R上有定义，且
无标题.bmp

（1）这种函数有几个？
（2）若f(x)为单调增加函数，问这种函数有几个？

ps:北大《数学分析解题指南》里面的习题。自学分析，无奈书后答案不详，还望高手不吝赐教啊，先谢谢了！

zan

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梦透明天

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TA的每日心情

	郁闷 2012-9-19 20:53

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[LV.3]偶尔看看II

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发表于 2011-11-15 18:26 |只看该作者 |招呼Ta 关注Ta

敢问可数个的结论怎么证明出来的

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梦透明天

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TA的每日心情

	郁闷 2012-9-19 20:53

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[LV.3]偶尔看看II

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发表于 2011-11-14 22:20 |只看该作者 |招呼Ta 关注Ta

先看看再说

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rivuletwj

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	怒 2014-5-23 14:58

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发表于 2010-12-14 19:28 |只看该作者 |招呼Ta 关注Ta

第一题显然有无穷多个
第二题只有唯一一个f(x)=x
用反证法，假设存在x0使得f(x0)≠x0
若f(x0)>x0,由f的单增性可知f(f(x0))≧f(x0)>x0,这与f(f(x0))=x0矛盾
若f(x0)<x0,同理可得矛盾
因此对于任意的x都有f(x)=x
另一方面，f(x)=x也符合条件，所以符合条件的函数存在且唯一。

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baggio25465

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	郁闷 2017-5-2 18:57

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发表于 2010-8-31 19:04 |只看该作者 |招呼Ta 关注Ta

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精神可嘉

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sxhqjfl

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	无聊 2011-8-26 20:46

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发表于 2010-2-12 10:06 |只看该作者 |招呼Ta 关注Ta |邮箱已经成功绑定

可以根据基本初等函数来逐个分析构造：

（1）常值函数（也称常数函数） y =c（其中c 为常数）

　　（2）幂函数 y =x^a（其中a 为实常数）

　　（3）指数函数 y =a^x（a＞0,a≠1）

　　（4）对数函数 y =log a(x)（a＞0,a≠1）

　　（5）三角函数：

　　正弦函数 y =sin(x)

　　余弦函数 y =cos(x)

　　正切函数 y =tan(x)

　　余切函数 y =cot(x)

　　正割函数 y =sec(x)

　　余割函数 y =csc(x)

　　（6）反三角函数：

　　反正弦函数 y =arcsinx 或y=sin-1x

　　反余弦函数 y =arccosx 或y=cos-1x

　　反正切函数 y =arctanx 或y=tan-1x

　　反余切函数 y =arccotx 或y=cot-1x

（反正割函数、反余割函数一般不用）

' B9 Y& ?0 W' h1 U3 s

: X+ R% \1 Z j

- O0 o4 W3 H% f/ C9 Y w) C9 ?

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sxhqjfl

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	无聊 2011-8-26 20:46

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发表于 2010-2-11 22:39 |只看该作者 |招呼Ta 关注Ta |邮箱已经成功绑定

回复 1# helloyupp

题目是找一个定义在R上的函数，且这个函数的反函数是其自身。
初看此题，感觉没有什么思路。知识凭感觉写出了：y=x 和y=-x 。
后来看了二楼的做法有点启发。在得出【f(x)-f(y)】/x-y=-1 后，不能说明斜率恒等于-1，因为y是x对应的函数值。只能说明：对于定义域R上的任意x，点（x，f(x)）和点（f(x),x）的连线的斜率是-1. 但是可以特殊化，假设斜率是恒等于-1的，就得到y=-x+a（a为任意值）。
于是有了问题：怎样推导出满足条件的所有初等函数函数表达式？
已经有例子,反比例函数。