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[课件资源] matlab学习笔记【09-11-14】

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    [LV.3]偶尔看看II

    自我介绍
    进化中。。。。。。。。

    新人进步奖

    跳转到指定楼层
    1#
    发表于 2009-11-14 19:59 |只看该作者 |正序浏览
    |招呼Ta 关注Ta |邮箱已经成功绑定
    本帖最后由 木长春 于 2010-2-13 20:05 编辑 8 l7 Y7 c9 K) w7 l* o) \; e
    5 J% \& f' O( {" d6 A* v+ X
    2010年2月13日:
    8 i/ ]. h, n; ?5 A2 V) n; P+ ]由于几个月来都无法登上网站,没有能关注过帖子真是不好意思啊!今天终于在高人指点下用代理等上了,呵呵,高兴啊!尤其是看到自己的帖子被加精更是受宠若惊啊,谢谢大家的支持啊!今天正好是大年三十,祝大家新年快乐啊( }9 o1 f+ A9 A. E  {3 p- \

    " U- F# z8 \8 A) k" r9 }$ o- ~1 n& n6 i& p% T8 p
    , S$ j5 L" n# Y; |
    安装的matlab2007a时不时的就会出现java错误,虽然按Crtl+C能结束错误,继续使用,但总感觉不爽。所以就决定下载matlab2009a安装。
    . K" a$ Q" Y; [# R# U在这和大家分享一下
    8 s- Z# M" ]4 v; P. h2 X1 X  zmatlab2009a(windows)的下载地址:[矩陣實驗室].Mathworks.Matlab.R2009a.ISO-TBE.iso (4.05 GB)                 存在同样问题的朋友可以换了试试。
    8 C2 ?  i% W0 b) O6 F& A$ j& k
    + S' r* `# f: g5 m$ }7 E继续今天的学习笔记吧,呵呵
    & p. b5 x" t$ Q; e今天在网上找了一个Matlab教程,感觉还不错,挺全面。第一章讲的主要是Matlab软件的介绍在这就不多说了,今天下午主要学习了第二章Matlab的基本数学功能。2 S( h7 i! U: s- m/ y0 x
    % r! z- ~4 |3 K' o9 v' f% z7 u
    MATLAB 提供的两种运算方式:
    3 X! t% ~/ O7 l: h/ v5 M2 `(1)普通的数组运算方式:(Array computation) 在数组中对应元素之间进行运算;+ m& _; W( k' v3 ^+ `$ y- Y
    (2)矩阵运算方式:(matrix computations) 将标量当作1×1阶矩阵,一维数组当作一行或一列的矢量(即1×n阶或 n×1阶的矩阵),二维数组当作m×n阶矩阵,然后按照矩阵的运算规则进行运算
    " y  Q: ~* a* i& @*二者输入形式和书写方法相同,差别仅在于使用不同的运算符号(而数组在进行乘除运算时要在通常的符号前加“.”,如:“.*” 和“./” (或“.\” )),执行不同的计算过程,数组的运算比较简单,是对应元素之间的运算;而矩阵运算是根据矩阵的运算规则进行。7 ~, j  R1 r% [
    - N% U; i$ b1 p  ~
    1.+-运算比较简单。矩阵进行加减时,两个运算对象必须是同阶矩阵
    . w8 s4 y% R+ ?" U! J, \$ m8 T2 `7 K* D/ d
    2、乘除运算(Multiplication and division)9 j2 B( @- w+ G
    矩阵在进行乘除运算时与通常的运算符号相同(*, /, \ ),而数组在进行乘除运算时要在通常的符号前加“.”,如:“.*” 和“./” (或“.\” )9 S/ n' l! @- ?5 q  @( p! d  I5 A  n
    (1) 矩阵乘法:(Matrix multiplication)8 U- c0 W* U1 h) G! `( @, }
    条件:两矩阵中前一矩阵的列数与后一矩阵的行数相同,如
    * C+ S$ [( V* |# j3 q/ t/ N& A& I+ E8 @& m3 \6 Y
    >>x=[1  2 ; 3  4];
    " b. V; Q6 i. xy=[5  6 ; 7  8];1 l. k  j) k, U  q! C+ {
    x*y) g; F5 y2 Y2 k! n! w! m
    ans =( t" `$ x0 _' R. u
        19    22
    1 F+ }7 f* }; [& }6 e# u: U+ E/ |    43    50
    - V# A. Y7 `: t  R& d
    9 g+ {) c# u" G+ l2 q也可以实现两个相同维数矢量的内积(点乘,dot product),如:
    4 U: Z# H0 {* j% h1 f>>a=[-1  0  2 ]     % (输入行矢量转置为列矢量,等同于a=[-1;0;2])
    5 o4 m, o4 g+ D6 z: Wb=[-2  -1  1]
    ( z9 {# \  t% V1 ia*b'
    9 `( w4 X$ F" {$ O) ?/ z7 \b*a'
    5 D. {, Y2 z2 D7 I4 ]8 wa =
    , M+ d* {/ h1 u' d    -1     0     2
    $ P1 w, c* a) @% w  }( ib =2 F$ J1 Z9 u8 ]
        -2    -1     1# K) g  D  p& c% A  x6 C: @1 R
    ans =; I, S! E$ F3 D* w5 T+ f! @
         43 d0 t6 h6 b" b) ]0 |
    ans =1 d0 }, \- O+ o3 [; ?4 O: l& C, K
         4
    - B1 n/ @. [: q8 ]  l) o! `: b    MATLAB计算点乘(dot product)和叉乘(cross product)有专门的命令,用dot(a,b)计算矢量a和b的点乘,用cross(a,b)计算叉乘, A& i5 `7 q* U
        矩阵可以和标量相乘,标量可以是乘数也可以是被乘数,都是将矩阵中的每一个元素与标量相乘如:
    ( {) _% K, r$ O>> x=[-1  0  2];
    ; j0 v# t3 c8 t# _- Opi*x; {- V/ o! p! y$ S: ~
    ans =
    2 K. R" ^4 o. @- D/ N3 f/ Z* x   -3.1416         0    6.2832" E. K% i0 L1 ~

    6 O! H5 g( [+ @4 v(2) 数组的乘法 (Array multiplication)
    - }" ~" Y3 ?9 d0 D条件:a,b两数组必须有相同的维数,则a.*b 表示a和b中对应元素之间相乘,即z(i,j)=x(i,j)*y(i,j).如:( ?0 B! s1 k2 R$ N2 |+ f
    >> x=[1  2  3];
    : t4 M% n& N' a. h5 x# Ty=[4  5  6];4 L/ Y: p, a0 S, G( s% ?& o: P7 b
    z=x.*y
    $ Z4 ^7 Y1 R7 [! Kz =+ S+ Q5 ~2 b6 [0 w
         4    10    18
    ' k. `, L( v0 d& Q( a# p5 q( {- f9 E
    (3) 矩阵除法 (Matrix division)
    ' y2 c) h5 p  q2 j- h条件:a矩阵是非奇异方阵,则a\b(左除)和b/a(右除)都可以实现a\b等效于a矩阵的逆左乘b矩阵,即a\b=inv(a)*b, b/a等效于a矩阵的逆右乘b矩阵,即b/a=b*inv(a).& y  T% F; [2 Q3 C: n
    通常x=a\b 是a*x=b 的解,x=b/a 是x*a=b的解一般a\ bb/a,9 U1 g; l0 n. ]+ I7 k8 p
    右除与左除的关系为:(b/a)=(a\b),如;
    1 K2 t/ S2 W( l>> a=rand(3)4 A4 j9 m6 f9 D% x9 v+ J* Q
    b=rand(3)! R- _  E  h, S4 ^. x
    c=a\b3 C9 S) U0 @1 y5 g; `8 l9 o) W4 O$ M
    d=b/a
    + _! Y+ E! s* \. zw=(b/a)'  r2 q: ~0 o, c7 A& O9 _
    t=a'\b'3 D9 q: r7 S6 n7 W# T/ }
    a =
    6 M. B8 X. Q/ `    0.8147    0.9134    0.2785
    % v4 L' j9 h/ x0 _: \    0.9058    0.6324    0.5469$ m; U& f9 L0 G$ `- v; I$ P/ l! ?' o2 P
        0.1270    0.0975    0.9575
    3 k. e9 {- o" N1 d; m0 k$ @+ n: bb =' Z  _8 V0 ?# u* Q1 ~
        0.9649    0.9572    0.14193 y4 q2 H+ K/ L5 J1 x2 t
        0.1576    0.4854    0.4218
    ! y& w/ v2 R6 O/ Z0 Z4 p1 I    0.9706    0.8003    0.9157
    2 N+ j2 `7 K; j2 k9 z* B( n. Yc =+ m0 h5 |' n- [& Z0 Z5 Z
       -2.5775   -1.3591   -0.06183 ?1 D3 d( n6 K# V2 Q
        3.0365    2.0130   -0.0863
    0 F  [7 C. v0 D$ W, j. m+ B    1.0462    0.8110    0.9734. ^* ^( @0 l# `: P
    d =5 k* v) F* ]* J
        0.8306    0.3601   -0.2991
    ; c' d2 Q- Z0 k) F    1.0730   -0.8795    0.6307, R  {  B0 P7 v
        0.3442    0.6978    0.4577# w! Q! e; t3 o5 c( F) C3 G$ A  b0 Q
    w =+ f+ F' g2 z: }) x. z5 d( B' y
        0.8306    1.0730    0.3442: M- b! f- M4 F3 L3 o
        0.3601   -0.8795    0.6978
    ) |: N  b% s6 g3 N3 V   -0.2991    0.6307    0.45772 v4 h- M9 o+ d
    t =- u7 v. ^" U0 }0 G5 h0 S% x3 b
        0.8306    1.0730    0.3442
    6 `) Q5 \5 l/ P" Q( U, K    0.3601   -0.8795    0.69782 l- ~4 G* y2 r* [
       -0.2991    0.6307    0.45775 ]' d) D% @5 k4 N$ C
       
    1 `" w. x5 Q5 {& n7 b7 l8 @(4) 数组的除法(Array division)
    , C" g# p$ f9 S( }; R条件:a与b必须具有相同的维数,符号. \. / ,a.\b 表示b中的元素分别除以a中的对应元素,即z(i,j)=x(i,j)\y(i,j)=y(i,j)/x(i,j) 如:: X- ~8 c# ?$ W, f
    >> x=[1  2  3];. ~' Z2 |' f+ ]; W
    y=[4  5  6];
    1 M' n* ?5 o) n6 u/ k7 @( \z=x.\y  p+ v" ^& g3 J7 `; l
    z =
    ( t# B) }- S/ d    4.0000    2.5000    2.0000
    1 f9 P( m, K. Z1 z1 \) V) B* K3 U7 U$ [
    3、乘方(Power), D5 P0 }: g3 @; Y- `: M6 p
    (1) 矩阵的乘方(Matrix power)   符号  ^
    3 L0 L! o% a+ `/ i' F条件:在a^p 中a, p不可都是矩阵,必须一个是标量,一个是方阵
    5 E: B( S6 a9 s* J. @) k/ Fa^p 意思是a的p次方: S! o4 e8 a+ w/ s
    *a是一个方阵,p是一个标量,且p是大于1的整数,则a的p次幂即为a自乘p次               
    ) F! L4 v) H% A$ M*如p是不为整数的标量时,a^p=V*D.^p/V 其中D为矩阵a的特征值矩阵,V为对应的特征矢量阵,可用eig函数求出D和V, [V,D]=eig(a). 4 v/ w/ `3 E0 R$ ]
    *当p是方阵而a是标量时,a^p=V*a.^D/V, 其中[V,D]=eig(p).( u9 R6 I  [4 g' D! }, E+ B
    9 q6 \5 @. L; }- w$ V5 {7 B
    (2) 数组的乘方(Array power)   符号  .^
    : |& O. f  i( s$ ]) G# a条件:在底与指数均为数组的情况下,要求他们的维数必须相同, c+ N0 `0 w4 [$ K( @% k* ?' T
    *当底和指数为同样大小的数组时,x.^y 为对应的元素做乘方运算如:
    ( |- y9 D* o/ E/ I>> x=[1  2  3];) E/ D6 Q; c3 S, Q6 V* T
    y=[4  5  6];  @3 q$ S5 D# s1 l
    z=x.^y
    - J0 O$ v8 a; U0 W# o7 `! y5 rz =: k: U: I0 \5 C' K5 X) m- u3 A
         1    32   729
    # i4 [- V# h) f& u) h& V8 Q7 \& X5 D这时执行的实际运算为:
    / n& u) ^. a- P+ Y+ a; Jz=x.^y=[1  2  3].^[4  5  6]=[1^4  2^5  3^6]=[1  32  729]
    1 ?( N+ a6 X+ Y/ w
    6 L$ q" m/ D+ Q# d; }( e2 |0 B
    *若指数是标量,执行的运算是底的每一个元素执相同幂次的运算既z(i,j)=x(i,j)^2
    ; l7 C. G( b* n' H/ A; D- K( [  ?8 _) y
    如:
    2 S8 J3 ]2 N0 o. a" s! s) U% A* X>> x=[1  2  3];/ S/ H1 \( \% P$ k
    z=x.^2
    8 V- S& O) A- p+ Q# xz =8 G; i7 }. @: }
         1     4     9
    6 h( A! N& F+ R8 D, m, t这时执行的运算为:+ z$ T% b! E; @7 y" }- ?
    z=[1  2  3].^2=[1^2  2^2   3^2]=[1  4  9]
    1 e& R2 X: Q" b5 F( }
    - ]1 d7 c0 J8 s9 n* Q! {! i
    *若底是一个标量,指数是一个数组,执行的运算是用指数数组的每个元素对底进行乘方运算,即:z(i,j)=2^x(i,j),形成新的数组 如:6 u* r) d% }! N* p- e1 C
    >> x=[1  2  3];
    ) {* B: r( r6 Jz=2.^x5 P5 {  q- u+ `' z0 l( Y
    z =/ _( [3 `0 d1 D1 d( Q. v1 u( o+ k" Y
         2     4     8# w! {4 W- Q" s; [8 ?( F6 d
    这时执行的运算为:4 c- H$ m$ q) }6 l
    z=2.^x=2.^[1  2  3]=[2^1  2^2  2^3] ! C9 G* l* E, ~6 ^

    + r7 X( i: s& f$ Z7 J# r1 H* V% I2 K& C4、转置:(Transpose)   行列转置,符号'! d  N7 F& r# P6 [5 B! j4 ?; D" b
    如;计算矩阵a的转置:6 }4 P1 I; i+ r6 P* K- _% k
    >> [-1  0  2]'3 Y* n* H; \; H' h* h
    ans = 3 n1 L% T, h9 G* e
    -1" w5 M8 p3 z. G6 D2 k0 ?  n
    0
    * ^' }' Q. ]9 U2
    . M8 ^/ [5 Q0 ?; {$ ~! M9 G' w: L8 F7 o4 q. z" S+ S+ L( c: x# w
    * T8 d2 }( y, W5 M$ U5 _
    二、数学函数和矩阵函数( Mathematic function and matrix function)
    " T* `3 ]9 t; D: C4 N5 V  Y; W

    . `4 D! {* g  w8 {+ t8 J1、数学函数(Math function)
    , x# h" _3 ~" g* X& m# J. d$ ^9 J9 l(a). 基本函数:(Elementary function)三角函数(Trigonometric Function)指数函数(Exponent function)复数函数(Complex Function)取整和求余函数(round and remain function)
    5 `( J$ H* ~% `7 x2 Z, J0 U( A6 y例:
    6 w& W' ]& O8 p>> a=[1  2  3; 4  5  6]
    4 c% u0 d$ ^6 p: w. C% J" o8 a0 Pb=fix(pi*a)             %朝零方向取整
    % i  ]7 Q  u9 s0 q# epi*b
    4 m, U/ F7 Z: `! D# |& e* Nc=cos(pi*b)
    ( T8 m1 ]# o: ^8 W0 o( `; b, ia =
    + N& E1 P6 |) s" i0 U: l& P# I     1     2     3
    * f, F, |6 q2 h: e     4     5     63 ]# Z) @- T4 h. o
    b =% i4 ^% P, I. J2 L) }( \9 K% @
         3     6     9
    $ w+ u$ Q5 ]7 A' B    12    15    18
      M4 n3 q, J- [2 ians =
    # u5 D+ v3 o5 g3 k, X    9.4248   18.8496   28.2743( F3 |( q/ k; p' p* i: i& j
       37.6991   47.1239   56.5487
    6 t' W5 c# d+ q7 u7 |/ Zc =0 y/ w' `7 k+ O6 H( ?* ?
        -1     1    -1
    ! h6 ^" d+ v! P$ @7 Z% c, J     1    -1     1
    ; r+ V; O: c, d% y0 [3 y9 [5 \5 `说明:) N4 q! a/ ^2 f  z2 z1 M
    (1)三角函数按弧度计算
    " f! e: b% }  A7 M; @(3)除后取模mod(x,y)与y符号相同,除后取余数rem(x,y)与x符号相同,当x与y符号相同时,mod(x,y)等于rem(x,y).     (这一点要注意)
    , ?6 h% C/ A% p6 L例:
    + C7 {& C' X9 r7 n>> x=[11 25 31];6 @5 m5 \5 R& I9 M/ ]$ `
    y=[4 5 6];! S% A  p6 N+ S
    M=mod(x,y)7 w7 C) L/ _- L7 J8 V
    R=rem(x,y)" ?, N8 L% T; P# Y1 e: A
    M =
    $ T, C' e1 P. e# p' x1 I$ ?+ q! u4 ^     3     0     1
    9 n1 t$ N! @& l" {) V( ~R =
    ; b7 [8 ^& [( d! S8 n     3     0     1
    & D, s! B) V' `5 S$ {" D8 N>> x=[-11 25 -31];8 `* E1 `, _: Q5 m' y
    y=[4 5 6];
    " u$ g% j5 E7 A- ]& MM=mod(x,y)
    % x' Y8 W" B) p$ Y9 }# ?R=rem(x,y)
    4 s/ X; N" K3 ?, z1 ~M =
    3 T, [- R8 |/ U" ]5 K     1     0     58 w# j- {" u: J! y/ |0 U
    R =1 O, U1 h8 I( K
        -3     0    -1
    # i0 }( C5 m0 ^/ f7 k  M
    6 U; O) f/ G1 W& |, [(b) 特殊函数(Special function):特殊数学函数(special mathematics function)数理函数(Mathematic analysis function)坐标变换(Coordinates transformation function)6 P. c: O8 P0 L( r" i$ j5 n7 `( L
    2、矩阵函数(Matrix function):矩阵分析(Matrix Analysis)线性方程组(linear system of equations)特征值和特征矢量(Eigenvalues and eigenvectors).矩阵函数(Matrix function)因式分解(Factor analysis) 等矩阵函数' n  |( J7 Z: ^. F
    + z6 y  t1 }) G
    有些矩阵函数与数学函数名称相似,区别在于矩阵函数名称后有m字符# n3 c; p0 m3 f3 b  I5 _6 O( D" @2 U
    例:& s$ p* a( [$ O1 g2 o, B$ i
    >> a=[1  4; 9  16];
    : g: N/ H2 M+ M8 P# {" D9 l/ lr1=sqrt(a)
    $ P2 }' Q( P  i  er2=sqrtm(a)) Z; `/ u  P1 I- j3 i6 z8 [0 I
    r1 =
    , A. @: i& K+ U: Z     1     2
    : k4 P1 t8 ], E, {     3     4! J6 K  s0 e: P* W7 x1 {
    r2 =/ F4 C. P% X: `
       0.4662 + 0.9359i   0.8860 - 0.2189i
    & h( h. w. e: L% n9 c2 p   1.9935 - 0.4924i   3.7888 + 0.1152i
    , m% Z& G* J: m( Z' r, o5 W5 M5 ]' E& `7 Q
    $ t! D7 t( z2 T& f8 l1 l1 D
    三、关系运算与逻辑运算(Relational calculus and Logical operation)
    : c, ~/ u& _5 H) S: f2 B5 D1.关系运算(Relational calculus):+ z  L+ S8 K+ [3 x
    条件:对于两个矩阵的关系运算,两边的矩阵必须具有同样尺寸
    + J5 i. W; i- w. g$ ]关系运算符:(Relational operator)/ D; h7 e8 P' h7 Z, x; ?; l8 a
    ﹤小于(less than)  ﹤=小于等于(less than or equal to)  ﹥大于(greater than)  ﹥=大于等于(greater than or equal to)  == 等于(equal to)  ~=不等于(not equal to ,NE) 1 `8 Y4 b# p2 R( |4 }+ Y, y$ ^
    例:标量+ q6 F) P, \' ?; }
    >> 2+2~=4
    0 D; k0 I8 b: L$ k; bans =
    7 n8 p; l6 E, S% H1 j     0
    6 e) {! ~! S' a# s& S$ j' w, D矩阵:
      {( c. k! }1 Ia=[0  -1  2];
    # E0 {3 }3 f. k7 r: n4 db=[-3  1  2];* h$ ]7 ^( L# d6 Q
    a<b
    8 \- k: O% U1 x+ }! mans =
    1 M- c  `4 J4 ]7 S0 T8 U0     1     0
      Z* @) i  W/ _6 xa<=b
    " a2 ]: M" L2 xans =
    8 j0 W  g/ S+ C2 e% w/ G# S0     1      1. m) r& {4 y3 l3 e9 [
    a>b
      K0 j# W7 Z3 D/ T' E0 ?# Jans =+ Y5 o' k, Y5 O" O
    1     0      0
    6 I3 o% u" [* K, n, Ya>=b
    6 U4 j  A  S$ s3 l1 @* d/ t7 Hans =
    * F5 j) _  R& O) v) x: K1     0     1
    ! J4 ^$ M. _8 i4 v, ^, k, za==b
    ) I9 F& o4 N# i, H4 {3 Y% wans =
    ; K1 O, E/ \! s0 F  t0     0      1
    5 S$ `* X7 ^5 M' E* ea~=b
    . ^. N' u9 J9 \. H2 @* ]# G) g3 Oans = 5 w4 i2 _" c/ c6 p8 A# N5 ]
    1      1      0 3 j9 V0 _: j1 H9 S. X

    - w& J8 r. W) W. v$ K, O0 ?+ f5 W  o2、逻辑运算(Logical operation)  V/ a) E& j$ F
    逻辑运算符:(Logical operator)
    , F/ h) ~. b5 e# D" ?& ?5 u1 s4 z& 与(AND),  |  或(OR),  ~ 非(NOT)* y4 {0 d* U+ B/ u1 R
    条件:对于两个矩阵的逻辑运算,两边的矩阵必须具有同样尺寸
    + B2 y. ^* h0 _& i~是一元算符,当a为零时,返回信息为1,为非零时,返回信息为0;p|(~p)返回值为1,p&(~p) 返回值为04 i% ^# C* B" j  U
    例:
    * g. I: {: Z! v: O7 d! o8 Y>> a=[1  2  3; 4  5  6];
    ) ?. a6 v$ S8 mb=[-1  0  0; 0  0.5  0];
    % g4 h# e3 @; q1 L1 Fa&b# T" E" t6 Y( K. s1 S; G
    ans =
    # _3 |- `8 x0 J/ [2 l2 [     1     0     0
    ( z) i# _: P" ^+ c4 N9 L     0     1     0" Q7 M5 h0 M7 P

    # {5 @/ o  x7 h3、关系函数和逻辑函数 (Relational function and Logical function)* P5 l; v) ^" ]& U1 D# V2 c
    例:
    * a5 H2 P* v( u& X$ H6 v* x  v>> a=magic(6)            %建立6阶魔术矩阵,元素由1~n2组成; i& v/ n* P) C( ^4 M, E4 T
    p=(rem(a,3)==0)        %对a求余,有余数置0,无余数置1。由于matlab语法和C语言相似,z对于优先级相同的运算是从右向左进行,所以这个式子还可以写成p=rem(a,3)==08 {% ~2 z; c# `7 y
    format +;p                 %以format +格式给出p的压缩格式
    / t; k( a; F# nformat                       %将显示格式转换为缺省的短格式
    . X3 Z/ W- j2 Wy=a;
    ) m% }, }* e5 |8 R. S6 D8 ]i=find(y>10);             %找出y矩阵中大于10的元素的位置i$ M' S! S3 B6 i  c9 Z3 ^
    y(i)=10*ones(1)         %用10代替y中所有大于10 的元素2 e" Z% D* d! m9 i+ ~4 W
    a =
    ! n$ `+ _+ O( T- r+ ?2 i) n" S; i    35     1     6    26    19    24
    ; |% t5 X( F1 c1 T; r$ @     3    32     7    21    23    251 s! y. r! H+ P/ ~7 c
        31     9     2    22    27    20
    0 a' Q- b9 l+ M- ]5 {$ G     8    28    33    17    10    15) p( D- i2 x6 j! Y# m
        30     5    34    12    14    16! w! T3 h1 K8 j4 i' m4 {' N- |
         4    36    29    13    18    11
    9 R6 x4 I3 T0 }/ A5 g+ ^% d1 dp =% E9 e, t' c# F+ u
         0     0     1     0     0     1
    1 g8 W8 I% O4 G" l- o     1     0     0     1     0     03 M7 _  W% o% N2 Y* l8 ^: N
         0     1     0     0     1     0
    % L  Q7 A! l) f6 \) A8 Q, {     0     0     1     0     0     1, o. P/ V, Q+ d8 n
         1     0     0     1     0     0
    3 P- e. z; a4 D9 w5 L     0     1     0     0     1     0& L) w: r7 a+ I
    p =: x  \- S6 ?; b
      +  +0 @6 k! D8 n$ e9 Q$ x. h' g+ S$ S
    +  +  + ?& R9 f- u7 z+ F, j
    +  +
    ; p; ?1 C5 F! G! W4 C  +  +
    ) F9 ^# v4 r8 L# c+  +  
    2 e9 T9 m9 s2 n+  +
    . f6 ], O& `* Py =
    & ~7 P' `2 _- h    10     1     6    10    10    10
    . `! i; h! S6 D8 O     3    10     7    10    10    10
    ' j# ]+ f! s5 T2 I  q    10     9     2    10    10    10* D2 T/ K# U$ h2 V
         8    10    10    10    10    101 @/ |( f5 X* X- _! V. M- e1 F
        10     5    10    10    10    108 r5 J( e1 C4 I# ?  ]8 Z( R$ ?
         4    10    10    10    10    10
    zan
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