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[课件资源] matlab学习笔记【09-11-14】

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    [LV.3]偶尔看看II

    自我介绍
    进化中。。。。。。。。

    新人进步奖

    跳转到指定楼层
    1#
    发表于 2009-11-14 19:59 |只看该作者 |正序浏览
    |招呼Ta 关注Ta |邮箱已经成功绑定
    本帖最后由 木长春 于 2010-2-13 20:05 编辑 / q* Q! y. D* E& o% N' E$ u5 O
    7 s$ A9 H6 D, D7 F
    2010年2月13日:2 I: e$ u+ E% J( D0 m  `
    由于几个月来都无法登上网站,没有能关注过帖子真是不好意思啊!今天终于在高人指点下用代理等上了,呵呵,高兴啊!尤其是看到自己的帖子被加精更是受宠若惊啊,谢谢大家的支持啊!今天正好是大年三十,祝大家新年快乐啊
    . x% R- o3 g7 ]' {# u& h
    # r; x, `0 p0 u) v0 n+ n9 H. [8 ~3 Z/ V& B  y' b+ p4 G
    3 h3 ^' E9 |0 X1 s" P
    安装的matlab2007a时不时的就会出现java错误,虽然按Crtl+C能结束错误,继续使用,但总感觉不爽。所以就决定下载matlab2009a安装。
    , \1 g# _+ A8 H' s; h9 }在这和大家分享一下
    * `. P% m5 e4 V. t9 _0 amatlab2009a(windows)的下载地址:[矩陣實驗室].Mathworks.Matlab.R2009a.ISO-TBE.iso (4.05 GB)                 存在同样问题的朋友可以换了试试。& K5 @0 u; C% l; N# A# U

    . N& E9 }" |' V& \继续今天的学习笔记吧,呵呵
    # B) R& t0 c& `: i1 f$ J今天在网上找了一个Matlab教程,感觉还不错,挺全面。第一章讲的主要是Matlab软件的介绍在这就不多说了,今天下午主要学习了第二章Matlab的基本数学功能。  ^7 V4 E) y, _( v
    ' ]* t9 h: f: z
    MATLAB 提供的两种运算方式:
    2 b& ]- O# y6 i. l) O# [(1)普通的数组运算方式:(Array computation) 在数组中对应元素之间进行运算;
    : t% E% ~& K" J/ m8 }1 B(2)矩阵运算方式:(matrix computations) 将标量当作1×1阶矩阵,一维数组当作一行或一列的矢量(即1×n阶或 n×1阶的矩阵),二维数组当作m×n阶矩阵,然后按照矩阵的运算规则进行运算1 z6 G5 w7 o* Q* @5 C) B; q; }! Q; R( N
    *二者输入形式和书写方法相同,差别仅在于使用不同的运算符号(而数组在进行乘除运算时要在通常的符号前加“.”,如:“.*” 和“./” (或“.\” )),执行不同的计算过程,数组的运算比较简单,是对应元素之间的运算;而矩阵运算是根据矩阵的运算规则进行。
    # {% C; V/ R5 X6 ]# h9 S5 a$ T) u0 K6 a! V  T
    1.+-运算比较简单。矩阵进行加减时,两个运算对象必须是同阶矩阵* O  \3 J, S# Z" B2 Z9 b

    1 c' M7 V4 b& j- \2、乘除运算(Multiplication and division)4 n6 C" ~+ D/ G$ U- ~; ]$ V1 Z$ c
    矩阵在进行乘除运算时与通常的运算符号相同(*, /, \ ),而数组在进行乘除运算时要在通常的符号前加“.”,如:“.*” 和“./” (或“.\” )3 y+ k* K' ^  t$ n7 \
    (1) 矩阵乘法:(Matrix multiplication)% \: N; h$ l" J
    条件:两矩阵中前一矩阵的列数与后一矩阵的行数相同,如  q$ O# {: Y( ], |7 C

    $ t; I" x% z: X4 m>>x=[1  2 ; 3  4];/ X/ c0 y, c. Q% u
    y=[5  6 ; 7  8];( R$ r7 j) w: [8 A& W. B
    x*y3 b' u: T) J- j2 z& a( r/ F, Q
    ans =9 b) K; Q: E) }1 y. N7 {% S
        19    22
    1 D' p( C, J9 Q    43    50, h$ d+ e% J5 Y2 \& f, [" y

    - p4 g3 B6 b! c( a也可以实现两个相同维数矢量的内积(点乘,dot product),如:1 k# y1 K) R& j2 ]% y& X
    >>a=[-1  0  2 ]     % (输入行矢量转置为列矢量,等同于a=[-1;0;2])
    3 P* Z9 V! W1 O& T0 Yb=[-2  -1  1]$ ]4 D' A2 _0 N
    a*b'
    5 `2 J) R. ~" X2 Z; C' [; H6 ?b*a'
    " i0 a1 a, ?& Ka =
    ! F- X+ P3 }0 l. m* \    -1     0     2
    7 F1 T7 N! X6 ~* i5 f: g$ e1 |b =
    . `2 O% F5 o0 g" y& N    -2    -1     1
    - k' O5 i6 e1 ]* \ans =
    1 x6 y. d1 p8 h3 N# o4 g: d2 H5 W     4' q2 U& c  P% b  S. X' y
    ans =
    0 i+ g$ C4 m" n( m5 I     4
    1 ?0 o" h: Z. N, _0 s" b2 R    MATLAB计算点乘(dot product)和叉乘(cross product)有专门的命令,用dot(a,b)计算矢量a和b的点乘,用cross(a,b)计算叉乘
    9 Q; f$ g  F7 s! J8 b! f0 O    矩阵可以和标量相乘,标量可以是乘数也可以是被乘数,都是将矩阵中的每一个元素与标量相乘如:) i# B0 N* H/ n) T
    >> x=[-1  0  2];# J+ z3 U2 z1 i" H
    pi*x
    ; _3 p$ H: {+ n/ m+ p6 |! vans =
    " A/ c3 S" M5 e, F$ F8 g2 b   -3.1416         0    6.2832
    2 K+ X" E% }  x5 y$ ?% n* \2 `8 M7 h& G* H/ w  b
    (2) 数组的乘法 (Array multiplication)9 L9 f* e2 s1 N  |7 ]: q
    条件:a,b两数组必须有相同的维数,则a.*b 表示a和b中对应元素之间相乘,即z(i,j)=x(i,j)*y(i,j).如:5 E, z) ]. X: j3 e! w/ Y
    >> x=[1  2  3];2 M! B# G8 t8 k( t- e
    y=[4  5  6];
    $ k/ X, j. {+ Z3 r4 M4 [z=x.*y" z; B" u% D1 v) O5 a- N0 p
    z =/ w. i' `* L) k+ }- O+ Y1 S
         4    10    18
    7 o1 y0 n7 Y; M1 m1 q& P( G; o6 U  A- j' k5 M  _) n* b
    (3) 矩阵除法 (Matrix division)( v! g; s" A% i' l9 L3 `4 o# a
    条件:a矩阵是非奇异方阵,则a\b(左除)和b/a(右除)都可以实现a\b等效于a矩阵的逆左乘b矩阵,即a\b=inv(a)*b, b/a等效于a矩阵的逆右乘b矩阵,即b/a=b*inv(a)./ ~( Q2 z( ^$ \# N* R
    通常x=a\b 是a*x=b 的解,x=b/a 是x*a=b的解一般a\ bb/a,2 {/ v8 f; T% Q( i
    右除与左除的关系为:(b/a)=(a\b),如;
    $ A# }5 U1 x# p5 e& O>> a=rand(3)- A2 |3 }  i; c5 v0 P) A7 \
    b=rand(3)9 U8 K) |. w9 T( k4 Q# \& u9 ~
    c=a\b
    * a; D4 {) k3 T+ f/ ~d=b/a
    ( Q/ n  \: X* r. x0 @2 K  Nw=(b/a)'' R: \$ k5 |. s6 u) ~$ N& K
    t=a'\b'
    & `- c6 U( W5 K/ ]a =
    ) D6 H/ S' m; W6 }: O0 m$ K* y    0.8147    0.9134    0.2785- t! g0 a, L! R* C  v+ |
        0.9058    0.6324    0.5469
    2 D2 J) a% G. h    0.1270    0.0975    0.95754 V9 J9 B8 B8 z; w1 x& ~% ~
    b =) a. V/ K) {# \1 Z: `- x
        0.9649    0.9572    0.1419
    8 {, E; k- M' k: V$ W, I! H    0.1576    0.4854    0.42186 e5 O2 s; v/ ~
        0.9706    0.8003    0.9157
    / W1 O+ h" Y( s2 ]. L+ rc =
    5 V- l& ]+ j* n7 Z   -2.5775   -1.3591   -0.0618
    1 _. v2 a4 U* c* U$ k8 Q    3.0365    2.0130   -0.0863
    ' C  r. F  e/ U: o7 Z    1.0462    0.8110    0.9734
    5 p8 [* ?3 v8 U5 K* d6 Qd =
    % |% D& d! Z0 I- s' a    0.8306    0.3601   -0.29917 T% I6 U3 y) s* `3 k' @
        1.0730   -0.8795    0.6307! R% I! e! P, {$ n6 \3 l# l
        0.3442    0.6978    0.4577
    9 s) c4 Y7 f7 \w =
    3 I( @! Y0 E. O/ x7 Q+ k    0.8306    1.0730    0.3442
    ( Y7 A2 r7 a. G) W3 G    0.3601   -0.8795    0.6978
    ( H6 i, V2 x: I3 x   -0.2991    0.6307    0.45770 U$ Q0 B, Y: a0 W* F$ E
    t =
    + n5 w/ M- @+ d6 [. w- h# m    0.8306    1.0730    0.3442. W: b" O5 P5 T3 {2 j
        0.3601   -0.8795    0.6978
    ! ]7 t- d* {$ f   -0.2991    0.6307    0.4577: a& {6 H5 v1 g# Q& h
       
    + ^: n/ b6 I% N/ D(4) 数组的除法(Array division). _9 W; {0 N9 w1 m" _
    条件:a与b必须具有相同的维数,符号. \. / ,a.\b 表示b中的元素分别除以a中的对应元素,即z(i,j)=x(i,j)\y(i,j)=y(i,j)/x(i,j) 如:
    5 x/ F6 Z$ Z2 x! ~& m" p>> x=[1  2  3];$ N; ?: ?$ `* y/ p) Z1 S! [) E
    y=[4  5  6];
    ; M3 U* D! w7 r" e8 \. ]0 W2 Cz=x.\y
    % I" x6 y/ W8 |8 z) x7 v6 h# tz =! u9 n* U8 B, n6 P
        4.0000    2.5000    2.0000- h% _0 l& b7 j: h
    2 g; U8 h" h& b8 w
    3、乘方(Power)
      Z6 A- c  a! W(1) 矩阵的乘方(Matrix power)   符号  ^ + M& T- x+ _4 P, u+ J* }
    条件:在a^p 中a, p不可都是矩阵,必须一个是标量,一个是方阵8 J' k7 p" B7 V5 A4 B
    a^p 意思是a的p次方
    9 q; F6 l  I, w2 \*a是一个方阵,p是一个标量,且p是大于1的整数,则a的p次幂即为a自乘p次                 d/ ^: P3 u& R. f8 o- w
    *如p是不为整数的标量时,a^p=V*D.^p/V 其中D为矩阵a的特征值矩阵,V为对应的特征矢量阵,可用eig函数求出D和V, [V,D]=eig(a).
    ; p+ S/ p  S4 C- ^*当p是方阵而a是标量时,a^p=V*a.^D/V, 其中[V,D]=eig(p).
    # ]* T9 x- C$ u& ]" i% w! k3 A7 E3 _7 p( m% Y
    (2) 数组的乘方(Array power)   符号  .^
    7 |0 r9 y$ E) e8 l; z9 a- Z条件:在底与指数均为数组的情况下,要求他们的维数必须相同: a8 b# f2 o5 H
    *当底和指数为同样大小的数组时,x.^y 为对应的元素做乘方运算如:
    5 Y# g' ]# U$ _: H& l0 N>> x=[1  2  3];
    4 m# R+ r4 Z: Y+ t2 e" D/ W$ C0 Ly=[4  5  6];
    ) D( k4 {# t. @& i: w3 ?) `z=x.^y
    , w$ ]* ^( C2 nz =, f# i% ]3 J' u! A" ^3 i
         1    32   729! L1 _# z, j3 _) y- S
    这时执行的实际运算为:
    3 W* A1 Y* D4 F. y" `$ c4 V, wz=x.^y=[1  2  3].^[4  5  6]=[1^4  2^5  3^6]=[1  32  729]

    ; s4 T4 g! u8 g& t- p* B5 T. a/ Z; j7 z9 i& n! m1 |
    *若指数是标量,执行的运算是底的每一个元素执相同幂次的运算既z(i,j)=x(i,j)^2) _- y' n, h* Q/ Z! L
    如:% k- a: l$ E  z8 y( @, ^
    >> x=[1  2  3];& S" J! e& [6 e) m
    z=x.^2
    * S5 E: }9 |4 ~! bz =
    ' g1 J# `# ]* [9 H0 _5 j8 B     1     4     9
    & Z9 B3 A& c1 X# {$ t, ?* {2 n这时执行的运算为:. b2 f2 _0 b0 p+ g
    z=[1  2  3].^2=[1^2  2^2   3^2]=[1  4  9]
    * y8 G5 ]5 U8 y+ ~
    ( O7 o2 j) N9 n
    *若底是一个标量,指数是一个数组,执行的运算是用指数数组的每个元素对底进行乘方运算,即:z(i,j)=2^x(i,j),形成新的数组 如:) t7 g6 G0 ^3 ?1 S4 I) O
    >> x=[1  2  3];
    % d1 D% N: L2 V5 j9 q. A. M; oz=2.^x" z$ X% A, W) e+ a% ^% U: T
    z =
    / s6 h2 U) @& m     2     4     8
    7 t; o  u* W4 T这时执行的运算为:/ C* w- ^1 I3 ~2 }. n
    z=2.^x=2.^[1  2  3]=[2^1  2^2  2^3]
    6 i$ [/ [5 y4 f

    9 Y5 d' P. _3 x. A; Q4、转置:(Transpose)   行列转置,符号'# N" n" h( d  V$ H7 Y
    如;计算矩阵a的转置:) W/ X$ w5 c! N) W  ^1 f
    >> [-1  0  2]'8 j4 ~& v8 J+ q) b/ H
    ans =
    7 o' Z; R- V8 Y* o# q$ N-1. G# ]+ Q1 |8 f& L5 o$ v
    0
    6 v" C0 n/ m" f% _1 S7 X  l2  w* C6 [6 _2 S# R. Y

    1 u2 q% N9 t4 L$ T8 K) A; Y9 b2 C$ r% Q. h5 k: i; d* f5 K1 k2 m
    二、数学函数和矩阵函数( Mathematic function and matrix function), g4 m4 [  r' L" I% g) e, W

    7 Q# J0 \1 M6 b- X3 q' s; w1、数学函数(Math function)- p4 d# r, I* Z& w( `: \
    (a). 基本函数:(Elementary function)三角函数(Trigonometric Function)指数函数(Exponent function)复数函数(Complex Function)取整和求余函数(round and remain function)
    % w! Y3 y3 F* h" w" J4 k4 ]例: / N: W; D3 u6 f: @+ P7 I
    >> a=[1  2  3; 4  5  6]
    ) C# Q$ R; U$ o6 h8 Y0 L) c' ub=fix(pi*a)             %朝零方向取整
    9 m6 v" V5 T' g' Q$ w* c. Gpi*b
    / h* a' v3 O" _8 d2 Sc=cos(pi*b)+ [6 I" s% I: ]1 F, Y( Q
    a =
    4 W  x9 m2 i5 a* M8 W; u     1     2     3" a0 A! P1 M  a( `$ K5 w  B+ y
         4     5     60 t% Y& }) K- a7 y
    b =
    $ m& Q, ~/ Z% [5 T     3     6     94 e& q* }% p8 r( s
        12    15    18
    / F# I: V0 N/ A) i) h, {* dans =
    # P. g# _. p$ r; P' p9 F4 }0 n    9.4248   18.8496   28.2743
    * p7 _% y9 |. M4 s   37.6991   47.1239   56.5487
    ' o) ]* j, G1 K7 p8 ic =
    , v! M) t. Z" X( A2 W    -1     1    -1
    1 q4 v( \6 L  A2 w" ]' |6 `: V" {     1    -1     1
    - I- W) t- _, x* c# r# N' ^" P8 ?4 v说明:  R$ v: |4 Q- ?% E  }5 h9 l
    (1)三角函数按弧度计算
    ( t3 ~$ ~( D7 b- \, K9 Q' G7 M  f, M(3)除后取模mod(x,y)与y符号相同,除后取余数rem(x,y)与x符号相同,当x与y符号相同时,mod(x,y)等于rem(x,y).     (这一点要注意); V  s: `3 \" c+ j  z' J1 C' t
    例:
    ' a' p# a8 S, s6 V>> x=[11 25 31];6 R  o3 h+ ~. c& k6 h
    y=[4 5 6];5 h/ A+ }# ^% E, B
    M=mod(x,y)0 U* F' b7 B3 v
    R=rem(x,y)
    ; J0 f- F7 ~, Q2 @' ZM =
    3 c$ R( P% Y  k: [) h1 C7 o     3     0     17 ?: Y; K: j1 S; f9 K+ i
    R =$ w# t7 O- n- m% v
         3     0     1
    / v( Y( k, t- x1 g>> x=[-11 25 -31];
    9 |  A% r" ]* f8 q! Uy=[4 5 6];$ P3 X$ M4 M/ v
    M=mod(x,y)0 b: f( M* U( i9 f8 B) v1 f* m
    R=rem(x,y)
    5 ]* I3 l7 Z$ ?+ t% IM =; [. c9 v: \  Q6 @( Z3 a
         1     0     5
    ! S! p4 _- S- @; I* x2 |R =
    3 O4 D3 H0 m: e0 e# S6 m    -3     0    -15 |9 W+ W( P1 m" v
    , ^, f# g- G5 K
    (b) 特殊函数(Special function):特殊数学函数(special mathematics function)数理函数(Mathematic analysis function)坐标变换(Coordinates transformation function)% i4 R# D  {. v/ Z& [& `
    2、矩阵函数(Matrix function):矩阵分析(Matrix Analysis)线性方程组(linear system of equations)特征值和特征矢量(Eigenvalues and eigenvectors).矩阵函数(Matrix function)因式分解(Factor analysis) 等矩阵函数. V! j. V% b" W# R) d$ }8 {- z* X
    % }9 V: x; V" @2 ]
    有些矩阵函数与数学函数名称相似,区别在于矩阵函数名称后有m字符2 T& a+ w5 I7 P/ k; w( }6 z+ [; R
    例:
    ; A; `0 a8 B) i; U5 S% W: c! R>> a=[1  4; 9  16];7 J0 E2 x' _: O* ]- u
    r1=sqrt(a): X1 d$ R( K- ]5 g
    r2=sqrtm(a)8 W2 h; S+ h6 y1 d% o
    r1 =( r1 h8 b% I; X9 L' a* i8 L/ O* }6 @3 c
         1     2
    / J3 W8 q4 M5 r, R/ f9 `; A     3     4* ]. d% }6 N& v# J
    r2 =
    2 O: V" j) S% ?: x3 [- _( ]   0.4662 + 0.9359i   0.8860 - 0.2189i4 R/ [  S+ b0 T$ o7 {* f( @0 Q
       1.9935 - 0.4924i   3.7888 + 0.1152i
    7 n- V$ E5 ^8 V9 ]9 P9 C* w2 W1 d' i) d% v5 d* d9 u
    2 n4 x# _% @; {& k5 p% ^0 H# R% t
    三、关系运算与逻辑运算(Relational calculus and Logical operation)) H/ g. c/ r8 Q
    1.关系运算(Relational calculus):# R' I* F$ B# {1 V* s5 i- a& G
    条件:对于两个矩阵的关系运算,两边的矩阵必须具有同样尺寸
    0 W$ N! ]7 h: U; r/ V关系运算符:(Relational operator)* q' b/ i; v/ d8 B  }. T
    ﹤小于(less than)  ﹤=小于等于(less than or equal to)  ﹥大于(greater than)  ﹥=大于等于(greater than or equal to)  == 等于(equal to)  ~=不等于(not equal to ,NE) 0 C7 r( O- }7 {
    例:标量# r# V4 [7 X/ ?# L0 B5 T/ Y' J0 j$ {
    >> 2+2~=4, y3 N* N1 r$ j
    ans =
    " j. {$ @3 P. w- r$ ~- V' s     0
    8 p) u$ ?. V. e+ o, F矩阵:' q' p" m9 e/ ]/ Q  ?
    a=[0  -1  2];
    0 c, B6 ?, E. B0 e6 {$ ]b=[-3  1  2];/ F# i( f6 B0 r" {
    a<b
    9 N% f+ u0 n) n  U- r9 S$ F! r# Sans =
    ) {0 t* B1 h7 x! ]0 D- L7 n. ]/ ?0     1     05 O& o$ i7 ~: y4 I
    a<=b  B+ D9 B8 p' n) |% q6 w) Q3 r
    ans =- @9 |% V  G, S& \) x) E# ^
    0     1      1: ~; r8 H9 _% V8 p# J2 y
    a>b . U7 L: }2 T7 ~
    ans =7 y8 h( w( U9 M0 m0 x( d  z5 w# s
    1     0      0/ G5 a# y. u# k' n# v- k, j
    a>=b 2 O- N( t! o" y1 n
    ans =
    1 Y) O, k. P' {" c5 V4 x" `4 ~, B1     0     1, w- u9 p( ^: I: C3 U$ K1 x# T
    a==b # U$ \' y: X& X0 }) @
    ans = * ?: O" A) @! k
    0     0      1
    & A0 m5 N! Q( d/ Pa~=b
    6 |- {; B5 h4 N* C0 r/ P) Cans =
    # \% @* L: s: r9 q- F3 S1      1      0
    , Q$ l3 p; E: X; ^) Y1 j. r7 c* r8 Y9 J0 k: l  S) U5 x" n- n8 Z% V
    2、逻辑运算(Logical operation)5 \, l" E  m# k7 M' c
    逻辑运算符:(Logical operator)
    6 k8 x4 L- z! k, j& |3 w& 与(AND),  |  或(OR),  ~ 非(NOT)
    & X( n: v5 u  x0 x/ C1 F( f条件:对于两个矩阵的逻辑运算,两边的矩阵必须具有同样尺寸- @# e: q) v- Y! ?5 d8 F
    ~是一元算符,当a为零时,返回信息为1,为非零时,返回信息为0;p|(~p)返回值为1,p&(~p) 返回值为0
    6 A  u6 r) P1 O* r% q$ \, R; _例:
    7 v5 _6 z( A) F9 y$ E  B>> a=[1  2  3; 4  5  6];
    ( u1 a0 m4 u! D1 c, N+ l! Zb=[-1  0  0; 0  0.5  0];! |/ A: F' `: b
    a&b" J2 @+ Z+ ?% R) e+ E
    ans =$ L9 n7 h* A( T* W+ `, s
         1     0     0' c1 L& i  O& w6 }" B! n# p/ t
         0     1     0
    ! J2 O" E0 }( M9 O8 {
    4 q5 y6 [) F+ g3、关系函数和逻辑函数 (Relational function and Logical function)0 [- ^0 [6 a  [4 R) o& ^
    例:
    * F2 Y/ P' S8 l& U" G>> a=magic(6)            %建立6阶魔术矩阵,元素由1~n2组成
    # f; N1 ]6 C' Zp=(rem(a,3)==0)        %对a求余,有余数置0,无余数置1。由于matlab语法和C语言相似,z对于优先级相同的运算是从右向左进行,所以这个式子还可以写成p=rem(a,3)==00 Y" R  h) W2 S+ z2 b
    format +;p                 %以format +格式给出p的压缩格式1 s+ e9 {$ T, X
    format                       %将显示格式转换为缺省的短格式: \0 q( v3 y! O0 I7 [7 i
    y=a;
    6 t6 I+ O1 w( x2 b% Vi=find(y>10);             %找出y矩阵中大于10的元素的位置i
    8 d' M& m, }3 R: j+ Z# C# E( Ry(i)=10*ones(1)         %用10代替y中所有大于10 的元素, U+ K: V3 A) m0 f: @& z
    a =: R4 b) Q* m2 ^, ?* l4 l- t# s, [
        35     1     6    26    19    248 T6 X2 f5 \5 O! K
         3    32     7    21    23    25
    & {% k; a, y( E% E& D) g2 d    31     9     2    22    27    206 K+ H! a1 c7 T
         8    28    33    17    10    15
    ' f  {4 o( A/ g. k    30     5    34    12    14    16
    8 j5 E$ L7 N' |3 X     4    36    29    13    18    11: u# H) N6 `4 k# O+ u8 h
    p =
    8 J/ s' T( C+ m) ]" ^" J     0     0     1     0     0     16 q! y9 ?( r' e4 B
         1     0     0     1     0     0
    # Z' A* ?. f! a+ o     0     1     0     0     1     01 p3 k9 I: K: k) _
         0     0     1     0     0     1- f) ~; _% Q: P. K
         1     0     0     1     0     0
    ' h5 q" w1 t  I* y9 A- h     0     1     0     0     1     0
    / O5 I7 |2 j- }+ B" Jp =
    ' |% j- ]- A* ?2 ^" i) t  +  +
    1 m5 a. t: @7 N9 X. e+  +  
    0 w# N  }1 |% c6 R0 w: I* O+  +
    / `+ J+ u9 i6 Q( i* z4 y6 v( e/ ?) N  +  +0 ^$ Q1 @8 X/ F5 Q
    +  +  7 A6 ]! g  _" M1 V* Y
    +  + & p7 ~) m/ y2 r
    y =; V. |* c6 f+ H+ s, l
        10     1     6    10    10    108 i! \+ @$ E% G: Y( T
         3    10     7    10    10    10
    - v8 H9 w& l' p" e6 Q2 E# K  Z    10     9     2    10    10    103 G' M  ^. ~6 W6 b6 |  I  v
         8    10    10    10    10    10
    . c5 F. f# F4 H' I) T    10     5    10    10    10    10) V* T5 i" D; M+ x
         4    10    10    10    10    10
    zan
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