合数公式 (判断素数或寻找合数因数对)

hmz20128

在自然数列中，除了0、1以外，不是素数就是合数，每个素数与合数都有其固定的位置，而合数存在规律(任意数n后面的第m个n项仍被n整除，例n=5在5后面的m(1.2.3……m)个5项，即：5+1*5、5+2*5. 5+3*5……5+m*5仍被5整除)，并且所有的合数都能联系在一起，形成一个等差数列网，这个网，呈上小下大的金字塔状，也可以说像树根状，如果把这个网从自然数列中抽出来，剩下的素数就没有规律了。相当于把一个形如树根的多串相连的珠子放进广口瓶中，然后用黄豆填满(填充的特点是下面豆子少上面的豆子多)，豆子与珠子各有自己的位置，根据所处位置看其是否被线串上，就知道是珠子还是豆子，如果把连在一起的多串珠子抽出来，剩下的豆子就看不出规律了，也就是豆子的使命是填充珠子没有占完的位置。自然数列中的项数就是合数与素数的位置，某一项只要不是合数就一定是素数。因此，要判断素数就要根据某数的特点，看是否存在于合数的等差数列网上，在网上的就是合数，不在网上的就是素数。
, o/ R3 a1 L- y$ A, c
# T# v5 J7 T: s$ f& V下面是一个根据合数的网式规律而得到的最基本的合数公式(即：判断任意数)

: k1 a6 B( P' P/ iM=(q-N)/(2*N+1) 其中q是常量，表示被判断数I被2除的整数商(例：I=31，I/2的整数商为15，即：q=15)，M、N是变量，通过自变量N(N小于I的平方根取整加1，例：被判断数I=31，I的平方根取整是5，则N的最大值是5+1=6)的非负整数取值，判断M是否为非负整数，若M出现非负整数，则I是合数，并且非负整数M、N能满足(2*M+1)和(2*N+1)是I的一个因数对，在适合条件的范围内有多少对M、N适合条件，就说明I有多少个因数对。在适合条件的范围内，没有一对M、N同时满足非负整数，就说明I是素数。
, ?% \/ k2 }6 D% ]# b% Z例1：I=27
因为I=27除以2的整数商为13
; y9 |2 ]$ d& n" J. `则：由合数公式M=(q-N)/(2*N+1)得：
M=(13-N)/(2*N+1)
N的最大值为：I=27的平方根取整加1，即：5+1=6
3 j% o9 R  c4 J0 D5 k4 _, \. i  g当N=1时M=(13-1)/(2*1+1)=4
) O3 Z8 a; x+ _; y则：(2*M+1)=(2*4+1)=9
3 E9 |  e, y6 v" b5 H! c(2*N+1)=(2*1+1)=3
; a5 i. F0 ^# ~2 v( {( ?5 H即：(2*M+1)=9和(2*N+1)=3是I=27的一个因数对。
同理：当N=2、3、4、5、6时
. f( f* o; z: V) z8 b只有当N=4时，才能得到非负整数M=1
即：(2*M+1)=(2*1+1)=3
(2*N+1)=(2*4+1)=9
1 z0 J5 Q- B; \4 C, ~( n1 ?与前面的(2*M+1)=9和(2*N+1)=3正好相反
  s6 u2 c- Q7 A7 g则：说明I=27只有一个因数对3*9(因数为1除外)
例2：I=31
因为I=31除以2的整数商为15
  h- S* [/ ?2 b6 f则：由合数公式M=(q-N)/(2*N+1)得：
M=(15-N)/(2*N+1)
N的最大值为：I=31的平方根取整加1，即：5+1=6
9 A/ `9 ]7 W' Y* k) T当N=1、2、3、4、5、6时
没有一个N能使M为非负整数
所以I=31是素数。
% E' ]) [+ W& v* ]数海聚珠网【程序体验】中的19、20、21号程序，就是利用合数公式得到的：
1、精确判断素数计算素数个数，及寻找合数因数对
2、精确计算哥猜数对
; k3 N9 G: D0 c6 S- j3、精确计算孪生素数对并计算孪生素数对个数

' h- A0 k# A" L: d/ P# X' v% i: R% D*用19号程序：判断素数、合数及寻找合数的所有因数对，并且最后输出范围内合数、素数的个数。

/ q; {4 j+ u0 f; e3 h, c8 |, n( v下面寻找的是形如30*n+17且n在111111111-111111999之间的素数、合数及合数的所有因数对，并且最后输出范围内合数、素数的个数。
输入：
. V4 |2 }/ m* d. f& ?用第二选项，E=17，h=111111111,，L=111111999，
; Q- Y  m7 {$ t) D8 T先点击：并行参数开始，有数据出现，再点击：结果开始。
(T下面有X、Y值的就是合数，并且X、Y是T的所有因数对，没有X、Y出现的T是素数。最后输出的是在范围内，素数与合数的个数。由于较多，数据中间使用了省略号)
T=33333333347
T=33333333377
+ T/ t+ S! t1 N% Y( k! TT=33333333407
: ~0 e% {' G' @, O( H; t  X=3030303037
) n, L3 j' Q+ U0 c  Y=11
) R4 _8 ]# r1 F8 M  X=628930819
  Y=53
6 b2 d" \$ M- c% O1 ]/ C  X=57175529
# r" l1 P, e0 l) u  Y=583
T=33333333437
  X=254452927
# R) P& l9 _1 ]4 Y& h  Y=131
  X=16347883
  Y=2039
9 N7 B5 O" E  S" Z* x: h  X=267109
  Y=124793
' P8 Q: ?& Y' w8 t0 m& tT=33333333467
  X=4761904781
' j4 N) }% A: f* i( m  Y=7
  X=709219861
  Y=47
1 d4 s2 Q/ n( M* `  X=311526481
  Y=107
5 ^/ _6 I9 x0 c% F5 [  X=138312587
0 `" U+ [4 b1 P: v$ e2 {+ _  Y=241
  X=101317123
  Y=329
0 l. K$ P; S! N4 G& D) }- B  X=44503783
# {4 u1 q3 S1 P( N  Y=749
  X=19758941
; Q: u) I, S$ z, }5 f" Q$ e  Y=1687
( h+ i/ O, ~) q, x  X=8483923
  Y=3929
  X=6628223
- ]( Q+ v8 b8 _' L4 U  Y=5029
1 {* L4 @/ [, n1 x" k: s- E  F  X=2942821
  Y=11327
  X=1292641
- ?: \  X! A. z5 B  Y=25787
! i# N1 n1 n0 S' g$ e  X=1211989
; `" i5 Y% N' L1 x% R$ T: A, m" K  Y=27503
  X=946889
2 a! D) b' X5 R+ `. ~  Y=35203
* Y$ {; Q& ^8 |8 X  X=420403
7 |( x: O  _8 g1 ~8 Y) b  Y=79289
  X=184663
5 {& E6 y9 h: m  Y=180509
1 A/ x5 o; F( H/ v% f……
T=33333335867
+ [. p0 b' c! ^  X=2564102759
  Y=13
T=33333335897
% g9 a7 Y& G$ z0 H+ r5 g  X=2886253
  Y=11549
T=33333335927
  X=900900971
  Y=37
# d* d- y) S) R) E+ Q/ P  X=1191881
( n$ u( ]: q% L* v5 B' O  Y=27967
  X=1034779
  Y=32213
2 R, d4 s0 Q) ET=33333335957
  X=1754386103
  Y=19
0 s! _/ n% c1 M. W+ b) C) \/ UT=33333335987
  X=4761905141
- U) l  w5 B5 v8 v/ ]  Y=7
; C6 E& C  c* G" X& J  X=680272163
4 }1 i5 ?/ Z8 `+ z# p0 t8 Q  Y=49
合计：89个
) o. s& O/ |& w+ \2 X9 h! p    素数：11个
    合数：78个
) r0 h7 J+ l: u7 M0 H) a* f
若再选择第三种输出方式（输出的是所有素数及个数）
即：
T=33333333347
3 g% H4 e2 w; h% K" e- tT=33333333377
+ `% E, D% H3 `# J2 k3 j: U/ y* o) ], r) HT=33333333647
T=33333333827
T=33333333857
$ Y- W, ]2 f: F' K; i) H% oT=33333334007
. L( e5 C8 p5 H8 q# S3 yT=33333334487
" O( P1 A  T: V/ YT=33333334907
T=33333335027
) L; D5 s- d* k1 \6 _. U/ KT=33333335177
7 r* V  O9 E2 }3 [$ dT=33333335657
素数：11个
7 z; p) ?$ M& u. P+ S
6 H) x* r: y& q*使用20号程序:寻找哥德巴赫猜想数对

用30n+11 与30n+23 组成的哥猜偶数30n+4(n最小为1)在1<n<111
+ D0 _8 [/ U0 W# V9 D7 }. {输入：E1=11，E2=23，h=0，L=111
输出：
0 y  H% f/ G+ E. w8 H* O. r34有1对
3 V& a+ C; E/ \) h   (11,23)
1 w# m6 x8 [/ b+ M64有2对
   (11,53)
  a6 L8 n4 |/ M* w  m' b   (41,23)
94有3对
$ J4 u! o) z$ F& W3 ?   (11,83)
5 a$ g2 b% m& Y  L( K0 r   (41,53)
9 ]1 |8 _+ W# v/ x6 t. X' z   (71,23)
124有4对
& k6 q5 S7 k4 U7 b  U   (11,113)
   (41,83)
( M( w4 j2 q3 W# @7 \   (71,53)
7 I3 B. b3 G; `" v; w; m   (101,23)
154有4对
* }! E" I4 B  ^# O; ^& f7 q3 v/ k; X5 r   (41,113)
$ T' m  W& I5 I' X   (71,83)
: @; b" {. e! k' \   (101,53)
   (131,23)
184有4对
   (11,173)
   (71,113)
   (101,83)
   (131,53)
- ~& ]2 A8 X- ?: q. i9 t8 k' @214有4对
% i! x! ^1 k* _6 x; \   (41,173)
   (101,113)
- n4 \0 B" Q: ]2 L$ I! @$ q6 `   (131,83)
   (191,23)
+ @. r: g0 f7 P3 ]  d3 h……
" O5 |, j+ u9 D2 W+ J. L  X3324有24对
   (73,3251)
/ M/ @, i( r7 H6 e   (103,3221)
- D5 O$ X; Z4 q0 l+ v( r3 ~   (283,3041)
5 M  K& @: o% d; R8 f1 D   (313,3011)
   (463,2861)
, {0 D6 U; \/ ~+ J' O   (523,2801)
: o2 i% r6 }8 K9 N4 G   (613,2711)
  D! o3 `/ l9 b$ V% S   (733,2591)
. v8 I1 k6 ]1 S   (883,2441)
   (1213,2111)
4 }, P' i/ d0 k* S4 B/ e3 f6 g% _   (1423,1901)
. Z8 V9 y+ k% I1 b   (1453,1871)
) v5 R$ _$ W( T5 `. J- h% v& w   (1723,1601)
8 G7 e0 G; w5 D   (1753,1571)
, m4 O. ]- k# N: \' R   (1873,1451)
   (2143,1181)
   (2293,1031)
3 I  q+ i! P3 M. b8 o4 A   (2383,941)
7 b1 D1 P+ S* X" B, L   (2503,821)
$ T* D' E( M0 k6 V   (2683,641)
   (2803,521)
/ D! w! R  I; e1 r: t   (2833,491)
$ S0 [# I  _$ T$ d6 Z   (3253,71)
/ s, `& w& L7 Y, p   (3313,11)
& k1 ^2 H  F+ L3 E) m. J$ T) {
*使用21号程序：寻找孪生素数对

* h7 ^- y2 |/ {/ [用30n+11 与30n+13 组成的孪生素数n在111111111<n<111111999，
在程序中输入：E1=11，E2=13，h=111111111,，L=111111999
* ~3 C/ \* q, C9 D# v& D输出：
& \% g3 C4 Y( O/ _& u3333334391,3333334393
" v8 [, P0 L9 j- |, Q3333335771,3333335773
3333336701,3333336703
* i/ o  C' h  O2 ?9 W9 m5 y" G3333337661,3333337663
9 Y7 O& _0 L# }) `3333338711,3333338713
5 |# `" H, B! D3333339701,3333339703
% X/ `% j# T! x+ `/ _6 \* ^3333340391,3333340393
3333342401,3333342403
3 Z/ v/ @+ W  ~3333342581,3333342583
% \6 G6 A% t& o8 `3333343421,3333343423
0 z9 E  V8 X0 J1 U/ ], g2 k# {3333345011,3333345013
7 c3 L3 C  S  f( B$ Y) R6 N! r3333346061,3333346063
8 m. i# D  Z4 }$ k+ c3 Y% }3333346571,3333346573
4 q" w0 Z: e; I3 N& V) ?3333349751,3333349753
3333350201,3333350203
$ _% |  y; ^- J3 i3333350261,3333350263
3333350651,3333350653
3333351641,3333351643
; T7 L' f+ H! {* o0 w  h3333353531,3333353533
3333355601,3333355603
3333358211,3333358213
3333358361,3333358363
3333358781,3333358783
( I! S9 `+ P! A3333359501,3333359503
3333359591,3333359593
3333359831,3333359833
" n/ |& J+ n$ {) `共有26对
% z! }! {3 V9 e' t
: o' }( {8 q* D  X3 f) f1 z