卡丹公式欺骗了五百年所有数学家

谢芝灵

错误有二个:
" r! W% \, f' V(1)一个小错误.(我会在后面指出)
& F2 M8 w2 {3 p(2)一个致命性的数学逻辑错误.(我会举实例反驳,但错误根源我不会说,我知道错误根源.)
+ o& ?9 v% n- {9 y/ o& b/ Y" N. Z3 |
+ u" W5 l/ g6 i1 b5 K结论:卡丹公式不能解一元三次方程!

5 P3 o$ T: M2 a9 J3 e" Y先请看卡丹公式:
$ l; i$ j9 g( k, Z& A只含有一个未知数（即“元”），并且未知数的最高次数为3（即“次”）的整式方程叫做一元三次方程（英文名：cubic equation of one unknown）。一元三次方程的标准形式（即所有一元三次方程经整理都能得到的形式）是ax^3 +bx^2+ cx+ d=0（a，b，c，d为常数，x为未知数，且a≠0）。一元三次方程的公式解法有卡尔丹公式法.如果一个一元三次方程的二次项系数为0，则该方程可化为
第一个小错误:

1 p/ E1 {6 O2 n! b. A 第一个小错误:
大家知道一邢三次方程有三个根.上面卡丹公式也有三个根.见x1,x2,x3.
大家从表面上看是三个不同的根.实际上面三个根就是一个根.因为x2中ω放到开立方中就变为ω^3.但是:ω^3=1.在x2后部分还有个ω^2,放进开立方中就是:ω^6.同样
0 }( U3 W7 _1 |4 rω^6=1.这样x2就是x1.同理x3也是x1.

第二个致命性数学逻辑错误.
/ k- {) T3 s: ?3 t我举实例反:
5 A" k# W% }5 `, i# s以30度角三等分公式.
, ?& F+ G4 T+ g( k/ A4(sin10)^3-3(sin10)+sin30=0....(1)
' i. E  i/ G. b9 s/ N" D$ ?, p" Y为书写方便,设sin10=x.
- _/ j0 Y& a$ Y- S得:4x^3-3x+1/2=0.
2 o; o6 ~; y" u3 Q4 D( t) _/ ?化为:x^3-3x/4+1/8=0......(2)

7 v' I* L7 j( ^' }1 s! ^3 u: Q( Hx^3-3x/4+1/8=0,
$ W9 ]+ f' L$ q( Ep=-3/4.  q=1/8    代入卡丹公式.


3 [2 o2 z4 j4 a2(2)^(1/3)x=[-1+(-3)^(1/2)]^(1/3)-[1+(-3)^(1/2)]^(1/3).....(5)
) t1 f$ w1 F- w把(5)式两边平方得:
4(4)^(1/3)x^2=[-1+(-3)^(1/2)]^(2/3)-2(-4)^(1/3)+[1+(-3)^(1/2)]^(2/3).
得:4(4)^(1/3)x^2=-(2)^(1/3)[1+(-3)^(1/2)]^(1/3)+2(4)^(1/3)+(2)^(1/3)[-1+(-3)^(1/2)]^(1/3).
/ ?6 y4 Q# y: ~% Q' P! Q( l( n整理得:4(4)^(1/3)x^2=(2)^(1/3){[-1+(-3)^(1/2)]^(1/3)-[1+(-3)^(1/2)]^(1/3}+2(4)^(1/3).
! W* R$ b* W9 Z8 U0 j+ b* }1 v.
把(5)式代入得:4(4)^(1/3)x^2=2(4)^(1/3)x+2(4)^(1/3).
, a" {8 e$ D5 ~2 n得:
4x^2-2x-2=0..........(6)
/ p( a* ?& K8 g$ p解得x1=1.即:sin10=1
' w; r/ w4 l1 [/ k, p' Cx2=-1/2.即:sin10=-1/2
代入(1)式验正全错!这个错误是卡丹公式造成的.

& o0 z7 v7 n' t* c1 Q
0 r2 c+ Y2 Y' I( s

谢芝灵

另一个挂图了,重发.

谢芝灵

x^3-3x/4+1/8=0代入卡丹公式后得到4x^2-2x-2=0

1 `, ]) P  \9 l0 O两个方程矛盾/

谢芝灵

(-1)^(1/3)=-1
(-1)^(1/3)=[1+(3i)^(1/2)]/2
(-1)^(1/3)=[1-(3i)^(1/2)]/2
6 N) h) ]* k. @/ [7 ?) ^三种情况.分别与x1,x2(或x3),x3(或x2)对应.
! b" S1 r7 a! S* D5 j0 g
原方程必有三个根. (-1)^(1/3)=-1 时,有一个x1根对应.你动手算算就知.得到一个一元二次方程.
                  (-1)^(1/3)=[1+(3i)^(1/2)]/2有 一个x2(或x3)对应,也得到一样的一元二次方程.
: Q' |; B0 w0 F# W4 y0 z                  (-1)^(1/3)=[1-(3i)^(1/2)]/2有 一个x3(或x2)对应,也得到一样的一元二次方程.
& O( y' W# W# |% `我重复做了,三种情况.都一样,卡丹错了.

0 M* x1 `( R$ _  p: \  B- Y9 u# a0 Z 我在其中只用了(-1)^(1/3)=-1并不矛盾,因为必为其中一个根对应.得到一个一元二次方程.也与一元三次方程矛盾.
7 j. s3 g" \9 L+ m# s3 S只要求得一个根与原程不合则原公式来历有问题.