请教王树禾教授

张彧典

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# S+ V  Y5 {" H+ _3 D2 J4 M     王树禾教授在他的《图论》（2004年出版）第99-100页中，有定理5.6的证明，现在转载如下：
定理5.6 （1904）{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。
    证明：令T是一个不含二次、三次和四次顶的三角剖分。我们约定，开始时K次顶所带电荷为6-K,由定理5.5，T上各顶总电荷为 ∑（6-K）Pk=12,其中Pk是k次顶的数目，，而K≥5.
7 C1 f. u) L' N' v                                                                         k
    把带一个单位正电荷的每个5次顶向其每个带负电荷的相邻顶输送1/5个电荷。
& K* l0 }- ~, t; }/ e& ]0 b  C    如果不存在5次顶与5次顶或者5次顶与6次顶相邻的想象，每个5次顶必有5个开始带负电荷的相邻顶，即5次顶与7次以上的顶相邻，最后5次顶上的电荷变成0.
7 g  [' P( N% Y% I$ X# ^; }    考虑K≥7的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的总电荷为
                  （6-K）+ K/5=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，     【我把这个算式记为（1）】
于是T上的总电荷量是负的，不是12，矛盾。证明{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。[证毕]
; E; X9 e5 R. K( q3 r8 ~
1 v" G$ A6 z6 x# u5 Y, Y: \    其中，我们发现， （1）式第一个等号前后数字5和6不一致，应该都是5吧？这样的话，（1）式应该是
6 y# h% I( L$ x2 T  w& K' R
4 m( m0 |, E8 h" b8 p$ ^                  
    我想 （1）式第一个等号前后数字5和6不一致，应该都是5吧？这样的话，（1）式应该是
      （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 （只有当K大于7时才有）（1）< 0，这又表明开头“考虑K等于7”有问题，只能大于7了。

4 Y: W9 a* W' k4 |0 m      如果确定是k/6,那么（1）式为
" P% U  r9 t/ a0 D7 R' Y* k' }" }- T     
* L: k3 _) q0 w/ O# v. d) a9 x      （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，其中
    把k=7带入(36-5K)/6时，得
- r% H( Q! l9 a, {; e- N    （ 36-5x7）/6=1/6＞0,显然与（1）式的值小于0矛盾，所以说明开头所设应该为k＞7才对。但是这样一来，定理5.6中的构形就不是两个而是三个了。

    那么（1）式究竟是什么样呢？会不会是：
     （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 1  （1-1）
) x2 P7 U, H. N# q5 U6 f+ u' Y或者
    （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6 < 1， （1-2）
" g- B- q. U8 x$ f  i因为只有在这两种情形下，所设K≥7才有意义。
# ^/ m# \- e( f2 {7 o8 j( P2 V    如果千真万确 是这样的话，对于（1）式，我们可以仿照证明定理5.6的思路：
4 F; o$ V* \. j# h. y- C, \( I    考虑K≥6的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的总电荷为
        （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 2    或者      （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(30-4K)/6 ≤ 1，
% H  t' _4 Y& m. a) Q' d于是T上的总电荷量< 2 ，不是12，矛盾。证明定理5.6中只有第一种构形就够了。
   比较考虑“K≥6”与“K≥7”的证明，只是前者比后者多考虑了K=6的情形，由于6次顶是中性的，它既不需要发出电荷，也不需要吸收电荷，所以可以完全不考虑它的存在，即没有必要考虑5次顶与6次顶相邻的构形了。
。
$ Z& @6 a2 c& M6 A# z5 {    如果这个仿照证明成立的话，就说明我在《数学学习与研究》2011（21）发表的《与阿沛尔-哈肯商榷》文中的分析是正确的。（在我的搜狐博文《Wernicke第四不可避免构形的简化》中有所修改）。
: p. ]* I- |" p) H3 _  @; H  R    我的认识对不对，请王教授指导.
% o; T0 u6 X% U0 `) V                                                                     2014.04。09
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张彧典

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张彧典

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