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问题分析
' W0 H( A* k; n0 _+ G 男生追女生,对男生来说最重要的是学习、爱情两不误。因此我们引进男生的学业成绩函数Y(t)。 / a8 z& }( b) m4 ?7 ^' g& P2 h
0 ~3 T3 x0 {( w# a% @' a 首先,我们不考虑男生的追求攻势,则影响该函数的因素主要是两个人的关系程度。为了便于分析,我们将两人的关系简化为女生对该男生的疏远度,于是引入疏远度函数X(t)。 1 l& E6 T* C( S0 ~& c
- o! G9 w: Y" p
问题就转化为求解Y(t)和X(t)的相互作用关系。利用微分,很容易就可以求出两者的关系。但现实中男生可能会对该女生发起一轮轮的追求攻势,因此还要考虑到追求攻势对模型的影响。而追求攻势又与女生的疏远度有关,可以简化地将两者看成是正比关系。将追求攻势加入到模型中,就可以找出攻势与Y(t)和X(t)的关系了。
7 i9 t/ p; n3 u$ S4 w: S" X7 I* \5 [" Z# i9 T! ^# b$ a
模型假设 , f+ Z. d* D" e
3 A8 D4 x" e* F0 q* X 1、t时刻A君的学业成绩为Y(t);
' y- v1 m$ V0 G9 X2 D
$ [* l! O, H+ e( X# Z1 i' B9 V 2、t时刻B女对A君的疏远度为X(t);
! a7 ^" Q, S4 O/ h% \, E$ ^: q$ |& i" X6 P
3、当A君没开始追求B女时B女对A君的疏远度增长(平时发现的A君的不良行为)符合Malthus模型,即dX/dt=aX(t)其中a为正常数。
! W: p: c* f" T+ P) W2 n" a; J2 w7 {" ^
4、当Y(t)存在时,单位时间内减少X(t)的值与X(t)的值成正比,比例常数为b,从而 dX(t)/dt=aX(t)-bX(t)Y(t)。 - J% w J6 n$ k7 o
- s* f5 o. J5 k
5、A君发起对B女追求后,立即转化为B女对A君的好感,并设定转化系数为 α,而随着的A君发起对B女的追求,A君学业的自然下降率与学业成绩成正比,比例系数为e。于是有dY(t)/dt=αbX(t)Y(t)-eY(t)。
. i! z1 i, T; F! Z9 Q! M/ T! e$ Y' i5 i- ~
模型构成
2 a) {1 H! ~" l' u# g4 ] q- Z, [3 k& F6 c: w1 O
由假设4和假设5,就得到了学业与疏远度在无外界干扰的情况下互相作用的模型: & {9 \- Y1 K5 S. s" f% E w
& _" X7 `( O: ?: ~. m: d, u {dX(t)/dt=aX-bXY;dY(t)/dt=cXY-eY} 其中c=αb. (1)
% B) m! i; J% @& l% X$ a( ^/ w: f" B; N: d$ j( p* R
这是一个非线性自治系统,为了求两个数X与Y的变化规律,我们对它作定性分析。令{aX-bXY=0;cXY-eY=0} 解得系统(1)的两个平衡位置为:O(0,0),M (e/c,a/b)。从(1)的两方程中消去dt,分离变量可求得首次积分: 1 Q2 {9 C, ~5 j9 A7 w* P
! A2 V/ J. V7 |0 K, o F(X,Y)=cX-dln|X|-aln|Y|=k (2)
9 ~8 @3 s0 d7 C+ |4 r
: q6 @8 O* Q" D4 F8 J 容易求出函数F(X,Y)有唯一驻点为M(e/c,a/b)。再用极值的充分条件判断条件可以判断M是F的极小值点。同时易见,当X→∞(B女对A君恨之入骨)或Y→∞ (A君是一块只会学习的木头)时均有F→∞;而X→0(A君作了变形手术,B女对他毫无防备)或Y→0(A君不学无术,丝毫不学习)时也有F→∞。由此不难看出,在第一象限内部连续的函数z=F(X,Y)的图形是以M为最小值点,且在第一卦限向上无限延伸的曲面,因而它与z=k(k>0)的交线在相平面XOY的投影F(X,Y)=k (k>0)是环绕点M的闭曲线簇。这说明学业成绩和疏远度的指数成周期性变化。 9 }# m2 @: @: @2 s/ |
2 u" Q- u b. [( J! M
结果解释
, M# F: ]' F! H# T! Y: v1 \% h- W* a" p y" s4 |. y
从生态意义上看这是容易理解的,当A君的学习成绩Y(t)下降时,B女会疏远 A君,疏远度X(t)上升;于是A君就又开始奋发图强,学习成绩Y(t)又上升了。于是B女就又和A君开始了来往,疏远度X(t)又下降了。与B女交往多了,当然分散了学习时间,A君的学习成绩Y(t)下降了。
( e. ?# g" d( n2 z+ n. ?9 J5 `
' ^7 ^1 [; f; y( g7 f, K 然而我们可证明,尽管闭轨线不同,但在其周期内的X和Y的平均数量都分别是一常数,而且恰为平衡点M的两个坐标。事实上,由(1)的第二个方程可得: dY/Ydt=cX- e,两端在一个周期时间T内积分,得:
% g# b+ }% y2 v1 z0 X9 ~5 L3 ^+ u7 A9 `% n3 X( O6 f% K! M
∫(dy/Ydt)dt=c∮Xdt-dT (3) : d% m5 P% n+ }3 v3 ?( ]7 P
0 L( K, f: ?+ s8 x6 ~
注意到当t经过一个周期T时,点(X,Y)绕闭轨线运行一圈又回到初始点,从而:∫(dY/Ydt)dt=∮dY/Y=0。所以,由(3)式可得:(∫Xdt)/T=e/c。 - w( ^! M1 ?. T. w, E
- S! q2 S7 `* y2 h2 ?# }7 S; v
同理,由(1)的第一个方程可得:(∫Ydt)/T=a/b。 , \6 A& N5 ^! O# D
1 s# j5 r3 L% d6 Z3 O 模型优化
5 w( d, `( w# n8 s* ]* B) d" c- }* S! s$ e6 F
考虑到追求攻势对上述模型的影响。设追求攻势与该时刻的疏远度成正比,比例系数为h,h反映了追求攻势的作用力。在这种情况下,上述学业与疏远度的模型应变为:
, B! T! ~4 q1 ~% b, R# \" a: {' }: g8 {; I/ P: B
{dX/dT=aX-bXY-hX=(a-h)X-bXY;dY/dt=cXY-eY-hY=cXY-(e+h)Y} (4)
) D5 o# y' }. P! c w" G& M& l1 E
7 e6 A5 v: W* k. L. u5 M* [# h 将(4)式与(1)式比较,可见两者形式完全相同,前者仅是把(1)中X与Y的系数分别换成了a-h与e+h。因此,对(4)式有 , x, G5 r9 e2 Q; B
" K' d' o; R! w2 R7 V/ S' ` x’=(∫Xdt)/T=(e+h)/c,y’=(∫Ydt)/t=(a-h)/b (5)
' d3 R) c3 W! p8 F. i' c6 {* D6 _( a B* J2 u- ^
利用(5)式我们可见:攻势作用力h的增大使X’增加,Y’减少。 # d; d6 r# e- J5 h9 l; X
* G4 q1 l: Y# d* P+ G$ {7 K, ^
我们的建议
; `/ V6 e$ u' I1 P1 q! p2 s1 [- r
i! [7 [) ]" d4 q4 p- M 考试期间,由于功课繁忙,使得追求攻势减少,即h减小,与平时相比,将有利于学业成绩Y的增长。这就是Volterra原理。 此原理对男生有着重要的指导意义:强大的爱情攻势有时不一定能达到满意的效果,反而不利与学业的成长;有时通过慢慢接触,慢慢了解,再加上适当的追求行动,女生的疏远度就会慢慢降低。学习成绩也不会降低!
* s( U& h% v2 q【转自:http://www.enetedu.com/bbs/html/2008-10-26/200810269005325881.htm】* R% H9 i, U$ P% ~8 L/ d$ h! M
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zan
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