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[建模教程] 模拟退火算法

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    [LV.5]常住居民I

    群组国赛讨论

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    1#
    发表于 2014-8-21 23:45 |只看该作者 |倒序浏览
    |招呼Ta 关注Ta
    [p=272, null, left]模拟退火算法

    1 e8 F6 V7 C8 d( N+ y
    . v' q( P$ Q$ u$ W

    ' x. ^- x% c& `  h9 `[p=197, null, left]模拟退火算法来源于固体退火原理,

    [p=197, null, left]将固体加温至充

    [p=197, null, left]分高,再让其徐徐冷却,加温时,固体内部粒子随温升变

    [p=197, null, left]为无序状,内能增大,而徐徐冷却时粒子渐趋有序,在每

    [p=197, null, left]个温度都达到平衡态,最后在常温时达到基态,内能减为

    [p=197, null, left]最小。根据

    [p=197, null, left][size=197px]Metropolis

    [p=197, null, left]准则,粒子在温度

    [p=197, null, left][size=197px]T

    [p=197, null, left]时趋于平衡

    [p=197, null, left]的概率为

    [p=197, null, left][size=197px]e-

    [p=197, null, left][size=197px]Δ

    [p=197, null, left][size=197px]E/(kT)

    [p=197, null, left],其中

    [p=197, null, left][size=197px]E

    [p=197, null, left]为温度

    [p=197, null, left][size=197px]T

    [p=197, null, left]时的内能,

    [p=197, null, left][size=197px]Δ

    [p=197, null, left][size=197px]E

    [p=197, null, left]

    [p=197, null, left]其改变量,

    [p=197, null, left][size=197px]k

    [p=197, null, left]

    [p=197, null, left][size=197px]Boltzmann

    [p=197, null, left]常数。用固体退火模拟组合优

    [p=197, null, left]化问题,将内能

    [p=197, null, left][size=197px]E

    [p=197, null, left]模拟为目标函数值

    [p=197, null, left][size=197px]f

    [p=197, null, left],温度

    [p=197, null, left][size=197px]T

    [p=197, null, left]演化成控

    [p=197, null, left]制参数

    [p=197, null, left][size=197px]t

    [p=197, null, left],即得到解组合优化问题的模拟退火算法:由初

    [p=197, null, left]始解

    [p=197, null, left][size=197px]i

    [p=197, null, left]和控制参数初值

    [p=197, null, left][size=197px]t

    [p=197, null, left]开始,

    [p=197, null, left]对当前解重复

    [p=197, null, left][size=197px]“

    [p=197, null, left]产生新解

    [p=197, null, left][size=197px]→

    [p=197, null, left]计算目标函数差

    [p=197, null, left][size=197px]→

    [p=197, null, left]接受或舍弃

    [p=197, null, left][size=197px]”

    [p=197, null, left]的迭代,并逐步衰减

    [p=197, null, left][size=197px]t

    [p=197, null, left]值,

    [p=197, null, left]算法终止时的当前解即为所得近似最优解,

    [p=197, null, left]这是基于蒙特

    [p=197, null, left]卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。

    [p=197, null, left]退火过程由

    [p=197, null, left]冷却进度表

    [p=197, null, left][size=197px](Cooling Schedule)

    [p=197, null, left]控制,包括控制参数的初

    [p=197, null, left]

    [p=197, null, left][size=197px]t

    [p=197, null, left]及其衰减因子

    [p=197, null, left][size=197px]Δ

    [p=197, null, left][size=197px]t

    [p=197, null, left]、每个

    [p=197, null, left][size=197px]t

    [p=197, null, left]值时的迭代次数

    [p=197, null, left][size=197px]L

    [p=197, null, left]和停止条

    [p=197, null, left]

    [p=197, null, left][size=197px]S

    [p=197, null, left]

    9 p" {4 G0 s- _0 Q

    " e) c2 T1 O- D1 T. O* ]' d$ t" O& ^& X) d* h% u2 j4 R
    [p=197, null, left]模拟退火算法可以分解为解空间、

    [p=197, null, left]目标函数和初始解

    [p=197, null, left]三部分。


    , i  h5 K% b4 H- x1 A: [! ]' e" e/ u4 C

    8 V& C5 R+ t0 j* u! Y2 \[p=197, null, left]模拟退火的基本思想

    [p=197, null, left][size=197px]:


    $ _( v8 Z$ s: j# D( B# t; K; S2 T' Q1 _* i
    [p=197, null, left][size=197px](1)

    [p=197, null, left]初始化:初始温度

    [p=197, null, left][size=197px]T(

    [p=197, null, left]充分大

    [p=197, null, left][size=197px])

    [p=197, null, left],初始解状态

    [p=197, null, left][size=197px]S(

    [p=197, null, left]

    [p=197, null, left]算法迭代的起点

    [p=197, null, left][size=197px])

    [p=197, null, left]

    / [0 I$ S: d# Q- ~; ~% N; x
    [p=197, null, left]每个

    [p=197, null, left][size=197px]T

    [p=197, null, left]值的迭代次数

    [p=197, null, left][size=197px]L

    9 h$ F& e" S' o; o( S0 k
    % D& t/ c8 o3 {5 p/ A7 a

    ! F. c' c: D* f% N& |6 M! h6 o4 X$ m+ c/ F0 a: l4 P

    1 g2 C+ A4 d5 R% D6 H6 k; A/ W# `% G. b$ z
    0 x" s: `3 M4 e) O

    * R# h& `; q! ?/ J5 Z2014全国一级建造师资格考试备考资料真题集锦建筑工程经济 建筑工程项目管理 建筑工程法规 专业工程管理与实务3 V7 J* Y( b* x5 j
    2 u6 }% w7 L/ I- e. s' C( S
    8 E9 k& U; I6 V' D

    ! n4 J: s& I) f6 q6 G1 D. v& a$ `; B- j+ {3 f5 x! G7 C% Q

    % `' Z; e; g/ l- B  Z5 W5 y. A. _7 t7 s) {
    - N5 s# ?6 e5 B' [4 |
    [p=197, null, left][size=197px](2)

    [p=197, null, left][size=197px]对

    [p=197, null, left][size=197px]k=1

    [p=197, null, left][size=197px],

    [p=197, null, left][size=197px]……

    [p=197, null, left][size=197px],

    [p=197, null, left][size=197px]L

    [p=197, null, left][size=197px]做第

    [p=197, null, left][size=197px](3)

    [p=197, null, left][size=197px]至第

    [p=197, null, left][size=197px]6

    [p=197, null, left][size=197px]步:

    6 l, f$ P# W) j- N

    ! S% ]# h7 r3 p- X3 e1 }# Z+ g* v, Z5 \, U
    [p=197, null, left][size=197px](3)

    [p=197, null, left][size=197px]产生新解

    [p=197, null, left][size=197px]S

    [p=197, null, left][size=197px]′


      @$ @% ?# C9 h5 `* K( Y
    4 U: j3 _, Y  R0 g0 D! f1 A! `' `( c* X8 |  _/ q
    [p=197, null, left][size=197px](4)

    [p=197, null, left][size=197px]计算增量

    [p=197, null, left][size=197px]Δ

    [p=197, null, left][size=197px]t

    [p=197, null, left][size=197px]′

    [p=197, null, left][size=197px]=C(S

    [p=197, null, left][size=197px]′

    [p=197, null, left][size=197px])-C(S)

    [p=197, null, left][size=197px],其中

    [p=197, null, left][size=197px]C(S)

    [p=197, null, left][size=197px]为评价函数


    8 |: A* x3 ]- T: f  q9 \1 h. b
    ) O9 y- `0 ]4 n. }6 @) a8 Q! A# W) C: q6 R5 ]
    [p=197, null, left][size=197px](5)

    [p=197, null, left][size=197px]若

    [p=197, null, left][size=197px]Δ

    [p=197, null, left][size=197px]t

    [p=197, null, left][size=197px]′

    [p=197, null, left][size=197px]<0

    [p=197, null, left][size=197px]则接受

    [p=197, null, left][size=197px]S

    [p=197, null, left][size=197px]′

    [p=197, null, left][size=197px]作为新的当前解,否则以概率

    [p=210, null, left][size=197px]exp(-

    [p=210, null, left][size=197px]Δ

    [p=210, null, left][size=197px]t

    [p=210, null, left][size=197px]′

    [p=210, null, left][size=197px]/T)

    [p=210, null, left][size=197px]接受

    [p=210, null, left][size=197px]S

    [p=210, null, left][size=197px]′

    [p=210, null, left][size=197px]作为新的当前解

    [p=210, null, left][size=197px].

    1 X" a6 a/ l! o8 ~

    9 m8 l1 d7 X# k% D* T: y[p=197, null, left][size=197px](6)

    [p=197, null, left][size=197px]如果满足终止条件则输出当前解作为最优解,结

    [p=197, null, left][size=197px]束程序。

      k* E/ n+ i  q: C3 M. s

    - y* C7 Z9 d" N6 F+ V
    7 w. y, w' L0 \% E1 [2 S[p=197, null, left][size=197px]终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时

    [p=197, null, left][size=197px]终止算法。


    , S9 H6 }7 n5 W, L) o- o
    3 F$ b" _1 D( r$ l. ^  s- |2 x  q, b2 j# `) ^& i
    [p=197, null, left][size=197px](7) T

    [p=197, null, left][size=197px]逐渐减少,且

    [p=197, null, left][size=197px]T->0

    [p=197, null, left][size=197px],然后转第

    [p=197, null, left][size=197px]2

    [p=197, null, left][size=197px]步。


    $ o$ j3 ^1 v. C; ^% K. T* U" \
    6 l- Z! |0 U; j1 c' \7 C
    1 o. O; v0 A, C. b( y/ x[p=197, null, left][size=197px]模拟退火算法新解的产生和接受可分为如下四个步

    [p=197, null, left][size=197px]骤:

    + R7 J. y7 f2 w2 n: {
    % \) b$ ]) n/ w; b! V4 t
    # @1 ?7 S- L) j! T# s* n9 I3 i5 e
    [p=197, null, left][size=197px]第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解

    [p=197, null, left][size=197px]空间的新解;为便于后续的计算和接受,减少算法耗时,

    [p=197, null, left][size=197px]通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方

    [p=197, null, left][size=197px]法,如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等,

    [p=197, null, left][size=197px]注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构,

    [p=197, null, left][size=197px]因而对冷却进度表的选取有一定的影响。


    - E- q, ?# {+ \( @* j2 E
    8 v3 a+ p" n* o$ w3 c
    ; z8 {' \! ]& }[p=197, null, left][size=197px]第二步是计算与新解所对应的目标函数差。

    [p=197, null, left][size=197px]因为目标

    [p=197, null, left][size=197px]函数差仅由变换部分产生,

    [p=197, null, left][size=197px]所以目标函数差的计算最好按

    [p=197, null, left][size=197px]增量计算。事实表明,对大多数应用而言,这是计算目标

    [p=197, null, left][size=197px]函数差的最快方法。


    % F# {. \9 m6 i3 T! C6 }) q, C& a. D4 g6 O8 n, v

    - J. ?5 q, R3 C$ i6 ~% G7 A1 B' _2 J# k- I/ z2 U" U$ L2 b% V

    " t& O2 G* u% g0 n2 x5 [) B
    & U+ L+ P* K* @' u$ @  s/ h
    % u  P/ e8 Y: U4 B; [& C
    % `; e$ u3 |' Q" |* K2 S* C
    + Q8 d9 z6 K/ Y/ W4 w/ V  m, u6 j- j. o" t
    ; h. v  W% d1 L1 \( d7 Q3 t% V7 F* d
    : e! G% x# c$ V3 u) |
    7 g, q1 N6 n1 g2 D. W3 q

    2 w: B1 c1 i; f6 I: u. m[p=197, null, left][size=197px]第三步是判断新解是否被接受

    [p=197, null, left][size=197px],

    [p=197, null, left][size=197px]判断的依据是一个接

    [p=197, null, left][size=197px]受准则,最常用的接受准则是

    [p=197, null, left][size=197px]Metropo1is

    [p=197, null, left][size=197px]准则

    [p=197, null, left][size=197px]:

    [p=197, null, left][size=197px]若

    [p=197, null, left][size=197px]Δ

    [p=197, null, left][size=197px]t

    [p=197, null, left][size=197px]′

    [p=197, null, left][size=197px]<0

    [p=197, null, left][size=197px]则接受

    [p=197, null, left][size=197px]S

    [p=197, null, left][size=197px]′

    [p=197, null, left][size=197px]作为新的当前解

    [p=197, null, left][size=197px]S

    [p=197, null, left][size=197px],

    [p=197, null, left][size=197px]否则以概率

    [p=197, null, left][size=197px]exp(-

    [p=197, null, left][size=197px]Δ

    [p=197, null, left][size=197px]t

    [p=197, null, left][size=197px]′

    [p=197, null, left][size=197px]/T)

    [p=197, null, left][size=197px]接受

    [p=210, null, left][size=197px]S

    [p=210, null, left][size=197px]′

    [p=210, null, left][size=197px]作为新的当前解

    [p=210, null, left][size=197px]S

    [p=210, null, left][size=197px]。


    6 Z" L+ e; e( w: h) {( N6 \5 X5 T$ R
    0 p! P$ O. w, }. C, V$ v- x/ `9 X. _' \0 u& ]# f$ E
    [p=197, null, left][size=197px]第四步是当新解被确定接受时,用新解代替当前解,

    [p=197, null, left][size=197px]这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实

    [p=197, null, left][size=197px]现,同时修正目标函数值即可。此时,当前解实现了一次

    [p=197, null, left][size=197px]迭代。可在此基础上开始下一轮试验。而当新解被判定为

    [p=197, null, left][size=197px]舍弃时,则在原当前解的基础上继续下一轮试验。

    : x$ v* L0 B) A# }% |
    $ X& p- m/ B0 M) k4 I2 s2 a. K

    # L4 c" y5 C" K* i0 P( H- _0 U" l[p=197, null, left][size=197px]模拟退火算法与初始值无关,

    [p=197, null, left][size=197px]算法求得的解与初始解

    [p=197, null, left][size=197px]状态

    [p=197, null, left][size=197px]S(

    [p=197, null, left][size=197px]是算法迭代的起点

    [p=197, null, left][size=197px])

    [p=197, null, left][size=197px]无关;模拟退火算法具有渐近

    [p=197, null, left][size=197px]收敛性,

    [p=197, null, left][size=197px]已在理论上被证明是一种以概率

    [p=197, null, left][size=197px]l

    [p=197, null, left][size=197px]收敛于全局最

    [p=197, null, left][size=197px]优解的全局优化算法;模拟退火算法具有并行性

    3 ]4 {. a( p3 Z  V

    & \; I; c! t8 [5 }2 d% f$ W. M* R. B& e) s
    5 Y% g. ~: I0 V1 U

    - I) \. S, d, P: ]7 i
    5 J+ \3 ^" P* F1 |4 h( m+ J; d0 N2 Z

    : `* |! }3 |7 I* Z
    6 T5 U" C+ |; B% g% W
    zan
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