[原创]全主元Gauss-Jordan消元法（Blitz++库）

lckboy

全主元Gauss-Jordan消元法 7 [ m" G( [# q7 Y

8 |8 v, G: L+ l% r8 ]: {$ d

( S9 y0 a J3 Z0 F1 p) N6 J2 n

% M S+ ^/ {3 z

& I5 }( F/ A3 {$ G0 k' A

; U& u: u. w5 {: d% T: k5 m

8 j( o5 N( `/ X" b$ H2 e' L' ~! R

Gauss-Jordan消元法是经典的线性方程组A·X=b求解方法，该方法的优点是稳定，而全主元[1]法可能更加稳定，同时，它也存在着弱点——求解速度可能较慢。 , L1 ?+ Z' g' {+ ?

, j/ j2 a3 [- \/ J2 N$ M

Gauss-Jordan消元法主要特点是通过交换任意的行列，把矩阵A约化为单位矩阵，约化完成后，方程组右端项向量b即为解向量。我们知道，选择绝对值最大的元素作为主元是很好的办法，所以，全主元法目的就是在一个大的范围里面寻找主元，以达到比较高的精度。 3 H( _; O0 p- o% ?" e4 A+ j6 L

" I' T! S3 Y+ X. w& _6 T% n4 S( f

0 O! ?; I3 z0 ^4 R

下面，我使用Blitz++的Array库，编写全主元Gauss-Jordan消元法。 0 A- U. C! m/ V9 O9 K: b z

; z4 E0 G) |+ q. |. {' w* W

5 _* W, x- H2 A2 v2 Q* \, i3 R1 H" f

9 Q3 o$ F% _! e# }' ^# t4 p

Code： 1 g+ u* Y$ k7 @& U + }9 p- L; {3 |/ z& d; S

) e7 N2 L/ \! g& s) s: s7 r: A' G

#include <blitz/array.h> # l6 q/ m/ P; @8 T& E! }" o9 o$ b 4 b( H# z. ]* Z/ N

* h0 I0 K% m) k" R/ J2 O( Q

#include <cstdlib> - J6 F! j) W( G/ j9 F, h; S% O ! S$ m1 D5 j$ t8 w1 y% R. v

6 o# i1 \$ y" g0 X" g9 S

#include <algorithm>

#include <vector> & j9 c Y( Y# U( v3 E ! C4 A; _2 ~/ ~8 U J7 C

5 B( m5 q- ^. P/ G+ H' \9 @; q

using namespace blitz; * | H3 ~: b: T# ~" ~2 O+ P5 G/ | + V7 E- s! r. }

: }) e3 s8 P: j! A; O3 J- u: S

void Gauss_Jordan (Array<double, 2>& A, Array<double, 2>& b) 5 J! ~0 F5 _% |6 I. ]2 q

{

1 m+ q: V2 r' B+ u

int n = A.rows(), m = b.cols(); ) B7 j0 F# I6 {* ]2 i9 d8 [ 1 T; R" ~6 |7 ^% d+ R) I5 y- B

- _6 W7 \3 H% m* K) c4 c! f' d' j

int irow, icol; 1 @) \, _3 Z' J9 z1 _7 |

" w$ y0 L S& L5 k N6 H3 @* A

9 Y1 y& R2 A7 q1 y: Z. C

vector<int> indexcol(n), indexrow(n), piv(n); 4 s9 E; H' I7 w# f) w1 ~ " `: T0 `1 g' X; o7 |3 b

* Z0 {( b5 Y7 h6 D# T! U+ ~3 J F0 K

6 L4 H9 g3 T& W

* l3 @ W- z' }% [/ I; V

for (int j=0; j<n; ++j)

; ` U0 u6 F7 r0 M

piv.at(j) = 0; ( H$ i: x0 s3 N0 O/ k$ `! m4 m" m 3 x9 q: {8 a9 q t9 N) N

/ w9 t: r! k0 q

3 M3 Z8 p: L5 D) @# e# Y$ B 3 `9 T7 W7 x4 f! |

: T( _: g D! ]. I

# s: ]: S( w, h! _7 M" a7 t

//寻找绝对值最大的元素作为主元 # H0 ~4 E6 ]2 W7 q ) R6 V: k6 S( ^2 S2 }9 \ # i8 |3 \- t# X; [! ^ p

0 P- m% d+ g8 ]5 j

for (int i=0; i<n; ++i) { ; ]5 S( r9 F, p3 Z1 F , |1 ?+ v7 M4 D' @0 i# J z

double big = 0.0; 7 d3 i: R2 k9 r- C5 D 2 Q# G2 m3 k6 d& V6 T

( O" G5 S. S- w8 X3 [: W$ k' d5 D# u

3 G( f3 a2 O; ?" i8 F g4 r

: W* o, F. e# p) E6 ~9 t

4 {4 Z7 P/ }1 B5 ^- @- e

for (int j=0; j<n; ++j) 0 O5 u+ W9 f/ E4 K5 w" M, V 2 g7 R; |' o% _6 G4 `+ K/ y

if (piv.at(j) != 1) - @8 f, \# j: U7 \( g

7 k+ @7 M# a' A1 N& x0 z( ]% w) @6 Z

for (int k=0; k<n; ++k) { " h: }( Q3 e% W2 U, a

: C, Y- G# Z' G4 y, l- o3 A

if (piv.at(k) == 0) { 1 e4 m2 f9 G* q

if (abs(A(j, k)) >= big) { % v. w- [. K } c1 H& D 5 k g( @7 _8 l: o- x% B

4 Z' b/ g( |/ Y8 R0 o6 Z" p1 j

big = abs(A(j, k)); . C1 I5 E0 J$ ?" [: P \ ; @ U F0 Z$ S4 m* q, m8 s. M

2 Z1 B/ U2 Z% A, i7 s

; O, n$ z4 M1 s7 B8 R0 @9 r

irow = j; 9 u/ `+ b* a! n; B, V/ e / e' m( j" U! Y! I2 N6 d; G

( P$ I, C1 N. L# b% o4 r

icol = k; ' r8 H x& O3 W $ l3 q, g9 n! K) }

if (irow == icol) break; % f! S* e6 X( X/ d$ G m4 j3 b

" u- D% F0 {& j& m7 a

} 7 M9 ?2 G* r9 A

; @$ u& u/ `" o5 V1 O

} ) C: Q1 [" v( o6 |! ~ * J2 d9 E( o" ^4 i

& y, M5 g' K6 ?# r" ^

) k6 ?3 I- e# [5 ~3 }

} & }. ]2 w) u- ^9 m$ y

( Z/ x% `% q+ I* Z! K9 g8 t: j

5 Z4 W; B( l6 @9 V k; t1 n

++piv.at(icol); 0 |# f% H6 ?3 r& o9 l3 l . b3 q, Y2 C4 q/ | / u+ D1 p+ M3 e% q$ c

% Q8 |0 X: P% ]1 ~! m % V2 j9 B6 o; w" r ) ^+ i1 ^! l0 N) f; h. p

//进行行交换，把主元放在对角线位置上，列进行假交换， 0 j2 e2 a4 f& [2 {

//使用向量indexrow和indexcol记录主元位置， $ T! x9 [- f5 S- a# _ 2 q( f4 ~+ P$ U

' H) U R% n) T+ \ {8 r2 O

//这样就可以得到最终次序是正确的解向量。 + C% e9 R8 }& D5 t& d) M ) K8 D7 x' M2 k8 {7 i 9 y5 D, r4 t8 f& M5 `

1 E9 P [7 c4 q( r: y! y* [. a. n ^

if (irow != icol) { 6 e! D7 {/ j& u5 t5 [3 b& @; T

9 G! ]# }4 j; F

for (int l=0; l<n; ++l) . Z* J t- T' P r: H( J; H% | 2 U1 m* H$ c2 }' C6 S- k/ _! N

5 d7 S* ]. F! @

3 ~+ r3 m3 B/ E& m: V

swap(A(irow, l), A(icol, l)); 3 Q1 i$ Y- o' J9 h+ v

+ H+ W5 P3 o' h. f h, b' H% E

6 p% h: B: Z; a

5 ^. ~, |8 ^, k e8 N: W

for (int l=0; l<m; ++l) # N: z8 P, z; C" p2 C( W $ M9 N" |2 Z6 ^7 j' R2 h: r, {# ` , c a$ j# ], ^7 K( u+ \$ e) T9 _4 W' t

, H9 U3 N+ O9 {4 c. x& J1 W1 t/ Y a

. t' O* H8 f v4 ` w

swap(b(irow, l), b(icol, l)); / N+ j: H6 x' l* _

% s7 T2 o7 S( ^& M6 q: ~+ X; V

} 1 T7 q+ U. ?; J- `$ {4 H8 v

]" ]$ ~8 T/ l+ n1 k) ~

indexrow.at(i) = irow;

$ O0 [0 q, c* d# u5 g) q

indexcol.at(i) = icol; " n! T: [1 `3 E4 @5 ^+ J

) p* \2 j+ e8 t% h

* Y- A2 h7 U p

$ K: r' a2 n+ s8 q/ ]5 `

* O2 Z4 w3 p2 y) H9 Q' ]1 I

try { 8 L$ _$ X3 m- O& u+ y/ { 6 M: V3 x! J# L; {$ t9 i+ Z: V

; X t* b$ v1 o" |

( Y' d; e5 W# k" u) z( h4 s

double pivinv = 1.0 / A(icol, icol); 1 m2 ?% K7 z5 S3 {" f- s ' b [4 w1 N; P9 l7 s/ s

: t2 {( M( F/ i) Z) V {4 U1 c

- k) c/ F( J& x5 K

for (int l=0; l<n; ++l) " g- `6 @: n. q8 Q! ^& x D6 { + n6 e2 ]4 F: ~7 ?* r- t3 c

( w3 @8 t2 q* E* O" ]4 o3 }

9 [& K; T. I0 Y" U9 F2 k

A(icol, l) *= pivinv; 4 E s3 b/ O# v+ ?

* i5 a& l/ w4 \% H' I4 l5 ~

for (int l=0; l<m; ++l)

/ B2 L! H( Z4 D$ c, Y: j( o" i: m

6 k7 O3 s2 T( x+ s9 N2 Q

b(icol, l) *= pivinv; 3 e( `) z1 k9 S8 d9 r6 ^ - r+ x, H% ^) k) e% b* }; \

, ], z, A; f# ]5 E9 V& u7 z

* [6 G$ i# Q) J. P

M4 m/ p T/ F+ W/ _, Q2 O

//进行行约化 . q- \ ^' [) N) e+ M , A1 T* G- `0 H$ B$ d; W 5 y9 L5 n3 z q

$ a& k( V2 R) f2 `6 L

for (int ll=0; ll<n; ++ll) ( S6 @2 N E3 K Y3 S& y! y$ w # T# m( f# _0 W5 Z: |9 E

3 v2 k: U: c& N/ V; x

if (ll != icol) { 5 Q% o7 R$ ~- w8 g2 P ' |8 K+ d8 V/ G; X; p

9 z I. _& n2 ~, P1 ?* Z) J2 F1 I

double dum = A(ll, icol);

5 o% c0 }8 X2 X9 w! S/ C

# S# T `% s4 a& X! J' b% F

" Z3 x. l3 |' @( ?) J% g

for (int l=0; l<n; ++l) 2 w) J) J: y3 U. W2 Y

A(ll, l) -= A(icol, l)*dum; 6 B+ c" ?1 z% w( p * I. s, {5 z( a) X* p: l _6 ~ 6 N% H6 X4 H* X( R5 M$ ?

3 |/ M1 q0 l2 O6 |7 l

for (int l=0; l<m; ++l) 3 E: ?" ?3 u0 |' I9 h5 v 0 _& J: W6 C9 M+ n# p8 N3 x' ? ; O8 i* N" b# q$ a- S& A$ j

+ j: I$ k. Z0 l( C y5 b8 r

b(ll, l) -= b(icol, l)*dum; 0 c( |- |1 _% ]6 W& p9 Z9 ^) d9 q

& Q8 ]* v4 g' A& w, x

} * x* \' M: L/ V5 t8 [2 y 5 m: G1 Y: Q, @3 p# q+ L

}

4 `* y% p# k: G% l, j( w, Y& s% G4 ~

1 t: |! `# }) b2 B

catch (...) { 5 |3 i: ] D! e, t8 b9 @* }

cerr << "Singular Matrix"; 9 X' j. }8 o3 r. w& a0 E+ t4 ^

8 Y- G, H2 K6 m" [5 M# F

}

& o3 g8 }6 X2 D7 X. t8 b

} 8 o1 O2 ^9 e) X3 s 3 {) r) |3 u6 N$ N 8 W' a+ O2 W+ v/ f# ^4 W! g

} 7 }( G* n. h Q; D( C 4 J3 V0 n) _: q6 U- e( ]; ^

* b0 Y( _) D5 x: a

( p! |# b# F2 ]

; z' _, N- ~7 [* x

' u7 C% O; h2 w% w

int main() $ h. Q7 a3 [$ ?) t& E 8 h4 q5 R2 H* A8 K1 M$ ~6 z 1 n1 ?% n# U& W' n; y) J }( w

{ ) E% J( F$ w4 H- o; ^ ' B5 M! G8 j4 W, b

* m8 W: f1 k' ` K2 A+ \# }! t

//测试矩阵 7 n& V3 l8 b7 @' Q) b( P- ?

Array<double, 2> A(3,3), b(3,1); 0 W; k$ U' @/ g$ y7 s2 v. I4 e& B 5 L. ]; n' v5 f7 t0 t2 c' ]

; ]: A! R# u% i) y' s& z0 n

A = 10,-19,-2,

: c! U$ C6 J. G4 w6 T' M4 v4 J

-20, 40, 1, . W* J: k% q! m& I + K) x6 n( r7 M$ H$ Q y: s5 \: v

: x# T2 x6 O F% q) Z$ M9 z

1, 4, 5; ; `8 H* b( } ?1 h$ _

; Y1 U2 _" H* |# F5 b! `) j

b = 3,

% k: \$ h8 k; O# V: a# v3 H9 y

4,

) i9 d0 U) r7 |" v2 E* D8 e

" K" v9 u. v/ e/ B$ l- B/ L

5; 4 i( M X; b2 W( x9 n2 w

6 o. E$ H) m& f5 |

6 J6 s. ~( m) z3 |' l

Gauss_Jordan(A, b); 0 W+ v$ s( J2 x6 [ & \% U* O/ }& e4 H ! J% H5 f; ?/ K

9 ` \3 a4 W. d, s2 d8 p

1 C: S4 E4 h% h1 m + m9 A/ a) L8 j$ `) m4 E* F

cout << "Solution = " << b <<endl; 0 Z: K* E: y# y" Y R7 {1 ^- W% ` 5 J0 ^+ r# B$ ?# P* h 4 B: W7 o: s3 m; g0 z/ S# G

1 j1 Y: S: l. R5 Y* R- S' t

} 5 V9 _* M( V& \" V0 F. n

: i9 P; m; \' ?/ V9 {

; F3 e$ L2 _/ _) s H; j1 M

Result： 5 c+ Q/ E Y) N7 z: W0 S0 p1 I

, z" V) J/ J8 Q- s* [

b8 G& |# ~$ N& \5 o

; J4 s* |0 u0 C: Y' O+ T

Solution = 3 x 1 # `0 ~% _! | K1 V: d! L

[ 4.41637 ) ] l2 u2 L; | ^/ ] , a1 Q' M. n: u& E3 x$ O! G1 B

- R. A5 u) k4 ?2 [$ a/ {+ M

2.35231

& v! @, a$ ?4 r: m. a+ y) ~! \1 ^

-1.76512 ] * c( x) Z$ p: }! b8 ^

! P6 E6 r6 D# h! j$ V

! G; K2 |( U: Z+ k

, X& j0 W0 m7 \! H6 n

从代码的过程可以看出，矩阵A的逆在A中逐步构造，最终矩阵A演变成单位矩阵，解向量X也逐步替代右端项向量，且使用同一存储空间。 % _9 C& Q1 n4 z4 h( m/ X" b" k

. K: R1 Z- R& e; o

% t$ c G; _2 G% F# @* q

: u8 e9 X3 D; s

+ k" O7 \4 |/ `0 L! j8 }

2 Q/ P- b/ z$ o6 @

注释：[1]主元，又叫主元素，指用作除数的元素

- O4 R2 A0 ~- h" T

" r3 k2 I/ n7 u* I* u

[此贴子已经被作者于2004-6-3 22:15:49编辑过]

ilikenba

消元法相当于在一个多面体的上，遍历各个边去寻找，所以很慢的！

lckboy

嗯，就是慢，不过精度还算可以，用了blitz++库，发挥C++到极点了，现在应该比Fortran编写的要快的

ilikenba

不会吧，Frotran和C++的速度一样，很难分出上下的！

lckboy

如果C++不用模板，Frotran是比C++快的，尤其在数值算法上，但Blitz++库就针对科学技术开发的，非常的快～～上千条方程的方程组很快就可以算好，当然还要使用编译器的优化

ilikenba

Intel出了Fortran 8了，据说性能又提高了20%！

loooog12

数值计算强烈支持Fortran

后青春期的诗

数值计算强烈支持Fortran

zqyzixin

我继续顶你！太好的帖子了 支持

MichaeLonger

路过。。。