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[转帖]斐波那契螺旋

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发表于 2005-1-20 09:40 |只看该作者 |倒序浏览

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斐波那契螺旋

斐波那契(Leonardo Fibonacci, 约1175-约1240)也许是在生活在丢番4 u% a o' ^$ {+ m. K 图(Diophantos)之后费尔马(Pierre de Fermat)之前这2000年间欧洲最杰出 ) |, d1 D4 m0 }; S的数论学家。我们对他的生平知道得很少。他出生在意大利那个后来 . J4 N- Q1 N) j* f因为伽里略做过落体实验而著名的斜塔所在的城市里，现在那里还有% o; q( C( y5 U, s' e, e% r 他的一座雕像。他年轻是跟随经商的父亲在北非和欧洲旅行，大概就 , g0 H9 ?2 D( U4 @, V0 i是由此而学习到了世界各地不同的算术体系。在他最重要的著作《算& z& E [8 u" P( R' c* }# r9 s6 K2 L 盘书》（Liber Abaci，写于1202年）中，引进了印度-阿拉伯数码（包, k5 a, I, _! U# R( F 括0）及其演算法则。数论方面他在丢番图方程和同余方程方面有重要 6 q+ i" \3 F* y8 V; I0 [/ Z贡献。' U2 m$ p9 H- k# q" G2 G9 Z

坐落在意大利比萨的斐波那契雕像: D! |: Q9 ~ L3 q" u6 h, P/ s7 z 0 z! G. ]% @' M7 H% f 　　数学中有一个以他的名字命名的著名数列：) I& X9 k+ X, l 　　　　　1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ……8 D9 F6 M% h' ?; P 从第三项开始每一项都是数列中前两项之和。这个数列是斐波那契在 8 S5 r ~9 H4 ^他的《算盘书》的“兔子问题”中提出的。在问题中他假设如果一对3 s. e! ?$ b; e2 `# n# W" |0 e# ]- u 兔子每月能生一对小兔（一雄一雌），而每对小兔在它出生后的第三. a& H6 L( N- M! Z 个月，又能开始生小兔，如果没有死亡，由一对刚出生的小兔开始， . L( V2 t9 r4 x& e; ^! q! \一年后一共会有多少对兔子？将问题一般化后答案就是，第n个月时的 & t) q# Z. c8 K- ?5 V兔子数就是斐波那契数列的第n项。斐波那契数列和黄金分割数有很密1 c' b1 X$ N4 N- U: @ 切的联系。# w) ]& B, i) a, S ' V9 H8 }5 d6 S' e: | 　　斐波那契并没有把这个问题和这个数列看得特别重要，在《算盘2 d' m8 t) g% [& \5 h 书》中兔子问题只不过是书里许多问题中并不特别的其中一个罢了。 6 Q; f8 J/ S8 p4 c' p( y4 Y p, p* R但是在此后的岁月中，这个数列似乎和题中的高产兔子一样，引发了: R3 X! f4 c, N0 ~' Q! J 为数众多的数学论文和介绍文章（本文似乎也在步此后尘）。不过在4 I- Q+ _3 Z* J+ s2 B6 s* w 这里我不想介绍浩如烟海的有关斐波那契数列的数学文章，只想欣赏4 }* [5 J7 ~+ R) ` 大自然的造化。$ A% s) Z5 v8 a/ l $ B& L6 I; {' u9 l& C 　　在现实的自然世界中，《算盘书》里那样的神奇兔子自然是找不 8 ~! B) A$ \+ Z$ y/ g' L% @到的，但是这并不妨碍大自然使用斐波那契数列。本期封面上是起绒1 U' r- f1 v0 O1 P b! ?' n; F$ { 草椭球状的花头，你可以看见那上面有许多螺旋。很容易想像，如果 y$ _/ ^# {; c1 I1 [- p$ x从上面俯视下去的话，这些螺旋从中心向外盘旋，有些是顺时针方向 U0 N7 ]$ I2 n) r 的，还有些是逆时针方向的。为了仔细观察这些螺旋，我们挑选另一3 E6 K! H, }2 J7 `4 J C 种具有类似特点的植物——蓟，它们的头部几乎呈球状。在下面这个 U' B% I/ N% k; ?图里，标出了两条不同方向的螺旋。我们可以数一下，顺时针旋转的" R. {; \5 Z8 Q1 O( h8 g8 x

具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部: S3 l& h% j" T) V （和左边那条旋转方向相同）螺旋一共有13条，而逆时针旋转的则有3 ~3 K+ S1 e1 c7 D 21条。而下面这幅图中的顺逆方向螺旋数目则恰好相反。: V! T$ ]3 z& Z& |1 p" L

具有13条逆时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部 3 Z4 K& Z: i3 a' k　　以这样的形式排列种子、花瓣或叶子的植物还有很多（最容易让7 b- u& F) t" o9 J: y 人想到的是向日葵），下面的图片是一些看起来明显的例子（可以点 ; t% T( t6 t) e1 q0 Z6 l: p击看大图），事实上许多常见的植物，我们食用的蔬菜如青菜，包心$ I/ s+ ?& T4 L5 Z. W/ X 菜，芹菜等的叶子排列也具有这个特性，只是不容易观察清楚。尽管 - z( w& t8 N7 U9 H3 B! w4 F i这些顺逆螺旋的数目并不固定，但它们也并不随机，它们是斐波那契 : e4 B+ M8 b4 n, _序列中的相邻数字。这样的螺旋被称为斐波那契螺旋。 Z/ V5 p" x3 t9 C7 z2 _

自然界中各种各样的斐波那契螺旋（点击看大图）8 ^0 Q. X0 _1 n / } w& G) ]' q( t$ [) b g1 i% b, w　　这些植物懂得斐波那契数列吗？应该并非如此，它们只是按照自) D% u4 o, P6 ^+ X3 A 然的规律才进化成这样。这似乎是植物排列种子的“优化方式”，它) L/ F" P* }6 q( L& u 能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤了 , |5 H8 S' Z& \2 _+ ?6 I/ ]5 I太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。叶子的生长方式也是如此，对+ e5 A- V# S4 g3 \" n 于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程3 f) n! V/ d: L 中一直都能最佳地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出) C: @% N9 h, v' l& ?" L. r2 H8 O 来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一片叶子之间的角度' H0 p5 t F. F$ z; | 应该是222.5度，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周360 5 h( g* C1 v/ f# ]度之比是黄金分割数1.618033989……的倒数，而这种生长方式就决定 ) [1 z2 F! x2 R- l P了斐波那契螺旋的产生。向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时 - w( N4 t6 ]5 d8 L能达到89，甚至144条。2 C3 a( A" Q+ ^5 a- u9 B' R0 \ 6 i" [" J4 T, J1 H 　　由于是自然规律而并非抽象的数学或哲学原理决定了植物各种器+ s- p$ P. \7 L$ m9 F! u1 u 官的排列图样；另外还有具体环境的影响，比如地形、气候或病害， [" J: D1 ?( @: O你并不总能找到完美的斐波那契螺旋。即使是生长得很健康的植物，/ ]4 P! x+ T+ N8 M. J 也难免有这样那样的缺陷。仔细观察上面的图片，你会发现螺旋的中8 f/ [: m% }5 Y+ u* O( ?4 ~ 心经常是一片混乱。所以最后还是让我们来欣赏一下由计算机绘制出 ! w! Q& z4 w& D. z- w4 \来的完美的斐波那契螺旋吧（点击看大图）。