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[转帖]斐波那契螺旋

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发表于 2005-1-20 09:40 |只看该作者 |倒序浏览

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斐波那契螺旋

斐波那契(Leonardo Fibonacci, 约1175-约1240)也许是在生活在丢番; j) Y7 |' Z, \( t9 K/ O 图(Diophantos)之后费尔马(Pierre de Fermat)之前这2000年间欧洲最杰出 0 G2 G) L' h( v. \5 s的数论学家。我们对他的生平知道得很少。他出生在意大利那个后来% R" C: x6 s- a! x; f" X# j r 因为伽里略做过落体实验而著名的斜塔所在的城市里，现在那里还有 4 x( D! I/ p& {他的一座雕像。他年轻是跟随经商的父亲在北非和欧洲旅行，大概就) R4 [$ I4 k7 V u+ r' S; F' N 是由此而学习到了世界各地不同的算术体系。在他最重要的著作《算! c* ^' _/ g( o 盘书》（Liber Abaci，写于1202年）中，引进了印度-阿拉伯数码（包 ' b3 e8 v* P# Z( A括0）及其演算法则。数论方面他在丢番图方程和同余方程方面有重要 : R. q$ U2 C- A* e+ I贡献。& N- ~& _7 L) M

坐落在意大利比萨的斐波那契雕像2 x! L$ G7 J+ l7 Z1 k2 Q 5 i3 M) j6 r0 h% Z 　　数学中有一个以他的名字命名的著名数列：& I9 [, O8 W$ F2 p! a 　　　　　1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ……5 ?7 j+ G' Z: O* B 从第三项开始每一项都是数列中前两项之和。这个数列是斐波那契在* e0 G" v5 G% S$ H; v 他的《算盘书》的“兔子问题”中提出的。在问题中他假设如果一对2 k9 Q/ B7 z1 U# A8 ^+ P$ H 兔子每月能生一对小兔（一雄一雌），而每对小兔在它出生后的第三; s# G- j' w" J- a g) C. e- Y 个月，又能开始生小兔，如果没有死亡，由一对刚出生的小兔开始，4 Y1 Z+ Z( b: {& } 一年后一共会有多少对兔子？将问题一般化后答案就是，第n个月时的1 d, F3 ^( O3 W# H5 B% U/ ]8 K% q 兔子数就是斐波那契数列的第n项。斐波那契数列和黄金分割数有很密/ @0 K' Q( C! B7 p8 j0 z4 ] 切的联系。% x+ y A9 e9 b& q+ c- Z ' u' a$ B8 _! A8 o　　斐波那契并没有把这个问题和这个数列看得特别重要，在《算盘 l( e- i3 ^4 R( y/ f* A8 L 书》中兔子问题只不过是书里许多问题中并不特别的其中一个罢了。# F. i2 Y2 R3 q0 _/ P' I: U 但是在此后的岁月中，这个数列似乎和题中的高产兔子一样，引发了* x1 L; Z' p- Y8 t0 j. R7 e 为数众多的数学论文和介绍文章（本文似乎也在步此后尘）。不过在. U# S8 J3 K* G& ^0 u* \0 x+ O 这里我不想介绍浩如烟海的有关斐波那契数列的数学文章，只想欣赏 n4 y' Y3 g2 w 大自然的造化。* z, H% {1 D. h& W 9 n# `3 `( W [8 ?5 ]　　在现实的自然世界中，《算盘书》里那样的神奇兔子自然是找不5 P% J6 `6 x' v' r3 w9 h6 O/ @% [. w: F 到的，但是这并不妨碍大自然使用斐波那契数列。本期封面上是起绒 M# Y# |3 A- V2 r, P8 B2 e 草椭球状的花头，你可以看见那上面有许多螺旋。很容易想像，如果 ! h! D/ |9 Y; @9 A* t5 Y. T从上面俯视下去的话，这些螺旋从中心向外盘旋，有些是顺时针方向 ) a# o# T/ P l, O7 e. k的，还有些是逆时针方向的。为了仔细观察这些螺旋，我们挑选另一 1 |( ?! A5 P2 H, j% F种具有类似特点的植物——蓟，它们的头部几乎呈球状。在下面这个/ ~4 b% f- l4 f% `( {) @& _# Z* d" { 图里，标出了两条不同方向的螺旋。我们可以数一下，顺时针旋转的* B; A& `$ O* S) @

具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部5 X, t% k6 [' q/ c" c6 ` M （和左边那条旋转方向相同）螺旋一共有13条，而逆时针旋转的则有 % R) @, {" f4 q: c4 Z21条。而下面这幅图中的顺逆方向螺旋数目则恰好相反。 8 I8 S8 G$ V& w1 i

具有13条逆时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部 : R0 G. S7 N: t2 ~) w　　以这样的形式排列种子、花瓣或叶子的植物还有很多（最容易让1 k8 E+ ?7 O3 V5 t4 k, s; a 人想到的是向日葵），下面的图片是一些看起来明显的例子（可以点 9 Z X D3 r, g; O/ h$ }击看大图），事实上许多常见的植物，我们食用的蔬菜如青菜，包心; @, n6 T3 Y% V& J 菜，芹菜等的叶子排列也具有这个特性，只是不容易观察清楚。尽管 ' z" q$ O# p2 Q" N. a这些顺逆螺旋的数目并不固定，但它们也并不随机，它们是斐波那契4 a0 G, N* z! Z$ E& x 序列中的相邻数字。这样的螺旋被称为斐波那契螺旋。 [* R; ?% Z( m7 j- \

自然界中各种各样的斐波那契螺旋（点击看大图） B1 B! C+ i0 r8 W+ t" c) k 　　这些植物懂得斐波那契数列吗？应该并非如此，它们只是按照自4 i0 g" \$ a k 然的规律才进化成这样。这似乎是植物排列种子的“优化方式”，它 & @# P0 h1 p' Q5 b- Q$ S+ F能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤了 / t- X. }, _' x& J太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。叶子的生长方式也是如此，对 1 U: `0 Y1 [* Y; F/ q- @7 @9 T1 c$ A于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程1 `8 i, J2 F+ U( Z! R 中一直都能最佳地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出 / O3 z B' K6 l) q3 ]9 {来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一片叶子之间的角度& }$ H8 b% Q6 p' u 应该是222.5度，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周3602 M+ E2 y6 O6 B6 D; g1 X4 K 度之比是黄金分割数1.618033989……的倒数，而这种生长方式就决定 % x% ~7 o9 f: `+ e) E+ Q1 J. r了斐波那契螺旋的产生。向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时2 R$ g: G. e9 f7 I9 L r 能达到89，甚至144条。 + `+ f y/ o8 I/ | 5 ^( F+ N+ Q6 Z* L# B7 {! n+ [* K　　由于是自然规律而并非抽象的数学或哲学原理决定了植物各种器 : ?% F7 y' g. e8 t# n' ?5 \2 [官的排列图样；另外还有具体环境的影响，比如地形、气候或病害， - R$ {% v, F1 F5 U% b& j( t( e& H你并不总能找到完美的斐波那契螺旋。即使是生长得很健康的植物，; ~/ r* f/ ]* g6 ^4 E 也难免有这样那样的缺陷。仔细观察上面的图片，你会发现螺旋的中 % v. c% a. b( {5 i心经常是一片混乱。所以最后还是让我们来欣赏一下由计算机绘制出 & y% N; h: |0 y8 {" M1 ?来的完美的斐波那契螺旋吧（点击看大图）。