二项式幂的展式论证的谬误(致武汉大学数学系的公开信)

数学1+1

: q6 D& s! g2 [# G

在武汉大学数学系编<<数学分析 ∙ 下册>>,1978年10月第一版,人民教育出版社.67页至69页. 对二项式幂的展式有如下论述:

4)   二项式幂的展式:           

(1+x)^m=1+mx+[m(m-1)/2!]x^2+⋯

+[m(m-1)(m-2)⋯(m-n+1)/n!] x^n+⋯,  -1<x<1   (13)

其中m可以是任何实数, 右边这个级数称作二项式级数.

如果m是正整数, 则上面式子中的级数就只到x^m的项为止, 后面的各项都等于零了. 这样,(13) 不是别的, 就是我们在中学学过的二项式定理. 以下我们将假定m不是正整数, 于是(13) 右面的确是有无穷项的幂级数.

为了证明这一展开式, 首先注意, 用3.1段中的定理 2, 很容易证明(13) 右边这级数的收敛半径R=1.于是它的和函数S(x) 定义于|x|<1:
$ e1 Z8 X* G4 K: @     S(x)=1+mx+[m(m-1)/2! ]x^2+⋯+

[m(m-1)(m-2)⋯(m-n+1)/n!]x^n+⋯   (13)’

问题是要证明S(x)=(1+x)^m .

     为了要证明这一点, 我们把(13)’ 式逐项求导数(x始终取定在|x|<1的范围内) 得
0 P2 o4 ^) A' y* C4 M& I     S'(x)=m+m(m-1)x+[m(m-1)(m-2)/2!]x^2+⋯

+[m(m-1(m-2))⋯(m-n)/n!] x^n+⋯
9 D% h; }+ q  L9 D$ b或
     S'(x)/m=1+(m-1)x+[(m-1)(m-2)/2!] x^2+⋯

+[(m-1)(m-2)⋯(m-n)/n! ]x^n+⋯            
. t+ f' y3 c. c- r" Y 把此式两边乘以x,得
        xS'(x)/m=x+(m-1)x^2+[(m-1)(m-2)/2!]x^3+⋯

+[(m-1)(m-2)⋯(m-n)/n!] x^(n+1)+⋯           
再把此两式相加,得
0 C. c9 e: h: U2 I8 u3 Q         (1+x)S'(x)/m=1+mx+[(m-1)(m-2)/2!+(m-1)]x^2

+[(m-1)(m-2)(m-3)/3!+(m-1)(m-2)/2!]x^3

+⋯ +[(m-1)(m-2)⋯(m-n)/n!

+(m-1)(m-2)⋯(m-n+1)/(n-1)!]x^n+⋯
                     =1+mx+[m(m-1)/2!] x^2+

[m(m-1)(m-2)/3!]x^3+⋯

+[m(m-1)(m-2)⋯(m-n+1)/n!] x^n+⋯
/ f! t  {2 X4 o; D! q; i  I而右边这个级数又回到了(13)’ 的右边, 所以得到S(x) 的一个一阶微分方程:
$ a1 _4 W+ G# k* p, Z% x          (1+x)S'(x)/m=S(x)或即S'(x)/S(x)=m/(1+x)   
两边求积分
                 ∫[S'(x)/S(x)]dx=∫[m/(1+x)]dx

[size=15.3333px]即

lnS(x)=mln(1+x)+C                     

但是,当x=0时, 由(13)’ 很明显S(0)=1,即lnS(0)=0, 因此在上式中令x=0代入后立刻可以知道C=0. 从而

lnS(x)=mln(1+x)= ln(1+x)^m
这就是说,
                 S(x)=(1+x)^m
& m8 ^! K. S5 R4 _0 X     上述论证看似严谨, 以后有作者持上述观点发表了专题论文. 仔细分析, 根据基本积分表有

              [size=15.3333px]∫[1/S(x)]dx =lnS(x)+C
由于C=0,  比较上述论证, 得
               [size=15.3333px]∫[S'(x)/S(x)]dx=[size=15.3333px]∫[1/S(x)]dx
即
8 w+ ?+ t- e  ?' P2 D  `                  S'(x)=1
这与
: g& s% b" M" n; n                 S'(x)=[m/(1+x)]S(x)
5 m8 J; c- ^% f' U; B不兼容.亦即原著论述只能得到恒等式
" ^& C. T2 Q) ^8 [7 A- f                 [size=15.3333px] (1+x)^m[size=15.3333px] =(1+x)^m
或原式
                   S(x)=1+mx+[m(m-1)/2! ]x^2+⋯+[m(m-1)(m-2)⋯(m-n+1)/n!]x^n+⋯
! v# Y2 |1 ]( s$ j+ j' {
这样原著关于二项式幂的展式论证没有意义.盼武汉大学数学系在再版数学分析时更正.
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% ~) \# A4 `0 A7 y               

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8 [9 A0 W. d. ~  Q

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景真

民科，鉴定完毕。

数学1+1

不知道先生是什么科？一个数学命题的真伪判断，其理论依据只与数学的公理系统相关，数学的公理系统的构建是人类智慧的结晶。

421018735

学术研究值得赞美
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显然,原著的结论正确,看来问题在
9 H& ]( T+ B: N1 e  y8 c
那么,这一步在论证过程中是否可以省略?
9 g. Z4 Y$ M6 j8 t# j1 C' p5 c8 ]