新手进阶建模（6）平衡原理和机理分析应用

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       简单的说，平衡原理就是原来的平衡的因为一边发生了变化使平衡破坏 然后反应朝着能够削弱这次变化的方向发展。现实中绝大多数问题都满足平衡原理，交通红绿灯的设置与路宽的关系，收费站的卡口数与车流量的关系等...
       建模中我们拿到的题目并不会直接说明其中哪些因素满足平衡关系，所以这需要我们首先要查阅资料找到该问题中隐含的平衡关系因素。然后建立微分方程求解。
通过几道例题来说明一下：
1.建模描述一个地区内人口的自然增殖的过程。即考虑由于人口的生育和死亡所引起的人群数量变化的过程。
7 |9 n; V+ N$ |% m. x6 I5 Y+ T' J第一：找平衡关系。题目只说了出生与死亡，给了我们一对平衡因素（人口的增长还与该地区的人口迁入迁出、资源分配有关，出
' Q! t. g: g9 D3 k/ e! i5 |         于简便，只考虑出生率与死亡率）。
第二：找平衡变量，与出生死亡有关的我们可以联想到出生率、死亡率。
第三：约束条件，建立方程         
, W+ J6 h4 ^3 b* y: ]$ r7 N' N         1. 人群个体同质。

         2. 群体规模大。

         3.  群体封闭，只考虑生育和死亡对人口的   影响。

         4. 从大群体的平均效应考虑生育和死亡对人口的影响。（生育率和死亡率）

         5. 群体增长恒定。

         6. 个体增长独立。
8 ~% X) K6 n$ ~$ p7 B1 \

        人口数在区间[t，t+△t ]内的改变量N等于这段时间内出生的个体数与死亡的个体数之差。 令B(t, △t, N), D(t, △t , N) 分别表示在时间区间[t，t+△t ]内生育数和死亡数,   则有：
' f( g! q7 I+ j" O' z3 I

  `+ p' W( m9 j) {& C

         则出生率：
: \$ o$ m+ e: D0 K

         死亡率：
/ V3 [0 _: h; l% S: L

         自然增长率 :
, q( z. b9 t$ |1 _$ E

$ f# i0 B1 p0 m/ k# T

         又因为初始条件：
. }! c, W0 Q. y1 k

( o- V0 Z' W4 `! n

         继续推演可得：

& _. y# x2 E7 v

给定初值 N(0)=N0，可得人口增长的指数模型(Maithus  模型)。但是实际情况下资源必定会限制人口的增长，即人口数量达到阈值时候会减速增长，模型变为 logistic 模型（s曲线）。
6 k; }, p1 Q/ v& w" F' z5 \        以上例题仅仅作为说明平衡原理的理解例题。实际应运中平衡关系从物理角度、经济学角度好找一些（只是本人感觉）。
# y6 n7 \% y; [6 p* L: P" F+ n        附本次例题来源的word文件供大家阅读，更深入理解平衡原理。

) L7 E8 z- [: H; r! U, y7 \

' h0 k1 z9 G  O7 _7 D7 f1 C

- ~; Q$ T) D: @; k3 Q

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怎么找不到4了？？？
( M& s6 S1 |" ?