【数学建模】线性规划

佛自业障

1.线性规划简介

线性规划（LP）是数学规划的一个分支。

2 e; p9 ?- V) b1 T8 ?
x1,x2为决策变量，约束条件记为s.t.（subject to）。

2.线性规划的matlab标准形式

线性规划的目标函数可以求最大值也可以求最小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号，因此在matlab中给出了统一形式

其中c和x均为n维列向量，A、Aeq为适当维数（列数与x维数相同，行数与约束条件数相同）,b、beq为适当维数的列向量（维数与约束条件数相同）。
& |- S0 c/ M: O; v8 }' @
例如：
0 ^% N+ M" y9 z7 A+ u- O) g5 e- omax  cTx  s.t.   Ax≥b max  cTx  s.t.   Ax≥b
matlab中为：
min  −cTx  s.t.   −Ax≤b min  −cTx  s.t.   −Ax≤b
! h( d  m1 o% p5 G; u: c6 ~% N- l3.线性规划中解的概念

可行解：满足约束条件的 解x = （x1,x2…xn），称为线性规划问题的可行解，从而使目标函数达到最大值或者最小值的可行解称为最优解。
可行域：所有可行解构成的集合称为问题的可行域，记为R。

4.一般的线性规划问题
4 s' e8 Z6 T. x6 l9 `
& l) a& l' U9 s4 K9 q5 Y& U在一般的n维空间中，满足 ∑ni=1aixi = b∑i=1naixi = b 的点集称为一个超平面，而满足 ∑ni=1aixi ≥ b∑i=1naixi ≥ b （或者∑ni=1aixi ≤ b∑i=1naixi ≤ b ）的点集称为一个半平面，若干个半平面的交集称为多胞形，有界的多胞形称为多面体。因此线性规划的可行域必定为多胞形（空集也视为多胞形）。若该区域R为凸集，则凸集中的任意两点的连线必然在该凸集中，若x为区域R的极点，则x不能位于R中的任意两点的连线上。
$ g- m  F& F0 Q: h
* @5 b5 u- H' ]1 H, A2 X5.matlab中线性规划求解过程

$ ~" l6 y1 z; X1 a① 利用linprog函数返回最小值解向量。
! W% j4 r: p/ g3 ?; C② value = c’ * x求最小值。

0 ]& L& N0 [% D0 k/ Z基本函数形式是 linprog(c,A,b) , c用于确定等值线（列向量），返回值为向量x。
3 L4 N  a$ S/ `( e1 d其他的函数形式：
[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,LB,UB,x0,OPTIONS)
+ G3 L  B& R  d. x( t8 o+ f" v1 j/ fx0为向量x的初始值，一般使用zeros()函数 初始化，LB和UB分别是向量x的下界向量和上界向量。返回值为fval（目标函数c’ * x的值）。
  {- A2 W) z$ i' F8 \7 d5 ]
! c" g+ |0 m! Y# T# k( y6.常见技巧

4 W$ `1 G  J# D0 Y, U0 [  a: g问题为：
* b. w' a2 f  ?  ]" m0 y
. |+ L& R5 ~' H! H0 i. _min|x1|+|x2|+…+|xn|  s.t.  Ax≤b min|x1|+|x2|+…+|xn|  s.t.  Ax≤b  
事实上，对于任意的xixi，存在ui,viui,vi满足：
: n; ?6 b, A& Z: _1 L8 Txi=ui−vi  ,  |xi|=ui+vixi=ui−vi  ,  |xi|=ui+vi
令 ui=(xi+|xi|2),vi=(|xi|−xi2)ui=(xi+|xi|2),vi=(|xi|−xi2)即可满足。

! D* [7 E  d# s: }- |转换为：
( Z, ^) f  R* H/ ?: |; Pmin  ∑ni=1(ui+vi)min  ∑i=1n(ui+vi)
s.t.{A(ui−vi)≤b,u,v≥0,s.t.{A(ui−vi)≤b,u,v≥0,
7.运输问题（产销平衡）
8 e  d( \/ }' p' D: p! f* T, n

. w8 @. w6 l; S& u+ l5 w% [

8.指派问题

1.数学模型
; p/ g: x1 }" _- H" {

2.利用匈牙利算法
算法主要思想：如果系数矩阵中C=(cijcij)一行（或一列）中每一个元素都加上或减去同一个数，得到新矩阵B，则以B或C为系数矩阵的指派问题具有相同的最优指派。
2 g* T4 v# F; A! W/ ~' U- ~7 e最优指派的结果是一个2行n列的行列式，第一行为第i人，第二行为被指派的地点。
求解中心：变换出n个不同行不同列的零元素。
) _2 |+ @) m/ E


$ O& J7 h2 W% T2 K1 `- t& D& [