【数学建模】线性规划

佛自业障

1.线性规划简介

线性规划（LP）是数学规划的一个分支。

3 T% h% ^  N- [  P. z- f# P* X; C
: I2 u3 ]$ q2 y& A. qx1,x2为决策变量，约束条件记为s.t.（subject to）。
2 Z; J" V8 |- P$ I6 O$ n( }+ u

2.线性规划的matlab标准形式

线性规划的目标函数可以求最大值也可以求最小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号，因此在matlab中给出了统一形式

其中c和x均为n维列向量，A、Aeq为适当维数（列数与x维数相同，行数与约束条件数相同）,b、beq为适当维数的列向量（维数与约束条件数相同）。

例如：
$ P6 o: h5 _( S6 amax  cTx  s.t.   Ax≥b max  cTx  s.t.   Ax≥b
6 P! r7 E0 p9 N# H! Lmatlab中为：
min  −cTx  s.t.   −Ax≤b min  −cTx  s.t.   −Ax≤b
2 v) ^& z2 Z7 j- \: m3.线性规划中解的概念
0 x1 Y% p2 g; v$ @, |. C; m
可行解：满足约束条件的 解x = （x1,x2…xn），称为线性规划问题的可行解，从而使目标函数达到最大值或者最小值的可行解称为最优解。
. K! n/ |6 r8 b; W+ O可行域：所有可行解构成的集合称为问题的可行域，记为R。
$ Z7 N7 A  P' w" m
( i" Y+ L" X  X! d; @  w4.一般的线性规划问题

在一般的n维空间中，满足 ∑ni=1aixi = b∑i=1naixi = b 的点集称为一个超平面，而满足 ∑ni=1aixi ≥ b∑i=1naixi ≥ b （或者∑ni=1aixi ≤ b∑i=1naixi ≤ b ）的点集称为一个半平面，若干个半平面的交集称为多胞形，有界的多胞形称为多面体。因此线性规划的可行域必定为多胞形（空集也视为多胞形）。若该区域R为凸集，则凸集中的任意两点的连线必然在该凸集中，若x为区域R的极点，则x不能位于R中的任意两点的连线上。
* q0 D$ n+ c: W
0 J7 O( s* O! ?2 H' @3 r5.matlab中线性规划求解过程

① 利用linprog函数返回最小值解向量。
/ z5 X# r* A; @! B② value = c’ * x求最小值。
* Q2 ]; \6 \. U/ @: [4 C4 U
. |5 b5 i7 {, Z; t基本函数形式是 linprog(c,A,b) , c用于确定等值线（列向量），返回值为向量x。
其他的函数形式：
[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,LB,UB,x0,OPTIONS)
x0为向量x的初始值，一般使用zeros()函数 初始化，LB和UB分别是向量x的下界向量和上界向量。返回值为fval（目标函数c’ * x的值）。
4 Q% d- z* q: _3 ^( {. f
5 F! k7 I; r. r" A6.常见技巧
& P& c3 i- D6 T7 `
: W6 [$ _5 h! C( w8 E. W& _2 e问题为：
; \: i8 q( e) V( @: n% H
min|x1|+|x2|+…+|xn|  s.t.  Ax≤b min|x1|+|x2|+…+|xn|  s.t.  Ax≤b  
事实上，对于任意的xixi，存在ui,viui,vi满足：
xi=ui−vi  ,  |xi|=ui+vixi=ui−vi  ,  |xi|=ui+vi
& b- G3 ]/ D: H' ~& W$ n2 ?. }0 |令 ui=(xi+|xi|2),vi=(|xi|−xi2)ui=(xi+|xi|2),vi=(|xi|−xi2)即可满足。

转换为：
min  ∑ni=1(ui+vi)min  ∑i=1n(ui+vi)
s.t.{A(ui−vi)≤b,u,v≥0,s.t.{A(ui−vi)≤b,u,v≥0,
7.运输问题（产销平衡）

8.指派问题

1.数学模型

$ X2 |, ~: Z2 C9 F
2.利用匈牙利算法
/ }% c- u  P2 u$ ~3 F  @' ~# g算法主要思想：如果系数矩阵中C=(cijcij)一行（或一列）中每一个元素都加上或减去同一个数，得到新矩阵B，则以B或C为系数矩阵的指派问题具有相同的最优指派。
4 @1 z8 I! Y  B, d最优指派的结果是一个2行n列的行列式，第一行为第i人，第二行为被指派的地点。
求解中心：变换出n个不同行不同列的零元素。

; ?" f9 k9 L; u
) A9 I  ]7 {9 [0 J' v5 |& B& u7 a5 p
- ^. d: N* b* J5 J" Z$ E