【数学建模】线性规划

佛自业障

1.线性规划简介

线性规划（LP）是数学规划的一个分支。

# \7 }2 N9 h+ ~! t& s
x1,x2为决策变量，约束条件记为s.t.（subject to）。
6 w# X4 ]6 p/ j7 P

2.线性规划的matlab标准形式

线性规划的目标函数可以求最大值也可以求最小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号，因此在matlab中给出了统一形式

$ B3 N8 d; Q4 \: ~* `/ Q0 b6 z
其中c和x均为n维列向量，A、Aeq为适当维数（列数与x维数相同，行数与约束条件数相同）,b、beq为适当维数的列向量（维数与约束条件数相同）。
: p% Q4 \; q9 R) F6 T/ Y, n4 ?
例如：
- @6 [9 N4 f9 h4 v  Zmax  cTx  s.t.   Ax≥b max  cTx  s.t.   Ax≥b
matlab中为：
. U2 w% B1 U9 _. v0 umin  −cTx  s.t.   −Ax≤b min  −cTx  s.t.   −Ax≤b
3.线性规划中解的概念

可行解：满足约束条件的 解x = （x1,x2…xn），称为线性规划问题的可行解，从而使目标函数达到最大值或者最小值的可行解称为最优解。
: |: k. U, m% E- _可行域：所有可行解构成的集合称为问题的可行域，记为R。

4.一般的线性规划问题
9 v% O& ]( ?7 d. K: |' [4 W9 s  ^
在一般的n维空间中，满足 ∑ni=1aixi = b∑i=1naixi = b 的点集称为一个超平面，而满足 ∑ni=1aixi ≥ b∑i=1naixi ≥ b （或者∑ni=1aixi ≤ b∑i=1naixi ≤ b ）的点集称为一个半平面，若干个半平面的交集称为多胞形，有界的多胞形称为多面体。因此线性规划的可行域必定为多胞形（空集也视为多胞形）。若该区域R为凸集，则凸集中的任意两点的连线必然在该凸集中，若x为区域R的极点，则x不能位于R中的任意两点的连线上。

5.matlab中线性规划求解过程
# P+ \4 ^- n# t  [- ?1 }
) s% V  ~  U' V( N% r4 I' e/ D; c① 利用linprog函数返回最小值解向量。
5 o1 y1 T/ e: ?( `& o1 S② value = c’ * x求最小值。
* H, A5 ^* P2 p. }
基本函数形式是 linprog(c,A,b) , c用于确定等值线（列向量），返回值为向量x。
其他的函数形式：
[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,LB,UB,x0,OPTIONS)
x0为向量x的初始值，一般使用zeros()函数 初始化，LB和UB分别是向量x的下界向量和上界向量。返回值为fval（目标函数c’ * x的值）。
2 f2 }' T2 H  p/ v6 Y
* O' k2 v: {, \/ w1 ?! [6.常见技巧
; S: p/ I8 d; Y0 P$ [
问题为：

min|x1|+|x2|+…+|xn|  s.t.  Ax≤b min|x1|+|x2|+…+|xn|  s.t.  Ax≤b  
事实上，对于任意的xixi，存在ui,viui,vi满足：
xi=ui−vi  ,  |xi|=ui+vixi=ui−vi  ,  |xi|=ui+vi
- u: X: G' e8 V! R: f令 ui=(xi+|xi|2),vi=(|xi|−xi2)ui=(xi+|xi|2),vi=(|xi|−xi2)即可满足。
( f7 Z% D$ m" \# Z1 A' k1 }
+ _& S# N4 R% \( `! w$ |6 J* a转换为：
min  ∑ni=1(ui+vi)min  ∑i=1n(ui+vi)
s.t.{A(ui−vi)≤b,u,v≥0,s.t.{A(ui−vi)≤b,u,v≥0,
' X3 Z( p- P& l. r7.运输问题（产销平衡）
6 ~- t% @' i+ ?. P: A5 U
3 a3 t0 |2 g8 \- |

8.指派问题

1.数学模型

+ D( P8 w, Y, `& I
1 |6 R, {4 M* E# B- V+ Z9 Q' L( h9 v; ]2.利用匈牙利算法
4 {% f9 N' @$ f! {( t# o6 m算法主要思想：如果系数矩阵中C=(cijcij)一行（或一列）中每一个元素都加上或减去同一个数，得到新矩阵B，则以B或C为系数矩阵的指派问题具有相同的最优指派。
最优指派的结果是一个2行n列的行列式，第一行为第i人，第二行为被指派的地点。
求解中心：变换出n个不同行不同列的零元素。
2 z2 g2 x2 Y, ^( W
8 P# p) l! X4 s  _+ z$ X

9 O" m6 [" h3 T, K/ O% |