数学建模--图与网络（2）

杨利霞

最大流：

注意Matlab 中的最大流问题是必须是单源和单汇问题，因此这里需要构建虚拟的源点S和汇点G。
clc,clear
a = zeros(9,9);
4 \. U2 I2 v; v( ]a(1,[2:4]) = [20,20,100];
8 o8 d4 Y* X& m5 Ka(2,[5 6 8]) = [30,10,40];
a(3,[7 8]) = [10,50];
a(4,[5:8]) = [20,10,40,5];
a([5:8],9) = [20,20,60,20];
7 X$ c+ v  T" d4 e! N% b% da = sparse(a);
3 B/ q8 d3 }0 A! H3 q5 v[b,c] = graphmaxflow(a,1,9)

最大流拓展：最小费用最大流

仅仅是在求得最大流之后进行对最小费用的求解：

clc,cleara = zeros(5);a(1,[2 3]) = [10 8;a(2,[4,5]) = [2 7;a(3,[2 4]) = [5 10;a(4,5) = 4;a = sparse(a);[b c] = graphmaxflow(a,1,5)
' J. s& u( W, x' V- V/ o5 z% ^8 @

最大流量为11

自定义Matlab代码：

最小费用求解
3 R" @. \6 J0 W: p5 k
Lingo:

9 B! u2 a+ N* @, N9 `1 {: y8 i( @model:
  I8 i$ t4 a% V* r0 X7 A% Fsets:
. Z/ L0 ~( g! P& J' |' |nodes/s,1,2,3,t/:d;
0 k) J  s$ e( z7 z9 [7 }' Larcs(nodes,nodes)/s 1,s 2,1 3,1 t,2 1,2 3,3 t/:b,c,f;
3 n1 M4 ]/ G" C& N' N/ rendsets
data:
b = 4 1 6 1 2 3 2;
c = 10 8 2 7 5 10 4;
d = 11 0 0 0 -11;
enddata
! V2 Y: u4 M2 M# ^; c1 x0 k7 zn = @size(nodes);
min = @sum(arcs:b*f);
@for(nodes(i)sum(arcs(i,j):f(i,j))-@sum(arcs(j,i):f(j,i)) = d(i));
+ v7 W/ c% {6 x9 n2 u* |@for(arcsbnd(0,f,c));
end
/ t! X, C. K) t8 h! A1
2
2 L% a9 L. |5 [8 e( g9 S( K3
4
7 ?- P4 S8 q7 T' O5
6 v& M! R' W4 ?( r6
  G. p: ?' g% h+ c% D0 x4 g4 [1 o9 A7
8
: c: B8 E( H5 f9
' N* p3 Y8 I6 E$ G" R/ p10
11
12
13
! i  N8 m7 `+ }9 H5 U; _4 G14
15
& f+ a7 }: X. ]' VMatlab实现：
. H# I" O9 E9 ~8 Y+ ]
# p; I) D8 S, K5 X9 _# t) Y$ v
n = 5;
$ O9 m0 u% k1 }- \- d, q7 f* U7 }%弧容量
& t  C2 v7 j6 f1 Ua = zeros(5);
6 P  ^  X+ }0 u# `8 oa(1,[2 3]) = [10 8];
. G; y8 [" J) i0 Z5 F) H/ }$ m7 i) ^a(2,[4,5]) = [2 7];
* V! N; k" X/ F8 T+ ~% da(3,[2 4]) = [5 10];
: B' `0 X# _, N- M  M/ A+ t8 ?- u9 D( Ya(4,5) = 4;
C = a;
1 t" R% Z" K9 t% v%C = [0 15 16 0 0;0 0 0 13 14;0 11 0 17 0;0 0 0 0 8;0 0 0 0 0];
%弧上单元的费用
a(1,[2 3]) = [4 1];
  ]: a% X& X- N+ O/ S% ]7 ^a(2,[4,5]) = [6 1];
) y' H6 A& W' L" [6 F, u$ I5 m" \2 Ka(3,[2 4]) = [2 3];
" R/ H1 d1 `% Z% }% J# Ba(4,5) = 2;
b = a;
, o& p0 G2 `; i& n; \: @) t%b = [0 4 1 0 0;0 0 0 6 1;0 2 0 3 0;0 0 0 0 2;0 0 0 0 0];
4 N3 M, ]! n2 w4 l, y# `' G%wf表示最大流量。wf0表示预定的流量值
wf = 0;
. I& p. [- t0 {6 uwf0 = Inf;
& H( I" ]. H% ?! G6 N%取初始可行流f为零流
for i = 1:n
    for j = 1:n
' m* C* F9 F0 D7 V4 [        f(i,j) = 0;
5 k5 {* I  Z3 {: `    end
end
while (1)
% P2 R8 T0 K4 m4 c1 i    %构造有向赋权图
    for i = 1:n
        for j = 1:n
            if j~=i
( o! s3 B$ `) k7 e                a(i,j) = Inf;
. n2 @6 x7 h8 ^, f% ~; z% d            end
2 l0 q2 k  |" `' c! Z. d        end
  |+ P) Z% `  u  X* C7 m% ^% G3 P( g    end
    for i = 1:n
0 L7 \" S$ L5 T% w) q6 G7 E, p        for j = 1:n
: D4 t. {& p  D            if C(i,j) > 0 && f(i,j) == 0
                a(i,j) = b(i,j);
            elseif C(i,j) > 0 && f(i,j) == C(i,j)
" Y2 {1 M0 `. V+ h! o' w                a(j,i) = -b(i,j);
. U) m4 K- H* ^' X; x* a  d8 r& d  O            elseif C(i,j) > 0
2 P3 {, N; O/ _  U! U3 B1 A# _' ?                a(i,j) = b(i,j);
! s- a6 |8 w8 z+ t$ O1 K% M1 w                a(j,i) = -b(i,j);
5 x- K8 O4 W" x3 c0 n) H            end
        end
+ I# w7 l* s: z  i- w+ U( c+ Z    end
    %使用ford算法求最短路，赋初值
( D( `6 _5 Q+ z( y5 ^# P. X; b    for i = 2:n
. d. f5 \* q+ U+ h3 g" B        p(i) = Inf;
        s(i) = i;
6 F( _4 F# |4 i! \- Q    end
/ D$ P+ q9 _8 k8 N* q    %求有向赋权图vs到vt的最短路,赋初值
+ R+ b! d5 ^# O, X/ ?7 l    for k = 1:n
        pd = 1;
        for i = 2:n
            for j = 1:n
                if p(i) > p(j) + a(j,i)
" R/ M, K3 ^/ v                    p(i) = p(j) + a(j,i);
" p4 ~0 ~5 d) x/ S/ P                    s(i) = j;
" b0 r/ ~5 u8 e8 P/ I                    pd = 0;
                end
1 c- A% F- q. G8 c+ V            end
        end
! S' _$ p- D$ s; q# l5 Z        %求最短路的Ford算法结束
        if pd
            break;
, C! P+ h- A4 c        end
    end
    %不存在vs到vt的最短路，算法终止，注意在求最小费用最大流时构造有向赋权图中不会含有负权回路，不会出现k = n
% _7 M! K/ R6 L2 z    if p(n) == Inf
        break;
. o! d2 y7 D2 l    end
' L( A* q) A3 X" `9 v3 M    %进入调整过程,dvt表示调整量
    dvt = Inf;
  v& e) a# K* }8 P1 u    dvtt = Inf;
5 X# [6 a& D  B    t = n;
7 [/ u" M) K: c0 v+ a' t9 g1 h    while(1)
        if a(s(t),t) > 0
( C" ~: l4 A8 M% P8 ]            %前向弧调整量
+ D  q8 ?! ^3 {) I            dvtt = C(s(t),t)-f(s(t),t);
/ J* z* L7 p/ B            %后向弧调整量
! G5 m- J+ d* ?3 Y        elseif a(s(t),t) < 0
! N- \( ]5 i( _# I            dvtt = f(t,s(t));
) n( K+ }' |( ]% o  I9 X$ o3 R        end
$ ?' e% L# i7 E9 Q& a! ~        if dvt > dvtt
! |: O0 i& ?( r/ U; ]6 G) s            dvt = dvtt;
        end
        %当t的标号为vs时，终止计算调整量
/ P* M% x4 ^2 U* q# ~, d* |        if s(t) == 1
8 ~4 W5 c1 M3 w# n7 i            break;
        end
        %继续调整前一段弧上的流f
        t = s(t);
- X  _4 b6 j" p* q* v* b, Y    end
    pd = 0;
    %如果最大流量大于或等于预定的流量值
    if wf + dvt >= wf0
        dvt = wf0 - wf;
        pd = 1;
    end
3 b1 W0 {: u& p" m    t = n;
. E& X! O) Z  f    %调整过程
    while(1)
6 B" s+ V1 @1 Z* h    if a(s(t),t) > 0
. d: }5 {! K& @        %前向弧调整
        f(s(t),t) = f(s(t),t) + dvt;   
, l( X# Z8 }" R. U- L2 Z; V  G5 l    elseif a(s(t),t) < 0
        %后向弧调整
        f(t,s(t)) = f(t,s(t)) - dvt;
    end
    %当t的标号为vs时，终止调整过程
7 J6 q4 E% u/ E+ p! X1 c    if s(t) == 1
% e8 A  E+ R* C5 l/ d* I        break;
    end
* g* A6 x4 S6 g% b& y    t = s(t);
    end
6 s% z! b) r3 l    %如果最大流量达到预定的流量值
    if pd
5 H6 {  @5 t* Z: [7 J% K0 M        break;
    end
8 z% j" U0 v% t( o/ i    %计算最大流量
' i6 J; [" H9 V: Y    wf = 0;
, L5 w! ^. m) N6 K    for j = 1:n
        wf = wf + f(1,j);
    end
. k, Y/ u) r; c7 J+ W. T9 x3 N$ Qend
! F2 `+ {0 Q& K+ w/ k) ?%计算最小费用
/ _  {  Z& c  A5 E5 Wzwf = 0;
, m3 ^: x! r0 O* T! vfor i = 1:n
    for j = 1:n
- j; F  G' u3 z: c: M        zwf = zwf + b(i,j)*f(i,j);
: n, s' i& i% e: b# I3 |; T    end
: }3 d9 T' Y* y: F" ~end
1 t" d1 _! T2 o+ w%最小费用最大流
f
%最小费用最大流量
9 a3 o1 ~8 k; R- `4 y( p! qwf
%显示最小费用
  d4 J! e8 y  d! k5 ]: f' P3 ?zwf
( B3 J; F1 A) @. y1
2
7 S7 w4 _' i3 T3 @$ Z2 i/ p8 F" H" a3
* {. y, D4 x( _3 E# a4
" N/ k2 h7 n# K. k5
- M( R2 Q- b/ X9 _: u4 ?6
7
$ t. m9 b+ K  g8 T4 q! ]8
9
' Z/ c$ D3 A0 J8 N* m10
2 e7 J, T" L1 ?# g+ G- \1 X11
& ~: L, ^) w+ g5 {. S" V+ x12
13
14
7 t4 G6 A, v  L2 q8 S$ N15
16
8 v0 \! {' L$ h5 O7 G  Q/ Z' `17
18
7 o8 }8 K. Q  u9 p" ?* C+ Z19
20
21
# U- w. W5 a; o% r+ y22
0 q& }' c& Z6 v& g; n8 x  c23
  H3 y% @( w- Q  T24
+ g4 I- \% Q, `) i4 T5 V/ d5 U25
26
% b) P5 m& B; X27
28
29
30
, U( [# {! o. c31
! V; @# P( E4 H3 `! s32
; D# U. B( c1 Q4 ~" `33
8 ?& J! \0 c4 e+ t& h34
" R" \+ P1 n* W# c# C7 {% R2 q35
7 x" f1 f" ]5 T% i2 g+ q3 M, ~36
; h  U4 }+ p; u6 w37
/ C6 R- `; k5 F7 d% D38
39
40
41
9 H* I$ n: ^( a0 s. [) ]8 m42
6 k2 F" A3 a7 F  R1 h43
44
45
46
- D( n8 O1 ~. j3 z3 Q" B& g47
48
# f4 ]2 Y  W+ h49
50
51
3 m) X: k* X" `1 B3 S2 ^52
53
9 @0 y. m+ L  S7 Z* i54
& F' V4 H4 L5 _& B/ K4 e55
56
  b8 X2 C5 i3 n5 e57
6 F6 ]4 A: h/ i$ d+ U$ X7 O58
" a1 m8 h( a& i- j59
9 i9 H. V  P4 x% s60
61
4 q( C& S" Y8 k- O! o62
9 c5 f' ~; @6 |8 N; E6 u- u5 L63
64
2 b4 I- U0 X: Z6 y: c0 |+ y65
66
67
68
  F1 X. l  f+ ]6 {, O) l69
; e2 [/ V. n9 `. y3 N+ R2 R& `$ a70
  P4 r% H4 W* X: {/ h3 W71
. I9 L! c/ m( i( \$ D  |1 [% W0 r( X72
3 ^/ W7 G' z& q3 y73
74
75
76
77
# d3 N! k9 f' a. f7 I9 V3 I& D78
79
, K, L) [  o8 H' P; ^2 k2 n" U! u+ m80
6 X; O! h7 _6 K5 p" U81
" Q! y* s% q; f+ E7 O82
$ ~% I7 d# t9 O3 d) w+ ?83
$ L. V' K0 ~% V84
7 B& T# A  F  @9 t85
86
% K. b3 I% i) o* [/ p" N87
88
# g( {5 g+ F4 V, ?  a3 h2 R- k+ ]89
) `# H" z; T2 x/ q( w90
91
92
93
94
+ e% k+ U& b1 L95
96
97
) x. @! {5 I: x; D" {98
* B; I/ R3 _( [; \99
100
( s1 U- x5 v  F  A! b+ t101
" I4 R# I* X! W+ ^4 {& g102
103
) c, L- D, o9 N3 n+ x; S; V% \) ]7 w104
105
8 _  R) p& C4 ~6 H  z106
107
108
6 V* \" ?7 A5 j109
; j2 L+ X; ]& H1 L: p1 z4 q110
111
112
  G  A! O6 E0 w% R& U6 j( d113
114
115
- B  `* [% v' t8 \116
5 N5 w6 u* g0 y. G" r$ [8 E' y117
118
7 w" p% v' V3 Y; Y: \; n119
120
7 F3 Z. s; q$ K0 l$ k( E121
5 K9 W3 v1 D* f8 j1 |+ }, T122
123
124
5 K$ n; j7 W8 z125
126
$ G, v9 C/ V# M. ^( w* s127
4 h& S" ]3 }9 \4 ~) p: `5 b128
129
5 Y- C: ^& y! O2 d4 W7 w6 s0 ^130
131
. x2 ?3 C  d/ x' c* w; L. m$ H132
133
134
135
' p+ w1 h/ |# x: x' b5 _& E  ?4 z136
137
138
1 ~) B- s) x5 D3 D; Z! N* Z139
1 B# \% P0 d% K0 l140
3 E' {% r2 G* P9 S# ?匹配问题：

; c" a, I* n& y2 Y- M4 j最大匹配：


' d: q. I% r% I% }* b代码实现：

m = 5;
n = 5;
+ B3 @, p7 W. I( Z) m) u! KA = [0 1 1 0 0;1 1 0 1 1;0 1 1 0 0;0 1 1 0 0;0 0 0 1 1];
0 O# v' {8 Q5 _* T8 c  bM(m,n) = 0;
for i = 1:m
    for j = 1:n
    %求初始匹配M
, s5 V# m& V6 t1 O1 e        if A(i,j)
0 U+ {1 s$ |. I9 D6 E9 m+ h            M(i,j) = 1;
' o, ]1 V( b! h9 Y! i            break;
9 ?  \3 _9 y6 V- q1 E# p        end
    end
8 [1 }% q1 N) X: y7 ^* ]    %仅含一条边的初始匹配M
    if M(i,j)
        break;
6 h. e8 h' Q( w/ m+ s2 i* r    end
% U8 A& }% d/ _# n" v! ~end
! }# p9 {$ b' ^) A
while (1)
, G' z5 g: V3 g# a/ d    %记录X中点的标号和标记
0 C1 t0 x  @6 A& F: M6 R    for i = 1:m
- t. R3 w6 p$ o) v8 O" E  ]        x(i) = 0;
    end
3 s, J, [8 X! w% m# T- ?* d    %记录Y中点的标号和标记
9 N1 r6 q+ u: S( Q- q: r& M    for i = 1:n
        y(i) = 0;
    end
6 k! n$ J1 z0 V  ?    %寻找X中M的所有非饱和点
: X' [: q0 O7 q, m0 y, ~0 h: T    for i = 1:m
        pd = 1;
        for j = 1:n
            if M(i,j)
9 E8 P+ o5 D! q: {( q; [                pd = 0;
            end
4 u. {% K* v1 B        end
! @# W# x: \% `- N, b* k2 c1 }$ |+ W        if pd
            x(i) = -n-1;
  Q4 R- k+ v5 C! s, R4 W        end
$ l, G; K3 v. p    end
4 r: Y% o$ _3 M# S( h    pd = 0;
    while(1)
7 H, g8 }( \; i' ^: q        xi = 0;
        for i = 1:m
            if x(i) < 0
                xi = i;
1 }0 U8 ]% ?% N9 r# R/ H                break;
3 z9 U6 U* O# o7 ^                end
2 b# L3 x( g( x( Z7 ?2 ?            end
, V' G- {6 {3 j* f7 f) y7 z; A8 `            if(xi == 0)
: \& U* W  _! A                pd = 1;
                break;
- g- }4 E! [- P: ?% V3 @3 g6 f8 t# z& K            end
  t8 y, N& ^+ A, D4 V8 D: k            x(xi) = x(xi)*(-1);
8 u: s% k3 n( m            k = 1;
            for j = 1:n
" P. l. p( L# R7 Q, ]; c                if A(xi,j)&&y(j)==0
- g$ j- h2 Q$ ]" o/ j; R                    y(j) = xi;
                    yy(k) = j;
5 k- W1 m9 q4 w- w6 t$ w                    k = k + 1;
. i& ~, t9 f# o. w9 D                end
            end
8 u- P/ T- w) K& ]. K            if k > 1
                k = k - 1;
                for j = 1:k
                    pdd = 1;
                    for i = 1:m
                        if M(i,yy(j))
                            x(i) = -yy(j);
                            pdd = 0;
3 X& c1 `' \( G+ d0 o4 L5 e3 C7 }                            break;
2 a( }% I4 h* Q- D' D                        end
$ |9 R1 Y) G" ?- T4 O" X, c, d                    end
* c7 d0 `3 d" [; c3 W) L                    if pdd
                        break;
/ r. |: }+ f9 Z* c% B" t                    end
. ]/ B& O# b5 k                end
: N" L) g8 T% P0 t: C) Y                if pdd
3 K7 m# R/ p) A, G4 k9 x* {2 z" H                    k = 1;
4 S" S: J6 m9 s' @* f$ M                    j = yy(j);
                    while(1)
; {2 z& g3 Z) p% O  F5 S1 g                        P(k,2) = j;
                        P(k,1) = y(j);
7 O/ U5 L: i0 B9 Q6 s( o& M                        j = abs(x(y(j)));
. k5 B# A) @: d* R4 m4 K                        if j == n+1
+ B1 |7 k- i7 u" C% E9 G                            break;
% ?0 z- V2 `0 L) t                        end
* j" x0 z9 H/ e  c! b' \; k/ j                        k = k+1;
! a8 R1 A8 s& G3 U; I                    end
  ^" \- H4 B2 W                    for i = 1:k
" i' s2 x% P) m- e8 G                        if M(P(i,1),P(i,2))
                            M(P(i,1),P(i,2)) = 0;
                            else
                                M(P(i,1),P(i,2)) = 1;
                            end
                        end
4 j6 _" E8 @$ F' _* a- j4 x                        break;
                    end
0 J7 H9 A& `# ^8 _7 x* ?6 V                end
            end
- T' z% g2 V/ N8 i( i. z0 n: [            if pd
' N1 r6 ]4 W/ W# Q                break;
. @& L% N* P0 t$ \' L            end
        end
! O$ a2 O) W( I& z. u) C; w1
9 c6 C$ _$ o1 u$ x: k2
- N% n& Y% {) i3 a: a6 e( W) O/ K3
4
5
/ c, g3 s: q3 T  }- ?6
$ V( o$ c2 w5 h; |7
/ o' Z+ d: X, J" v8
9
7 [' Q9 s3 A2 m6 T# S10
$ Y2 z& v; W# D4 l2 |! ~11
$ Y3 T+ o1 v! N+ r6 O  F8 T12
  W/ B' w( J% Z1 a7 v7 X13
! t) E& O8 y/ C# d( u14
15
* H1 g. N+ m6 h& L16
17
/ F3 p2 w+ ?1 n  i2 i18
19
" n# y! L, r, ~$ ~20
21
22
" o% y7 g) ^# S" c1 {# g* M23
* C7 q& o" Q: M8 A# J24
25
26
27
8 j$ y% T% g. ?% ?3 i28
* ]7 D) O- u1 F, b+ W29
# A  E# i! x$ z) Q3 {4 s30
" C1 ?2 t: b9 C( C31
32
33
5 E: a+ N" U6 B, s34
35
7 _; r2 l2 y% L5 ^7 ~/ [36
. A* D$ l/ z: q* b/ R# V37
7 c; z: S4 l4 O3 k38
  m3 |4 Z* I/ O) @! b' ?39
9 [# s8 \# x2 x8 R; ]40
, \& O# _% e+ ~! y! C2 v41
. Y2 ~) R$ z& l4 h( C1 r  ?42
43
9 d+ G8 I0 S$ s3 v  O44
45
46
) J' E# k8 y2 n47
$ [2 X/ ^) b! e* z- \- V$ V48
% |' k& P  C2 T7 m4 X# ?0 V& ~" a49
$ M  F' g* s0 s; A50
51
# K. m$ c& s# w, Z, Z1 W+ j8 H9 }52
8 `3 c# @8 }( ]4 K/ ~53
54
55
$ m1 t  _% B0 F+ c, B1 O; s- M56
57
58
! i6 l) Q+ g- p4 t: \59
: p2 x2 [  D! H3 a( D60
5 w. r# O) u0 A+ z61
9 f" Q* u' b" H+ F2 Q0 u62
63
) o: O" s! A3 q6 B% E64
. M9 l. g- B) f65
5 F! w8 ^4 ^- \8 a66
67
0 N* Y' \, `' K68
  Q5 H( X/ ]7 x9 R' ]1 g69
70
71
72
6 E- Z0 u2 p( g4 s* v73
74
, u1 O: K: S" g' o75
- _4 g$ P( [" x, m0 a, @76
77
78
79
80
81
; A; q9 f  G8 e( I: h% Z82
7 [. ]+ Y  I4 Z! A83
84
85
. i( O" d0 E3 U5 o+ w4 R0 Z. }86
87
. B3 a9 J" R% f88
89
1 q( D/ {3 t) t- |4 N90
. T9 T  h4 ^& h91
92
93
94
95
  {, P3 p+ J1 i  Y96
- ^8 W/ Z/ D1 D% S8 D3 \97
1 g, \& B5 }% N4 F3 R98
) h) `" B* X% ^99
( a! @( O+ b* F100
) O7 K+ q9 g9 G0 Q101
102
* m1 \, g( i% j. l  h( F103
最佳匹配

代码实现：
" t7 B5 M! |  p- |) j8 b
/ X$ j% l3 d$ J0 T- K! qn = 4;
( o" P( V8 h* WA = [4 5 5 1;2 2 4 6;4 2 3 3;5 0 2 1];
/ c4 N/ {# z7 @" }3 |0 q: {- Y3 zM(n,n) = 0;
for i = 1:n
: j7 i5 e* I2 K/ V    L(i,1) = 0;
4 Y2 j4 V2 M2 y4 n' [  x    L(i,2) = 0;
) C) B0 w) \1 C3 `, fend
; I# W, ]( e1 f%初始化可行点标记L
for i = 1:n
    for j = 1:n
* Q/ w2 v( u0 W5 r( g4 ~! @        if L(i,1) < A(i,j)
            L(i,1) = A(i,j);
$ ]! X. F! z3 B9 ^' v3 d& M0 v        end
" g$ J9 d2 B5 q2 g! D5 g! f    end
$ W5 T5 ~6 s- b9 g7 Iend
%生成子图Gl
  Z# E1 J8 ~8 u: F2 B1 ^( Sfor i = 1:n
    for j = 1:n
7 S  x) R: U! ^. h        if L(i,1) + L(j,2) == A(i,j)
            Gl(i,j) = 1;
            else
* D. q, D2 X% G0 K0 B; [                Gl(i,j) = 0;
        end
+ R3 X, b2 f! x, e9 r/ m    end
end
%获得仅含Gl的一条边的初始匹配M
6 _' R% C4 _# r& `ii = 0;
3 {/ L& v$ p# O2 e- h# Q  v0 @/ Hjj = 0;
for i = 1:n
    for j = 1:n
        if Gl(i,j)
            ii = i;
6 z( G" S" l, E2 M0 r            jj = j;
            break;
/ ^) e7 ?: g3 o  k1 n$ w9 }6 G' R        end
    end
: E! w( Y. s$ @  S/ y6 A" c, f    if(ii)
) X+ W5 |3 m, M" _# S+ m' K" b        break;
  z- Z" f% U3 O# S  x- |- C' M! a    end
7 p* P) s0 i  hend
M(ii,jj) = 1;
for i = 1:n
& Q: @: Y2 O( a. E' z* v    S(i) = 0;
    T(i) = 0;
    NIS(i) = 0;
8 _8 Y2 ?, |3 I! Eend
, b: |6 n" u, Y) v
0 Q/ r+ d) g% w, B) f
while (1)
4 ?/ T: S+ N5 L6 T  ^1 X6 @    for i = 1:n
        k = 1;
; ]- Q: f1 z( y8 X2 `, C* H2 |: K        for j = 1:n
- T: Y1 E$ W7 J5 n( x$ u            if M(i,j)
( o8 K  o5 R0 Z. ~  {( _                k = 0;
, L! L% f$ W; d4 W! v" ]                break;
            end
' I( t( V. B; {) p. u. A6 w/ k        end
8 r, j- x( N6 ?9 b& n        if k
4 p$ `: K$ z& \  T" n+ V            break;
        end
    end
%获得最佳匹配M,算法终止
    if k == 0
( T& I0 z2 R' _. o& j3 b        break;
6 q) m# S0 p+ G7 h. b    end
+ k, p3 \% o7 Z4 U. E2 @
1 i( N+ W! L) S% k; u4 x0 o0 N
%S = {xi}
+ B8 f  r8 e1 a, T6 d# s: K; I/ vS(1) = i;
3 V! `' l- R7 ]5 B5 Gjss = 1;
9 B1 V- i: J* |4 Y, h" B0 L3 jjst = 0;
# \: ^3 @! r) b% g% B) R) qwhile(1)
    jsn = 0;
    %选择NL的值
    for i = 1:jss
        for j = 1:n
, g, m) {* F' ^0 W7 V$ Q5 ~4 D  J            if Gl(S(i),j)
/ ?$ @2 d6 i: R1 e$ G) x5 S; H+ J                jsn = jsn + 1;
                NIS(jsn) = j;
) H( l$ D7 E, R, b; `                for k = 1:jsn-1
: P7 L* r# @' v0 I) q3 o; I. F                    if NIS(k) == j
9 R  A9 q' n: C9 L2 m  q, c3 H2 ^0 d( F  `                        jsn = jsn - 1;
                    end
                end
* {2 i2 I2 r, H) }2 @' r  O            end
0 Z$ ^# `3 F( V; R# Q4 \3 t/ b        end
    end
    %判断NL(S) = T ?
    if jsn == jst
        pd = 1;
8 k  x! T8 P1 o7 ~5 V/ J2 S" I        for j = 1:jsn
$ v4 C1 t4 F1 u8 j7 s% Y            if NIS(j) ~= T(j)
. B5 [+ S: I, w; r7 C                pd = 0;
                break;
" v' U% |; i- k9 a% r            end
5 r2 I/ l9 a7 R& b) e6 E8 j1 L* B        end
    end
    %如果NL(S) = T  计算al的值
    if (jsn == jst) && pd
# }+ |+ u4 b- F$ J1 a        al = Inf;
+ j) b3 j; \0 v        for i = 1:jss
            for j = 1:n
                pd = 1;
                for k = 1:jst
; v; w; t+ q7 E# |5 x! D                    if T(k) == j
                        pd = 0;
7 s- i, a) f- T% R) Y5 S8 X! X: ~4 M                        break;
                    end
9 C2 Q5 V7 U9 ]8 s( A                end
                if pd && (al > L(S(i),1) + L(j,2) - A(S(i),j))
                    al = L(S(i),1) + L(j,2) - A(S(i),j);
; P3 [* i, \' d4 U8 f                end
# E1 e, C9 T$ k8 G! g            end
        end
6 M. B0 l3 F/ {4 T" b. ]4 u        %调整可行点标记
        for i = 1:jss
            L(S(i),1) = L(S(i),1) - al;
        end
7 _+ ?: G6 f8 d# j' ~& J        %调整可行点标记
        for j = 1:jst
: h) k& ?7 f7 K3 r: e; _3 k& I            L(T(j),2) = L(T(j),2) + al;
5 n+ ?: ^; l3 j* Y9 r        end
        %生成子图Gl
        for i = 1:n
, K8 |3 l- |& \  N9 _6 P            for j = 1:n
+ h6 Z5 O8 M/ C0 |! _7 u! f+ P                if L(i,1) + L(j,2) == A(i,j)
5 y5 i# O1 Q+ k- x$ Y                    Gl(i,j) = 1;
                    else
                        Gl(i,j) = 0;
: Y5 s! ?& [7 O- A5 s" Z                end
                    M(i,j) = 0;
6 u' u* G& W9 c6 d% I# W                    k = 0;
2 H! g& @1 C8 L            end
% B: j" O! r8 U        end
        %获得仅含Gl的一条边的初始匹配M
        ii = 0;
  r" l9 E3 |. c. q. b        jj = 0;
& y) J1 Q) Z" M  i$ K. o" d        for i = 1:n
            for j = 1:n
% a% [/ J7 f" H4 e0 ?* l# q! {                if Gl(i,j)
                    ii = i;
. u, y. O" U$ ]6 x9 y                    jj = j;
) G) o1 p* M9 Q) i2 {) J                    break;
                end
: G; N3 [/ ]) L9 F+ p" ]            end
% w& R$ b) R& {) S/ Z3 P# {            if(ii)
                break;
            end
        end
        M(ii,jj) = 1;
        break;
: T" S- T3 ~9 h0 ~7 A        else
7 J3 }4 ]% c7 a7 n4 D( N5 U  U            for j = 1:jsn
1 x/ e) k) L9 Z' S( u                pd = 1;
- C; S1 L6 M' B$ D; q                for k = 1:jst
+ _3 M# y/ W' Z4 @& b1 R/ ]                    if T(k) == NIS(j)
8 J- D" ~+ K+ U$ [7 q7 z                        pd =0
1 l- k; `0 L2 A3 d                        break;
/ j  u+ c. M8 ^" x; z                    end
                end
                if pd
                    jj = j;
+ x) X' ~! J6 L$ R: N+ p3 r                    break;
                end
            end
! s; u' r) f; X; C            %判断y是否是M的饱和点
  i: r5 L) g/ G, f. Y1 Q& j            pd = 0;
6 r) `& O# p6 b$ {            for i = 1:n
8 h3 N& l+ }7 q; L  J  g                if M(i,NIS(jj))
                    pd = 1;
                    ii = i;
                    break;
                end
% w5 w: c7 c7 K& k2 p, ]: v            end
5 }4 y' K7 v1 C1 w5 I& D' g+ C            if pd
( Y7 E6 o9 T2 s  Y8 i1 i                jss = jss + 1;
- F1 X% @7 I3 t) r& O4 Z                S(jss) = ii;
) j/ w/ v6 J0 z! b- f& o" w5 h                jst = jst + 1;
) H1 W. ~0 A9 ?, k  i$ F                T(jst) = NIS(jj);
0 g0 o/ r4 ]  b! ]                else
" o6 {4 q  n6 \# e; E2 O" R  o                    for k = 1:jst
                        M(S(k),T(k)) = 1;
                        M(S(k+1),T(k)) = 0;
                    end
$ G0 h# Q* t9 S  K                    if jst == 0
! Q0 ^, V8 {$ G8 }4 W8 N( y& I* D                        k = 0;
                    end
                    M(S(k+1),NIS(jj)) = 1;
0 K9 P* A4 o3 ]1 c8 k                    break;
$ U1 Y8 x2 u- }                end
) R6 h  F7 k) @9 Z            end
        end
    end
7 W* E% }: E" u: J6 L    MaxZjpp = 0;
    for i = 1:n
: i3 K9 r- m9 T6 r+ B        for j = 1:n
            if M(i,j)
" j) \, p3 W) m3 j3 k* |3 D                MaxZjpp = MaxZjpp + A(i,j);
            end
        end
    end
    M
    MaxZjpp
. \* [6 [* i' h' p/ V6 q

8 v' z( b! f* H7 V3 `1 t& q