数学建模学习笔记（6）用积分思想建模

佛自业障

数学建模学习笔记（6）用积分思想建模
$ G. u3 x. D4 \2 L" n* `! T- _
产生积分思想的源头问题：

& O5 z/ Q7 P1 D4 b( l+ j    求曲线长；求曲线围成的面积；求曲线围成的体积；求物体的重心；两个物体间的引力
. E  g: n& ]8 t* V+ b
5 V6 E( |& a- O5 E
    一维空间：求密度为ρ(x)占据（0，l）线段的直杆的质量


                     把一根直杆分割成无数小区间，每个区间的密度看作常量，求积分
; ~) B; x2 _, d7 J# U/ [

: b! b- ?8 J7 S8 s    二维空间：求密度为ρ(x,y)占据Ω平面的薄平板的质量
$ M1 B4 g( D- x! u, x$ h

    三维空间：求密度为ρ(x,y,z)占据G空间的物体的质量

这些方法不止适用于物理量，还可以推广到自然科学和社会科学，比如人口出生密度，交通车流密度等可以用于求总量。
  _' f" J3 G+ h% i+ z1 x+ Q, j# q
案例

; G& |- o8 z+ {  J4 K) w7 o$ @: d消费者愿意付出的价格p=D(p)，q为需求量，p是q的减函数（类似反比例函数）
. Y  ^) X: {5 \) |$ V* H7 K% L* o
消费者对价格为p*的商品的购买量为q*时  愿意付出的金额为曲边梯形面积A=∫0→q* D(q)dq
) h% F8 O) Z9 ]& W6 v. g
. A: M, q4 P+ ]实际付出的金额为Ao=p*q*

消费者剩余=愿意付出的金额-实际付出的金额

即CS=A-Ao=∫0→q* D(q)dq-p*q*


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