数学建模学习笔记（7个建模实例讲解）

浅夏110

初等模型（初等数学方法建模）
, X7 m8 U9 E) D( E+ L
- `$ i0 j& I; F& E# ~6 l& m' E1.    席位分配：
, Z# n) D& J4 f' H9 e
( j0 ]8 [8 t( Y( X- \; E' V) v- ]a)      问题描述：三个系学生共200名（甲系100、乙系60，丙系40）。代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。

3 |7 m3 M/ `, Z5 z) wb)     问题存在：现因学生转系，三系人数分别变为：103，63，34.问20个席位如何分配？才能使得尽量“公平”。

8 q( C# c) ~6 i/ K8 J  [c)      解决方法：提出不同的假设，进行不同方法的讨论，对不同方法进行对比分析（满足哪些公平条件），得出结论。
" M$ D( [7 U* C3 f! }  l) C

2.    双层玻璃窗的功效：
2 E5 a( {8 \8 k8 r
a)      问题描述：双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失？
3 q( \: M* h6 E; G
/ m  J  {2 V( @0 _: u7 o. {b)     问题假设：热量传播只有传单，没有对流；T1，T2不变，热传导过程处于稳态；材料均匀，热传导过程处于稳态。

/ W( B/ w* H6 l3 nc)      建模：热传导定律模型。（有公式）

d)     分析：属于“测试分析“类型，建模分析，计算得结果，下结论。

e)      延伸：考虑实际情况，进一步分析下结论会更好。
, `# b! D' H( m8 o# U
, d$ k4 [7 X% K7 k& {
( b# `" `% {! m3 W# l) f0 h* u3.    划艇比赛的成绩：

a)      问题描述：对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与桨手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。

5 D: b7 z) ~) b7 F2 gb)     属于统计，数学模型拟合类型；
! S4 u' r/ x& a; r/ Z: }
c)      问题分析：赛艇速度与桨手数量之间的关系：前进阻力与前进动力等

* p' Y* X$ `/ s% m! A: qd)     问题建模：作出假设，运用合适物理定律建立模型；

* n5 z# u" @# E2 ~5 Fe)      模型检验：最重要的一部分！即通过实际数据，使用最小二乘法进行模型检验！     

; `3 K9 g# D7 A/ v0 X% ~6 L
0 l% I. L! S& }- Z5 r4.    录像机计数器的用途：机理分析
& ^! p. m5 M2 v2 c
a)      问题描述：经试验，一盘录像带从头走到尾，时间用了183分30秒，计数器读数从0000变到6152.

! J  Z# U9 m! N8 Z& T. y& I问在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4580，问剩下的一段还能否录下一小时的节目？
  o  R& w$ R  u4 z! Z  |
+ R; ?* S8 @+ C  kb)     要求：不仅回答问题，而且建模计数器读数与录像带转过时间的关系；
8 {  g. s6 j1 C/ z3 O: E. ?
c)      思考：计数器读数是均匀增长的吗？

d)     问题分析：通过实际观察录像机计数器的工作原理，发现问题实质；之后进行模型假设，与已有物理知识，进行建模，确定参数，之后进行实际模型检验！


& h, n% q( b8 n3 {1 ~5.    实物交换：
7 U1 N" m$ i9 n, U7 \1 A
a)      问题描述：甲有物品X，乙有物品Y，双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究实物交换方案。

3 ?4 @9 h' I: A9 S' v* nb)     根据实际情况建立二维模型：(x,y)表示；

c)      根据不同假设，进行不同建模处理。
5 ?/ Z$ A3 Y( I: o6 m
! x) H4 t/ z# Q; L
6.    传送带的效率：物理实际模型

) B% f" t$ W2 ~' N" U6 fa)      问题描述：工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩运走，若工作台数量固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多，在产品进入稳态后，给出衡量传送带效率的指标，研究提高传送带效率的途径。

- z2 u) c+ `) F$ Fb)     问题分析：进行假设，之后因为衡量指标需要自选，所以需要根据实际情况做决定，确定指标。
: A9 w2 ]* m6 u( C
+ j' D, Y, {, E/ E8 {% U! kc)      模型建立，提出提高效率的途径。
  p0 b0 U, L6 f5 }

8 r0 @9 E8 k, o% C7.    起帆远航：
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a)      问题描述：帆船在海面上乘风远航，确定最佳的航行方向及帆的朝向。

b)     简化问题：海面上东风劲吹，设帆船要从A点驶向正东方的B电，确定起航时的航向，以及帆的朝向。
' {! O+ T) y. t2 q0 C
4 A3 p) g, }) o$ h7 _/ Ec)      问题分析：完全根据实际情况进行受理分析，进行模型建立，并求解。


总结：
0 }$ o0 {  k/ C
& s, [. w% ^2 Z! Q9 i, b1.    席位分析：进行不同假设，得出不同模型，进行对比分析；

8 ^0 c+ c4 \; |2.    双层玻璃窗的功效：合理假设，根据已有物理知识，进行模型建立，分析不同情况，下结论；
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3.    划艇比赛的成绩：合理假设，根据已有物理知识，进行模型假设，再实际数据可测量的情况下！进行模型检验！最后下结论；

% @' M/ }. I7 x. m4.    录像机计数器的用途：“机理分析”实物真实物理情况！之后进行假设，模型建立，参数估计（经常使用最小二乘估计），最后进行模型检验，之后下结论。
: v! E9 Q6 M3 T% g! r7 o+ Q' ~
5.    实物交换：二维建模，不同假设，不同原则，不同处理方式。
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3 x- [4 L! ?. b6 F) |6.    传送带的效率：根据实际情况，与已有知识，进行合理假设，建模分析，此题重在提出“提高效率”的途径！

7.    起帆远航：根据实际情况，进行受理分析，在一定合理假设的前提下，进行模型建立并求解。
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以上列举了一些基本的模型建立的方式，当然实际比赛中的题目不会如此简单，但通过其还是能稍微体会建模的实际意义与内涵。

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