数学建模学习笔记（7个建模实例讲解）

浅夏110

初等模型（初等数学方法建模）
: t4 }2 B- b$ R6 n
1.    席位分配：

a)      问题描述：三个系学生共200名（甲系100、乙系60，丙系40）。代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。

b)     问题存在：现因学生转系，三系人数分别变为：103，63，34.问20个席位如何分配？才能使得尽量“公平”。

c)      解决方法：提出不同的假设，进行不同方法的讨论，对不同方法进行对比分析（满足哪些公平条件），得出结论。


$ g9 V3 @8 L, ^; Z! p5 }' m, T2.    双层玻璃窗的功效：
. g1 U( G' {: a/ k
a)      问题描述：双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失？

b)     问题假设：热量传播只有传单，没有对流；T1，T2不变，热传导过程处于稳态；材料均匀，热传导过程处于稳态。

6 ?2 Y" K9 P! D+ f' `c)      建模：热传导定律模型。（有公式）

5 G" j3 n$ d% t/ d- E! yd)     分析：属于“测试分析“类型，建模分析，计算得结果，下结论。

8 f" d" H; q& Se)      延伸：考虑实际情况，进一步分析下结论会更好。


+ ^$ P' v1 o5 o( c3.    划艇比赛的成绩：

a)      问题描述：对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与桨手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。

b)     属于统计，数学模型拟合类型；

9 |' j8 n9 o& Y( D8 ^- pc)      问题分析：赛艇速度与桨手数量之间的关系：前进阻力与前进动力等
3 |: J! B! _* v4 B  J6 h  a9 A* c
+ K. f. I" o4 _) R7 Rd)     问题建模：作出假设，运用合适物理定律建立模型；
6 H- `; @/ T1 P& Z
3 f( A5 ^1 h: R4 ^, B& M. N, X6 Ke)      模型检验：最重要的一部分！即通过实际数据，使用最小二乘法进行模型检验！     


4.    录像机计数器的用途：机理分析
# V- ^. u, e6 }0 g' N3 s9 G
# U( K! j) z% X  c  |: Ba)      问题描述：经试验，一盘录像带从头走到尾，时间用了183分30秒，计数器读数从0000变到6152.

问在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4580，问剩下的一段还能否录下一小时的节目？

b)     要求：不仅回答问题，而且建模计数器读数与录像带转过时间的关系；

! r/ H: ^0 U  c7 Q( Qc)      思考：计数器读数是均匀增长的吗？

! ~; H6 r1 J$ q6 yd)     问题分析：通过实际观察录像机计数器的工作原理，发现问题实质；之后进行模型假设，与已有物理知识，进行建模，确定参数，之后进行实际模型检验！

9 h0 _, \7 q/ D( |  V
3 E% K# |7 w7 T9 n) c* y3 Z5.    实物交换：

" A2 X4 d) Y0 U+ f! |5 ea)      问题描述：甲有物品X，乙有物品Y，双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究实物交换方案。
6 Z* x# P6 C' v4 N
4 v6 _% ^. E# ]: n5 T" F* P+ i. Zb)     根据实际情况建立二维模型：(x,y)表示；
/ [/ c" F6 t" m5 M* f: u, F3 T9 F+ v% d
c)      根据不同假设，进行不同建模处理。

+ n- i3 S* R, o
6.    传送带的效率：物理实际模型

+ @5 s8 C0 `3 ^$ [. p# x  Z) va)      问题描述：工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩运走，若工作台数量固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多，在产品进入稳态后，给出衡量传送带效率的指标，研究提高传送带效率的途径。

b)     问题分析：进行假设，之后因为衡量指标需要自选，所以需要根据实际情况做决定，确定指标。

9 G8 b9 G, n! l/ m% Lc)      模型建立，提出提高效率的途径。


7.    起帆远航：

a)      问题描述：帆船在海面上乘风远航，确定最佳的航行方向及帆的朝向。
; u3 W" B! M8 R; _0 q2 F" v
9 M. C3 R3 J: m$ g8 Wb)     简化问题：海面上东风劲吹，设帆船要从A点驶向正东方的B电，确定起航时的航向，以及帆的朝向。

c)      问题分析：完全根据实际情况进行受理分析，进行模型建立，并求解。


总结：

1.    席位分析：进行不同假设，得出不同模型，进行对比分析；

+ P* K  o$ V  J9 O' ^1 L+ V  L) m2.    双层玻璃窗的功效：合理假设，根据已有物理知识，进行模型建立，分析不同情况，下结论；

3.    划艇比赛的成绩：合理假设，根据已有物理知识，进行模型假设，再实际数据可测量的情况下！进行模型检验！最后下结论；
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# v5 |4 ?2 m6 [+ J. Q! s6 h9 }4.    录像机计数器的用途：“机理分析”实物真实物理情况！之后进行假设，模型建立，参数估计（经常使用最小二乘估计），最后进行模型检验，之后下结论。

( L7 c- O. t' n, a5.    实物交换：二维建模，不同假设，不同原则，不同处理方式。
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& h* M$ |, c) b8 \3 `8 p6.    传送带的效率：根据实际情况，与已有知识，进行合理假设，建模分析，此题重在提出“提高效率”的途径！

! w9 f. |5 I2 g! `. l9 g7.    起帆远航：根据实际情况，进行受理分析，在一定合理假设的前提下，进行模型建立并求解。
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以上列举了一些基本的模型建立的方式，当然实际比赛中的题目不会如此简单，但通过其还是能稍微体会建模的实际意义与内涵。
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