数学建模学习笔记（7个建模实例讲解）

浅夏110

初等模型（初等数学方法建模）
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1.    席位分配：

a)      问题描述：三个系学生共200名（甲系100、乙系60，丙系40）。代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。

# u- I# z9 }3 R9 b; J, Gb)     问题存在：现因学生转系，三系人数分别变为：103，63，34.问20个席位如何分配？才能使得尽量“公平”。
  m$ g; _8 Z- Y8 e7 H) A: M4 Q- |
c)      解决方法：提出不同的假设，进行不同方法的讨论，对不同方法进行对比分析（满足哪些公平条件），得出结论。

2 h8 S- _- A0 ^; a, o3 `
$ j5 A$ {5 n( C9 g. X( Q2.    双层玻璃窗的功效：

" L  l$ t3 ]& L* z8 u+ Ka)      问题描述：双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失？
6 _* X5 q( c/ n7 ?5 d
6 Y7 G9 S, Y9 w+ _" M3 Wb)     问题假设：热量传播只有传单，没有对流；T1，T2不变，热传导过程处于稳态；材料均匀，热传导过程处于稳态。
" E& y) D5 c( K/ D, i5 @: s3 r. q0 m6 b
c)      建模：热传导定律模型。（有公式）
- L/ P. J6 K9 s; I& G
d)     分析：属于“测试分析“类型，建模分析，计算得结果，下结论。

e)      延伸：考虑实际情况，进一步分析下结论会更好。
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8 @, H. v' \: v4 w3.    划艇比赛的成绩：

a)      问题描述：对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与桨手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。

b)     属于统计，数学模型拟合类型；
9 w& n1 Q9 F: s: F# x
c)      问题分析：赛艇速度与桨手数量之间的关系：前进阻力与前进动力等
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d)     问题建模：作出假设，运用合适物理定律建立模型；
0 ?: q* t5 q4 H3 B  ?+ l. D1 ?
e)      模型检验：最重要的一部分！即通过实际数据，使用最小二乘法进行模型检验！     

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4.    录像机计数器的用途：机理分析

' [& t& C. S) D$ Ra)      问题描述：经试验，一盘录像带从头走到尾，时间用了183分30秒，计数器读数从0000变到6152.

- i6 O) j  O1 W$ x2 u  r- S问在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4580，问剩下的一段还能否录下一小时的节目？

b)     要求：不仅回答问题，而且建模计数器读数与录像带转过时间的关系；
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4 @# j. N* P: O+ K; k+ K# b" qc)      思考：计数器读数是均匀增长的吗？

d)     问题分析：通过实际观察录像机计数器的工作原理，发现问题实质；之后进行模型假设，与已有物理知识，进行建模，确定参数，之后进行实际模型检验！


5.    实物交换：
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a)      问题描述：甲有物品X，乙有物品Y，双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究实物交换方案。
0 P( t+ b: Q2 v
b)     根据实际情况建立二维模型：(x,y)表示；

c)      根据不同假设，进行不同建模处理。

0 R1 N8 }; o3 w/ E
% O  o7 ~- X( P8 n4 V+ S* `/ [6.    传送带的效率：物理实际模型

& t' ]& D; w, q# Pa)      问题描述：工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩运走，若工作台数量固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多，在产品进入稳态后，给出衡量传送带效率的指标，研究提高传送带效率的途径。

b)     问题分析：进行假设，之后因为衡量指标需要自选，所以需要根据实际情况做决定，确定指标。
% Q' b$ S$ F8 n4 l1 U
c)      模型建立，提出提高效率的途径。
( q1 i2 L) B# c3 H
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7.    起帆远航：

0 `' L+ N2 N: q0 K8 Ja)      问题描述：帆船在海面上乘风远航，确定最佳的航行方向及帆的朝向。
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% q4 R; }9 Q* I& yb)     简化问题：海面上东风劲吹，设帆船要从A点驶向正东方的B电，确定起航时的航向，以及帆的朝向。
0 R- B4 g( p/ r9 f! W
* K! \- `7 }8 xc)      问题分析：完全根据实际情况进行受理分析，进行模型建立，并求解。


总结：

1.    席位分析：进行不同假设，得出不同模型，进行对比分析；

/ g( G  F. o  w' \4 n2.    双层玻璃窗的功效：合理假设，根据已有物理知识，进行模型建立，分析不同情况，下结论；
% u5 m2 Z/ C5 {) m& s+ L% L' L; |
3.    划艇比赛的成绩：合理假设，根据已有物理知识，进行模型假设，再实际数据可测量的情况下！进行模型检验！最后下结论；

4.    录像机计数器的用途：“机理分析”实物真实物理情况！之后进行假设，模型建立，参数估计（经常使用最小二乘估计），最后进行模型检验，之后下结论。

5.    实物交换：二维建模，不同假设，不同原则，不同处理方式。

6.    传送带的效率：根据实际情况，与已有知识，进行合理假设，建模分析，此题重在提出“提高效率”的途径！
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7.    起帆远航：根据实际情况，进行受理分析，在一定合理假设的前提下，进行模型建立并求解。
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以上列举了一些基本的模型建立的方式，当然实际比赛中的题目不会如此简单，但通过其还是能稍微体会建模的实际意义与内涵。
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