经典兔子繁殖问题的简单数学建模过程

佛自业障

题目：古典问题：有一对兔子，从出生后第3个月起每个月都生一对兔子，小兔子长到第三个月后每个月又生一对兔子，假如兔子都不死，问每个月的兔子总数为多少？
解：由题意，设每个月的兔子总对数为f(n) ,(n = 1,2,3…)
, c8 z) z, T' j: D" h& y0 ^
9 I+ i# ]; e, L" h其中 f(1) = f(2) = 1 (对)



# L: A" f1 |2 h& w# S" j! `从第3个月起，每个月兔子的总数f(n) 可以分为：
, O( Z: [, P6 }. A* T5 F' L6 g5 b; q
# r; e' d1 r/ g7 \$ ?0 l, L第n新出生的兔子 f(newN)
第n月之前出生的兔子 f(beforeN)
7 ?# V. y5 i% j' {5 b即 f(n) = f(newN) + f(beforeN)
- E6 O- z) l, N0 D, f9 v( k5 x% n! _
= f(newN) + f(n-1)



1 W; j: o# R9 b( c7 f; \4 N8 o在第n+1个月里，第n个月新出生的兔子f(newN)还不能繁殖，数量不变；

& i% @) e# U0 D6 q7 v而第n个月之前出生的兔子f(beforeN),则可以成倍繁殖，数量X2
# u, @9 ?* [. `' L( b
则 f(n+1) = f(newN) + 2(beforeN)X2

化简得  f(n+1) = f(n) + f(n-1)
) ?9 [/ p4 a- T, ^6 b
即 f(n) = f(n-1) + f(n-2)  (n=3,4,5,…)

  F. b* c; J* r# B/ U

, C/ R* t$ L; S5 G( _所以，每个月的兔子总对数可以归纳为一个分段函数：
0 [# |& h$ n9 ~; W4 t
8 U; G& [$ y6 r9 T0 Z- g3 H' af(n) = 1 (n=1,2)
, n' t! }& x, M  ?; f3 @* o  w% o
! R3 l7 k) \: o: j' y% [4 O" c2 wf(n) = f(n-1) + f(n-2) (n=3,4,5)
% j1 Q% P9 d' y% w9 [5 M& Y
接着编程为递归函数即可解决问题。
2 C$ f4 _2 _5 m" [+ V

  }" U1 T3 G! L& Q