经典兔子繁殖问题的简单数学建模过程

佛自业障

题目：古典问题：有一对兔子，从出生后第3个月起每个月都生一对兔子，小兔子长到第三个月后每个月又生一对兔子，假如兔子都不死，问每个月的兔子总数为多少？
解：由题意，设每个月的兔子总对数为f(n) ,(n = 1,2,3…)
" `7 v" S# I$ R1 o4 i% e" k- T& w/ V
其中 f(1) = f(2) = 1 (对)

2 B* {( z3 G9 u; {% K3 ^  w
- S$ D* F# C! n# A; w
从第3个月起，每个月兔子的总数f(n) 可以分为：
9 W: r8 @) A6 f* |0 ?& T$ s, I
$ i  [1 Y4 q" u/ j% C7 a第n新出生的兔子 f(newN)
第n月之前出生的兔子 f(beforeN)
. ?8 t, n, E/ E3 Y5 ]" V" Y即 f(n) = f(newN) + f(beforeN)

= f(newN) + f(n-1)



/ J: }: ]8 M+ W. H( {' u在第n+1个月里，第n个月新出生的兔子f(newN)还不能繁殖，数量不变；
" r" ^% ]- e( U% N% N
0 P7 ~6 I; g+ j而第n个月之前出生的兔子f(beforeN),则可以成倍繁殖，数量X2

则 f(n+1) = f(newN) + 2(beforeN)X2
0 g: o5 N; r/ \8 V
化简得  f(n+1) = f(n) + f(n-1)

即 f(n) = f(n-1) + f(n-2)  (n=3,4,5,…)



3 u8 \6 }1 f: B( c所以，每个月的兔子总对数可以归纳为一个分段函数：

f(n) = 1 (n=1,2)

f(n) = f(n-1) + f(n-2) (n=3,4,5)
3 F0 x! ]8 `8 y& @6 u. u6 j& O6 s
接着编程为递归函数即可解决问题。
# H( D7 R! q# {; ]; s0 W4 {


2 h' S# ^1 e; K. G* Q6 M; Y/ w1 d