经典兔子繁殖问题的简单数学建模过程

佛自业障

题目：古典问题：有一对兔子，从出生后第3个月起每个月都生一对兔子，小兔子长到第三个月后每个月又生一对兔子，假如兔子都不死，问每个月的兔子总数为多少？
0 n& \. R5 [' `# \8 H9 E解：由题意，设每个月的兔子总对数为f(n) ,(n = 1,2,3…)

4 H! w4 }- a# c其中 f(1) = f(2) = 1 (对)

6 T+ E' _- v& {% j% c/ d0 L
" q* q/ \+ y6 m/ y: l
从第3个月起，每个月兔子的总数f(n) 可以分为：

, d  @! S/ V2 C+ [9 o第n新出生的兔子 f(newN)
第n月之前出生的兔子 f(beforeN)
- L8 G5 V# N) u即 f(n) = f(newN) + f(beforeN)

= f(newN) + f(n-1)

2 L2 r1 A8 X0 \3 x6 s7 C1 z

. N! p/ g% \+ }7 d8 K在第n+1个月里，第n个月新出生的兔子f(newN)还不能繁殖，数量不变；
! s3 q2 C# I  t+ G
; g: a9 ~* ]7 c& w. w+ R0 Q6 m5 I而第n个月之前出生的兔子f(beforeN),则可以成倍繁殖，数量X2
4 a" f. d5 L) K8 s; R& P# r
5 B0 T; X6 P4 {; h9 Y/ o则 f(n+1) = f(newN) + 2(beforeN)X2

5 M5 \+ O2 _: y化简得  f(n+1) = f(n) + f(n-1)

即 f(n) = f(n-1) + f(n-2)  (n=3,4,5,…)
! f3 \1 }7 b0 Q+ v5 @* J" \' r6 h


所以，每个月的兔子总对数可以归纳为一个分段函数：

1 T6 t  y( O; ]4 F' t2 Xf(n) = 1 (n=1,2)
9 R0 E; v) K3 {) O8 o" n4 W' ?
f(n) = f(n-1) + f(n-2) (n=3,4,5)

# e2 P4 r' o- @2 t2 e5 R* `接着编程为递归函数即可解决问题。
% f; B/ j1 b0 A! S
1 @9 B/ R0 s# v7 P, M
3 l4 |5 _* Z" ], }
8 g- D& [2 e. F9 y: J* s: K. U