经典兔子繁殖问题的简单数学建模过程

佛自业障

题目：古典问题：有一对兔子，从出生后第3个月起每个月都生一对兔子，小兔子长到第三个月后每个月又生一对兔子，假如兔子都不死，问每个月的兔子总数为多少？
$ g5 P( S/ G) L; T( n1 [解：由题意，设每个月的兔子总对数为f(n) ,(n = 1,2,3…)

  M5 s% @* S2 D3 S7 r0 k2 D, N其中 f(1) = f(2) = 1 (对)


: C8 {1 Z, S- }6 }3 a+ `
从第3个月起，每个月兔子的总数f(n) 可以分为：
' }5 _: B- `3 H+ C, q. }' l- Q
4 i% P! F: a* g9 J# @" @/ f第n新出生的兔子 f(newN)
+ O+ W# f+ `; E6 O第n月之前出生的兔子 f(beforeN)
即 f(n) = f(newN) + f(beforeN)
: ~) B; e- f7 V7 u  x
4 l5 c/ h9 g8 u* Z  m= f(newN) + f(n-1)

  p2 R: |$ T5 M$ `) r  a

' c" m2 X$ U* I6 z! e! J. z$ j1 j在第n+1个月里，第n个月新出生的兔子f(newN)还不能繁殖，数量不变；

' e- M- s% q6 P1 {* R; j; S, ^而第n个月之前出生的兔子f(beforeN),则可以成倍繁殖，数量X2

则 f(n+1) = f(newN) + 2(beforeN)X2

9 Z, g* a1 }0 ?- j1 v* R化简得  f(n+1) = f(n) + f(n-1)

即 f(n) = f(n-1) + f(n-2)  (n=3,4,5,…)
  H. K0 J. J! q

$ Y. f- h/ e$ P* b/ ]% o
所以，每个月的兔子总对数可以归纳为一个分段函数：

f(n) = 1 (n=1,2)

$ E, o- V+ C/ a8 jf(n) = f(n-1) + f(n-2) (n=3,4,5)
$ a$ r# v) T6 c- r9 p
! v9 M& }. ~) M- @. r  X接着编程为递归函数即可解决问题。
  J0 E! G$ V1 v% B

( g. t9 p. y8 C8 B1 E9 [

# _8 J; I# C$ |! P& J