数学建模

佛自业障

数学模型的分类
6 y& e. J; u% d1 V6 V8 M' p1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
; w  X6 a1 U5 k' L1 y- G( u- g2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
5 Y6 q# [' k/ ^& A( C" B; D4 {性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
( w! o; y6 }1 L6 p7 V! F4. 按建模的目的分： ：
2 E, H3 [( R+ m6 |0 W9 G# X预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
- y4 P; N3 k, B$ S$ I4 g有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
8 i. u/ D2 B# C) \. G( F比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
9 i' ~; m& ^  K/ g+ G/ _* P国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
4 H0 j# d4 q6 e% m, s* h运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
6 I* [+ o0 S7 M该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
# L: A/ {$ d) L4 S7 N1 c  d" {3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
! t8 q- \# f, D8 y" k7 i/ t$ O建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
( W" o) O" m" m0 _5 \. ]) P法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
' L, m: \, F; c# h; e* P  q$ U论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
9 h: V. j0 V" Z$ O5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
- `0 ^4 j6 Q. T: V( Q帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
5 H  e: v4 e1 ?# g. N  Z当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
9 v$ z3 m8 ]4 Y" j! G* Q很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
/ ]& I$ U% s) g6 H: ~; n6 R据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
( B* y/ a8 D" C8 N( x如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
# q- t$ f. z6 `* d, J6 Q10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
$ w2 J# c1 b: Y- a算法简介
; ^6 F- o) Z- Z4 f, D1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
5 c& p1 o# x, |2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
1 \$ s9 h- A6 u! H+ i微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
$ a5 P) L; W9 F" }找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
/ e; f; K' J) M& r. W9 F: X$ O: k化； 样本点的个数有要求：
( F* d! {" U% }) w  w7 B4 o% v+ M①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
; C$ w5 S; }! |4 P+ {互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
+ Z) O' }2 p) i) d5 y: d3 N! I5、 、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
- G) ]6 T6 k8 ?$ e6、 、 小波分析预测（高大上）
# N5 G; \( Y/ _( n6 d4 p# H0 ~数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
3 r) J4 S7 P  }预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
预测波动数据的函数。
0 |: ?# @) \8 W7 z7、 、 神经网络 （ 较好） ）
' X5 P. n( P' k; l8 j大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
* S+ ?# |7 d4 N/ p- G5 i办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
& z+ I; C" I8 b8、 、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
, g' E2 R, Z1 o9 G* @- v9 c9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
, ^1 X  D$ q$ U0 E拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
  c* k& H- R7 A逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
( r$ p8 L  Q- Y1 {11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
# ]! C( N0 d. y( E* m/ c$ w$ a作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
& A) O& B0 I# ?' p( X12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
' a# H  A0 s0 E: ~5 T优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
& c! z& B2 A& H' D秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
$ n2 S# i8 y$ J7 q* z* Z( o其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
+ k7 l% I4 i4 U& z' o! b! I的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
0 v) ?$ F7 d( k3 ~# j素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
6 s. P: ]0 ?! b17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
+ ~, y$ m- ?1 @# B3 T7 x* t模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
; z* V5 V" X4 X+ Z3 |& S18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
1 n$ s7 e3 w3 ^# o' o1 Y非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
) k. m5 x+ V3 B- `: b0 z- w算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
0 N0 `6 F1 E0 I/ y$ c, D19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
- [% q4 W( g. {1 |7 l离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
- r9 C. P7 D& C& ^排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
. i, J! |  P# d* U4 J  Q支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
( x4 H+ ?, U+ I8 ?* ~' V& N23、 、 多元分析
! ~* ]: D1 S7 I6 }5 F1、聚类分析、
/ a/ {' E  y5 M* L1 k2、因子分析
% e8 r& y" _1 M3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
- \! q3 O9 l) W; F* i$ I各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
6 w) X/ j  @9 K' J* D+ a从而达到降维的目的。
. P/ _8 P& F! M! |: U% W4、判别分析
8 F! a" m) B5 C4 I9 M: w" n+ N! e& X5、典型相关分析
6、对应分析
7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
5 Q" l2 N* P  m- Q/ z' |主要包括以下几种方法，
% F* h5 ~8 T- K6 @" S) Z7 C1、距离聚类（系统聚类）（一般）
& u9 T+ W7 P0 H' b( i# K4 o2、关联性聚类
3、层次聚类
3 J% p/ ^2 F2 O% B6 z/ z4、密度聚类
8 i+ M' s' T% b# y; ^8 q5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
8 C8 n( H( D# m( M1 D7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
! x0 _2 {$ M, f+ g1 V4 f25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
% D% p7 s- w2 r/ }  G1 c3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
; g! `. ?7 |$ |0 \; g6、标准化回归分析
. m! c0 O0 J" y5 q若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
* D- a! _( }, X6 \( F" G7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
  u6 ~5 e& l' N8 o1 b+ {8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
( F2 l. I2 [1 P# I; Y# F- E$ c/ m9 X0 S9、优势分析
, k8 L- z% T5 M% b26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
: u; c0 q- w( {$ [* E0 f% P( r: H  B率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
0 P3 I+ z, M- H
. f. Q# f. z7 i( c2 o( V