数学建模

佛自业障

数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
9 l* q8 W' }" L型、马氏链模型等。
3 {2 ^6 |/ L. ]6 ?2. 按模型的特征分：
2 ?# \) v" n7 ~5 X. f- c/ M4 Q) t静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
2 S7 o2 Y# J! V. ], q性模型和非线性模型等。
& `3 G5 W/ I9 C3. 按模型的应用领域分：
& M9 o6 @1 O) W5 _7 Q3 C人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
# }) V9 ?# s  V7 p& e- B9 A3 }4. 按建模的目的分： ：
# `) ?; a* g2 V% I5 a预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
1 x1 Y) c: D0 Y8 d5 o/ P往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
: \; F/ S3 D; @; U! U! a. w有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
8 I% a1 d; f, U% U' [4 {. g比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
) I' C& z, O# a- P( i" T数学建模十大算法
: ?( x, S& S& c: o! U  A1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
0 q$ [* @4 c: A# e( c2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
' ~# E- B. o5 x! I* t6 K! R3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
/ ?" H1 T0 V! D' S5 s5 N9 Q& r论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
! E6 O- u; K9 j" ]9 P) m, R3 u5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
5 ~/ f5 ~1 w9 k' h& [- }7 t4 C+ ]+ k% K/ ^这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
4 V) e; d$ g5 ^! ~' w; q帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
/ |2 a7 z* b3 R9 Z$ H: I1 B7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
" N% d& D4 t; o9 e" j" W一些高级语言作为编程工具
0 U" V4 P1 a! d8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
. K( k) y) {& R" E据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
算法简介
0 y8 E) N. k0 e9 B0 ]! t" e5 }& T% e; \1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
( I# w# ]. E- V  [! H解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
1 ?! I* U9 W6 n3 o①数据样本点个数 6 个以上
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
5 M& }3 r4 u6 j: m; F# R- P其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
1 Q$ P2 M' o- d) Z1 ?, [找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
3 K: o4 @  l2 [& s②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
7 ^& r8 ^/ h2 \* h- v2 Z5 p/ l一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
7 A4 g' w9 C; Y4 s$ a- k概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 、 时间序列预测
3 K: X. F  b. j4 F: c6 g" [' Q/ |预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
+ K# o% O/ U- k2 B/ k* R' I0 M0 G（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
* m( X: k/ C! i3 n预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
3 @- T1 r, n; P3 t5 W$ `1 s预测波动数据的函数。
7、 、 神经网络 （ 较好） ）
3 o& g2 z4 s/ d4 R) U大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
& t2 x/ P/ Y+ N: l9 I办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
0 G5 K6 |4 Q6 t, G7 F) N- @8、 、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
+ f8 d$ E' q+ H: X$ ?6 J& r9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
4 R2 n" [7 L) Z7 T  L拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
8 W% I- n! O) \" c9 {7 o6 R" M& S在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
( e! ^' X  M1 Q10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
7 k/ L  {+ a- e- g; D, P评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
, i) l& |5 y+ @2 N* g5 v9 g11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
" x' b; W' }4 q# F- }, T作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
+ H: Q$ P4 r/ U1 @% y  D2 w优化问题，对各省发展状况进行评判
8 w- v* c7 Z- p( o) g13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
; }1 g3 ?8 S6 @- u4 O7 C4 B秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
' e! P+ w: g/ H1 L7 ?2 o14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
6 n: |6 m4 `1 D( Y: U" u4 h  M评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
0 L' g; B% B% S3 B解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
! _! a  v* o1 I* Y$ X2 b- X的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
( o& G( A8 t3 r; p4 t9 M/ X方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
2 q  f; ^% J' S0 D0 F协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
/ D0 E, ^4 V) j; _& x* M; ~5 {素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
5 J/ G$ ^& w0 y+ o/ f% V) d- ^17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
  j. V! X) A. [7 _- Q非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
, J4 \8 i( Z( z+ B, q) ^智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
* G7 ~- ~" T9 a" u' Q. [; ?, G8 R) `) v19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
$ |" n8 V5 B) w+ t5 s# p& u离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
+ Z. P& U4 T1 e' s$ k7 D8 \排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
$ {# w5 T8 E$ ~" l: z/ K& t1 k! \有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
! g3 b6 ]; y8 w  \0 `7 s# S例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
* o" u0 w. F& @6 f射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
) b; c( y& s  Z$ m23、 、 多元分析
1、聚类分析、
" R, L' o0 J5 \7 G' x2、因子分析
* y( }* q' Z, }, |8 @3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
4、判别分析
5、典型相关分析
+ k4 Y$ L: f1 t7 @6 N6、对应分析
' m4 w- J6 A; m# ]; m, a/ {7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
- Q$ l. P- i7 h* s主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
3、层次聚类
2 y7 S, b% ^# J* t; E' y4、密度聚类
+ t. _4 f+ R7 W9 g$ U5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
5 g- R2 D" P( y+ G! M+ d4 c- r$ h. i7、费舍尔判别（较好）
1 e/ I  L. |" Y8、模糊识别
+ L' _% i0 K4 G( p25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
9 W" u. ?% b% m6 ]9 n3、Person 相关（样本点的个数比较多）
3 s7 X# w% S  Y% {+ l% C+ |4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
2 p) B5 `8 C: ?5 e. k0 M0 z若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
: X+ {) H8 g3 p6 y; u7、生存分析（事件史分析）（较好）
2 t9 D: \) [2 E7 u' ^4 S$ T" e4 u% J数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
) D# F7 k1 \3 e3 P, Q9 d2 i, h8、格兰杰因果检验
% N& Y: S1 }# U  j$ |- e* d计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
% M6 p- ]: G# ?9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
& c" P( E, t7 Y+ l4 |. ]9 Z量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
3 e: |# \( {2 k% ~, x) @率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。

$ K0 K: V/ Y, m: N+ w/ _