数学建模

佛自业障

数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
# K2 ?( U1 u2 T/ e2. 按模型的特征分：
& b" A6 X* R) v( ?( d; _- ]静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
4 b/ d' y9 \7 G2 [' s性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
' G  l2 |+ b. J6 r3 g, L# M  k预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
; C' {% G# m& V+ ]3 q8 s9 d, h- W# f8 ~往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
$ {; \  m1 b* e) R0 N0 {  `  x有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
2 q0 k2 K1 [0 @  i) w比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
$ [. R/ g- A2 [) O0 A) V. v运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
! V1 Z& x( Q/ `8 B1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
/ O1 Q  {  K# w# s9 J' C0 ?2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
! y5 f. r8 {! X5 N( C建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
, a7 O9 ?+ P7 q1 C( h. r4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
0 B2 l+ R7 R# ]2 L6 r+ L论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
  ^% r9 Z3 |7 b: g这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
/ s0 c9 u& P1 h' Q: r这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
1 d. y8 `2 F: F( x! L帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
) ?3 O2 T) z; Q- Q7 g& M3 Q" w) p7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
" h8 v( C" d1 E, c8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
* J) ~  ~7 P+ B0 k据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
7 a& c$ g  v) f& {% c0 o如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
; ~# f7 n6 e- G行处理
, o6 z0 u( ?! S# M, \算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
4 H' G$ E& b! g$ e解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
2 S$ R0 L9 ?* j& s" E个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
4 T, N8 h$ i0 K8 q其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
- |& N& @1 A* _/ h找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
* v* y, v1 ?1 }9 S& u+ B' x3 、回归分析预测 （ 一般） ）
! ~9 U6 W4 L) p4 A% D+ E; i求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
! J7 F" Z- C) M3 t* V/ t6 s①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
. A# _$ I1 Z( N6 j- G  _4 v* j8 `" I②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
* D* p1 ]; n8 K, |/ l5 ]4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 、 时间序列预测
1 ~; a0 h' j% l# z& _预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
) k. {9 m) W& }* o6 p6、 、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
; F/ @3 O2 l) Z预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
. W" h' c8 f; q预测波动数据的函数。
7、 、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
; Z- B. E/ @1 z7 \9 e办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
# E! _% ^. a' z' v! ]8 w8、 、 混沌序列预测（高大上）
2 d! X( G+ U+ ?- z! m$ \适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
* w+ M/ @7 T4 @3 y8 b" W" [5 I& K逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
  Q4 d0 k# _! Y/ c9 V# U10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
# o" @, w' A$ f+ L评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
% G& v5 x$ Z2 b& F2 }% k作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
! H+ P- T1 l- b+ ?; d12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
1 c# `$ }& H$ o6 Q优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
! ^9 v" w: X6 c# w秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
4 ?0 c% n& V( P9 y4 H$ E" o法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
) F5 W$ L, Z5 P. M+ @7 j14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
! J5 Z4 w  f2 f其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
- [! }) J) l( h3 K' x解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
. ?' U; D- R) ^8 l* r的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
2 M* V8 }) |  |- j方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
7 Q- S. k2 u$ {) t# `2 S9 G* {协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
7 J2 `$ X# ]: w9 I素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
) f0 [$ a- F7 L此外还有灵敏度分析，稳定性分析
2 O, n+ a" a# O, F2 m5 X7 @: `17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
3 n8 @( u* i0 U: ^模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
9 c- s1 Q$ g0 a. c, d优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
1 S# X* O1 y& ]9 z) a* W3 \, M0 s非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
( v' s" s  y7 p智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
0 A4 t: g  x& ]) \" X, p19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
! O, d, C$ F+ r  x3 }3 H, N离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
# C' w' b2 M0 O9 x% U2 ~即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
4 e% z9 @1 |2 H/ Y; s" n6 C# L有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
. [: v* b2 c% U. H" o般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
; v+ A' J$ w5 D3 K* w例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
, \4 W& U# k) L" X- g; [: B22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
- T8 q! l. [+ k支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
' V8 J% x. C7 }+ A9 C1 @射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
3 h& H; A" ~% i9 M; f% v- X2 a0 k7 B1、聚类分析、
2、因子分析
" |. w! V* F! I: \) f3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
1 H1 G8 ?+ F( c% Y7 H从而达到降维的目的。
7 ^) W  G/ J1 U4、判别分析
% S  {6 Z( @+ E6 z9 b2 ~5、典型相关分析
  k. N, b, h0 ?; A  D( k: g, m8 _6、对应分析
7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
% c  H6 Q' c8 p% O7 k* W主要包括以下几种方法，
3 l) {+ @. J! Z1 F1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
3、层次聚类
4、密度聚类
- ]4 m! l/ ~- {4 O5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
4 q$ h0 c( A* O2 Q4 \' {( y+ s& Z: ~7、费舍尔判别（较好）
4 d( `, x- B0 ~, s$ l2 M6 u/ ^, f8、模糊识别
25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
8 K# V8 c+ a/ e, S, D# |2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
7 }5 v. {2 D4 s2 X# z7 u3、Person 相关（样本点的个数比较多）
' _+ m4 n% \+ O- r4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
0 J- C: |. a+ s（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
8 _, Z2 s( |! }6 N3 ]# F7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。

4 _3 @, d4 E# h. ]) q" O2 d1 Y; w
1 j) E$ D% U% u+ [: g  J
& K9 H$ u2 G0 ]2 A