全国大学生数学建模竞赛

浅夏110

全国大学生数学建模竞赛
: n$ I* D! {) ?  k

/ J0 ^1 Y0 N; V7 `
7 x' X1 w6 S# R: V3 X
7 _# g. {1 m5 y6 q/ t, _# _
8 |0 y; _7 n; I. F$ f& j' V+ s
$ p' Q; D- k: N5 Q' d6 m1 ^( D6 @

5 q' K0 N/ K. R, H2 b; [) c

目录

一、任务分析

二、题目一求解

题目分析：

模型建立：

模型求解：

3.1读数据，绘图

3.2探测器之间的距离计算

3.3小圆与发射—接收系统的相对运动

3.4提取小圆圆心位置坐标

三、题目二求解

4 D0 F4 }  N' l+ j; ?* z

---

一、任务分析

历年赛题

任务：CT标定，CT图像重建

知识：图像处理

标定模板为椭圆与球。CT测量所得数据为512*180的二维矩阵。

行数512:接收点个数，列数180:CT旋转次数。所成的二维矩阵并不是真实物体的成像，而是不断旋转的水平投影的叠加。

每个角度都有一个大小为512的投影向量，一共180个角度的叠加。

二、题目一求解

求解：CT系统旋转中心在正方形托盘中的位置、探测器单元之间的距离、CT系统使用的X射线的180个方向

题目分析：

标定 CT 系统的安装误差

模型建立：

（1）探测器之间的距离

模型求解：3.1读数据，绘图

表格一数据读取

• 
  
    c0 M% j3 v# |4 GA=xlsread('E:\math_model_data\data2017\A.xls');
  
  % {% ?! B6 Z5 U6 C/ m2 n0 ^
• 
  
  imshow(A)
  0 Y! f( ?8 U  y: g. L
  
  9 Y: {6 G, Y  f6 g1 Q) i

7 q# D  p. c! E# X

表格二数据读取

• 
  6 f8 \, R) j1 F/ l' j' n& z
  B=xlsread('E:\math_model_data\data2017\A.xls',2);
  
  
• 
  
  X=1:size(B,2);
  # |' V# n9 J2 \/ o! s2 o7 ^& F: h
  0 N2 p  {  H! q9 I' Q1 T8 T: V7 Z
• 
  ) X2 x- ?+ i& j; e  r, O
  0 e$ E2 J( b: O: A$ S. `Y=1:size(B,1);
  
  
• 
  
  figure(1)
    ^, N& v7 P/ k6 U! ~5 t- f
  6 z* p0 |# y0 {" \; e7 n, ^, k! q
• 
  ! B0 a; y" h' c2 H4 F: U. g
  mesh(X,Y,B)
  
  
  

3.2探测器之间的距离计算

• 
  : u9 z0 u) S# D. M" s3 E1 J) l
  B=xlsread('E:\math_model_data\data2017\A.xls',2);
  7 x; n9 A& ~- \' S5 H
  
• 
  ) J8 E0 v" j, E+ g, G' w, l+ Z5 N
  8 Z/ _, F9 C6 A8 Z
  ! e  n3 V+ Y& a, w/ d" @8 k
  8 F8 e* I2 L% R4 B% f# @
• 
  
  0 X! R7 f* p' ^/ U! e( ~6 ?! Efigure
  3 _; J6 T- C0 m* {( Q( e% y
  
• 
  0 R1 t5 Z7 t9 Z- J
  lenb = (1:length(B));
  9 E$ U' I2 C& ~
  
• 
  
  
  
  
• 
  
  subplot(221)
  
  
• 
  
  1 m: w# t; a" h; a) p5 V4 o1 p, pscatter(lenb( B(:,1)~=0 ),B( B(:,1) ~= 0 ,1),20,'filled')
  # g' k8 y' a& U# p! s
  
• 
  ) m# q8 y' `# r  w/ T1 b( D
  0 r7 ~$ Z# {1 X& Ctitle('1')
  2 g) R. {- o0 A& I; y+ x
  2 M1 Q6 _& X7 b2 }4 I* }
• 
  
  
  - z+ U* |: i2 s" s+ {6 P3 P
  
• 
  $ T8 Q+ W  a3 K- G
  . G6 ^3 G) H& G4 K: K' Qsubplot(222)
  , D6 d6 a2 R; C, }8 }7 i
  
• 
  6 @7 z' \! S8 C1 N  V- t7 z
  0 F/ `# S; h: p; I# gscatter(lenb( B(:,6)~=0 ),B( B(:,6) ~= 0 ,6),20,'filled')
  
  
• 
  + I" K6 q1 w% X2 L8 {& h6 U. R5 i
  , {/ f: @* I2 t  u: L) _title('6')
  / z& s" w. v& \; V/ X# }" M0 A; H
  ( z  {2 r: x4 P6 f9 O' p% S
• 
  
  $ q2 [) w" x8 A1 U/ B% H
  
  ( U6 I: r: u) K$ E% p
• 
  # j( |) Z3 P( f- _+ e+ i3 ^
  3 s& f$ x7 N8 I5 A6 m" O' ]subplot(223)
  
  
• 
  
  $ ~4 Q" ~  k2 r- |scatter(lenb( B(:,11)~=0 ),B( B(:,11) ~= 0 ,11),20,'filled')
  
  7 T( z% h" l  O9 w
• 
  
  6 Q; [3 q6 c3 {, Y' O0 s& N5 etitle('11')
  8 m* [3 H. |; q  b4 X# }1 @& l
  / [4 @% w! k- p9 n0 A4 B# ^
• 
  + b( o5 ?" ^) E- ]/ u
  
  . b' G; P. S4 i. I* x3 K
  
• 
  
  subplot(224)
  
  ; E0 ?6 g* c4 b3 I8 `
• 
  - s) E  p1 {, }6 t+ |4 s: p- y8 I* H& J
  scatter(lenb( B(:,60)~=0 ),B( B(:,60) ~= 0 ,60),20,'filled')
  
  1 @% ?6 J, G/ k1 R8 m
• 
  
  1 t. u- q, b4 U/ ^title('60重合')
  
  
  

图1:球投影29个点。图6:球投影29个点。 图11:球投影28个点。

解得，探测器之间的距离和小圆直径的不等关系式:  

由图即可解得近似解：

3.3小圆与发射—接收系统的相对运动

模板：小球与椭圆，小球投影为小圆。系统：CT系统。

模板与系统相对运动，一动一静。以系统为参照物，系统看做静止物体，则模板为运动物体。取第一个探测器为坐标原点，建立坐标系，解算

根据特殊点解得、与

5 J# S- b) |/ t

点A:

点B:

点C：

解得

3.4提取小圆圆心位置坐标

分离段：取极值

重合段：边缘提取后，取平均值作为中心

得到180个小圆圆心，解得180个角度。

3.5参数修正

3.5.1 进一步确定旋转角度的范围

+ i% q- g- D: O6 u3 l

3.5.2 修正旋转中心坐标

2 u1 M" `) C4 l* \# Z5 g