2-8、蒙特卡洛模拟 含附件

杨利霞

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2-8、蒙特卡洛模拟

一、背景

  蒙特卡罗模拟方法 (Monte Carlo simulation) 诞生于上个世纪40年代美国的”曼哈顿计划”，名字来源于赌城蒙特卡罗。蒙特卡罗算法从某种意义上而言，就是一种赌博算法。
  它是一种基于随机试验和统计计算的数值方法，也称计算机随机模拟方法或统计模拟方法。蒙特卡罗方法的数学基础是概率论中的大数定律和中心极限定理。

二、算法引入

  最早接触到这类算法应该是在高中或者初中阶段，而且是一道送分题。即在一个正方形中有一个内接圆。现在在这个正方形内抛洒豆子。已知正方形面积为S，落在正方形内的豆子总数为 MM，其中落在内接圆内的豆子总数为 NN。请估算内接圆的面积。

3 c3 v" W5 C0 b6 X

3 n9 {! H$ C# u  根据概率论中的大数定律可知，当随机事件发生的次数足够多的时候（趋向于正无穷），其发生频率就可作为此事件发生的概率。对于本题，当抛洒的豆子足够多的时候，落在圆中的豆子比值即可视为圆与正方形面积的比值。那么计算结果 S×N/MS×N/M 即为圆形面积。
; k0 X# R: [4 d9 P  这种算法需要承担一定的风险，但是比起这种算法带给我们的收益，风险其实不足为惧，同时我们也可以运用合理恰当的方式来最小化这种风险。
  在建模和仿真中，应用蒙特卡罗方法主要有两部分工作：用蒙特卡罗方法模拟某一过程时，产生所需要的各种概率分布的随机变量；用统计方法把模型的数字特征估计出来，从而得到问题的数值解，即仿真结果。
6 K5 k) a  q4 `! A% t- x* d9 E9 D5 \
解题步骤如下：
  1、根据提出的问题构造一个简单、适用的概率模型或随机模型，使问题的解对应于该模型中随机变量的某些特征（如概率、均值和方差等），所构造的模型在主要特征参量方面要与实际问题或系统相一致。
' L% R$ P1 L8 J% ?& Y1 b  v  u  2、根据模型中各个随机变量的分布，在计算机上产生随机数，实现一次模拟过程所需的足够数量的随机数。通常先产生均匀分布的随机数，然后生成服从某一分布的随机数，方可进行随机模拟试验。
4 t$ }- U2 k$ @; V% P1 d  3、根据概率模型的特点和随机变量的分布特性，设计和选取合适的抽样方法，并对每个随机变量进行抽样（包括直接抽样、分层抽样、相关抽样、重要抽样等）。
  4、按照所建立的模型进行仿真试验、计算，求出问题的随机解。
  5、统计分析模拟试验结果，给出问题的概率解以及解的精度估计。
: O4 p9 N8 z8 s% B" F( ?- u6 l% c- y
三、算法应用
, u6 J' _6 p2 n  u+ r
0 m" c( J: {. ?8 X  蒙特卡罗算法的应用领域很多，这个算法在金融学、经济学、工程学等领域得到了广泛应用。适用于 Monte−CarloMonte−Carlo 算法的问题，比较常见的有两类。一类是问题的解等价于某事件的概率，如算法引入中提到的求解圆的面积问题。另一类是判定问题，即判定某个命题是否为真，例如主元素存在性判定和素数的测试问题。
  对于第一类算法所涉及到的问题，最多的就是定积分的求解。通常情况下我们有公式来求解各种图形的面积，当然也可以求解定积分。但是当我们遇到不规则图形以及极为复杂难以求解的定积分时，由于定积分的直观意义就是函数曲线与 xx 轴围成的图形中，y>0y>0 的面积减去 y<0y<0 的面积。同样是对于不规则面积的求解，最终我们都可以回到蒙特卡罗算法中来求解面积。

! Z" K9 A6 \# `  对于蒙特卡罗算法，其优缺点也是比较明显的:
优点：
- a; x9 q3 b& _. h3 l1 k  1、能够比较逼真的描述具有随机性质的事物的特点及物理实验过程
; U% g& Z, C8 E/ s6 m: s7 h0 B  2、受几何条件限制小
  3、收敛速度与问题的维数无关
6 v. S% p9 s4 B8 l8 @  4、误差容易确定
& q5 \* Q! U, @7 N7 O$ x" `  5、程序结构简单，易于实现
2 [3 `& M! ~0 Y缺点：
  1、收敛速度慢
  2、误差具有概率性
! b7 C2 c4 D  Y' i  3、进行模拟的前提是各输入变量是相互独立的
' h. O$ M- M) _5 B% R
四、算法实例

5 \3 O, ~7 M! O) h( }例1:


  在不知道求解圆面积的公式的情况下，试用蒙特卡罗法求出圆面积。

. X' k* P9 W2 b  }/ T解答：
) S' W( L9 H. n  由上文介绍可知，可在matlab中生成大量在 [0;2][0;2] 上服从均匀分布的随机数，从而模拟上文中的抛撒豆子。通过计算落在圆中的点与总点数，就可算出圆与正方形面积之比。

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