2018数学建模A题的简单指导

杨利霞

2018数学建模A题的简单指导

之前写过一篇博客，介绍如何使用差分格式求解热传导方程

8 H# B  j5 i' C0 q今天打开博客，突然发现评论区被这篇文章霸屏了


$ o0 g0 y$ S6 i. n1 \, A' T
, {; n" V; ^6 N0 U3 U0 B& d) I询问实验室的小伙伴才知，原来是被可爱的建模学子们攻占了

经过简单的了解，发现今年建模的A题的核心就是求解一个热传导方程，因此之前所写文章的程序基本可以算是神助攻了，完全可以帮助大家构建解题程序的基本框架。
4 p2 ~/ [! E' _( `, _4 d
! ?* N& x' S! }% A但是！

数学建模比赛考验的就是大家的学习能力以及解决问题的能力，我只提供简要思路，不要做伸手党直接找我要代码，不要问我怎么写，请对得起你将来获得的一等奖。

5 d, a. ^8 a( T8 h. w8 S再有就是，你要先确保你能看懂我已经提供的源代码，否则下面我提供的思路你可能看了也白看。
! K* \: v, b' O
8 x+ ?3 l1 i3 N7 j! w) h0 Z$ W这里统一对大家的问题做一个回答：

本题适用差分解法吗？

1 T) _1 l) A! Y# I& \9 ?! f求解偏微分方程的方法中，差分方法 和 有限元 是两类最主流的方法。

差分方法的优点是原理简单，但是只能求解规则区域的数值解。

, p; H0 l9 x" j8 d有限元背后的理论相对难很多，但能够求解不规则区域问题。

本题适用哪种方法解答取决于你的模型假设

本题中涉及多种介质的热传导的求解，我的建议是，如果不想给自己找麻烦的话，将每种介质层假设成规则的矩形。

既然带求解区域是矩形了，那么本题使用差分方法来求解更加合适，关于差分方法，你可以随便找一本介绍偏微分方程数值解的书，都有介绍。
9 }, r6 R% `  w7 \: ]
" v' v1 d6 s( U当然，你如果将模型假设定义为更符合实际的不规则问题，能做出来当然是亮点，但切记不要搬起石头砸自己的脚，毕竟建模时间紧任务重。
& U$ K+ x9 s- k! ^
! v( c7 P+ c  L6 l+ `. a是否适用于多层壁热传导？
& k+ w4 e5 ?3 R" v7 W( M& m
评论区有人问，是否适用于多层壁热传导吗？

4 W/ y4 o. v7 {# `其实就是问这个程序能否求解A题嘛，O(∩_∩)O哈哈~

% u+ u7 V! S5 z* ~0 d3 v答案当然是能，但显然不能直接拿来用，给几点提示。
. y8 {- E# F. o. i9 {
思路1：
  a" O' `! J% e) u4 e, @9 z  ^* K) s4 n
你单拿出其中一层来求解，和我提供的算例已经没有本质区别了。

8 T% O. W% S4 c) D5 X' l" c0 l: g因此，你可以一层一层的求解。先求第一层的数值解，第一层的结果一有，第二层的边界条件也就有了，于是第二层也可以求了。

) z3 N2 \8 x. U这样做的潜在问题是，第一层中求解的误差，必定会传递到第二层去，数学上可能不太完美，但是好理解，代码改动也少。
3 b' o4 g1 N0 x
思路2：

. M% `' B% w: C0 V% V2 m. c2 p0 B2 k我认为数学上更好的方式肯定是整体一起求解，但这就有点困难了。
5 U6 Q( X+ ]$ ^
这样做时，你需要对每一层边界在系数矩阵的相应位置处，都按照边界处的对应关系进行相应处理。
. C/ [0 V. x+ G9 a5 ^
4 w: Q! F2 K0 k这需要你对差分方法有着很好的理解，如果我提供的代码你无法完全看懂，建议就不要考虑了。
, T3 ]9 o" F- M0 ^% W% C
. I: d& Q4 K9 [( @' ~关于边界条件

0 S1 w0 v4 v5 U3 p4 g6 Q! i, x2 v构造的差分格式是保证解满足对应的方程，但其实满足给定方程的解有无穷多种。
6 ?3 E" [( l, L0 {" Q1 ?
! v/ Z/ z8 V$ b! p$ `而边界条件的作用其实就是找出你想要的那个解。
; Q* Z6 i; V) I% X8 d  Q' b
, v' m! z& S) r& I之前文章中给出的算例包含的边界条件是：

8 K( E$ [  a* l: K5 Tu(x,0)
' f, e2 {( E9 \9 Q. |- m
u(0,t) 和 u(1,t)

在A题中右侧初始温度好像是没有的，也就是u(1,t)没有

首先，你要知道的是，求解需要的边界条件并不一定非得是这几个
/ @  i; O- Y; r1 T
但是少了一个边界条件，你就要想办法补上一个边界条件, 边界条件也不一定是已知函数的表达式，导数的表达式也是可以的（当然，代码是一定需要相应修改的）。

$ F# e1 i6 ~' D5 L比如没有u(1,t)，你可以想办法构造 du(0,t)/dx 或 du(0,t)/dt

这就看你如何理解原问题了，建议查阅文献，看看别人使用的是哪种边界条件，相应的对代码进行修改。当然也可以通过模型假设，将问题向你期待的边界条件上面靠。
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