2018数学建模A题的简单指导

杨利霞

2018数学建模A题的简单指导
8 @' k. P6 g# Y- A; x1 O
( C. C% w) D/ }8 I: W9 S  b之前写过一篇博客，介绍如何使用差分格式求解热传导方程

今天打开博客，突然发现评论区被这篇文章霸屏了

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询问实验室的小伙伴才知，原来是被可爱的建模学子们攻占了
+ u& T4 n  g9 U3 O
经过简单的了解，发现今年建模的A题的核心就是求解一个热传导方程，因此之前所写文章的程序基本可以算是神助攻了，完全可以帮助大家构建解题程序的基本框架。
: l! N) o& U6 a1 T0 P
" M  Q/ h1 G1 e8 J' d# V! L但是！

数学建模比赛考验的就是大家的学习能力以及解决问题的能力，我只提供简要思路，不要做伸手党直接找我要代码，不要问我怎么写，请对得起你将来获得的一等奖。

再有就是，你要先确保你能看懂我已经提供的源代码，否则下面我提供的思路你可能看了也白看。
9 s$ _9 P7 \) O( }  E/ a, a
这里统一对大家的问题做一个回答：
1 R" v6 e5 C  _' Z6 g! y/ i1 ^
6 p4 \8 @1 }8 l本题适用差分解法吗？
1 H, c* ~3 f' Z# V6 \! T# C4 L9 p
) d0 d9 ^& c1 o+ A! v求解偏微分方程的方法中，差分方法 和 有限元 是两类最主流的方法。
5 ?0 E5 e  w8 b% x
差分方法的优点是原理简单，但是只能求解规则区域的数值解。

: h4 J: K/ D+ K; @- m' H有限元背后的理论相对难很多，但能够求解不规则区域问题。
; E9 @4 n( p) Q1 o0 S
本题适用哪种方法解答取决于你的模型假设

+ Y1 x# \8 B2 [2 Y/ L本题中涉及多种介质的热传导的求解，我的建议是，如果不想给自己找麻烦的话，将每种介质层假设成规则的矩形。

既然带求解区域是矩形了，那么本题使用差分方法来求解更加合适，关于差分方法，你可以随便找一本介绍偏微分方程数值解的书，都有介绍。

当然，你如果将模型假设定义为更符合实际的不规则问题，能做出来当然是亮点，但切记不要搬起石头砸自己的脚，毕竟建模时间紧任务重。
* Q2 ]5 P/ r) ^* E% |4 I
# u7 C& \0 G) v- l7 B! r$ r是否适用于多层壁热传导？
9 q9 I5 s# E/ U1 y6 D
评论区有人问，是否适用于多层壁热传导吗？

其实就是问这个程序能否求解A题嘛，O(∩_∩)O哈哈~
' t# n7 m' n/ t
' a- Z! \: s1 I& U7 J) v答案当然是能，但显然不能直接拿来用，给几点提示。

思路1：
) d, X- j, d/ s8 ]; ^! X% G& w1 b* ^
3 n  T5 h  E7 j- p你单拿出其中一层来求解，和我提供的算例已经没有本质区别了。
9 K, n  E( I, c' A/ E5 f# @0 b
因此，你可以一层一层的求解。先求第一层的数值解，第一层的结果一有，第二层的边界条件也就有了，于是第二层也可以求了。
% T) Z) D( x9 C6 r, S
这样做的潜在问题是，第一层中求解的误差，必定会传递到第二层去，数学上可能不太完美，但是好理解，代码改动也少。
1 j0 m/ Q: v4 x2 O
思路2：
# X; D: Q3 f3 ~4 u- d0 |2 `/ }3 X
我认为数学上更好的方式肯定是整体一起求解，但这就有点困难了。

( u/ v0 C9 A* [! B这样做时，你需要对每一层边界在系数矩阵的相应位置处，都按照边界处的对应关系进行相应处理。
& {/ M  X5 y, R  K: a; I% e
; W+ I+ u+ P' T2 D$ ~4 C' t1 I这需要你对差分方法有着很好的理解，如果我提供的代码你无法完全看懂，建议就不要考虑了。

关于边界条件

构造的差分格式是保证解满足对应的方程，但其实满足给定方程的解有无穷多种。
) N$ W' }4 Z( F1 l2 g4 ?
而边界条件的作用其实就是找出你想要的那个解。

之前文章中给出的算例包含的边界条件是：
7 k: a3 F6 w9 E
. A+ n% Y3 s9 Z( D" k, Tu(x,0)

u(0,t) 和 u(1,t)
" R0 t* w! V' b8 ~" h
* I* {( i5 R$ H7 w! o! V  O/ K  j) ?在A题中右侧初始温度好像是没有的，也就是u(1,t)没有

" H/ ]$ [8 _5 y4 Q# O! I1 M首先，你要知道的是，求解需要的边界条件并不一定非得是这几个
) F# [0 J5 c4 \& r1 y
& z( w3 I; d- A# S但是少了一个边界条件，你就要想办法补上一个边界条件, 边界条件也不一定是已知函数的表达式，导数的表达式也是可以的（当然，代码是一定需要相应修改的）。

比如没有u(1,t)，你可以想办法构造 du(0,t)/dx 或 du(0,t)/dt

5 h# N# U, f( z! M0 e这就看你如何理解原问题了，建议查阅文献，看看别人使用的是哪种边界条件，相应的对代码进行修改。当然也可以通过模型假设，将问题向你期待的边界条件上面靠。
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