2018数学建模A题的简单指导

杨利霞

2018数学建模A题的简单指导

之前写过一篇博客，介绍如何使用差分格式求解热传导方程
- @; k5 d+ M9 j( g* E
今天打开博客，突然发现评论区被这篇文章霸屏了

! K1 }+ u2 W5 s; X1 C' S
) o( ^; m5 p( B0 j  I4 z
0 U3 x1 P- W7 P询问实验室的小伙伴才知，原来是被可爱的建模学子们攻占了

& D0 |0 N$ z, x% L: s' c  ^2 M经过简单的了解，发现今年建模的A题的核心就是求解一个热传导方程，因此之前所写文章的程序基本可以算是神助攻了，完全可以帮助大家构建解题程序的基本框架。

0 Z9 ~% H* a) e但是！

, V! B/ i6 U, ?& K2 J, Z数学建模比赛考验的就是大家的学习能力以及解决问题的能力，我只提供简要思路，不要做伸手党直接找我要代码，不要问我怎么写，请对得起你将来获得的一等奖。

再有就是，你要先确保你能看懂我已经提供的源代码，否则下面我提供的思路你可能看了也白看。
0 l4 h4 Q% G, E
% Z& ^, }: L- {( F, j9 }, Y这里统一对大家的问题做一个回答：

本题适用差分解法吗？

! m6 J# U: m6 @3 G3 a% h求解偏微分方程的方法中，差分方法 和 有限元 是两类最主流的方法。
. G1 H3 f9 B% I8 r2 ~$ n
; I( F+ X6 ^& H9 r: J差分方法的优点是原理简单，但是只能求解规则区域的数值解。

有限元背后的理论相对难很多，但能够求解不规则区域问题。

本题适用哪种方法解答取决于你的模型假设

  v0 W' ]$ U2 \2 q( i本题中涉及多种介质的热传导的求解，我的建议是，如果不想给自己找麻烦的话，将每种介质层假设成规则的矩形。

1 x$ n/ M6 L* p2 Y; c7 u既然带求解区域是矩形了，那么本题使用差分方法来求解更加合适，关于差分方法，你可以随便找一本介绍偏微分方程数值解的书，都有介绍。

当然，你如果将模型假设定义为更符合实际的不规则问题，能做出来当然是亮点，但切记不要搬起石头砸自己的脚，毕竟建模时间紧任务重。

: C7 Y( M# V* }$ U是否适用于多层壁热传导？
( E. B4 A9 P! r" A0 t( T$ T
评论区有人问，是否适用于多层壁热传导吗？

- h0 ~5 H% r5 @* \3 T! t0 O其实就是问这个程序能否求解A题嘛，O(∩_∩)O哈哈~

; K. W# J# m* _3 e答案当然是能，但显然不能直接拿来用，给几点提示。
. T1 p3 h- Y% J  c# ^9 ^4 ~* }
3 b9 G$ ~. W( q9 y# e思路1：

5 X" R" @3 N" \; g( ?2 E$ Z* x! R, v) ^% j你单拿出其中一层来求解，和我提供的算例已经没有本质区别了。

因此，你可以一层一层的求解。先求第一层的数值解，第一层的结果一有，第二层的边界条件也就有了，于是第二层也可以求了。
4 h9 J+ h  K1 y, S
3 W7 R. J% Z4 N! b这样做的潜在问题是，第一层中求解的误差，必定会传递到第二层去，数学上可能不太完美，但是好理解，代码改动也少。
2 r) v1 @& a' d2 ^
% H( P4 G! d3 a2 b2 _' u+ C思路2：
0 c, ?, E) f! v- d( i
我认为数学上更好的方式肯定是整体一起求解，但这就有点困难了。

9 f1 D- {2 j$ z/ c: \这样做时，你需要对每一层边界在系数矩阵的相应位置处，都按照边界处的对应关系进行相应处理。
9 R- O9 v. m! {, |1 D2 U: s, t
, L6 I! G, A# X! w2 C, O' S; ^; A2 s这需要你对差分方法有着很好的理解，如果我提供的代码你无法完全看懂，建议就不要考虑了。

& d& W/ }+ F% x, S$ P关于边界条件

( W4 Y' W; M  I5 C8 q$ k$ Q* Z构造的差分格式是保证解满足对应的方程，但其实满足给定方程的解有无穷多种。

, f4 u$ k* t( W* Z! l而边界条件的作用其实就是找出你想要的那个解。

& m% e; M5 B5 W0 F, {3 ?之前文章中给出的算例包含的边界条件是：
) y. Z  m, ]) C0 l" P, _% y! [
( _! K( j2 b5 O& W' e. x- h/ xu(x,0)

u(0,t) 和 u(1,t)

在A题中右侧初始温度好像是没有的，也就是u(1,t)没有
% _- N- f, ^1 t& {# o1 r
首先，你要知道的是，求解需要的边界条件并不一定非得是这几个
/ `$ K( G2 b7 O; n9 J
9 M! @- @" f' A# M" e4 w3 V" G但是少了一个边界条件，你就要想办法补上一个边界条件, 边界条件也不一定是已知函数的表达式，导数的表达式也是可以的（当然，代码是一定需要相应修改的）。
$ p- Q& P4 f; ]2 k# ?0 X
比如没有u(1,t)，你可以想办法构造 du(0,t)/dx 或 du(0,t)/dt
; }) W! ^& [% ?( }
" ~1 y1 P; [" Z( ^1 c这就看你如何理解原问题了，建议查阅文献，看看别人使用的是哪种边界条件，相应的对代码进行修改。当然也可以通过模型假设，将问题向你期待的边界条件上面靠。
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& g: Y6 o5 ?5 a. l9 C" u
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