数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
优化算法

数学建模问题总共分为四类：
1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题
  T/ l8 l& r) l3 Y( X% t
2 |1 L5 }- m6 p! N( J一、粒子群算法（PSO）

0 u+ g( O! O/ _! l5 f; K+ G( F算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
6 @: x9 a  N8 O8 kPSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。
5 M: _  u& u8 S& V
基本PSO算法

, s6 @9 {" ?- q* c: Z- h  WD维空间中，有m个粒子；
8 p1 Q% B! N6 q+ H8 J9 r+ g9 h粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
; S+ X; ^: `1 C6 U2 o粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)


$ ^: D( a- r8 j- a- e5 `8 F二、模拟退火算法（SA）
& k; Q5 T$ Z2 ]* |# ~8 h( f. c% N
模拟退火过程：
设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
, O8 X) m' t/ Q0 a! ?热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。
& l* Q4 Z$ ?0 l5 n1 O+ z
三、遗传算法
; K! x/ p/ w4 N( b" D; a, G: X' A
7 a9 q# d" i6 y* z3 a产生一个初始种群
% H+ F) d7 A. Z$ e- W+ F- z8 A根据问题的目标函数构造适值函数
根据适应值的好坏不断选择和繁殖
若干代后得到适应值最好的个体即为最优解
3 m1 k- h% [0 ^4 {& n
( U/ B% m, X3 E0 j四、算法步骤
3 W7 r6 W7 \  c$ A" |初始种群
编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
1 U. P! C9 z# L* {. H" y6 }9 s适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
5 i# }; F0 Z* n- [遗传运算，交叉和变异
+ s6 d5 s4 c$ S9 [# z- f选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
停止准则

参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105
, L# j) c, t2 _- y6 g) F' n* ]% Q
四、神经网络算法

) e: \# V  e2 l0 c8 _和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测

& G$ N) U( q" @) K2 _五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)

又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
3 A* A) q. f1 F' D优点：
! }4 ]( U2 J9 W: X+ I1 A, f! j! e8 _4 O1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
+ ]! h% D) x; m, ^9 c2、局部开发能力强，收敛速度很快。
缺点：
) d) A' S& G  e( P1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
4 R) _( f6 U0 l0 u6 [5 |! I" K2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。
$ ~0 ]* L  S3 I) p
将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
* z5 R3 I. a" @; C+ Ia、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
b、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
(2)初始解的获取
5 Z/ G& d: @: {, X/ `+ H9 H可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
(3)移动邻域
: B: M% J/ t0 J6 y5 X( D1 r) l4 p4 m移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
8 W$ }" S+ P5 c% k(4)禁忌表
禁忌表的作用：防止搜索出现循环
' @: g# m( r( y3 N9 |5 A% E4 O(5)渴望水平函数
& `( n1 r7 A. tA(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))
0 `* g* {/ A* L% V$ i4 Q3 N
六、蚁群算法（AS）




! o1 K! h4 s: W. C
3 |0 I" m* B* t- t6 O
/ ?2 p0 F( l% w. {0 b9 ~9 q

0 q( k1 _+ z( d

8 p5 B' |4 p/ C) o7 F
; ^1 Z) x* P6 Y. @