数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
优化算法

数学建模问题总共分为四类：
# [7 `9 r2 S! Z  }: Z1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题
, O( u8 a* Z6 A( l- F( R
一、粒子群算法（PSO）
- Z8 A3 _; x, L+ L/ E3 E% x0 o
+ g* Z! Y+ H2 D) R+ ]1 _0 N算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
. y5 ]2 z" I& @9 b- H/ VPSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。

: d9 J) a4 ?+ k0 Q1 {4 M基本PSO算法
* T! E5 v! Z- x9 e2 H
% K" F* i7 j1 O- c; ^) mD维空间中，有m个粒子；
粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
  f& T7 a" [$ L$ @( C& P, H粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
. H. V' i3 d) {3 i群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)
. Y' @( E5 e% J3 y
' U7 T1 A$ x1 h7 H) g1 O: D$ c
二、模拟退火算法（SA）

: V+ }/ V. p4 z, P8 ]模拟退火过程：
设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。

三、遗传算法
8 V- y' g, u2 ?) z/ T  F4 w+ @; M
产生一个初始种群
3 _' F, i; |: g根据问题的目标函数构造适值函数
根据适应值的好坏不断选择和繁殖
若干代后得到适应值最好的个体即为最优解
  g! O4 S. o0 Q0 x; A) C* P6 E8 s: k
* @7 j8 b% c4 V# [" G5 X四、算法步骤
2 q$ P! D/ n; d9 H初始种群
9 Q; ^: R+ j/ t* H1 S  p编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
7 S7 y! m$ }" g  l' ?" A9 h& `适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
% s: k0 i, y; P, w% s; z" O) H遗传运算，交叉和变异
选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
停止准则

参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105

$ J1 u; y4 ?8 S; t/ `: E% z四、神经网络算法
' [, }: \( j. [; Z% Q* T
和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测

! _. k! Z5 |% m' C! a6 E3 u% l五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)
- N# L* A  F" ?  a/ s
又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
, {0 O: Y  l3 T, l" S5 V7 Q, w# R优点：
7 z0 B% ~0 p5 }- O3 J1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
* h" o$ u' o$ t) E5 i( C2、局部开发能力强，收敛速度很快。
缺点：
1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
& e+ i. O8 t! S  Y2 T% W7 Z8 @2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。

# w! {( d8 k: |将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
a、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
b、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
(2)初始解的获取
( C& Z0 l: Q; `0 q- V, `. M可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
(3)移动邻域
( X8 g! D1 }+ I* H8 v% r移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
1 w$ O, u9 H, q1 h% `% |(4)禁忌表
8 h- v/ d' i! L7 j" H4 ]禁忌表的作用：防止搜索出现循环
(5)渴望水平函数
A(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))
* v% o$ {4 v" d6 P# r
六、蚁群算法（AS）

+ H7 y8 r# D% m$ [" O; A
% o1 S1 }8 U' }( v- l; A  o; h



) S( O! Y; J. n! F9 t" r

' @- r( N6 a' m( U4 }' h- E+ O