数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
" U/ u& F/ `4 a/ ]! a3 R( \优化算法

- E! S( k' I5 Z  m& S数学建模问题总共分为四类：
1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题

6 [9 p2 o! A% ~9 X5 I一、粒子群算法（PSO）

算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
2 R1 k* Y1 ^* B. C0 ]/ hPSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。
* U2 l. M( A9 C0 X, U6 |
1 W3 ~; v2 a  M( C# S. P4 \) r7 b基本PSO算法

+ Q9 q" K1 ]% p$ [: k* _3 zD维空间中，有m个粒子；
粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
! V) g7 g0 K) {# t/ [6 J& P* u群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)

/ \( m) s: S+ t- T+ ]
% v+ }5 V* b. }. ?二、模拟退火算法（SA）

, o7 S5 u' `' T* i6 j) g, I模拟退火过程：
设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。
9 z6 [. j- x, N- k/ _
三、遗传算法
/ c0 p- F" C( Z* K$ B/ I
% ?8 W( D" F8 N  h" O9 }产生一个初始种群
* A& y: i7 z, H0 \3 @' a% @/ D* z( ]1 ?* g根据问题的目标函数构造适值函数
根据适应值的好坏不断选择和繁殖
% `. C$ d1 K; O: `+ [若干代后得到适应值最好的个体即为最优解

四、算法步骤
3 b) a% r5 I8 A( @初始种群
编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
遗传运算，交叉和变异
6 `" I. I% J! u8 y# Z2 T  ~选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
3 G' G4 U7 d  Q7 Q  v5 j0 U停止准则

" Z3 I( @# ~. o# o参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105

- H1 l; W3 [& e% @; _* i四、神经网络算法
( v3 u' }$ _: _
( Q5 K( j/ h9 ?9 a和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测
/ h; I; Y: P7 n0 p* H! f1 L9 ?1 G
' j/ L+ r. L7 Z' Y" f3 e" f6 c五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)
8 i" z. l9 {; o9 p3 Y: d
+ z* @4 e& o. f& p, [! W* h又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
# c8 ?8 d3 K. {' v6 H优点：
1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
1 B- ~( P0 U  D6 M2 v( V2、局部开发能力强，收敛速度很快。
缺点：
1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。
2 s2 ^! i) |% b. @
- }& u# L. t* l1 m0 r将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
a、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
b、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
(2)初始解的获取
! }" o# k0 C& h! u可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
; \1 R3 ~) F0 g* v- d! w) k(3)移动邻域
移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
, e  L1 K7 S" }6 v从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
  D5 [# j$ N5 h. x/ Q+ h(4)禁忌表
; y3 c/ I+ s5 ?" \  C) H8 c: ^禁忌表的作用：防止搜索出现循环
- _) ]' H5 m& ](5)渴望水平函数
A(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))

六、蚁群算法（AS）
) j! Q0 P0 ]; j4 Y# A2 A1 a
. D/ {) N9 I: G+ O8 U+ Z




& ^+ K3 G; P) W! o% T

% h& r) }# i8 F4 z8 f/ _
$ z  }9 f2 E* I/ ^
- [1 g* w0 f) B% d" d& ~9 U$ P
; i) N5 l. N$ p3 D* q  r" K3 z