数学建模之目标规划

杨利霞

数学建模之目标规划
# v% ~3 Z6 T5 ~3 q, u
线性规划只能解决一组线性约束条件下,一个目标的最大值或最小值问题.在实际决策中,衡量方案优劣要考虑多个目标,在这些目标中,有主要的也有次要的,有最大值的也有最小值的,有定量的也有定性的,有相互补充的也有相互对立的,对于这些问题线性规划则无能为力.
: ~' `5 w1 B. w) g1 简介

, p* F& W9 g, o+ d  c1.1求解目标规划的思路

（1）加权系数法
为每一目标赋一个权系数，把多目标模型转化成单一目标的模型。但困难是要确定合理的权系数，以反映不同目标之间的重要程度。
（2）优先等级法
将各目标按其重要程度不同的优先等级，转化为单目标模型。
' _$ Q# ~: P: M  a; ]" U（3）有效解法
寻求能够照顾到各个目标，并使决策者感到满意的解。由决策者来确定选取哪一个解，即得到一个满意解。但有效解的数目太多而难以将其一一求出。
3 O$ O3 N( S# o# O% g
1.2建立目标规划的条件

（1）正、负偏差变量。
（2）绝对（刚性）约束和目标约束。
0 X- y5 R* v) }! D; F（3）优先因子（优先等级）与权系数。

& X. r1 s& B9 d& \- h1.3 目标规划的目标函数
/ `; _2 X+ X+ }: x) |1 K1 L; |
目标规划的目标函数基本三种形式为
8 Z& V7 X1 U. S; D7 t$ A（1）第i个目标要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都要尽可能地小，这时
1 ]) A# [7 ~8 S+ A8 a1 F5 P
  T# T; c3 J2 ]" x; L% T* E0 m. H! L  l（2）第i个目标要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就是正偏差变量要尽可能地小，这时

2 ]2 ?3 v0 D5 \" ~1 m3 Y* t（3）第i个目标要求超过目标值，即超过量不限，但必须是负偏差变量要尽可能地小，这时


1.4 目标规划的模型应用

* N& q5 u- E/ p) T（1）求多目标下产品利润最优的决策方案。
（2）求多目标下总运费最小的运输调度方案。

, q( \0 V$ F' Z% z: F5 u) x( M( F3 a2 ]2 目标规划的一般数学模型
! `* w+ C: O; Z; O5 O
设xjj(j=1,2,…,n)是目标规划的决策变量，共有m个约束是刚性约束，可能是等式约束，也可能是不等式约束。设有l个柔性目标约束，其目标规划约束的偏差为d+ii+,d−ii−,(i=1,2,…l)。设有q个优先级别，分别为p1,p2,…pq。在同一个优先级中，有不同的权重，分别记为w+kiki+,w−kiki−,(i=1,2,…l)。目标规划模型的一般数学表达式如下


可用序贯算法求解目标规划。

7 V0 y. [6 |( B" P  C9 W$ s, I3 数据包网络分析（DEA）

3.1适用范围
9 B: `7 Z& }) z! ]: ]- C" Y
DEA特别适用于具有多输入多输出的复杂系统，如技术进步、技术创新、资源配置、金融投资等领域，特别对非单纯利益公共部门，如学校、医院、某些文化设施的评价方面。

5 b" D# I5 d/ x2 [8 {- X# v3.2 数据包络分析的C2R模型

$ d+ N: t/ o: ]% d设有n个DMU，每个DMU都有m种投入和s种产出，设xijij(i=1…m;j=i…n)表示第 j个DMU的第i 种投入量，yrjrj(r=1…s;j=i…n)表示第j个DMU的第r种产出量，vii(i=1…m)表示第i种投入的权值，urr(r=1…s)表示第r种产出的权值。
向量Xjj,Yjj(j=i…n)分别表示决策单元 j 的输入和输出向量，v和u分别表示输入输出权值向量，则Xj=(x1j,x2j,...,xmj)TXj=(x1j,x2j,...,xmj)T，Yj=(x1j,x2j,...,xsj)TYj=(x1j,x2j,...,xsj)T,u=(u1,u2,...,um)Tu=(u1,u2,...,um)T, v=(v1,v2,...,vs)Tv=(v1,v2,...,vs)T
1 o' I+ n; T9 b0 q8 i. Z& C& O定义决策单元j的效率评价指数为
8 m. X- M% f( i; S/ U% X# G. s评价决策单元效率j00的数学模型为
) O) d2 ~* |" c
$ ?- B* C( Z* }
对于C2R模型，有如下定义：
0 o! _/ P: x2 f$ l7 ?（1）若线性规划问题的最优目标vj0=1j0=1,则称决策单元j00是弱DEA有效的。
7 I' E' ^# T5 ]& m5 m4 }（2）若线性规划问题存在最优解并且其最优目标值vj0=1j0=1，则称决策单元j00是EDA有效的。

" ~5 E3 ]" f5 Q. \

- K6 u" l6 n) }5 v0 b- M
+ b  o, }/ p0 c* t% f" D3 \

* c. U5 U; t# U" ~' U4 M' e$ s