数学建模之目标规划

杨利霞

数学建模之目标规划
" O& I/ y+ I1 ]" b  o
线性规划只能解决一组线性约束条件下,一个目标的最大值或最小值问题.在实际决策中,衡量方案优劣要考虑多个目标,在这些目标中,有主要的也有次要的,有最大值的也有最小值的,有定量的也有定性的,有相互补充的也有相互对立的,对于这些问题线性规划则无能为力.
1 简介

6 ?5 k: T: n3 c/ V( b; j1.1求解目标规划的思路
/ Y' C8 M( E% b& ^" }7 k
（1）加权系数法
  B0 y/ u) U' D& Q为每一目标赋一个权系数，把多目标模型转化成单一目标的模型。但困难是要确定合理的权系数，以反映不同目标之间的重要程度。
0 o3 q8 y/ g2 C（2）优先等级法
将各目标按其重要程度不同的优先等级，转化为单目标模型。
（3）有效解法
寻求能够照顾到各个目标，并使决策者感到满意的解。由决策者来确定选取哪一个解，即得到一个满意解。但有效解的数目太多而难以将其一一求出。
  J5 B0 H  |/ l9 F6 N! H8 z7 k
( m  Y* J. f6 }2 {+ o1.2建立目标规划的条件

7 z7 V8 e2 R/ }$ |0 T（1）正、负偏差变量。
+ c* _* B) l# j（2）绝对（刚性）约束和目标约束。
（3）优先因子（优先等级）与权系数。
+ k0 J3 d8 n% Q* J
1.3 目标规划的目标函数

目标规划的目标函数基本三种形式为
（1）第i个目标要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都要尽可能地小，这时
/ y8 ^7 P; b% O' K* v
（2）第i个目标要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就是正偏差变量要尽可能地小，这时
, ^( b' D6 F+ K/ }/ \/ B
（3）第i个目标要求超过目标值，即超过量不限，但必须是负偏差变量要尽可能地小，这时
% b# T" b/ p7 P4 K& p
. m9 P8 p9 S4 @4 t4 t  J* O  b2 K
/ {, W, Y! h; K: H) y1.4 目标规划的模型应用

（1）求多目标下产品利润最优的决策方案。
8 i. F# n6 \( k( V: i; R（2）求多目标下总运费最小的运输调度方案。
: H: T6 h* K3 G( X3 Y+ L( S
% L; _$ F6 F% F& \; l2 目标规划的一般数学模型
/ k1 p* U  i1 G2 L+ {
设xjj(j=1,2,…,n)是目标规划的决策变量，共有m个约束是刚性约束，可能是等式约束，也可能是不等式约束。设有l个柔性目标约束，其目标规划约束的偏差为d+ii+,d−ii−,(i=1,2,…l)。设有q个优先级别，分别为p1,p2,…pq。在同一个优先级中，有不同的权重，分别记为w+kiki+,w−kiki−,(i=1,2,…l)。目标规划模型的一般数学表达式如下

( P+ u0 I9 c: j' t- F! H* M
可用序贯算法求解目标规划。
, a. r& d3 [: S' F" M1 f
! \; v& p9 S' b! |, k1 }3 数据包网络分析（DEA）

% H: R  Z2 R1 G0 E3.1适用范围
4 O6 l! N9 G0 F: h- `
DEA特别适用于具有多输入多输出的复杂系统，如技术进步、技术创新、资源配置、金融投资等领域，特别对非单纯利益公共部门，如学校、医院、某些文化设施的评价方面。
; r) q7 z' D3 }; F) Y
7 p# A. ?. Y4 h- ?3 r* P3.2 数据包络分析的C2R模型
+ n& i0 M, K0 B# z% N  m+ W9 X) r) {
8 @) R) B' j, u: K3 T' x1 b设有n个DMU，每个DMU都有m种投入和s种产出，设xijij(i=1…m;j=i…n)表示第 j个DMU的第i 种投入量，yrjrj(r=1…s;j=i…n)表示第j个DMU的第r种产出量，vii(i=1…m)表示第i种投入的权值，urr(r=1…s)表示第r种产出的权值。
向量Xjj,Yjj(j=i…n)分别表示决策单元 j 的输入和输出向量，v和u分别表示输入输出权值向量，则Xj=(x1j,x2j,...,xmj)TXj=(x1j,x2j,...,xmj)T，Yj=(x1j,x2j,...,xsj)TYj=(x1j,x2j,...,xsj)T,u=(u1,u2,...,um)Tu=(u1,u2,...,um)T, v=(v1,v2,...,vs)Tv=(v1,v2,...,vs)T
: b4 w& {4 k! R; |* o定义决策单元j的效率评价指数为
9 G: S* @+ i" k# J4 ]" V! b7 z评价决策单元效率j00的数学模型为
( H. K/ G/ Y; V* k) s
6 V0 o* J8 d: q
+ m0 e. Z+ L9 G7 n对于C2R模型，有如下定义：
（1）若线性规划问题的最优目标vj0=1j0=1,则称决策单元j00是弱DEA有效的。
6 H; d  {% e- o+ z( \（2）若线性规划问题存在最优解并且其最优目标值vj0=1j0=1，则称决策单元j00是EDA有效的。
8 F$ i. V* b3 \* [% Y6 b
7 H# j  H8 L2 H: V6 k) X

0 ~3 ]& w) x1 l% A6 ~


3 c' P( ]6 U7 u1 \. p. n7 `- X