数学建模之目标规划

杨利霞

数学建模之目标规划
1 G3 T) Y. {7 {- o# R) c
2 @7 X7 b9 u0 J9 }( Y) ~线性规划只能解决一组线性约束条件下,一个目标的最大值或最小值问题.在实际决策中,衡量方案优劣要考虑多个目标,在这些目标中,有主要的也有次要的,有最大值的也有最小值的,有定量的也有定性的,有相互补充的也有相互对立的,对于这些问题线性规划则无能为力.
1 简介
! e( b% ?5 w/ h1 a. e/ W$ ^8 y2 s. z
) F8 q  f& z# q2 [' i1 B1 E# x1.1求解目标规划的思路
( t7 q# ]/ m! P- Z" m  v, N, {
（1）加权系数法
0 {( H, Z2 @5 ~/ `  ]为每一目标赋一个权系数，把多目标模型转化成单一目标的模型。但困难是要确定合理的权系数，以反映不同目标之间的重要程度。
# p+ v. y7 F; t& A9 [7 w0 ~, n（2）优先等级法
. X3 a/ y& H! m2 ], I( l将各目标按其重要程度不同的优先等级，转化为单目标模型。
8 q" ~9 @6 ^3 z（3）有效解法
5 q& t: Q! F1 u5 H- E& d寻求能够照顾到各个目标，并使决策者感到满意的解。由决策者来确定选取哪一个解，即得到一个满意解。但有效解的数目太多而难以将其一一求出。

6 d3 ~! F8 u" f: B% l* C1.2建立目标规划的条件

（1）正、负偏差变量。
9 c( q, O5 l2 p1 @2 X3 s7 h( n（2）绝对（刚性）约束和目标约束。
（3）优先因子（优先等级）与权系数。
# R4 D$ ]1 X0 A) q8 e+ ~: r+ N
# r6 u) n2 {4 N1.3 目标规划的目标函数

目标规划的目标函数基本三种形式为
（1）第i个目标要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都要尽可能地小，这时
# R" r2 B: ^4 x9 W( I# z0 B
（2）第i个目标要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就是正偏差变量要尽可能地小，这时

# E+ O1 j, j+ P（3）第i个目标要求超过目标值，即超过量不限，但必须是负偏差变量要尽可能地小，这时


1.4 目标规划的模型应用

8 V# L  X: i* v（1）求多目标下产品利润最优的决策方案。
（2）求多目标下总运费最小的运输调度方案。

+ i+ ^6 [5 A: o0 x2 目标规划的一般数学模型

0 g+ X' x" m4 X" j9 X9 y设xjj(j=1,2,…,n)是目标规划的决策变量，共有m个约束是刚性约束，可能是等式约束，也可能是不等式约束。设有l个柔性目标约束，其目标规划约束的偏差为d+ii+,d−ii−,(i=1,2,…l)。设有q个优先级别，分别为p1,p2,…pq。在同一个优先级中，有不同的权重，分别记为w+kiki+,w−kiki−,(i=1,2,…l)。目标规划模型的一般数学表达式如下
/ g. S; x/ m  N

可用序贯算法求解目标规划。

3 数据包网络分析（DEA）

3.1适用范围
& ]$ K; \9 I. ?
DEA特别适用于具有多输入多输出的复杂系统，如技术进步、技术创新、资源配置、金融投资等领域，特别对非单纯利益公共部门，如学校、医院、某些文化设施的评价方面。
' L& x) S+ v9 T7 V: @7 p
  T  \- _4 ^7 `' `/ m3.2 数据包络分析的C2R模型
, |% n5 d1 ^2 v1 Z2 V7 c
( b$ Q  K- o% R7 n! M  k设有n个DMU，每个DMU都有m种投入和s种产出，设xijij(i=1…m;j=i…n)表示第 j个DMU的第i 种投入量，yrjrj(r=1…s;j=i…n)表示第j个DMU的第r种产出量，vii(i=1…m)表示第i种投入的权值，urr(r=1…s)表示第r种产出的权值。
& |4 v3 u8 y. T9 E' P* |5 h/ M向量Xjj,Yjj(j=i…n)分别表示决策单元 j 的输入和输出向量，v和u分别表示输入输出权值向量，则Xj=(x1j,x2j,...,xmj)TXj=(x1j,x2j,...,xmj)T，Yj=(x1j,x2j,...,xsj)TYj=(x1j,x2j,...,xsj)T,u=(u1,u2,...,um)Tu=(u1,u2,...,um)T, v=(v1,v2,...,vs)Tv=(v1,v2,...,vs)T
5 l, J) o/ ~- t2 g5 ?* c定义决策单元j的效率评价指数为
评价决策单元效率j00的数学模型为


对于C2R模型，有如下定义：
3 p1 p/ O- F( z! t/ ]5 c& v（1）若线性规划问题的最优目标vj0=1j0=1,则称决策单元j00是弱DEA有效的。
4 Y. H/ `9 h" \9 \& P5 h（2）若线性规划问题存在最优解并且其最优目标值vj0=1j0=1，则称决策单元j00是EDA有效的。



9 c/ e8 |; `, x% a" k: `7 Z

7 i5 ]/ B! Q% j6 i