数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题

杨利霞

数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题

9 i: N1 {) }" ^" u5 M( I 1、建模步骤
6 i' _1 ~7 F0 R+ M" k$ v
; N8 m# c) m- s; K4 ]0 a9 Z$ K
$ u  x1 d  g' N  F
: a$ E! B' l: E8 _( ~2 J  K1 {模型的建立：当有两个模型套用时，说的高端点，说成是前两个字组合后新名字的算法，其实是两个模型的叠加

模型的分析：表层的分析（从图表中能够看出什么）+深层次的分析

模型的检验：例如，给100年数据预测未来10年数据，我们可以将数据按照7:3的比例拆分，用70的来预测未来30年的数据，然后两个30年来做精度比较。用已知数据去检验预测或评价的数据，得到一个精度系数或者误差因子，再带入模型求解或未来预测中。

/ c  x, i+ B6 M' Q) D. A% @2、数学建模问题
; Q4 ~. D0 F4 r/ l4 f8 F+ U
  1.数据处理  2.关联与分析 3.分类与判别  4.评价与决策  5.预测与预报  6.优化与控制

（1）数据处理问题
% s) O. s5 \1 q8 |# g( L
•①插值拟合

. k+ y3 N% ^; u•主要用于对数据的补全和基本的趋势分析

•②小波分析，聚类分析（高斯混合聚类，K-均值聚类等等）

•主要用于诊断数据异常值并进行剔除

1 u$ {  g+ F- M5 g•③主成分分析、线性判别分析、局部保留投影等
# f( t- v  E7 ]9 c3 h+ m
•主要用于多维数据的降维处理，减少数据冗余
% S. C  O6 s: r# z+ k) A
•④均值、方差分析、协方差分析等统计方法
. J8 T* C  i) x- ~6 P2 l: G+ ]  ?; o
9 ?6 b' a! w) g  M) J1 J•主要用于数据的截取或者特征选择
% m+ G+ P7 x5 C4 ^) L* g


（2）关联与因果

+ u- q0 Q7 E1 _•①灰色关联分析方法（样本点的个数较少）
$ }  U$ Y$ u+ G3 K" v) z, R, E$ X
! S; \+ O# {+ d" U9 w/ s, `•②Superman或kendall等级相关分析

: j6 B) l4 ^* _- f  r•③Person相关（样本点的个数比较多）
+ J. v* l" w& E3 a" v+ p! o" j
9 W( x. M/ ?8 d•④Copula相关（比较难，金融数学，概率密度）
+ p* e: @7 D2 Y* G7 m0 E9 Z
•⑤典型相关分析（因变量Y1234,自变量组X1234，各自变量组相关性比较强，问哪一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）


5 C: D: w! {, G! Q6 I
（3） 分类与判别

" p1 A' l1 Q3 b5 s& z. h, o•①距离聚类（系统聚类）常用

) q" n4 [8 J9 Y  J•②关联性聚类（常用）
( z7 b" U- F# E4 U/ l
•③层次聚类

8 }, n) s  ^' X( i  g2 s•④密度聚类
! `+ |* o% q6 S$ \$ U  x
7 N4 D& M& r' A$ B* H- L$ f$ m# ?•⑤其他聚类

0 F5 y. A+ p6 e, R" w•⑥贝叶斯判别（统计判别方法）
/ k0 ?3 }4 d4 w! Q
- N/ x) \0 E5 f" o•⑦费舍尔判别（训练的样本比较少）

3 h, \* n7 ]( V, g5 U6 n•⑧模糊识别（分好类的数据点比较少）
9 W$ _% K$ f! s& s* U, R
$ P" S$ p8 P8 |8 o% Z8 t5 [
$ {; c; c- t4 D$ ^/ y, ]4 P  S


（4）评价与决策
" Y$ s! K5 U' b$ I7 W4 w& E
" Y0 q" L5 Z- r•①模糊综合评判：评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序

% ^8 B) E$ G% f- y. c•②主成分分析：评价多个对象的水平并排序，指标间关联性很强。

# A. u' v# Y: U/ ~# F+ e) U2 l+ t3 i4 Y•③层次分析法：做决策，通过指标，综合考虑做决定

; C0 W0 L- h8 K' I8 \2 }•④数据包络(DEA)分析法：优化问题，对各省发展状况进行评判
. k. j2 r0 _% Q9 E
2 s7 r( p4 B) R8 K1 j+ e3 M•⑤秩和比综合评价法：评价各个对象并排序，指标间关联性不强
* h5 D& R7 P' `
•⑥神经网络评价：适用于多指标非线性关系明确的评价
1 a$ C& G: z, |8 K
•⑦优劣解距离法（TOPSIS法）
( O: d# \& n9 ]. e$ @
  G6 G& c9 U( D; b- P5 f: A) T( Z•⑧投影寻踪综合评价法：糅合多种算法，比如遗传算法、最优化理论
' a6 e5 g" t0 l# y5 W: ~
•⑨方差分析、协方差分析等
! K% Q1 H$ s* z4 B# m& {
•  方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产量有无影响，差异量的多少；（1992年作物生长的施肥问题）

  协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因素，但注意初始数据的量纲以及初始情况。（2006年，艾滋病疗法的评价以及预测问题

- y, r1 o5 z, W$ D( X7 t6 f

$ W9 V9 ]3 L' w7 Y" {2 W2 `- l& O
# d, Q7 k/ v. f, V
- p; B1 H$ p4 U9 V; k; t（5）预测与预报
* F, ~) r$ l4 W& @( j


•主要有五种：

•小样本内部预测-回归拟合（内部预测，如用身高 体重得预测性别）
. Z& Y1 V" J: f" i) Q& f
2 h, b) [+ n- Y1 c" V  B•大样本的内部预测-逻辑回归
' m% I0 Z! Z) t+ U7 P- j
# o% F- r" B7 v•小样本的未来预测-灰色预测（外部预测：用前10年预测第十一年）

9 D1 x$ r9 H" w9 u7 r•大样本的随机因素或周期特征的未来预测-时间序列

3 _! B1 M' S7 A' p* [, V•大样本的未来预测-神经网络，小波神经网络
6 m: v* e! ^. a" D6 X, Q; j6 w
' ?/ t/ K; m+ l5 j
% P4 Q, e" a9 m+ i# D4 x2 N
9 N9 y5 p7 L8 |•①灰色预测模型（★）

•  满足两个条件可用：
* u) `/ P1 \, \- M/ I! w
6 K+ ?0 Q' C5 }" X& |! g•  a数据样本点个数少，6-15个
8 C, f& Y6 Z8 w2 ]) I4 y2 j
•  b数据呈现指数或曲线的形式

•②微分方程预测（备用）

! Q  y# C, k. d% l9 j: \• 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据之间的关系。
2 F* r( ~+ |' P* Y$ j
8 ?& ^6 q4 I, G5 O

/ ~0 C. L- @* K9 b( `9 x6 v•③回归分析预测（★）

•  求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化之后，求因变量如何变化；

: U2 \: v2 D( [, z2 E•  样本点的个数有要求：
6 m4 s9 O8 p; }9 |9 {
$ E7 z$ w- ^& {4 a9 H7 W•  a自变量之间协方差比较小，最好趋于零，自变量间的关系小；

- C1 d4 V7 v( h, w0 `, V- e& E•  b样本点的个数n>3k+1，k为自变量的个数；
3 z0 X: x! W# L7 ^1 h9 E) x
•  c因变量要符合正态分布

' ]1 q2 q4 d" H: ?: o9 T

7 ]( f" j, c) i' ~; J•④马尔科夫预测（备用）
7 K5 z% Y1 n+ @$ H3 e1 m
•  一个序列之间没有信息的传递，前后没有联系，数据与数据之间随机性强，相互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的概率，只能得到概率

/ Y* ^8 U% H  ]# x) J
; }8 @7 s5 o% P9 T' f0 H) a
6 s; S! ~. c1 y, c/ J3 @•⑤时间序列预测（★）

•  与马尔科夫预测互补，至少有2个点需要信息的传递，ARMA模型，周期模型，季节模型等。

9 I+ z6 N9 B+ f4 l) n+ \•⑥小波分析预测
" p. M2 K+ q8 v" m) M2 a& n
•⑦神经网络预测

•⑧混沌序列预测


! E; v* U# H6 d% e* F1 B3 K( \" a
9 ~7 k8 ]$ |* o- N/ l  y) r; m! N（6）优化与控制

•①线性规划、整数规划、0-1规划（有约束，确定的目标）
6 d. H7 N( c0 T& l
2 U, x" L/ t: i$ i8 ^) P# m3 `•②非线性规划与智能优化算法

; b  ?$ P7 ]$ Z" b, G+ r•③多目标规划和目标规划（柔性约束，目标含糊，超过）

•④动态规划
* d) C1 i1 `( y9 q& E$ I
•⑤图论、网络优化（多因素交错复杂）
% s- o4 L/ \1 U
•⑥排队论与计算机仿真
' f5 j" D( n1 H
; ~. F! A7 g' ?8 K$ H' Y•⑦模糊规划（范围约束）
) J/ ^2 B6 T; U3 E1 Z+ w& F
* k( T1 b3 a7 W9 V7 R1 p•⑧灰色规划（难）




7 L' N) ~1 b6 z# c: I* _3 `