数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题

杨利霞

数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题

1、建模步骤


  R; |1 M! y2 N) Y. O5 p
模型的建立：当有两个模型套用时，说的高端点，说成是前两个字组合后新名字的算法，其实是两个模型的叠加

3 Q/ G; D% ^+ [" i模型的分析：表层的分析（从图表中能够看出什么）+深层次的分析

模型的检验：例如，给100年数据预测未来10年数据，我们可以将数据按照7:3的比例拆分，用70的来预测未来30年的数据，然后两个30年来做精度比较。用已知数据去检验预测或评价的数据，得到一个精度系数或者误差因子，再带入模型求解或未来预测中。
/ x& }5 z  W" N2 x3 N: h; }
2、数学建模问题
( Y' b. i  w- f
# ~, H0 l* E5 D. A5 ~9 G* ~: u  1.数据处理  2.关联与分析 3.分类与判别  4.评价与决策  5.预测与预报  6.优化与控制
& P5 F5 E6 d. m" }% R
+ W( J# w! ~& N; S7 y& J4 t6 B（1）数据处理问题
6 G# F  T) |/ S( h& Z( P/ }
•①插值拟合
' r+ |$ n" w& M0 f" {; W& w
•主要用于对数据的补全和基本的趋势分析

/ f3 t* s, n& |( F! S9 u•②小波分析，聚类分析（高斯混合聚类，K-均值聚类等等）
1 j7 f; U8 j$ _4 b( w/ e
+ w- _; z6 e9 k% u2 Z: c•主要用于诊断数据异常值并进行剔除

•③主成分分析、线性判别分析、局部保留投影等

: \2 x" T7 x; A" I6 S( y•主要用于多维数据的降维处理，减少数据冗余
+ E- P0 r8 \- Z5 m" H
) X" X3 u, j5 }: @+ _. O  d7 J•④均值、方差分析、协方差分析等统计方法

$ i* Y# M% U% t8 Z, y- O•主要用于数据的截取或者特征选择
7 _. b, L, \0 L( q- h1 @" g
' L* r  e( d& Y) s' w. d& z1 _
5 l1 Y! L. q& u9 r
（2）关联与因果

9 t% c6 m# w6 H+ V% m•①灰色关联分析方法（样本点的个数较少）
, i5 r; Q3 |% g( q
5 B* n7 S% [* T5 W•②Superman或kendall等级相关分析
9 @" t0 ], R! _! u. }6 ~
•③Person相关（样本点的个数比较多）
2 W7 s% K" _8 I) b/ [% o. r
: r% e+ E0 X: a: O- g; x•④Copula相关（比较难，金融数学，概率密度）

0 Q  n5 i, n$ M) p•⑤典型相关分析（因变量Y1234,自变量组X1234，各自变量组相关性比较强，问哪一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
$ @: Q. U3 n/ L+ i7 A- J
. z& L; V+ d; a* L, G

5 x8 W5 j  _: R( t（3） 分类与判别

: ~5 U$ H5 }" @' G7 I* N3 f  q•①距离聚类（系统聚类）常用

# d7 l. S/ R! }; v+ y•②关联性聚类（常用）

2 c3 @' |- u* A2 h! Z/ u" c* f- m•③层次聚类
6 }6 E1 G0 M" k* @# V  ^
, p1 U7 H* P  J: N0 e1 R6 o•④密度聚类
3 a1 N3 \, f- t# q9 n
•⑤其他聚类
! O+ _$ S: r% y( v3 T9 X
•⑥贝叶斯判别（统计判别方法）

•⑦费舍尔判别（训练的样本比较少）
3 ]2 i+ B2 v2 J5 M9 e
•⑧模糊识别（分好类的数据点比较少）



  `, f3 ^% Z7 v+ z7 ?- V, j1 h

/ y4 s( Y+ r1 O1 U( a- B（4）评价与决策
; _2 }: {+ i! _! d+ ^! A& h" q
# ]6 a9 J" _8 ?0 A, b5 r) O3 s•①模糊综合评判：评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
7 y4 E7 o) |4 N7 M7 Y
•②主成分分析：评价多个对象的水平并排序，指标间关联性很强。
- Q' c' s& O  D+ i( K1 {( e
5 _! q* A( z% X5 w5 b•③层次分析法：做决策，通过指标，综合考虑做决定

. A9 R& ^+ S$ _/ Q•④数据包络(DEA)分析法：优化问题，对各省发展状况进行评判

•⑤秩和比综合评价法：评价各个对象并排序，指标间关联性不强
  n1 X3 d/ @5 ]% M% D& X+ R
( N. _4 v# ^% K; |; l9 p& Q* g8 L' B2 D•⑥神经网络评价：适用于多指标非线性关系明确的评价

) u# u$ l$ ?" R8 b' }•⑦优劣解距离法（TOPSIS法）
/ Q" I0 E! S% n' E) F9 \2 J2 \
•⑧投影寻踪综合评价法：糅合多种算法，比如遗传算法、最优化理论

; _, o& ]! L% l: b! A, b•⑨方差分析、协方差分析等

•  方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产量有无影响，差异量的多少；（1992年作物生长的施肥问题）

. Q  O  j, P% Y5 ~3 K( t  协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因素，但注意初始数据的量纲以及初始情况。（2006年，艾滋病疗法的评价以及预测问题
' X3 K6 s/ U! Q( S! [$ H0 g1 B
% ?/ `' ^1 X8 R
/ z0 u7 p$ }3 h

$ D. f8 U) e; P* q. T2 P
  h) ^& b/ y8 Y& I# s（5）预测与预报

4 ?6 e+ t  E7 _" v9 U
# Z, ~2 G- U- d4 k, l( ]! O
•主要有五种：

  i8 V+ a( X1 v. v- m' S( H•小样本内部预测-回归拟合（内部预测，如用身高 体重得预测性别）

•大样本的内部预测-逻辑回归

•小样本的未来预测-灰色预测（外部预测：用前10年预测第十一年）

$ v/ ]3 @& y0 Q. E6 k+ }$ x•大样本的随机因素或周期特征的未来预测-时间序列
0 y) g8 P5 k+ g9 v( [% H" }
( C4 J% G3 r1 o0 D4 q7 b8 d  f•大样本的未来预测-神经网络，小波神经网络

+ x5 O5 ]0 [' a  U' _: m/ z' P3 ]  k

•①灰色预测模型（★）

•  满足两个条件可用：

•  a数据样本点个数少，6-15个

•  b数据呈现指数或曲线的形式

•②微分方程预测（备用）
* G( h4 C. Q8 J2 B/ n! m$ O; C* c
( W- Y1 v9 J7 E• 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据之间的关系。
" c* y0 F  V: A+ l


0 P& s6 C* t4 \0 z( z) {2 V4 a' R•③回归分析预测（★）
5 t0 u* F' Z8 p- ^/ \% U8 S# v
8 v; i$ E& s2 ~4 R# s•  求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化之后，求因变量如何变化；
5 ^) \, G1 r5 B5 e6 G0 m
•  样本点的个数有要求：
: {0 y+ u  A3 Z. O+ i+ G0 h
•  a自变量之间协方差比较小，最好趋于零，自变量间的关系小；

% Y+ E* |1 d9 h•  b样本点的个数n>3k+1，k为自变量的个数；

•  c因变量要符合正态分布
% p% |' S( j' ^) j. b8 V
; I& L( O& T! p# O

•④马尔科夫预测（备用）

) A3 I  r9 x# l) ?7 ~, n•  一个序列之间没有信息的传递，前后没有联系，数据与数据之间随机性强，相互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的概率，只能得到概率
5 G1 L' l6 t/ J


: g/ L3 r1 r/ O& {•⑤时间序列预测（★）

6 |8 w, E2 r2 d7 {1 C5 Y5 L. I2 p•  与马尔科夫预测互补，至少有2个点需要信息的传递，ARMA模型，周期模型，季节模型等。
: [: Z9 Q- b# M
9 ]( `3 z4 b! j, V  H5 `% Y$ m" l•⑥小波分析预测

•⑦神经网络预测
# b/ f3 S# n/ z
•⑧混沌序列预测
" `2 n3 L  |4 n
( T/ g3 R5 h4 ~! p5 V

2 \6 P1 @2 r. e9 |# j" L! q$ H（6）优化与控制
3 S4 ^  E" x9 F+ s
$ j! m& v; u; d  W) X8 S) a: I•①线性规划、整数规划、0-1规划（有约束，确定的目标）

, G! D" ?, s" u( g; x4 p" S; ^9 X: S•②非线性规划与智能优化算法

2 d+ k8 w3 {# q, X# D/ j. e•③多目标规划和目标规划（柔性约束，目标含糊，超过）

•④动态规划
! x0 [; D5 N; `( d; g, S
1 j$ M7 b; v& g- h( W•⑤图论、网络优化（多因素交错复杂）

•⑥排队论与计算机仿真
2 L- q4 ~% e8 f# w( `
* L% q0 Q! F7 j. h& G. O•⑦模糊规划（范围约束）
6 ]4 G" ~- S2 j8 l. C
8 M! Y4 s0 n7 u7 l; W% U: h" c•⑧灰色规划（难）
0 @9 w2 o  W' J% O; d2 A
' q1 B& y5 f* a& E" D( t

0 _# \7 d- X/ A! Y$ K9 b
- v- `8 H! \+ s5 w