数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题

杨利霞

数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题
( Z* t4 M( m; t2 Q- k/ W( v
1、建模步骤



& u' f/ C# O* L" H% o模型的建立：当有两个模型套用时，说的高端点，说成是前两个字组合后新名字的算法，其实是两个模型的叠加
7 [9 n9 A- z5 t
模型的分析：表层的分析（从图表中能够看出什么）+深层次的分析
6 h* k& y9 \" s: L% Q0 v
模型的检验：例如，给100年数据预测未来10年数据，我们可以将数据按照7:3的比例拆分，用70的来预测未来30年的数据，然后两个30年来做精度比较。用已知数据去检验预测或评价的数据，得到一个精度系数或者误差因子，再带入模型求解或未来预测中。

( s8 r1 |, L, F) v' K& Y7 }8 p2、数学建模问题

" v# a, V7 ?3 x. G/ H: \  1.数据处理  2.关联与分析 3.分类与判别  4.评价与决策  5.预测与预报  6.优化与控制

% B8 f  A5 e! G/ S& ~: p2 V（1）数据处理问题

/ A& V) }& b9 g/ h3 W•①插值拟合

•主要用于对数据的补全和基本的趋势分析

3 A) U( R9 q+ M" c•②小波分析，聚类分析（高斯混合聚类，K-均值聚类等等）

•主要用于诊断数据异常值并进行剔除

•③主成分分析、线性判别分析、局部保留投影等

•主要用于多维数据的降维处理，减少数据冗余
7 d, I& I" B2 X. Q+ K: h: P
" N5 B- i. n' @; T) n3 Z8 c•④均值、方差分析、协方差分析等统计方法
/ P& M0 C1 [" S8 Y! a) s9 L, I
•主要用于数据的截取或者特征选择
' D3 Z/ K6 J3 X& y4 |$ @& I2 L
; H) j) p+ J  W8 Z
  X4 o0 Q! U( y8 s5 I# o7 ]) S% P
（2）关联与因果
! P# ^& U$ }/ B8 H( a; x5 D
* s/ I# S( n8 C+ \•①灰色关联分析方法（样本点的个数较少）

•②Superman或kendall等级相关分析

. |  V- ~: ^  k% e( K" i  [, s+ G5 N  I•③Person相关（样本点的个数比较多）
, C+ }# T" |. O3 {( I
•④Copula相关（比较难，金融数学，概率密度）
' D+ \5 B# i* t4 F) g
•⑤典型相关分析（因变量Y1234,自变量组X1234，各自变量组相关性比较强，问哪一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
4 c& k4 p3 e' o9 p


) i" e$ X( \2 }# g3 A# w. |（3） 分类与判别
& t, n% y! j2 Z. Z$ z
•①距离聚类（系统聚类）常用
( d  I4 n% ~) H5 y$ H
! g; v; c, m$ v0 `7 H2 E•②关联性聚类（常用）

. b/ q+ g: b* h. U•③层次聚类
" O* ~' r0 C2 Y+ c* @
•④密度聚类
* ]" q( e" n9 `$ P
, ?6 i1 Z9 ~; X9 P' y2 f•⑤其他聚类
, ^8 q" m# q. F
% q+ F9 Q( ^9 r, O" H+ A•⑥贝叶斯判别（统计判别方法）

•⑦费舍尔判别（训练的样本比较少）

•⑧模糊识别（分好类的数据点比较少）
& e) |% u& _- ]/ n6 P
8 W+ E- I" q4 I4 d6 Y" j& D


, k5 q+ d# }. g  l/ _
: w1 ?' a  k9 k1 d2 t' e4 n（4）评价与决策

) a9 F5 X. ]' ~) ]•①模糊综合评判：评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序

•②主成分分析：评价多个对象的水平并排序，指标间关联性很强。

•③层次分析法：做决策，通过指标，综合考虑做决定
; u( z5 G) S7 p8 U- C) K
+ B- G# b5 @: r. m•④数据包络(DEA)分析法：优化问题，对各省发展状况进行评判
# T) y5 w! c' x& v* {
5 X8 Q# a. \4 t•⑤秩和比综合评价法：评价各个对象并排序，指标间关联性不强

•⑥神经网络评价：适用于多指标非线性关系明确的评价

•⑦优劣解距离法（TOPSIS法）

•⑧投影寻踪综合评价法：糅合多种算法，比如遗传算法、最优化理论
* N/ s: w2 P6 B5 k/ V' Y& S; E
2 s& A; x: G) |" G•⑨方差分析、协方差分析等
7 Z$ [+ O3 U0 s3 W( b* c
/ k# x8 \/ B  S•  方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产量有无影响，差异量的多少；（1992年作物生长的施肥问题）
+ c  n7 p$ ~/ y0 ~
1 H( `6 f4 G/ ~6 _% ?  协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因素，但注意初始数据的量纲以及初始情况。（2006年，艾滋病疗法的评价以及预测问题




: I" w" {, ^# C% D+ {
5 P: y7 U" R1 \) X9 G  \) i（5）预测与预报



•主要有五种：
3 d; D7 |9 N: M9 y
& H9 Y' c* \! L  b+ |& u: Z& p•小样本内部预测-回归拟合（内部预测，如用身高 体重得预测性别）
+ x  F3 s% Q# [" K" J  p
•大样本的内部预测-逻辑回归

. V. h1 a) \: L' n7 h•小样本的未来预测-灰色预测（外部预测：用前10年预测第十一年）

# F; X7 [+ p7 i& ?# o8 z4 P•大样本的随机因素或周期特征的未来预测-时间序列

0 B. N" z' J, n5 ?$ x2 _9 R•大样本的未来预测-神经网络，小波神经网络

; Z4 _* e, S/ V( g1 a$ }' s
! f# g/ n6 G! [5 g0 B
•①灰色预测模型（★）
& T$ J0 {0 @) f8 O6 N5 [: o* I
9 m/ q  S% w# v4 r2 w0 W: j: E•  满足两个条件可用：
/ y8 O4 M2 \- t+ L& R6 z
/ H' x, b) ~4 @2 w5 \•  a数据样本点个数少，6-15个

•  b数据呈现指数或曲线的形式

•②微分方程预测（备用）

+ M9 H2 g' B* b9 V• 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据之间的关系。
0 w5 Z% o- E# m4 V- V. a8 T6 h" n) K3 b


2 Q+ Y8 `! y8 F6 z+ B•③回归分析预测（★）
/ ~8 ]3 X8 |4 s5 g9 v' u! v3 o) E
•  求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化之后，求因变量如何变化；
( G( @9 Y* M5 g* a  U4 E
•  样本点的个数有要求：

) e2 s7 M" E+ i+ o" Y•  a自变量之间协方差比较小，最好趋于零，自变量间的关系小；

•  b样本点的个数n>3k+1，k为自变量的个数；

•  c因变量要符合正态分布



: Y: h$ T9 `0 c7 v' m# u7 y8 S1 b•④马尔科夫预测（备用）

& D+ x( p* O5 _; W•  一个序列之间没有信息的传递，前后没有联系，数据与数据之间随机性强，相互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的概率，只能得到概率
3 @( l! J! n* R  \. ]3 c4 f

0 g$ U( v9 g9 `2 q6 [; N, |
' A0 w3 X0 i- G/ ]•⑤时间序列预测（★）

•  与马尔科夫预测互补，至少有2个点需要信息的传递，ARMA模型，周期模型，季节模型等。

! f6 G; S* j9 _4 c/ G4 \7 }: D•⑥小波分析预测
4 ^7 M6 g# z, R6 k9 a4 ^& \
, Y% [0 w# s( ?" E( i•⑦神经网络预测

•⑧混沌序列预测

% P5 @0 W) q' q! L+ ^
1 C& d* q* K# h, ^1 j8 i
（6）优化与控制

' @2 h4 @# l; m. [* d•①线性规划、整数规划、0-1规划（有约束，确定的目标）
: ?5 r1 Y9 G) k! N  R9 `
; ?4 ^# {; \8 u$ c, p$ s, v•②非线性规划与智能优化算法
, y4 w- H4 v$ c
  ]! N7 N9 g. X6 D•③多目标规划和目标规划（柔性约束，目标含糊，超过）

•④动态规划

+ k4 q8 S. t, T$ o8 V4 a* k# x•⑤图论、网络优化（多因素交错复杂）
+ X" ]; u0 c1 e. d+ {# G
: t4 Z; i9 t* x6 E% d8 \, v1 E) ]•⑥排队论与计算机仿真
% ]0 I- K5 A  l+ _  D  O% g5 U
. T/ [" y% u3 ^- U, v) O4 @$ J, n•⑦模糊规划（范围约束）
( K! L" p& P. [$ ^; p2 H" V
•⑧灰色规划（难）
( S9 H9 v9 ?# {" K( z1 ~8 R: @

- Z, i% t- s. N- ^9 t' `4 G
8 {. \& x2 L3 p' p/ \: V, |
6 n# O. y! p0 a