数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题

杨利霞

数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题

1、建模步骤
) a/ l. l: ?# w9 ]
3 q  c) [2 N# F1 Q. u

1 i% D( I4 g# b模型的建立：当有两个模型套用时，说的高端点，说成是前两个字组合后新名字的算法，其实是两个模型的叠加
* `' [  M( x( u4 ~1 p, O
模型的分析：表层的分析（从图表中能够看出什么）+深层次的分析

模型的检验：例如，给100年数据预测未来10年数据，我们可以将数据按照7:3的比例拆分，用70的来预测未来30年的数据，然后两个30年来做精度比较。用已知数据去检验预测或评价的数据，得到一个精度系数或者误差因子，再带入模型求解或未来预测中。

2、数学建模问题

- H3 h, D$ }8 E+ \( l  e* _  1.数据处理  2.关联与分析 3.分类与判别  4.评价与决策  5.预测与预报  6.优化与控制
% r0 ~6 n, k, Q  g
（1）数据处理问题
' ^6 R6 n- u7 Z2 o; R) u
, }+ S" F8 _- w0 W•①插值拟合

•主要用于对数据的补全和基本的趋势分析
. a5 V* A6 K; n) N! m
•②小波分析，聚类分析（高斯混合聚类，K-均值聚类等等）
3 C* ]: e( T) Y
) B/ l  q* N4 R6 `6 r' v•主要用于诊断数据异常值并进行剔除

- I/ m# i) ]/ P/ R•③主成分分析、线性判别分析、局部保留投影等
+ s, P( P7 B4 X. j/ B
& _# u  C" X8 a4 @5 B•主要用于多维数据的降维处理，减少数据冗余
8 g0 u1 V9 N* ^4 H2 ^
% |+ c( A0 k" H$ q1 y, d) @•④均值、方差分析、协方差分析等统计方法
5 \9 c0 q1 e4 B- C! M! n
: P. o4 O; s, W/ h4 d•主要用于数据的截取或者特征选择

6 {2 C8 y2 U5 [+ A4 B" A$ F

" U9 I' w0 Q! g' e1 L（2）关联与因果
" [6 ~" l8 j$ R0 k; D/ n% R2 E
$ a3 m, f- P8 k$ B3 `% D% V•①灰色关联分析方法（样本点的个数较少）
) W" g; y2 t" G
•②Superman或kendall等级相关分析
' [, g; G( A8 }. Z. q0 |
$ _$ E# \8 A/ d0 E9 L6 \; D$ p: O( [•③Person相关（样本点的个数比较多）

% k: x  }! ?6 f) G8 @•④Copula相关（比较难，金融数学，概率密度）
7 [% G) A' C: f  c4 i
8 l5 p, ]! }" N/ D3 z$ l) ]' E9 t/ Y•⑤典型相关分析（因变量Y1234,自变量组X1234，各自变量组相关性比较强，问哪一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）

, B& U' Q) N: |, Z# i9 b7 K9 n
/ u+ n7 G  x0 T9 n* _: M: t
0 X! f$ q* v7 q% T1 Z（3） 分类与判别
2 H  W3 E" t$ `8 J% e1 v
, b$ L! \6 ]1 c( l# J  {  \•①距离聚类（系统聚类）常用
6 J/ j' T* c6 X+ E
& n/ r  b$ B% {$ Z5 w" b/ j+ N•②关联性聚类（常用）

•③层次聚类

8 i, Y) k" g+ q2 z4 D3 ]* ^! P) X$ V5 J•④密度聚类

•⑤其他聚类

( N9 N0 i/ i% h0 G0 q$ H' d•⑥贝叶斯判别（统计判别方法）

•⑦费舍尔判别（训练的样本比较少）
3 n. W. ^! n" X  f
•⑧模糊识别（分好类的数据点比较少）
2 _: j) m- Q1 H2 e6 h
9 d+ @% K) z% ]- O7 \5 t2 m. F
* n( N: {: s, F* ]* h


$ g! Y6 B" b1 S$ g+ [2 X（4）评价与决策
! e; _" D3 M, @& N3 X' f
•①模糊综合评判：评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
+ Q' [& Y  O2 c+ ^2 L5 }+ Q7 S
( d% v4 t8 T( C•②主成分分析：评价多个对象的水平并排序，指标间关联性很强。

•③层次分析法：做决策，通过指标，综合考虑做决定
) t; H2 h% v! h5 f5 c
•④数据包络(DEA)分析法：优化问题，对各省发展状况进行评判
$ T% ?, L. H3 o6 @: H' p7 ~
•⑤秩和比综合评价法：评价各个对象并排序，指标间关联性不强
6 _! s6 Z, X, E& I7 j
% ]- u8 d( X6 B& r  H2 R: J•⑥神经网络评价：适用于多指标非线性关系明确的评价
3 M2 U3 ^6 U% h; V4 b! g* p! Q
: O, r% S0 y$ L•⑦优劣解距离法（TOPSIS法）
$ ~( B2 C9 d% C! ~
•⑧投影寻踪综合评价法：糅合多种算法，比如遗传算法、最优化理论

, V6 D: a2 c. _4 N: {•⑨方差分析、协方差分析等

' I+ k) G1 `& q: Q; H•  方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产量有无影响，差异量的多少；（1992年作物生长的施肥问题）

  协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因素，但注意初始数据的量纲以及初始情况。（2006年，艾滋病疗法的评价以及预测问题
" f* \# }1 e' Y& y2 q5 g

. {4 c( L! P0 u/ A' M5 }! b( r8 _
& Y; N( r7 n5 f( K( A

; u: n6 J) `2 g  e（5）预测与预报
  {5 n- p; T" f8 e, {
1 [. i4 A8 F, H1 Z3 x3 j
# n3 t& l7 d) N1 i* Q
•主要有五种：
, e' Y* r0 a# z
  `! i1 i* |' a( B3 h•小样本内部预测-回归拟合（内部预测，如用身高 体重得预测性别）
; Y$ [6 [0 |% Q2 h4 u
+ ], o: s; C2 p6 d2 a•大样本的内部预测-逻辑回归

•小样本的未来预测-灰色预测（外部预测：用前10年预测第十一年）

0 Q% e( _2 V- G# ]) L•大样本的随机因素或周期特征的未来预测-时间序列

  R  ]# F& d9 d& {" v6 A•大样本的未来预测-神经网络，小波神经网络

, N7 j5 ?- J4 N
/ T3 r8 v) H* g& m$ g' }# S
' j) X. `, f1 T•①灰色预测模型（★）

•  满足两个条件可用：

& s6 u2 W3 N" P9 Q•  a数据样本点个数少，6-15个
0 U6 ?: G, F8 h) u# d8 }- o
7 U+ `& ~8 Y7 }. t, s0 _•  b数据呈现指数或曲线的形式

•②微分方程预测（备用）
- ^+ j8 l* O  ^: Z# b
& O8 F) c# j$ K  u% U6 O+ _: K; u• 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据之间的关系。
& I5 E6 w  @8 j3 Z


( n: J9 f  X: d/ |) h  @•③回归分析预测（★）

. S- ?2 n6 J2 S6 B•  求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化之后，求因变量如何变化；
8 P# \7 l) G% x1 \' J- p
7 ?, Y% Z) c' E9 u•  样本点的个数有要求：

( Z$ A! x1 f4 g( s3 X•  a自变量之间协方差比较小，最好趋于零，自变量间的关系小；

•  b样本点的个数n>3k+1，k为自变量的个数；
( M5 c- Z2 I  j( j. I( n  @
5 _' }7 K- Y2 T* {5 U) {: X" D•  c因变量要符合正态分布



•④马尔科夫预测（备用）

•  一个序列之间没有信息的传递，前后没有联系，数据与数据之间随机性强，相互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的概率，只能得到概率

! [9 @8 o& v4 _( v

* g7 w4 H' n# k. ^4 ]•⑤时间序列预测（★）
: s# {& B8 h) E+ _1 N
•  与马尔科夫预测互补，至少有2个点需要信息的传递，ARMA模型，周期模型，季节模型等。
" l, J! V/ \# c/ u7 {3 Z
9 u- {$ L/ y% T! L$ `2 @6 o9 ]•⑥小波分析预测
, I) S+ X( f! o
2 w/ b- k7 M* s•⑦神经网络预测

•⑧混沌序列预测
0 g4 l8 f4 ?/ D  @7 ?
3 i% ^3 y  R4 |# l- P3 r9 o

) Z4 s1 e( \" `1 N7 S  p（6）优化与控制
% F$ y4 r5 Q: |5 e4 b+ g9 [
•①线性规划、整数规划、0-1规划（有约束，确定的目标）
7 C/ y/ [4 l! o) w( d
•②非线性规划与智能优化算法
7 k6 h6 G0 z" ~* F/ T/ [; W% d
•③多目标规划和目标规划（柔性约束，目标含糊，超过）

•④动态规划
3 a- }  X* Y1 W  `) n; O6 W  [
•⑤图论、网络优化（多因素交错复杂）
0 ^% B; Z- ~3 T7 ~* n
•⑥排队论与计算机仿真

5 q0 j) o  ]9 c4 I: H•⑦模糊规划（范围约束）
' |$ T' W, k1 X
•⑧灰色规划（难）
: |2 O. ~# ?, T% ?
7 F7 C" A: P9 L% |
2 a+ ?9 D/ I6 b: |2 Y8 g9 {

! Q. H2 G. z" H" l$ K( _2 n