数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
数学建模问题总共分为四类：
1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题

一、粒子群算法（PSO）

算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
PSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。

" Y3 f7 |0 \+ h基本PSO算法

! f) Q% m& [% \% ?D维空间中，有m个粒子；
粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
+ G( y" c. R+ S5 N% _. k! M5 a3 J粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
* p. G& _3 h+ r) T4 J群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)

9 Q4 B% z+ r* S  ^! z" X
二、模拟退火算法（SA）
/ D: J5 Z- v0 _7 F0 u$ K8 F! D
模拟退火过程：
- T8 m+ X* L7 A设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
9 l" l0 W$ S) b3 U热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
7 V& ]: |+ L; w" y  \降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。

三、遗传算法

, }& P2 G3 n6 i7 z. [6 l2 g产生一个初始种群
根据问题的目标函数构造适值函数
根据适应值的好坏不断选择和繁殖
6 n7 }! z/ u/ U8 S2 z# m若干代后得到适应值最好的个体即为最优解

四、算法步骤
; J/ t. Y# N6 }初始种群
; R# t7 X2 ~8 }( j, p& g编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
遗传运算，交叉和变异
) q$ m" J$ ^6 N选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
1 h% ?4 }7 }  `  _' h5 d) ^2 S停止准则

0 g0 ?- W* p- g5 {$ A$ x参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105
: y$ D% a/ Q9 c& l) }  \
4 o9 v1 d6 {, D' U* m四、神经网络算法
+ n& \7 u" w6 Q/ H8 X
8 \! x1 b) F, G7 a8 W  J和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测

3 X, p; T% @9 s. d2 {) F, x' W五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)
% i" P' T0 q' ?- ~
9 p( k% ?, i. Y8 f又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
优点：
1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
0 h* V/ `3 v) a$ d* z3 p9 ~: T2、局部开发能力强，收敛速度很快。
缺点：
# u# a7 W+ e1 j( f8 x# c1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。
6 O3 e* V: y8 u
+ q6 ^* J  g& d3 T将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
( m  q. D; c; H1 U/ pa、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
/ @( s8 e) L! k: e. g( Fb、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
(2)初始解的获取
可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
$ I1 c8 J; h: f7 k* D' @  b* T(3)移动邻域
移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
; @) N3 ]6 b% u! Y1 \2 E3 c# X从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
(4)禁忌表
- [. ~8 I3 @4 }+ E( o5 Y  w3 P2 {禁忌表的作用：防止搜索出现循环
(5)渴望水平函数
A(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))
' T/ y( h; `7 {; [* K
六、蚁群算法（AS）
& L- u4 N" l# L% X1 d* x5 g

2 Z4 e, `. k- g) S  q9 \! m1 @' q9 j参考：http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/Path_Optimization_Tsp_Problem_Ant_System_CSharp.html#_labelTop
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. V& ~1 b+ l- V2 b1 q7 [
( i4 {6 ]5 g; _( e& M9 D  }% l

; B5 p% ^7 }  v/ ]