数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
数学建模问题总共分为四类：
% n( [. N+ C) ]; U& C8 X/ u5 h8 L5 N1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题

一、粒子群算法（PSO）

算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
PSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。
/ K+ Y9 c2 Y4 {" g# ?, i
- ~6 u$ o. K, A) a1 h基本PSO算法
" ^! Z( `* A- T( k. t; r
D维空间中，有m个粒子；
粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)
$ Q$ _9 p8 {4 |; N8 T1 Z  i
8 V' u  f" ?# G1 i" t
二、模拟退火算法（SA）
/ r: q" U1 p3 z, I$ s
8 E& {* I" j+ A5 m7 Q% ~/ g模拟退火过程：
: G  j9 h9 H4 T7 v设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。

三、遗传算法
+ }) H" H! z" N9 E- \, U
4 _' k/ j7 ]1 G7 z: @7 j$ M产生一个初始种群
根据问题的目标函数构造适值函数
& Y) x9 k* ~4 X8 n9 i$ S0 W( |根据适应值的好坏不断选择和繁殖
若干代后得到适应值最好的个体即为最优解
- |: k1 Q8 {  I2 o# s4 `
四、算法步骤
& }1 u' g, G& e9 H# v$ u/ H$ l. i2 S- n4 s初始种群
; y! W6 G, _1 N2 w4 l. d编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
) |0 Y' H' N; O! [适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
0 V5 r9 L3 h; C+ B' f- k遗传运算，交叉和变异
! O( ]5 A$ L6 L$ a选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
停止准则

参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105
- c+ j/ C8 |( X0 S# A
四、神经网络算法

: l  s  l0 F2 {8 m和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测
. u, T/ ]) L9 f# W* ~
五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)

又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
优点：
# ~  q4 S3 k% c- x0 V1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
2、局部开发能力强，收敛速度很快。
缺点：
1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
5 G9 n4 R7 i/ ~2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。
1 B! ?4 @( e4 s. q* n  e4 {
  D  A( x" g' _将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
a、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
: a  P$ \& v$ R$ f. z3 wb、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
(2)初始解的获取
1 A# A5 @) Q2 z6 B可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
(3)移动邻域
: I7 m. D1 |' q* l3 ~+ Y移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
(4)禁忌表
' T8 @! E- J% G( G  b禁忌表的作用：防止搜索出现循环
# z9 o3 P( a$ m9 D( v1 O, _(5)渴望水平函数
! `" `. x& G" B0 J! `, U, CA(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))

六、蚁群算法（AS）
5 d! v/ D" C. _- ^) X

参考：http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/Path_Optimization_Tsp_Problem_Ant_System_CSharp.html#_labelTop
& `/ l4 n# q/ d7 ^  y/ q---------------------


5 F. l4 Q8 [& i9 |7 w- q0 V
  W0 q/ }: C% z& ~) P
- C: x0 \! a4 @