2-7、规划问题的Lingo解法

杨利霞

2-7、规划问题的Lingo解法
一、 从规划问题引入
* p# _; ~6 {$ T1 p5 Z
  在我们学习探索的各个领域，规划问题都是无处不在的。通过列出约束条件及目标函数，再画出约束条件所表示的可行域，就能在可行域内求得目标函数的最优解以及最优值。当然我们在高中就已经学习过线性规划的相关知识，对于理科同学来说，大多数同学应该感觉难度不大，或者说是送分考点。然而到了大学阶段，一些规划问题的求解已经不是人力可以轻松算出来的了，必须借助于计算机来进行计算。那么对于规划问题的软件选择，又应当如何进行呢？
- V  o% i. B9 F) Y
二、 软件分析与选择

  Matlab相比之下是一个面面俱到的编程软件，也可用于求解规划问题。但是如果一定要去和某些“针对特定功能而开发的软件”去比的话，Matlab有时也会稍显逊色。就好比一款顶级的耳机能通吃高中低音，但是去和另一款顶级的为高音而设计的耳机去比较的话，也难免会被比下去。这也就是为什么在规划问题上，很多人会去使用Lingo进行求解。
1 u1 j9 P) K6 t& g6 I# {
' t/ H' o4 V9 @6 u  W: j% \- @  首先我们来区分一下Lindo和Lingo这两款软件。Lingo是在Lindo基础之上做成的软件，处理解线性规划问题之外还加了非线性的求解器，更关键的是还追加了集的概念。可以更方便的解决复杂的问题。所以本文只对Lingo进行讲解。
* Q1 T" ^% Z) z# V; q  而对于Matlab与Lingo的区别，就好比手动挡与自动挡的区别，有针对性的专业软件会对用户做很多的优化。这里引用知乎上大佬 花开花落 的回答
/ M& ^) Z, L# B. h5 shttps://www.zhihu.com/question/49319704/answer/165923451

6 k9 |) U$ k) i" a4 S* F  用MATLAB求解线性规划和整数规划问题，需要先将问题转化成如下标准型，其中X只能是向量，也就是单下标变量，然后用向量和矩阵来表达目标函数和约束条件。
  V$ e0 B+ z6 l  i7 x" Q! @  然而，许多问题（如指派问题和运输问题）由于参数和决策变量是双下标变量，必须在基本的数学模型的基础上进行变换才能求解，这样得到的等式约束和不等式约束的系数矩阵规模就非常庞大，当然由MATLAB计算问题不大，但转换工作完全要由人工完成，工作量大而且容易出错，因此在这一块效率不高。
+ i; X! ~- C  S8 K5 ?& K5 O# {  而LINGO有自己的建模语言，在建立了集合的基础上，能够高效表达目标函数和各种约束条件。所写的模型基本上可以看作是对数学模型的翻译，不需要太多的转换。

8 [: E- w! X+ Y6 X8 a  那么现在我们基本上对LINGO和MATLAB对规划问题的处理方面有了初步认识与了解，至于是执着于MATLAB还是选择开辟LINGO这片新的领域，取决于队伍自身了。

三、 如何上手Lingo

, D6 M. m5 ~* D7 B3 Z  有很多人对于Lingo的评价都是，非常简单的软件，很好上手。
) Z2 f1 `+ U" v6 y  K  “简单”一词我觉得还比较恰当。Lingo的各种版本几乎全部都是免安装版本的，界面很简单，功能用法很简单，处理问题的方式简单快捷。确实是跟“简单”一词挂钩的。但是任何一款软件想要精通，都是有一定难度的。如果你只需要用Lingo处理一些简单的线性问题，那么2个小时不到，0编程基础的朋友就能上手。如果你认准了Lingo就是你处理各类规划问题的御用软件，那么还是有很长一段路要走的。当然这也取决于用户的编程基础。如果学习过面向对象的程序设计课程的朋友，对于类与对象概念有所了解，那么对于集这一概念也能快速理解上手，学习起来更加轻松。

四、 Lingo的基本语法规则

0 `( [9 w* q- W8 r8 I2 T, U8 [' n1、求目标函数的最大最小值用 MAX=MAX= 和 MIN=MIN= 来表示；
2、每个语句必须用分号“；”结束，每行可以有许多语句，一个语句可以跨行；
3、变量名必须以字母A-Z开头，由字母、数字0-9和下划线组成，长度不超过32个字符，不区分大小写；
4、可以给语句加上标号；
: y- F$ Y" H6 d$ Z5、注释以“！”开头以“；”结束；
& O6 h8 ^4 B2 `( X' ^$ P; v+ A6、默认所有的决策变量为非负数；
. y' X% J4 `' e0 Q) k7、Lingo模型以“MODEL”开头以“END”结束。
8、Lingo把相联系的对象聚合成集，借助集，就能够用一个单一的长的简明的公式表示一系列相应的约束。
! @4 c+ O8 |' _8 f1 S' k5 s6 z- z9、Lingo程序会包含集合段，数据输入段，优化目标和约束段，初始段和数据预处理部分。
10、Lingo函数包括有数学函数，金融函数，概率函数，变量界定义函数，集操作函数，集循环函数，输入输出函数，辅助函数等等。
9 R# I! `1 P" R, X4 s! e
五、 谈一谈例子

  那么Lingo用起来到底有多简单呢，我们来看一个例子。
1 G) A+ c2 X' B5 k: P( h8 U; g2 ~7 r
例1:某家公诉制造书桌、餐桌和椅子，所用的资源有三种:木料、木工和漆工。生产数据如下表所示:
  S' G+ p( H* c; k' z% [
: s8 f+ g" u7 v% z9 Z         每个书桌        每个餐桌        每个椅子        现有资源总数
木料        8个单位        6个单位        1个单位        48个单位
% t0 B3 X$ I8 V, S) }3 ?9 h漆工        4个单位        2个单位        1.5个单位        20个单位
木工        2个单位        1.5个单位        0.5个单位        8个单位
成品单价        60个单位        30个单位        20个单位         
# ~" f: S4 P( i4 ?) D7 |  若要求桌子的生产量不超过5件，如何安排三种产品的生产可使利润最大？

解：代码
* ^5 u" C9 \" M) d0 C, L
max = 60 * desks + 30 * tables + 20 * chairs;
1 y; z" N2 n7 D) U% L% G& s      8 * desks + 6 * tables + chairs <= 48;
$ I) E( F- S( e2 M1 `      4 * desks + 2 * tables + 1.5 * chairs <= 20;
, u, B/ @/ X" F6 t; u      2 * desks + 1.5 * tables + .5 * chairs <= 8;
# ?: T% u( V- l3 C9 b0 |tables <= 5;
1
2
3
5 Q$ h$ b3 |1 U- r4
5
可以得到结果:
; [+ E' ^9 p- c, P4 D  Z* @
  这里的 Total solver iteration 表示一共迭代2次得到最优解。
- s: c* x9 ]; @. h  Objective value 表示最优值为280，而取280的时候各个变量取多少呢，底下的表格给出了答案。
8 m  l7 F4 H  b6 b8 V4 _* |  可以看到，没有定义变量，简简单单一个函数一个约束条件，迅速计算出了答案。Lingo看上去就像是为了非编程人员量身定制的一样。

! f" C# \( x  Z7 v例2:给定一个直角三角形，求包含该三角形的最小正方形。
/ p$ @, I1 z% [* a3 i. d+ S
我们可以作出如下正方形:


  CE=asinx,AD=bcosx,DE=acosx+bsinxCE=asinx,AD=bcosx,DE=acosx+bsinx
$ r  `( G( s, p2 D3 R  转化为了规划问题那么正方形面积最小的时候即为最优解。
' ~( g, U8 K% ?  q  代码：

model:
sets:
    object/1..3/:f;
/ s" N/ L; @) V, s, Gendsets
data:
+ u! |/ O! f3 J% g; e4 q    a, b = 3, 4;
enddata
, o" S/ C: I, \$ ]  T6 x    f(1) = a * @sin(x);
* d  {: y  O0 x2 A    f(2) = b * @cos(x);
    f(3) = a * @cos(x) + b * @sin(x);
0 w# |' ?& f3 Z: N) I* D8 |/ v    min = @smax(f(1), f(2), f(3));
    @bnd(0, x, 1.57);
end
; O# g9 h& J- G( n, A/ a6 {1
2
* n5 y( H- z/ b3
+ u0 b2 z- a! E! J. I4
5
6
, R4 W4 X, x7 Z  P7
8
9
10
11
12
" T' }" n2 q7 y/ ^13
  得到结果：
0 `$ _" J+ N9 Z

  这里需要注意，lingo中如果没有代码说明，是默认 xx 的值大于0的。代码中用 bndbnd 函数限制了 xx 的范围。
( D# M9 A9 s3 k5 \' F  Y3 J& C  那么再进阶一下，Lingo在处理TSP问题的时候表现如何呢？

/ ^- x1 s. L# Z例3: 现需在一台机器上加工 nn 个零件（如烧瓷器），这些零件可按任意先后顺序在机器上加工。我们希望加工完成所有零件的总时间尽可能少。由于加工工艺的要求，加工零件 jj 时机器必须处于相应状态 sjsj（如炉温）。设起始未加工任何零件时机器处于状态 s0s0 ，且当所有零件加工完成后需恢复到 s0s0 状态。已知从状态 sisi 调整到状态 sj(j≠i)sj(j≠i) 需要时间 cijcij 零件 jj 本身加工时间为 pjpj。为方便起见,引入一个虚零件 00，其加工时间为 00，要求状态为 s0s0，则 0,1,2,…,n0,1,2,…,n 的一个圈置换 ππ 就表示对所有零件的一个加工顺序，在此置换下，完成所有加工所需要的总时间为
∑i=0n(ciπ(i)+piπ(i))=∑i=0nciπ(i)+∑j=0npj
- e/ }2 z8 i; e* H6 t∑i=0n(ciπ(i)+piπ(i))=∑i=0nciπ(i)+∑j=0npj
由于 ∑nj=0pj∑j=0npj 是一个常数，故该零件的加工顺序问题变成TSP。

* r' \4 l, T  y3 @+ `代码：

5 j9 i5 P5 k( T, B% z' B( n!旅行商问题;
$ N& y, k0 b. |% i5 t2 Xmodel:
" K! n# ]4 O7 x5 g0 J# [/ Y# wsets:
    city / 1.. 5/: u;
0 f* q7 ?* w' C$ [1 `    link(city, city):
6 |7 j- C; I( [        dist, x; !距离矩阵;
% ^% G- C8 `# H, ~endsets
7 M9 s- ]8 b3 a/ U' D+ s' `" J    n = @size(city);
: u9 _) x  H3 Q" kdata: !距离矩阵，它并不需要是对称的;
1 e0 K! O* |: S" Z    dist = @qrand(1); !随机产生，这里可改为你要解决的问题的数据;
enddata
    min = @sum(link:dist * x);
1 q# s/ ?3 i. T8 O% v    @FOR(city(K):
        @sum(city(I)|I #ne# K: x(I, K)) = 1;
        !进入城市K;
$ X0 w- O( s8 n( ?7 i" O; E# Z# i( `        @sum(city(J)|J #ne# K: x(K, J)) = 1;
    );
    @for(city(I)|I #gt# 1:
5 J5 M3 y; l1 B, J5 r        @for(city( J)| J#gt#1 #and# I #ne# J:
             u(I) - u(J) + n * x(I,J) <= n - 1);
    );
@for(city(I)|I #gt# 1: u(I) <= n - 2);
; R& Y# I% N* r4 O@for(link: @bin(x));
end
1
2
3
4
5
# b0 N9 K4 Y& c+ s) W6
7
5 z3 T) c2 a) k, U' P9 e8
9
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. [, X# u1 @. q9 R% V/ e- ^6 ^11
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) w" u9 @- O" k2 L) }* j& O15
16
17
18
: |# _4 x2 c9 b& s+ t% C% e19
20
21
22
23
24
可以得到结果:

* A9 n% F+ J# H8 l$ d; E5 y---------------------

1 B& H# K( K! F: v

+ V) G5 x- a: I0 A- R