数学建模十大经典算法漫谈

杨利霞

数学建模十大经典算法漫谈
数学建模十大算法漫谈

4 S% L* k, e" P9 l4 p
  P; a0 R$ w3 z
4 ]7 \3 M* g8 W  t8 Y6 A作者:July  二零一一年一月二十九日
) c4 H; ]  H' ?  z
! e8 J. R) J& h3 h本文参考：
; l0 q8 S3 D" j: t/ TI、  细数二十世纪最伟大的十大算法 [译者：本人July]
# O. f& m" ~  N( A# pII、 本BLOG内 经典算法研究系列
6 |! W) ^% ?% [( c5 Z% uIII、维基百科
% U! C8 j! g9 n& ~% |
/ A& v; ^8 M9 h$ _7 b* @------------------------------------------

博主说明:
1、此数学建模十大算法依据网上的一份榜单而写，本文对此十大算法作一一简单介绍。
这只是一份榜单而已，数学建模中还有很多的算法，未一一囊括。欢迎读者提供更多的好的算法。
5 w" [, E. c* s2、在具体阐述每一算法的应用时，除了列出常见的应用之外，
同时，还会具体结合数学建模竞赛一一阐述。
毕竟，此十大算法，在数学建模竞赛中有着无比广泛而重要的应用。
且，凡是标着“某某年某国某题”，即是那一年某个国家的数学建模竞赛原题。
& l/ k  ]. n: j! s3、此十大算法，在一些经典的算法设计书籍上，无过多阐述。
) y4 i+ l& n( ^7 P' U6 w若要具体细致的深入研究，还得请参考国内或国际上关于此十大算法的优秀论文。
谢谢。
: @+ e& r3 n. h! X4 K' z


& m: d% O+ r/ K4 l: R
: f8 x" \, \3 X. K9 C" I8 z1 k
. X+ L' u& N: W: R7 B2 O& R一、蒙特卡罗算法
1946年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和 Nick Metropolis
共同发明了，蒙特卡罗方法。


) K" Z6 t: Z# P6 Z; n+ H此算法被评为20世纪最伟大的十大算法之一，详情，请参见我的博文：
4 V* l- o* Z: }+ }http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/10/6127953.aspx

6 |- Z4 X2 }% i  W4 x6 Z$ P  X

8 v6 b* e7 w" O# |蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），又称随机抽样或统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导
7 e( P# f# N/ N6 [) p% d' j0 K
的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方
$ u, w! s# Z% T+ l) i1 y# `
法。
- E" A! D* b: b' O4 v

6 P0 n, W: s( g2 E. Q
* W/ J, M& \' h  B由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真

+ p9 n! p+ M$ y2 m6 _实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。

! C' h4 ~/ x% @2 P# W蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：
$ Y# ?4 L3 ?* [" J. ]7 \, G7 \当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法

5 z/ q, q9 I2 F" M/ X; y9 w，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作

6 B9 r# ~, x4 |) L4 N0 o为问题的解。

5 _( z- I4 d6 s1 u: f) ?& A9 B

1 A% @- R1 V. z7 r有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法：
0 S/ ?$ \$ d2 a8 ]! n假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程

- z8 e0 R0 u7 ~1 o度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然

( p3 \8 }0 R) f% E% w后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候
; g1 j% J9 }8 m- j
，结果就越精确。
5 s9 t& O6 W% \* o: ]$ ?在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。
; ?9 o& r  U# [

9 d- _' v2 i: r+ h  @2 r/ |蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模
: r, J( X3 E: k* E/ h+ |9 w+ x
拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的

近似解。
6 @3 ^* e2 K7 Q2 ?
/ ]/ i, ]+ C3 z0 U) }, v
; Z% E0 ]" h" U, R, |0 O
蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难，而
, k3 v5 U; m# v6 \# v+ ?5 {0 s6 i4 c" @
/ l0 c- j4 `8 g2 n蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下：
1 Z+ ^9 Q& z- w! uI、  直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解。
II、 采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律。
III、不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。
, E7 B8 A1 k- }) A4 w# P9 s等等。

此算法，日后还会在本BLOG 内详细阐述。
& d) G0 ~1 i7 f% n& r" Q/ q
* ^) m- R8 A5 T/ O, ^% {
# t3 n% C1 Y2 U& ?6 b" @) e
! I# F. _" m+ ]3 x' [0 ^6 ?
9 y) B9 T  @& t二、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
7 P: a% i1 B0 @& Z# C& n我们通常会遇到大量的数据需要处理， 而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。

数据拟合在数学建模比赛中中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98年数

4 Q" I+ w* c. G学建模美国赛A题，生物组织切片的三维插值处理，94年A题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有
2 u# |1 X) S. H  x
吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理。
0 v1 E& v$ m- u- v

. g) }, S/ s1 W6 D# t
6 y, {1 F7 c# T) O3 J( D+ U% j此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用，熟悉MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。
: {1 _5 m" ^1 {


2 h% F0 J  ~2 b
三、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件

* K! ~8 b: W7 i2 E$ T# S" O、几个函数表达式作为目标函数的问题，遇到这类问题，求解就是关键了，比如98年B题，用很多不等式

完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规划后用 Lindo 、 Lingo 等软件来进行解决比较方便，所以还
, o5 q/ E# @% S5 a6 v) k
需要熟悉这两个软件。


2 `7 `% r6 Z% s" k/ O" s
. O& ~9 \# o; ]( c+ c" \
7 {2 G$ b% ]) m+ w/ s四、图论算法
$ f) p) C% P1 t- F9 |* P/ w这类问题算法有很多，
5 e" m  I6 n. R7 C7 X+ u, {包括： Dijkstra 、 Floyd 、 Prim 、 Bellman-Ford ，最大流，二分匹配等问题。
+ I6 }* Z5 a; y  o4 X: U; v
; s; |# X% |4 B* W
2 o% [* M# N* A% ]" N( s8 k
+ b/ U, ]# J  }% g6 o, P+ h关于此类图论算法，可参考Introduction to Algorithms--算法导论，关于图算法的第22章-第26章。
) C6 {% A& r; j! I同时，本BLOG内经典算法研究系列，对Dijkstra算法有所简单描述，
-----------
经典算法研究系列：二、Dijkstra 算法初探
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2010/12/24/6096981.aspx
) F0 C( }# k! H) z. R& N
更多，请关注本BLOG 日后更新的博文。

) e, e9 @# `, Q0 h
" v' ~% z3 E+ D5 S6 }

五、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
在数学建模竞赛中，如:92 年B题用分枝定界法， 97年B题是典型的动态规划问题，
) e: n+ X  A4 H& D7 G此外 98 年 B 题体现了分治算法。
' ~; V( v' `, l# z# q; y5 A
) J, B" k0 f0 n( N6 w' I' n
这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似，
- G: Q9 O% J5 y+ c推荐看一下算法导论，与《计算机算法设计与分析》（电子工业出版社）等与计算机算法有关的书。
/ @; D- n* c2 L1 P+ Q



六、最优化理论的三大经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。

6 g9 T" K" H: h- p在数学建模竞赛中：比如97年A题的模拟退火算法,00年B题的神经网络分类算法，01年B题这种难题也可

6 B+ n6 g' [' w# Y/ `# S7 i1 ?  ~# ~以使用神经网络，还有美国竞赛89年A题也和 BP 算法有关系，当时是86年刚提出BP算法，89年就考了，
% |" x5 s( g1 a3 E
  I* c$ F$ H8 s/ O$ o  k' {说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。
, \7 g* _2 q7 F! M- R2 ~03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前算法最佳的是遗传算法。
8 v+ k/ e' ~' c; e: _$ j
0 s# K1 G% p9 f2 @+ ]% M/ P: ^4 F" P

另，本人对人工智能非常感兴趣，遗传算法已在本BLOG内有所阐述，敬请参见。
3 ?, n) R' t; j% H/ h----------
经典算法研究系列：七、深入浅出遗传算法，透析GA本质
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/12/6132775.aspx
  Q! Y$ o9 i4 A" M+ a7 r- ~3 o* |
9 N2 \. a# L! N

( e& M# @) i3 q. `5 F+ o其它俩大算法，模拟退火法，与神经网络，也定会在本BLOG内日后的博文更新中，详细阐述。


4 u$ e: c& J$ Y7 i3 c& U
- A. \( C/ V: a( Y5 b% f6 E+ t
  v/ }- W+ r" L1 z七、网格算法和穷举法
; k8 _; e, [: ]2 u4 e% H网格算法和穷举法一样，只是网格法是连续问题的穷举。
6 ~' b9 V8 o; D& r* w4 t9 W比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题，那么对这些变量可取的空间进行采点，
比如在 [ a; b ] 区间内取 M +1 个点，就是 a; a +( b ? a ) =M; a +2 ￠ ( b ? a ) =M ; …；b
4 E8 _/ a1 c9 r# v
那么这样循环就需要进行 ( M + 1) N 次运算，所以计算量很大。

: ^9 f. t+ {* ]) e
, M3 h& S6 e3 C" Z  ]4 Y+ @7 [+ n& \在数学建模竞赛中：比如 97 年 A 题、 99 年 B 题都可以用网格法搜索，这种方法最好在运算速度较

* U8 `+ G+ H) t8 ^' i/ W5 I% H' Y快的计算机中进行，还有要用高级语言来做，最好不要用 MATLAB 做网格，否则会算很久。
# M' P: x1 W- Y: N7 G8 L# S
穷举法大家都熟悉，自不用多说了。  
* ]6 ^2 r6 R0 k: y

' `4 a7 g- @- W

5 M4 @( E7 ~- f5 y  p, n八、一些连续离散化方法
$ @/ p5 i' m+ j* T, M! B大部分物理问题的编程解决，都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界
+ N' }6 K: l; n. h0 |
中，计算机只能处理离散的量，所以需要对连续量进行离散处理。


7 Y/ e* Y: Z, o$ k% x0 [这种方法应用很广，而且和上面的很多算法有关。
  B- f5 h, o8 Z! k: q- H8 g7 Q事实上，网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。

7 t5 S# ?  Z8 x% D  I
- W4 z- h6 }) u8 C) j$ l

九、数值分析算法
数值分析（numerical analysis），是数学的一个分支，主要研究连续数学（区别于离散数学）问题的

算法。

如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比 如方程组求解、矩阵运算、

函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。
8 C" n7 f+ y9 t6 O' E& c
) L1 B* ~+ |' d* |" p( Z5 y这类算法是针对高级语言而专门设的，如果你用的是 MATLAB 、 Mathematica ，大可不必准备，
2 E" L, g) V  E5 |因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。

' ~8 i- U. g/ _$ O' K
7 b6 g+ V1 F0 m* W

$ n- P' K$ U8 W  W十、图象处理算法
在数学建模竞赛中：比如01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值
' q, t# s2 Y2 p6 ^# @
& \. r* I( m7 v$ {计算， 03 年 B 题要求更高，不但需要编程计算还要进行处理，而数模论文中也有很多图片需要展示，
. w3 N: J+ d- |# u4 s
( W* w, D4 }) ~; v* T9 B$ I因此图象处理就是关键。做好这类问题，重要的是把MATLAB 学好，特别是图象处理的部分。
3 S5 S+ r6 P9 u  k% r---------------------
作者：画面太乱了
来源：CSDN

* F. B7 _7 |& P2 D5 t
/ ~$ _0 V7 N; K8 t; D9 W/ E