数学建模十大经典算法漫谈

杨利霞

数学建模十大经典算法漫谈
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& S) G: w4 G! z8 [# n' h' K作者:July  二零一一年一月二十九日

本文参考：
I、  细数二十世纪最伟大的十大算法 [译者：本人July]
  g# _& p# A) J' x: lII、 本BLOG内 经典算法研究系列
/ p1 x3 |% U& H) W6 BIII、维基百科

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博主说明:
% Z! [5 Y3 M* V& B, Z1、此数学建模十大算法依据网上的一份榜单而写，本文对此十大算法作一一简单介绍。
这只是一份榜单而已，数学建模中还有很多的算法，未一一囊括。欢迎读者提供更多的好的算法。
2、在具体阐述每一算法的应用时，除了列出常见的应用之外，
同时，还会具体结合数学建模竞赛一一阐述。
! r& h/ b/ c2 E毕竟，此十大算法，在数学建模竞赛中有着无比广泛而重要的应用。
# E: [* t# l- b8 U- X/ N" o. `* {" l& u且，凡是标着“某某年某国某题”，即是那一年某个国家的数学建模竞赛原题。
  {7 B6 s( i7 W" F, e' r3、此十大算法，在一些经典的算法设计书籍上，无过多阐述。
5 e& H: o: `& ?: }若要具体细致的深入研究，还得请参考国内或国际上关于此十大算法的优秀论文。
8 E0 N1 p1 l5 K6 K) v' ~谢谢。

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: A) C& }5 C3 i1 w一、蒙特卡罗算法
1946年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和 Nick Metropolis
共同发明了，蒙特卡罗方法。

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此算法被评为20世纪最伟大的十大算法之一，详情，请参见我的博文：
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/10/6127953.aspx

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蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），又称随机抽样或统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导

的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方

法。
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: B8 @4 w, h9 C4 @0 [  b
  w: I* D4 F& N( c由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真

, z7 O! e: v6 F- v- b实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。
3 S4 U9 x6 v( D. q1 h: o8 S' L
, g; {+ ]% ?8 w( O蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：
当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法

，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作

8 K1 j/ m8 C7 Y/ d, q2 |5 g为问题的解。


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3 c+ ]2 b. q' {& v6 K有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法：
假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程

% m. A  d$ D) o: |4 u( D0 {度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然
& K* B: V% ?  I5 k/ l  X! u2 M2 q1 H
$ c8 H4 x* R% T6 m后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候
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，结果就越精确。
" {8 V! F4 d( `7 y: Q4 r在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。

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蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模

拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的

近似解。
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8 r7 C' H6 z  }+ X蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难，而

" ?# i* e8 A* P' }9 q蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下：
I、  直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解。
! `( v/ _( k1 wII、 采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律。
( y8 r! z/ B$ @6 ]) QIII、不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。
- l! M$ U" H: U! e  f7 f1 A1 c& x3 ?( T等等。
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- h. v# Z4 H4 d$ [/ w6 V此算法，日后还会在本BLOG 内详细阐述。

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1 ?- {7 Y: P' c) w: e6 @二、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
7 [/ h) \! w  `( u  }; T" L我们通常会遇到大量的数据需要处理， 而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。
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数据拟合在数学建模比赛中中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98年数
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$ j; F2 _/ x& f0 L! o. s( q学建模美国赛A题，生物组织切片的三维插值处理，94年A题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有
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吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理。
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此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用，熟悉MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。
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8 o9 r" k) S3 A, p1 w三、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
; o* y- I9 [4 y! B数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件

、几个函数表达式作为目标函数的问题，遇到这类问题，求解就是关键了，比如98年B题，用很多不等式
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; {! x& w' l( N7 n6 p完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规划后用 Lindo 、 Lingo 等软件来进行解决比较方便，所以还
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需要熟悉这两个软件。

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四、图论算法
2 F! p; B3 S) ^- q$ d2 {9 Z" z( ]这类问题算法有很多，
包括： Dijkstra 、 Floyd 、 Prim 、 Bellman-Ford ，最大流，二分匹配等问题。
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关于此类图论算法，可参考Introduction to Algorithms--算法导论，关于图算法的第22章-第26章。
同时，本BLOG内经典算法研究系列，对Dijkstra算法有所简单描述，
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; U# y" h1 J9 T" b5 w经典算法研究系列：二、Dijkstra 算法初探
& X2 u% m) O! ohttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2010/12/24/6096981.aspx

4 y; W: W( \# X% D, `; H/ D更多，请关注本BLOG 日后更新的博文。
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五、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
在数学建模竞赛中，如:92 年B题用分枝定界法， 97年B题是典型的动态规划问题，
此外 98 年 B 题体现了分治算法。

8 p, L% u8 G2 _) ]5 l
$ N9 d" B% s# x! p- B这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似，
7 O; f4 K( H2 V+ e推荐看一下算法导论，与《计算机算法设计与分析》（电子工业出版社）等与计算机算法有关的书。

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六、最优化理论的三大经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
" k/ M2 P! J( n' f! N  T2 {/ C这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。
2 Z! z, X7 D% }+ _  j  s6 H
) ~$ r' {) A! ^% o7 f# u" \4 H在数学建模竞赛中：比如97年A题的模拟退火算法,00年B题的神经网络分类算法，01年B题这种难题也可
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- l: C7 L7 V" B# F! m以使用神经网络，还有美国竞赛89年A题也和 BP 算法有关系，当时是86年刚提出BP算法，89年就考了，
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说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。
03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前算法最佳的是遗传算法。

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另，本人对人工智能非常感兴趣，遗传算法已在本BLOG内有所阐述，敬请参见。
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" d  S5 I8 V" c: ^+ d经典算法研究系列：七、深入浅出遗传算法，透析GA本质
. b$ |: f3 o( W3 Ihttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/12/6132775.aspx

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0 [& n3 M3 j% C! B1 _0 Z- ]  i
0 T! K% l- l% C其它俩大算法，模拟退火法，与神经网络，也定会在本BLOG内日后的博文更新中，详细阐述。
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# A. ~7 M# I- T6 h七、网格算法和穷举法
网格算法和穷举法一样，只是网格法是连续问题的穷举。
+ W- B* f0 D$ i' H6 [9 U" r) S比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题，那么对这些变量可取的空间进行采点，
; M( G4 r* y+ \! Z5 O比如在 [ a; b ] 区间内取 M +1 个点，就是 a; a +( b ? a ) =M; a +2 ￠ ( b ? a ) =M ; …；b

那么这样循环就需要进行 ( M + 1) N 次运算，所以计算量很大。
+ O! I: p2 M& V9 @: u" b

在数学建模竞赛中：比如 97 年 A 题、 99 年 B 题都可以用网格法搜索，这种方法最好在运算速度较

快的计算机中进行，还有要用高级语言来做，最好不要用 MATLAB 做网格，否则会算很久。

穷举法大家都熟悉，自不用多说了。  

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八、一些连续离散化方法
8 k; ]2 W, K6 ^大部分物理问题的编程解决，都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界
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中，计算机只能处理离散的量，所以需要对连续量进行离散处理。

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+ s7 v& [! j0 b这种方法应用很广，而且和上面的很多算法有关。
+ _: l& R- `5 Y事实上，网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。
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4 x. E5 S+ t- i+ c$ q2 B7 k7 Z九、数值分析算法
7 W5 b5 P: k; G* \& Y& i  s! F9 z* N6 V数值分析（numerical analysis），是数学的一个分支，主要研究连续数学（区别于离散数学）问题的
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算法。

% z2 j- h+ \+ V8 p) `$ d如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比 如方程组求解、矩阵运算、
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函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。

这类算法是针对高级语言而专门设的，如果你用的是 MATLAB 、 Mathematica ，大可不必准备，
. H2 [1 h$ j6 z3 A因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。

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十、图象处理算法
6 I: |( C! O  v1 c3 q0 |. E在数学建模竞赛中：比如01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值

计算， 03 年 B 题要求更高，不但需要编程计算还要进行处理，而数模论文中也有很多图片需要展示，

因此图象处理就是关键。做好这类问题，重要的是把MATLAB 学好，特别是图象处理的部分。
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作者：画面太乱了
来源：CSDN
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