数学建模十大经典算法漫谈

杨利霞

5 M7 h) n; x  ~, @; N9 L/ {数学建模十大经典算法漫谈
: n7 k9 u8 t. {0 p9 f0 o: ?数学建模十大算法漫谈
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' l" h. x5 Y) Z作者:July  二零一一年一月二十九日
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本文参考：
: a4 t, \! W8 R. }) ?I、  细数二十世纪最伟大的十大算法 [译者：本人July]
6 m" X* h. u: ?$ S. ]6 G5 O* gII、 本BLOG内 经典算法研究系列
III、维基百科

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博主说明:
- s: ^  c' U7 e6 j! k2 R+ c1、此数学建模十大算法依据网上的一份榜单而写，本文对此十大算法作一一简单介绍。
这只是一份榜单而已，数学建模中还有很多的算法，未一一囊括。欢迎读者提供更多的好的算法。
' a# X6 _( |# G# g1 j1 _2、在具体阐述每一算法的应用时，除了列出常见的应用之外，
同时，还会具体结合数学建模竞赛一一阐述。
6 T! j2 V) ]9 L毕竟，此十大算法，在数学建模竞赛中有着无比广泛而重要的应用。
且，凡是标着“某某年某国某题”，即是那一年某个国家的数学建模竞赛原题。
3、此十大算法，在一些经典的算法设计书籍上，无过多阐述。
) b6 v; S: U7 e* u/ G2 W" o7 A) e. \/ y若要具体细致的深入研究，还得请参考国内或国际上关于此十大算法的优秀论文。
$ f# g. o6 K1 i7 b谢谢。

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一、蒙特卡罗算法
1946年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和 Nick Metropolis
8 }: ~# a6 h( B/ {% J1 \共同发明了，蒙特卡罗方法。
, E5 T( v) q' d) H
' }/ a; _+ g4 ?* G" T2 q
此算法被评为20世纪最伟大的十大算法之一，详情，请参见我的博文：
7 `' R$ W3 T- `) H/ i/ l3 |http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/10/6127953.aspx
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) n! n  ^9 d8 ^7 w+ ?3 N蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），又称随机抽样或统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导
( M& t& d  y5 g1 \) B
2 n" D# S, [; J9 G1 K# l的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方

& @! t- q# ~6 c# U4 `4 ?5 f法。

* H* s+ T7 Z# _; B( L3 x* ?7 X$ Q
  G. |/ [. |3 e$ r3 W
, z9 u# l  q8 u' M/ o由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真
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8 {4 T9 c* @! y4 k4 P% k4 t. }4 m. m实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。

$ }6 K7 {: b% k蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：
当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法

，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作
6 t; u$ i, y0 z% u& H0 j  j
为问题的解。
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& ?1 H+ O( i. M5 o( b0 L, [8 X4 w有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法：
/ c1 g, p1 O$ H5 d" x假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程
7 v5 J& F# q. ^
) I6 K. M$ ^: H# T- _4 N度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然

: D) e. s: W4 I后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候
$ g2 w( ]1 }1 I
; @8 m7 T. l  z# v0 D% T，结果就越精确。
在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。


蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模

- W# P/ w3 Q8 x" R0 e. I9 s拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的
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近似解。
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蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难，而
: D' s4 C# [6 Z
: G+ }, G6 _6 f蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下：
I、  直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解。
/ @7 f5 W3 L4 X8 P3 ~3 kII、 采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律。
III、不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。
等等。

此算法，日后还会在本BLOG 内详细阐述。
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二、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
我们通常会遇到大量的数据需要处理， 而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。

数据拟合在数学建模比赛中中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98年数

' o& }4 S5 F, \/ C; v学建模美国赛A题，生物组织切片的三维插值处理，94年A题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有

) {! q" l7 Z" {  W3 q' w吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理。

/ F9 m" M, T, W: ]5 d6 d
7 g) b2 O: p  h+ m
4 K& q* q+ k9 p- m此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用，熟悉MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。
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# \( a8 _2 t0 i: n5 @6 X' e
8 J; ^$ g( y. {1 d0 @3 ]+ _三、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
( O- S2 N4 o. Y1 C6 F# X4 g数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件

/ t8 P" p0 M  K7 _7 [+ R、几个函数表达式作为目标函数的问题，遇到这类问题，求解就是关键了，比如98年B题，用很多不等式

. y, o3 |( H. D$ |* L4 J, {: e完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规划后用 Lindo 、 Lingo 等软件来进行解决比较方便，所以还

需要熟悉这两个软件。



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" a& t; O5 V- x9 U. Z四、图论算法
8 l  a; l7 n% g1 |* H这类问题算法有很多，
/ T- L1 V+ x# y" a5 }* P2 U包括： Dijkstra 、 Floyd 、 Prim 、 Bellman-Ford ，最大流，二分匹配等问题。
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4 j/ h! R' \' i7 L2 v4 x5 P0 d  ?

关于此类图论算法，可参考Introduction to Algorithms--算法导论，关于图算法的第22章-第26章。
同时，本BLOG内经典算法研究系列，对Dijkstra算法有所简单描述，
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7 Y6 H8 V) d& _3 o# d0 F& `经典算法研究系列：二、Dijkstra 算法初探
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2010/12/24/6096981.aspx
8 H5 c5 ~+ x$ v$ ~" A- N
更多，请关注本BLOG 日后更新的博文。



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+ Y. i9 @7 n2 J% D五、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
在数学建模竞赛中，如:92 年B题用分枝定界法， 97年B题是典型的动态规划问题，
, g" O) g* U+ e: j* R4 @此外 98 年 B 题体现了分治算法。
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这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似，
) K3 M" }3 R9 c0 l推荐看一下算法导论，与《计算机算法设计与分析》（电子工业出版社）等与计算机算法有关的书。

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2 A7 B8 q" [1 t0 v8 k六、最优化理论的三大经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
9 z( l& I* `# y# Z" Q这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。
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在数学建模竞赛中：比如97年A题的模拟退火算法,00年B题的神经网络分类算法，01年B题这种难题也可

以使用神经网络，还有美国竞赛89年A题也和 BP 算法有关系，当时是86年刚提出BP算法，89年就考了，

说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。
) I* [% N" t' O# ^03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前算法最佳的是遗传算法。



另，本人对人工智能非常感兴趣，遗传算法已在本BLOG内有所阐述，敬请参见。
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! d! ]" a1 D6 f: m  D/ ^7 V7 k经典算法研究系列：七、深入浅出遗传算法，透析GA本质
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/12/6132775.aspx

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0 O5 I, n7 O) r  ^+ N
其它俩大算法，模拟退火法，与神经网络，也定会在本BLOG内日后的博文更新中，详细阐述。
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七、网格算法和穷举法
! l# J8 p6 J) G网格算法和穷举法一样，只是网格法是连续问题的穷举。
比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题，那么对这些变量可取的空间进行采点，
比如在 [ a; b ] 区间内取 M +1 个点，就是 a; a +( b ? a ) =M; a +2 ￠ ( b ? a ) =M ; …；b
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那么这样循环就需要进行 ( M + 1) N 次运算，所以计算量很大。


5 `: _, J3 U4 m3 Q' G% H$ Z7 s在数学建模竞赛中：比如 97 年 A 题、 99 年 B 题都可以用网格法搜索，这种方法最好在运算速度较

快的计算机中进行，还有要用高级语言来做，最好不要用 MATLAB 做网格，否则会算很久。
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, P' G2 n! g% o- r5 ^穷举法大家都熟悉，自不用多说了。  


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0 b3 }$ {) [  E, _& o: K
; e$ f; ?& C4 K) H八、一些连续离散化方法
大部分物理问题的编程解决，都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界
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中，计算机只能处理离散的量，所以需要对连续量进行离散处理。
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这种方法应用很广，而且和上面的很多算法有关。
事实上，网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。
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  U5 q7 [9 m; l+ \: w
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九、数值分析算法
" r2 e/ ]$ X* {6 L5 k* ^数值分析（numerical analysis），是数学的一个分支，主要研究连续数学（区别于离散数学）问题的

算法。

; i% i" ^  l) I7 H4 S( X  `如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比 如方程组求解、矩阵运算、

1 p3 ]( F) n5 T7 x函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。

这类算法是针对高级语言而专门设的，如果你用的是 MATLAB 、 Mathematica ，大可不必准备，
因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。


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& v# b1 a3 O$ X$ z1 j6 O十、图象处理算法
在数学建模竞赛中：比如01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值

/ l, A3 `5 O) B" ^计算， 03 年 B 题要求更高，不但需要编程计算还要进行处理，而数模论文中也有很多图片需要展示，

$ \9 G) g; T# K' t因此图象处理就是关键。做好这类问题，重要的是把MATLAB 学好，特别是图象处理的部分。
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作者：画面太乱了
来源：CSDN

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