数学建模十大经典算法漫谈

杨利霞

数学建模十大经典算法漫谈
数学建模十大算法漫谈
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) I) D9 F2 y0 ?( G/ t# r作者:July  二零一一年一月二十九日

本文参考：
) V$ Q; I, ^+ y" n7 J0 i# HI、  细数二十世纪最伟大的十大算法 [译者：本人July]
II、 本BLOG内 经典算法研究系列
1 B2 P3 W# j! D4 ZIII、维基百科

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3 [; r% [. m9 q$ Z; y+ s1 t
0 Z) @- G, B: N/ P* y" N博主说明:
  [# K: i4 X' K1、此数学建模十大算法依据网上的一份榜单而写，本文对此十大算法作一一简单介绍。
! f9 K2 _$ d% q这只是一份榜单而已，数学建模中还有很多的算法，未一一囊括。欢迎读者提供更多的好的算法。
/ p% v% `: {) m8 V* M2、在具体阐述每一算法的应用时，除了列出常见的应用之外，
- }- Z9 N2 j8 f; O0 R同时，还会具体结合数学建模竞赛一一阐述。
4 g0 f  J; {: f$ o/ Z% |毕竟，此十大算法，在数学建模竞赛中有着无比广泛而重要的应用。
- Y! b* S$ ?" K# w7 [9 k且，凡是标着“某某年某国某题”，即是那一年某个国家的数学建模竞赛原题。
+ d! b4 C8 b* [! v+ H3、此十大算法，在一些经典的算法设计书籍上，无过多阐述。
% o' ~$ _/ @3 b. y; E( e- |5 H若要具体细致的深入研究，还得请参考国内或国际上关于此十大算法的优秀论文。
谢谢。
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" `( t: K6 L/ ]! {& ]1 e0 R2 R3 R
, Z6 L3 x3 r" f一、蒙特卡罗算法
/ ^2 x+ ]! G$ Q9 ]% J1946年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和 Nick Metropolis
共同发明了，蒙特卡罗方法。
; P3 N( G5 @5 q6 `7 L8 D9 p

+ O, X" V/ _! k% F9 O! _此算法被评为20世纪最伟大的十大算法之一，详情，请参见我的博文：
7 f) }3 J; o$ j8 ?http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/10/6127953.aspx
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蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），又称随机抽样或统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导
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的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方

5 C. _2 @8 V! M/ R法。
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5 t9 K6 S& Z0 E- J由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真
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& b: n; E4 L6 v5 v实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。
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蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：
当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法

2 h. S" Z8 B/ ?2 y. e! @，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作

为问题的解。


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有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法：
1 |" I3 `2 b, B' Q' d. w3 }假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程
2 Q( z! {! N8 U* D8 p5 V: l
; u$ f- V. B$ r0 [. L度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然
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8 E6 h/ E+ _; q& u5 R后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候

，结果就越精确。
在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。
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$ v3 g% V5 f0 P蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模

拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的

" N$ p$ Q/ }( H0 D近似解。
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: L1 F; b6 C3 B+ D  r7 L蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难，而
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6 B. L. }- Q9 z' v: g5 L蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下：
I、  直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解。
0 k1 N, B( S! L. y' S( bII、 采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律。
' B' j1 ^8 C$ L8 rIII、不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。
) E  ?( b  b" O8 z0 W! R0 D& R2 y) t9 J等等。

1 d1 G0 B3 _  @( k2 D  ~1 C8 a' \此算法，日后还会在本BLOG 内详细阐述。

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二、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
( ?  ]6 ]; F7 z  P, Z. E7 {我们通常会遇到大量的数据需要处理， 而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。

% i7 ?3 J( B3 ~( P) o数据拟合在数学建模比赛中中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98年数
5 b' ~6 L9 Y' I5 b2 a- _
% X- \% ?3 m2 A, t' t) z学建模美国赛A题，生物组织切片的三维插值处理，94年A题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有

% _5 k& W/ b/ B! d吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理。

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  t* \; Q& v6 C9 X" H此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用，熟悉MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。


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+ l$ c9 s" F- j# _3 N三、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
6 q8 J+ ~2 f7 ~  N8 d* O数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件

: e# d5 y% c# I# ^7 J  o- j! t/ _、几个函数表达式作为目标函数的问题，遇到这类问题，求解就是关键了，比如98年B题，用很多不等式

完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规划后用 Lindo 、 Lingo 等软件来进行解决比较方便，所以还
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需要熟悉这两个软件。



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四、图论算法
9 s) L1 T$ j1 @/ R& @( U这类问题算法有很多，
8 h& t2 r+ m+ k4 I/ A8 J! w* v包括： Dijkstra 、 Floyd 、 Prim 、 Bellman-Ford ，最大流，二分匹配等问题。
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关于此类图论算法，可参考Introduction to Algorithms--算法导论，关于图算法的第22章-第26章。
同时，本BLOG内经典算法研究系列，对Dijkstra算法有所简单描述，
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- G4 N; j  K9 u( C/ I经典算法研究系列：二、Dijkstra 算法初探
3 b6 w9 V& O. Y6 J3 q5 v! Q- f+ p2 khttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2010/12/24/6096981.aspx

) ~+ q2 S, n; L- X' G% A% y, @更多，请关注本BLOG 日后更新的博文。

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, x% A0 k# w7 m) t" p五、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
0 C7 e4 b. F4 e/ E# n+ z在数学建模竞赛中，如:92 年B题用分枝定界法， 97年B题是典型的动态规划问题，
此外 98 年 B 题体现了分治算法。
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2 V0 {  x" _; g/ E( ]5 l9 b这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似，
7 w' m( C# \* E! K  x+ y5 A5 V3 T推荐看一下算法导论，与《计算机算法设计与分析》（电子工业出版社）等与计算机算法有关的书。
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六、最优化理论的三大经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。
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  z; r2 ^  [1 [# Q在数学建模竞赛中：比如97年A题的模拟退火算法,00年B题的神经网络分类算法，01年B题这种难题也可
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- D$ f# C2 ^9 R9 M; ]( f以使用神经网络，还有美国竞赛89年A题也和 BP 算法有关系，当时是86年刚提出BP算法，89年就考了，

5 W( U% }: ]0 Z6 i说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。
03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前算法最佳的是遗传算法。
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另，本人对人工智能非常感兴趣，遗传算法已在本BLOG内有所阐述，敬请参见。
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. N/ O7 |6 r% o5 d* P  @$ R经典算法研究系列：七、深入浅出遗传算法，透析GA本质
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/12/6132775.aspx
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' f% ?% }; N2 o* J0 [# n3 h
" c# a3 y9 m, V. ~其它俩大算法，模拟退火法，与神经网络，也定会在本BLOG内日后的博文更新中，详细阐述。
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& K2 Z, }/ w* o七、网格算法和穷举法
# {1 [7 o/ b1 Y7 p6 ?网格算法和穷举法一样，只是网格法是连续问题的穷举。
比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题，那么对这些变量可取的空间进行采点，
比如在 [ a; b ] 区间内取 M +1 个点，就是 a; a +( b ? a ) =M; a +2 ￠ ( b ? a ) =M ; …；b
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那么这样循环就需要进行 ( M + 1) N 次运算，所以计算量很大。
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$ P% d# V- s& }  H/ y0 m! C# r在数学建模竞赛中：比如 97 年 A 题、 99 年 B 题都可以用网格法搜索，这种方法最好在运算速度较
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' X  v) S# y+ B0 i快的计算机中进行，还有要用高级语言来做，最好不要用 MATLAB 做网格，否则会算很久。
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穷举法大家都熟悉，自不用多说了。  

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% X+ `- f* _# {9 b& U# w" e八、一些连续离散化方法
4 c& t8 m/ O- `. M* c大部分物理问题的编程解决，都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界
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中，计算机只能处理离散的量，所以需要对连续量进行离散处理。
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这种方法应用很广，而且和上面的很多算法有关。
事实上，网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。
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$ i6 F/ L$ Q  \0 ]* B九、数值分析算法
( R0 M4 S! q" s数值分析（numerical analysis），是数学的一个分支，主要研究连续数学（区别于离散数学）问题的
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算法。

如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比 如方程组求解、矩阵运算、

- E4 p  p7 p& `- C! g3 z: ^函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。
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这类算法是针对高级语言而专门设的，如果你用的是 MATLAB 、 Mathematica ，大可不必准备，
1 G! \& f- W1 K4 o0 k8 X因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。
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6 o2 G( p# I& w0 ?5 @" s十、图象处理算法
% r5 R+ Q0 B, _! ^- B6 i% H  u. _在数学建模竞赛中：比如01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值
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计算， 03 年 B 题要求更高，不但需要编程计算还要进行处理，而数模论文中也有很多图片需要展示，

. |1 T  N2 X1 x! n# J因此图象处理就是关键。做好这类问题，重要的是把MATLAB 学好，特别是图象处理的部分。
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# h1 v4 @) R5 g0 r  q$ O3 r作者：画面太乱了
7 P2 z/ I4 y& ~3 Y3 G来源：CSDN
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