数学建模十大经典算法漫谈

杨利霞

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' S- O/ ]3 P0 I4 c数学建模十大算法漫谈

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作者:July  二零一一年一月二十九日
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% @7 E, o, p4 W" z本文参考：
I、  细数二十世纪最伟大的十大算法 [译者：本人July]
II、 本BLOG内 经典算法研究系列
III、维基百科
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% o4 {) z# v9 d* C  [博主说明:
+ Q/ q/ ?' L, J( j1、此数学建模十大算法依据网上的一份榜单而写，本文对此十大算法作一一简单介绍。
这只是一份榜单而已，数学建模中还有很多的算法，未一一囊括。欢迎读者提供更多的好的算法。
2、在具体阐述每一算法的应用时，除了列出常见的应用之外，
' V# |! v. f5 K0 c! ]同时，还会具体结合数学建模竞赛一一阐述。
# y0 B" u4 N) n/ y- z" t% X毕竟，此十大算法，在数学建模竞赛中有着无比广泛而重要的应用。
且，凡是标着“某某年某国某题”，即是那一年某个国家的数学建模竞赛原题。
3、此十大算法，在一些经典的算法设计书籍上，无过多阐述。
. h. v5 |. I% ~2 z$ B9 l6 q& r; J" |& G若要具体细致的深入研究，还得请参考国内或国际上关于此十大算法的优秀论文。
谢谢。

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一、蒙特卡罗算法
6 _+ [% n- V1 o/ K  O3 Q; l1946年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和 Nick Metropolis
共同发明了，蒙特卡罗方法。

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此算法被评为20世纪最伟大的十大算法之一，详情，请参见我的博文：
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/10/6127953.aspx
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: _! a9 |1 D9 B9 h: |" N蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），又称随机抽样或统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导

+ R. Q% n6 ^, k/ B" P, v5 K的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方

法。
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' }/ g5 f( R8 w" y由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真

实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。

蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：
当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法

，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作
; |7 N. O( d& R! j) ~
为问题的解。
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) g. h  d" `9 F  a8 z- k0 n有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法：
假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程
: ]2 a1 z( `5 m0 N, }! @
- s8 F& L, `5 |" E1 g度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然
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后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候

，结果就越精确。
在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。
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& ^# ]$ k  i: I0 j7 K% a: A* ]) u蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模

: M$ V% l5 d) y1 N; c2 T/ B) r+ p拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的

近似解。

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8 Q3 }' Z2 ?! K) H, l蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难，而
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6 ]* c5 E7 {$ w" Q蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下：
I、  直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解。
% s( o/ t" V: n: oII、 采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律。
, P  c7 g* f% hIII、不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。
等等。
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此算法，日后还会在本BLOG 内详细阐述。
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5 `& x; E. {% a/ }4 p8 Y, l/ I9 ?二、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
  o+ {. U# h- b! v; m+ {0 D我们通常会遇到大量的数据需要处理， 而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。
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! U& A6 i* M: U1 D$ T) A; _数据拟合在数学建模比赛中中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98年数

$ ], ^: R+ I3 ^. @# u+ p* b5 D学建模美国赛A题，生物组织切片的三维插值处理，94年A题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有

吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理。
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( ^/ H- }* w" D# y& U" Q8 J
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+ ?- D  }8 G/ S5 z此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用，熟悉MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。

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7 R1 e. j: P4 p. @/ ^! L三、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件

: S1 j( Y! a% j" o6 U+ K( D- X、几个函数表达式作为目标函数的问题，遇到这类问题，求解就是关键了，比如98年B题，用很多不等式
" }& D' j8 _0 l$ _+ P
1 U( B  C& {  P. ]完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规划后用 Lindo 、 Lingo 等软件来进行解决比较方便，所以还

5 E3 u, P. G" q6 i需要熟悉这两个软件。

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四、图论算法
这类问题算法有很多，
; Q. i- V( ?$ i' T包括： Dijkstra 、 Floyd 、 Prim 、 Bellman-Ford ，最大流，二分匹配等问题。

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. u0 x1 b3 i; M# K) y关于此类图论算法，可参考Introduction to Algorithms--算法导论，关于图算法的第22章-第26章。
同时，本BLOG内经典算法研究系列，对Dijkstra算法有所简单描述，
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经典算法研究系列：二、Dijkstra 算法初探
* \5 O0 n; F) o7 w, i, V8 ohttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2010/12/24/6096981.aspx

更多，请关注本BLOG 日后更新的博文。
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8 J! ]) X9 Z5 A" E# @五、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
& [) W: Q5 L4 _6 |6 r8 p在数学建模竞赛中，如:92 年B题用分枝定界法， 97年B题是典型的动态规划问题，
# T9 J1 z% Q+ x, Y. o8 d) w6 E此外 98 年 B 题体现了分治算法。
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' G! r$ D! E$ \8 K这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似，
" `  }, o* x6 S6 P推荐看一下算法导论，与《计算机算法设计与分析》（电子工业出版社）等与计算机算法有关的书。

) ], _4 ?4 `* z* H; |% K

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六、最优化理论的三大经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。
( U7 e5 z5 @' e  n! ^& e
2 Y' Z5 ?, n6 J  y. |$ X, ^在数学建模竞赛中：比如97年A题的模拟退火算法,00年B题的神经网络分类算法，01年B题这种难题也可

以使用神经网络，还有美国竞赛89年A题也和 BP 算法有关系，当时是86年刚提出BP算法，89年就考了，
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说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。
03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前算法最佳的是遗传算法。

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$ g4 |' R- G5 Q: V2 }' T# @9 [
/ W1 F& c. _& W; w: n: Y9 ~另，本人对人工智能非常感兴趣，遗传算法已在本BLOG内有所阐述，敬请参见。
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1 s, Y1 J, Z* E3 l1 [, P) W经典算法研究系列：七、深入浅出遗传算法，透析GA本质
) K. i  _5 P0 Phttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/12/6132775.aspx

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其它俩大算法，模拟退火法，与神经网络，也定会在本BLOG内日后的博文更新中，详细阐述。
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9 g+ s$ F$ Q: |  v$ Z# {七、网格算法和穷举法
网格算法和穷举法一样，只是网格法是连续问题的穷举。
/ |+ ]7 z, U( W% z  _/ B# u" k比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题，那么对这些变量可取的空间进行采点，
比如在 [ a; b ] 区间内取 M +1 个点，就是 a; a +( b ? a ) =M; a +2 ￠ ( b ? a ) =M ; …；b

0 ]" S# b' j7 I& N/ z- h- C$ z7 M那么这样循环就需要进行 ( M + 1) N 次运算，所以计算量很大。
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在数学建模竞赛中：比如 97 年 A 题、 99 年 B 题都可以用网格法搜索，这种方法最好在运算速度较

快的计算机中进行，还有要用高级语言来做，最好不要用 MATLAB 做网格，否则会算很久。

" K' S) X2 u2 A$ p( M穷举法大家都熟悉，自不用多说了。  




八、一些连续离散化方法
大部分物理问题的编程解决，都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界

6 y% u* Q- |7 c* I3 R; ^4 s中，计算机只能处理离散的量，所以需要对连续量进行离散处理。


这种方法应用很广，而且和上面的很多算法有关。
事实上，网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。
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九、数值分析算法
数值分析（numerical analysis），是数学的一个分支，主要研究连续数学（区别于离散数学）问题的
! o9 I/ g' Y  \# G# P* A' n
算法。

# ]$ G& V$ M& G  G) d$ _如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比 如方程组求解、矩阵运算、

函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。
8 V% x" m* y  a: g. E& v8 _
& g8 e# D% O) o$ C这类算法是针对高级语言而专门设的，如果你用的是 MATLAB 、 Mathematica ，大可不必准备，
8 ^8 E) J) \. o因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。




( c. J. }, L. O3 i* h' t十、图象处理算法
- j- r$ ?$ C1 S  o6 H在数学建模竞赛中：比如01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值
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计算， 03 年 B 题要求更高，不但需要编程计算还要进行处理，而数模论文中也有很多图片需要展示，
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因此图象处理就是关键。做好这类问题，重要的是把MATLAB 学好，特别是图象处理的部分。
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作者：画面太乱了
  I0 e0 F! q- J' Y来源：CSDN



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