数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题

杨利霞

数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题
1、建模步骤

1 G, d& Q( U$ C8 [% @# D

) s# @% }! Y6 A0 I# o. m( @! p2 h模型的建立：当有两个模型套用时，说的高端点，说成是前两个字组合后新名字的算法，其实是两个模型的叠加
" d% Y* l' ?2 m, Q+ Y, V! Y
模型的分析：表层的分析（从图表中能够看出什么）+深层次的分析
1 r1 i: J4 H! @& Y
模型的检验：例如，给100年数据预测未来10年数据，我们可以将数据按照7:3的比例拆分，用70的来预测未来30年的数据，然后两个30年来做精度比较。用已知数据去检验预测或评价的数据，得到一个精度系数或者误差因子，再带入模型求解或未来预测中。
3 g# X; v- J6 g9 i1 T1 A) o3 n
2、数学建模问题
4 d1 ]& L8 O+ R& R- g
; j) i/ H1 E; V( R, M  1.数据处理  2.关联与分析 3.分类与判别  4.评价与决策  5.预测与预报  6.优化与控制
: t4 j) N! L/ p; t% x2 m
  {7 ^6 N* O' z3 Y（1）数据处理问题

8 [' j5 E" z4 r3 R, G6 m# m•①插值拟合
2 o, Q9 e( M* }/ u7 x- r! q: d7 S4 f
/ ]/ b( {  d0 o8 K' W, y•主要用于对数据的补全和基本的趋势分析
1 d* ~3 [! S) ~6 d# F: I
$ Q& J+ ~0 u! S9 I3 Z) @- o) k•②小波分析，聚类分析（高斯混合聚类，K-均值聚类等等）
1 l) L1 S3 q+ `, z
1 a+ q' g' R" O, J" g  g3 ?' V•主要用于诊断数据异常值并进行剔除

•③主成分分析、线性判别分析、局部保留投影等

1 M& L0 ^, t# b" J' R& e# u. W•主要用于多维数据的降维处理，减少数据冗余
' E9 w3 P5 N) |
•④均值、方差分析、协方差分析等统计方法

•主要用于数据的截取或者特征选择
, X2 D* O! A# e3 E4 B7 G5 D
, Z1 x( }+ T) G+ e4 U9 k7 [3 S
0 M/ \  M$ M6 {+ r2 [  q$ t
（2）关联与因果
8 v5 W# M; ^. k) U6 f7 ^/ A- y
•①灰色关联分析方法（样本点的个数较少）
6 W! w  _) D& u" D, D
4 b+ X; o  T2 b•②Superman或kendall等级相关分析

; Q' m. s7 F) D1 {; `) o7 C) n•③Person相关（样本点的个数比较多）

7 P, C8 f* x  D& T) T0 p$ X) b•④Copula相关（比较难，金融数学，概率密度）
* h/ F( E9 R: k( a0 f' `" w
2 |9 u& x: b5 l9 a$ t& D8 V0 F•⑤典型相关分析（因变量Y1234,自变量组X1234，各自变量组相关性比较强，问哪一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）

% `$ t* [# b+ w5 q5 n( E+ {* H7 z

" r, g) x; T& m7 a* R3 ]（3） 分类与判别

8 z6 J9 l' ^* j* \% Y7 {8 [•①距离聚类（系统聚类）常用
. I  E, Q) Z* e! i( y% V
& F9 Y/ j7 N" y% M9 V4 a•②关联性聚类（常用）
4 L( _6 j8 ]" u- l7 J
•③层次聚类
' G! {) r  H$ `
, U% D/ W& D, v1 g5 @•④密度聚类
3 {" \: U9 E* Q
& U1 Z+ f- P4 C+ d4 I  B0 t•⑤其他聚类

•⑥贝叶斯判别（统计判别方法）
- S" w" _. A/ s4 C9 ], ^# ^5 W# G
•⑦费舍尔判别（训练的样本比较少）
4 I+ Z6 k* x( i. z& T3 e% U% s
3 `8 L% F7 G- {* K' j& R& K" \, H•⑧模糊识别（分好类的数据点比较少）
2 h7 ?) N" c7 B
0 j! n3 a4 T2 l+ W1 l9 D  A! E/ b
- V# J1 F* M4 ~& o2 Y


) N  N1 U7 P+ p' A) k9 K. x1 `（4）评价与决策

•①模糊综合评判：评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
6 x  x5 w3 V1 r6 E7 t/ V
•②主成分分析：评价多个对象的水平并排序，指标间关联性很强。

! A. v" A" B3 N2 f5 l+ z•③层次分析法：做决策，通过指标，综合考虑做决定

# n. J; f7 ?, @( }  L0 m! f•④数据包络(DEA)分析法：优化问题，对各省发展状况进行评判
& R" W8 v7 U! G+ f# r1 ^
•⑤秩和比综合评价法：评价各个对象并排序，指标间关联性不强

- u& H5 `8 d# I3 v•⑥神经网络评价：适用于多指标非线性关系明确的评价

•⑦优劣解距离法（TOPSIS法）
; q, A  Z2 B" m8 _/ `+ ?
8 J+ ~/ o3 w* l2 P2 w3 f% I# J•⑧投影寻踪综合评价法：糅合多种算法，比如遗传算法、最优化理论

: d( M! w+ p7 J+ Q( X( d- @•⑨方差分析、协方差分析等
: s( B& @1 M- j! [0 e: \6 B
•  方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产量有无影响，差异量的多少；（1992年作物生长的施肥问题）

  协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因素，但注意初始数据的量纲以及初始情况。（2006年，艾滋病疗法的评价以及预测问题


# }# n+ S: L. F; u' {/ T/ ~- [$ |, r  v
" z' [( y  r, k4 q1 ?3 u9 X
# b; N# ~' s  ?  {' @
（5）预测与预报


# b9 E3 H; I5 R8 ?/ X
•主要有五种：

•小样本内部预测-回归拟合（内部预测，如用身高 体重得预测性别）

•大样本的内部预测-逻辑回归

$ e7 F2 H) `1 q2 i•小样本的未来预测-灰色预测（外部预测：用前10年预测第十一年）

•大样本的随机因素或周期特征的未来预测-时间序列
* h, u- _  f$ c; |, ^# Y
•大样本的未来预测-神经网络，小波神经网络


3 o' V; J7 p- T! u3 L& M3 G- J
; O9 K9 _$ o4 y2 F8 H•①灰色预测模型（★）

# ?4 {4 j  e: ~7 N+ X•  满足两个条件可用：
: m9 V& I7 _+ P
# a5 q! _* B* H$ @% m& w6 [•  a数据样本点个数少，6-15个
# Z# `# e! C& v' y3 {8 J, L) p1 ~
•  b数据呈现指数或曲线的形式

+ g/ O8 P6 i2 p. w0 G8 F) E•②微分方程预测（备用）

• 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据之间的关系。

/ J$ m% P9 p4 q0 a( ]. M9 \; h- m( V
" ]+ ?) W9 ^  K+ d+ n- P/ Z& w0 {
•③回归分析预测（★）

•  求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化之后，求因变量如何变化；
, A6 w0 c. Q) X9 L
3 `& {% H/ q3 h* h1 F•  样本点的个数有要求：

•  a自变量之间协方差比较小，最好趋于零，自变量间的关系小；
/ d4 M8 o5 r! q. D7 t. i
3 c1 A$ Z5 ?8 G•  b样本点的个数n>3k+1，k为自变量的个数；
1 T( O6 P9 T% u$ D( S' P; n5 ?' h
•  c因变量要符合正态分布
+ L) y% a8 H- q" n2 d. z
8 T) U7 i3 v2 @2 P" x

6 g0 R% Z: \# e6 `% z) B( f6 G•④马尔科夫预测（备用）
, B" A( O; C+ _1 m
•  一个序列之间没有信息的传递，前后没有联系，数据与数据之间随机性强，相互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的概率，只能得到概率

4 x/ B& }' w) S# u3 C
" [8 ^: l8 b7 T3 ~3 U( Y
•⑤时间序列预测（★）
5 W7 }) [/ B7 K
' ~. }% ~2 M2 \+ v" p- n•  与马尔科夫预测互补，至少有2个点需要信息的传递，ARMA模型，周期模型，季节模型等。
! ?6 i: t) D. o! f+ S- R* Q6 t5 y
•⑥小波分析预测
8 S% |+ C1 n3 K# f
•⑦神经网络预测
  E5 C7 ~$ G+ x7 u$ Z
$ I" c% N- Y$ B( E; q2 ~7 ?4 `1 x•⑧混沌序列预测
* c! M* n$ ?' t9 i* R+ w4 x' a
- F( R- ?7 ?4 b0 a

0 \; v& _+ J4 S: @- }% e（6）优化与控制
' l5 w% u5 |: W* T
•①线性规划、整数规划、0-1规划（有约束，确定的目标）

6 _5 p' w5 H' M  y! f- E•②非线性规划与智能优化算法
. o/ y$ X% W$ @" D
- d: G  D0 A5 K" j4 E# ~•③多目标规划和目标规划（柔性约束，目标含糊，超过）

% c# _2 @0 k6 ?. b9 d4 K" Y•④动态规划
& J0 N/ v8 i; H* \( H5 z6 a0 `! M
•⑤图论、网络优化（多因素交错复杂）
; O7 h2 M, Z! |% `
6 n' B9 j/ C" Z' H) X•⑥排队论与计算机仿真
$ F; H+ p$ r& `6 U. X* V" T
•⑦模糊规划（范围约束）
. L- A$ v1 ]4 ]
•⑧灰色规划（难）


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作者：ItsL
来源：CSDN

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# D+ j+ H& O4 U9 X" L