数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题

杨利霞

2 ]* Z  O% f& _& ^' e9 \数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题
1、建模步骤



# e: E3 G: C& w6 s# C模型的建立：当有两个模型套用时，说的高端点，说成是前两个字组合后新名字的算法，其实是两个模型的叠加

2 O3 g0 q  @* E9 l! w$ Y4 O+ p模型的分析：表层的分析（从图表中能够看出什么）+深层次的分析

模型的检验：例如，给100年数据预测未来10年数据，我们可以将数据按照7:3的比例拆分，用70的来预测未来30年的数据，然后两个30年来做精度比较。用已知数据去检验预测或评价的数据，得到一个精度系数或者误差因子，再带入模型求解或未来预测中。
# X4 k2 D" U4 G8 N) x1 [6 L
2、数学建模问题

  1.数据处理  2.关联与分析 3.分类与判别  4.评价与决策  5.预测与预报  6.优化与控制

# @( J9 s* g- S4 Y, w9 }+ S" L7 |（1）数据处理问题
% M+ ^4 k5 P6 ^' F
" n, _# ]9 W, }; m  E3 o" \) W•①插值拟合

•主要用于对数据的补全和基本的趋势分析
: F1 W9 }3 U1 x$ u- d4 E3 d- T
•②小波分析，聚类分析（高斯混合聚类，K-均值聚类等等）

" V! Z  C1 {! ]4 ~$ C9 h•主要用于诊断数据异常值并进行剔除
4 _0 V) C  i% r
- r- U, W. L7 B•③主成分分析、线性判别分析、局部保留投影等
+ b: I5 a* U# t; j
•主要用于多维数据的降维处理，减少数据冗余

•④均值、方差分析、协方差分析等统计方法
0 x; I, {5 f0 f
•主要用于数据的截取或者特征选择
) K- r# |; f5 B! i- i3 e. d3 {


) ~0 `) s7 O7 Q+ Y（2）关联与因果
1 B! t3 _- }+ c6 E: Y2 m% _( d
•①灰色关联分析方法（样本点的个数较少）
  Z1 J8 h5 v* \8 [0 H$ [
•②Superman或kendall等级相关分析
; {# ]/ n9 Q) u) f' }, N
: H/ X4 u& T3 Z# n•③Person相关（样本点的个数比较多）

•④Copula相关（比较难，金融数学，概率密度）
$ D+ L7 X) Y  _
•⑤典型相关分析（因变量Y1234,自变量组X1234，各自变量组相关性比较强，问哪一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）

- h/ I! v- v) A- |. h( g5 v0 @

（3） 分类与判别
. r: l; \" N+ |/ c& n+ Q
•①距离聚类（系统聚类）常用
5 O' ^! a! d& C: D
•②关联性聚类（常用）

. A4 i: i# n" G+ ?•③层次聚类

! n, N6 E6 Z; U) {- R( _•④密度聚类
% ?0 x8 }8 J, z) J! z5 N
•⑤其他聚类

•⑥贝叶斯判别（统计判别方法）
  U2 F, Z& n3 P- a
) g; L* z7 e$ ]5 }, w•⑦费舍尔判别（训练的样本比较少）

% i) P" c. F. F•⑧模糊识别（分好类的数据点比较少）
) t5 z3 m( d& N, r9 o9 M# l+ `
4 O% I- x! ^. H3 X- ?+ l' R# n

0 z& i3 [( h- N# n' c
, o7 C/ w2 x: b  [0 |- B  K6 F5 O
! c' ?3 u) c9 f+ l9 E) E3 @（4）评价与决策
- a; I, Y5 G% ]* A/ n
( P* \0 K; i' U•①模糊综合评判：评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
2 l/ y+ ]: Q- h
•②主成分分析：评价多个对象的水平并排序，指标间关联性很强。

•③层次分析法：做决策，通过指标，综合考虑做决定
: ], o9 ]2 n" g5 ~
•④数据包络(DEA)分析法：优化问题，对各省发展状况进行评判

0 v! Z1 m, D% w1 `" q5 M•⑤秩和比综合评价法：评价各个对象并排序，指标间关联性不强
4 v4 f! Y8 j- f: ^* r
•⑥神经网络评价：适用于多指标非线性关系明确的评价

•⑦优劣解距离法（TOPSIS法）

  g2 T; ?; q  E1 k0 o•⑧投影寻踪综合评价法：糅合多种算法，比如遗传算法、最优化理论

•⑨方差分析、协方差分析等
! P. p1 p6 ?4 J" Q5 q& ?
+ D% Z; N7 I& `: r•  方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产量有无影响，差异量的多少；（1992年作物生长的施肥问题）

' [5 `* K( g4 n7 i% U3 E9 \% ^9 Q  协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因素，但注意初始数据的量纲以及初始情况。（2006年，艾滋病疗法的评价以及预测问题

6 E, Q# [9 {1 p, b/ p, a
4 S& X0 k; Z& A* [1 F. o# k' G
, q- C0 o7 Q) [' c, a
: E* L7 f+ ]9 r& y5 B5 v1 _; f$ M
6 g' n. R+ G- ^7 X+ J4 J5 r3 m（5）预测与预报



•主要有五种：
% H8 V6 l7 L/ x9 C& C3 p
  Y/ \- k6 H5 h, {6 q9 _•小样本内部预测-回归拟合（内部预测，如用身高 体重得预测性别）

•大样本的内部预测-逻辑回归

•小样本的未来预测-灰色预测（外部预测：用前10年预测第十一年）

. h* q8 o% C" x+ ]9 w8 H•大样本的随机因素或周期特征的未来预测-时间序列
# `! @( V( M- @! X
•大样本的未来预测-神经网络，小波神经网络


" _6 X: ~+ _- g3 E8 M, p+ u
•①灰色预测模型（★）

; a6 [1 a0 j' }! q•  满足两个条件可用：

! m" B  C. t# B* H9 T: {" M* D•  a数据样本点个数少，6-15个
" A4 w- b9 H' l" H
* A: |% w" H2 T+ b8 c3 B: g3 F•  b数据呈现指数或曲线的形式
# ]  g5 V( N5 h# S! i! I, O! i. u" N3 I  d
•②微分方程预测（备用）

• 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据之间的关系。
( h. c6 ?/ t' Y8 d1 m  t
1 b" {, }4 W" q' A6 U) |/ @
  W; _" M) a4 [0 B
  k6 m# J& f, y" J$ G( P( C: X•③回归分析预测（★）

: e* a5 _4 ]8 J# |5 p; D9 g•  求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化之后，求因变量如何变化；

•  样本点的个数有要求：

$ f3 Y$ T% B# t# F/ B$ H0 c•  a自变量之间协方差比较小，最好趋于零，自变量间的关系小；
( |; _: }% R$ f9 `  V& y) w" _# W
•  b样本点的个数n>3k+1，k为自变量的个数；

# f: Q0 ~. `+ r/ A•  c因变量要符合正态分布
& Y$ p2 W5 m2 c

; N7 H2 T/ r9 `
•④马尔科夫预测（备用）
! O; s% B- O  v! i5 ?& x
•  一个序列之间没有信息的传递，前后没有联系，数据与数据之间随机性强，相互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的概率，只能得到概率
3 |# a- S3 A. c3 }% a# F

$ e( L( D' s% J
: E5 H6 U5 [9 b* }; r; M+ f3 }7 [& ]•⑤时间序列预测（★）
: R. B# b% ^: l) u. A( h- N
•  与马尔科夫预测互补，至少有2个点需要信息的传递，ARMA模型，周期模型，季节模型等。

•⑥小波分析预测
6 R  i" f4 r$ Y+ d
8 ^4 h+ _/ M5 v; N3 ^# \•⑦神经网络预测

•⑧混沌序列预测
% o; G0 T3 t! ]  n
) i, V& U2 h' f9 K& u9 F% {' X9 ~

: P4 Z4 U8 D& Y8 @3 M0 p4 G, ~: ~* |（6）优化与控制

•①线性规划、整数规划、0-1规划（有约束，确定的目标）
/ F, u4 [! o/ S$ h& o. m
4 j3 {& A6 n7 i& {& ]. v& N0 E•②非线性规划与智能优化算法

9 j& x4 c/ _0 @7 ^% g6 h' a•③多目标规划和目标规划（柔性约束，目标含糊，超过）

! H* a* f( P) @. M3 Y9 U•④动态规划

•⑤图论、网络优化（多因素交错复杂）

$ d! M5 C; I! K2 \* @•⑥排队论与计算机仿真
! q/ b1 A5 J  S& y4 P
) L/ @5 D6 b; a9 o* x- H•⑦模糊规划（范围约束）

•⑧灰色规划（难）

; }2 f4 g3 \+ I5 i9 P
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" u# E6 G- L$ t5 L作者：ItsL
. \7 ~4 `4 E. x来源：CSDN

& |' J# `1 M, `$ c" J! Y2 [