数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题

杨利霞

$ }2 v, V" n0 C* E$ J, C" p数学建模常见算法说明以及建模过程中的问题
1、建模步骤
$ o- U  f, K9 q  J$ l1 ^! g
$ T+ j0 _8 ?2 C

4 a$ q: j& |. p模型的建立：当有两个模型套用时，说的高端点，说成是前两个字组合后新名字的算法，其实是两个模型的叠加

模型的分析：表层的分析（从图表中能够看出什么）+深层次的分析
+ t% l7 U) q7 ]+ e
1 ~7 L4 E4 f! g0 j模型的检验：例如，给100年数据预测未来10年数据，我们可以将数据按照7:3的比例拆分，用70的来预测未来30年的数据，然后两个30年来做精度比较。用已知数据去检验预测或评价的数据，得到一个精度系数或者误差因子，再带入模型求解或未来预测中。

& E* h8 l  ], V9 B/ Q" m$ x2、数学建模问题
7 r5 S6 I. ~- W6 L7 V  y/ ^& Z
8 z6 j7 ^. f: P  D  X8 r  1.数据处理  2.关联与分析 3.分类与判别  4.评价与决策  5.预测与预报  6.优化与控制

+ N* z& t$ w5 l: L5 Y; F$ n（1）数据处理问题

•①插值拟合
* l9 l/ r: @( ~1 f$ K% R
  k! E+ S& D# t7 l•主要用于对数据的补全和基本的趋势分析
% z+ t/ o2 t, f' v
- q9 C4 X  D$ b: M- `•②小波分析，聚类分析（高斯混合聚类，K-均值聚类等等）
, k3 y2 h: ^' E, _4 y  @( x7 b" M
6 w0 H& q# k  f+ Q•主要用于诊断数据异常值并进行剔除

7 ^; y$ r7 M; Y8 V5 m•③主成分分析、线性判别分析、局部保留投影等
7 l- `7 @2 P) D/ s* p
+ X6 H- [! A. F/ e9 [•主要用于多维数据的降维处理，减少数据冗余
; n. J9 j  P" y' f) x
•④均值、方差分析、协方差分析等统计方法
5 d  w8 T0 W% m
6 [. u  ~5 m( M3 `7 d$ ^•主要用于数据的截取或者特征选择
- k1 T* o& J7 P& x8 o' e5 q

2 [; N4 K; z7 S$ b# I
. M3 S0 Z9 W/ L" u（2）关联与因果

/ x8 j: w1 w7 |5 P•①灰色关联分析方法（样本点的个数较少）

$ k8 p' C7 R+ _( P# S•②Superman或kendall等级相关分析

) {4 E: V$ V! D8 k- |" J$ k- a•③Person相关（样本点的个数比较多）
2 G" \9 T% b. J# E& K8 R
9 n/ a. C- U: o3 j; b0 _( Z•④Copula相关（比较难，金融数学，概率密度）

•⑤典型相关分析（因变量Y1234,自变量组X1234，各自变量组相关性比较强，问哪一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
' ^' d3 u! S+ {$ L" d8 X0 K


（3） 分类与判别
9 A8 N! i0 f6 g8 v7 v
% g  V" @% F% n•①距离聚类（系统聚类）常用
+ D9 D7 R3 ?! ~8 P' G7 b
( I6 D# m1 w3 e$ a& H# ]' C•②关联性聚类（常用）

•③层次聚类
& ^( y, Q6 u* r5 t& b$ Z8 T
0 e3 [# k; N+ H9 T1 k: i# p; R# {•④密度聚类
4 _0 @) E# R5 B; ?+ F
•⑤其他聚类
8 C2 o. b% @, J. `& F( i: r/ s
! r# X. C! N3 Q( w7 S' S- J•⑥贝叶斯判别（统计判别方法）

" {  o3 ~5 r2 p- y# }2 m" g•⑦费舍尔判别（训练的样本比较少）
% O1 f# g! R# h5 }$ L; n
0 ~) g" f1 _- x+ X0 O•⑧模糊识别（分好类的数据点比较少）


+ d* o' F% ?, T& p
# x0 `5 ]1 Q+ q, k) P
5 Q, d  \2 T9 o: s  M& y, a* `
, _8 N' L# g4 N, _* Q  f2 V$ O（4）评价与决策
4 [! i8 A$ d, b
•①模糊综合评判：评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序

•②主成分分析：评价多个对象的水平并排序，指标间关联性很强。

; o5 ~; j- U3 Y•③层次分析法：做决策，通过指标，综合考虑做决定

* |/ [4 j( Z! e6 Q: Y! R; T& F•④数据包络(DEA)分析法：优化问题，对各省发展状况进行评判
2 }" K4 ^" \. q
  @4 Y3 K, Z+ r" p•⑤秩和比综合评价法：评价各个对象并排序，指标间关联性不强

/ S( r. P) U+ t1 |% M2 a•⑥神经网络评价：适用于多指标非线性关系明确的评价
; p- J4 a  ?3 c; B
. p* |$ P( h6 i3 t8 r$ s5 q) q, F+ g•⑦优劣解距离法（TOPSIS法）

( G$ R7 s: l4 q* n•⑧投影寻踪综合评价法：糅合多种算法，比如遗传算法、最优化理论

•⑨方差分析、协方差分析等
3 F: Y. [5 M* O6 e
•  方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产量有无影响，差异量的多少；（1992年作物生长的施肥问题）
: ~+ j# [% b) t) L0 S; R/ Y9 J
: L6 l/ \$ X8 ]3 _5 G8 N  协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因素，但注意初始数据的量纲以及初始情况。（2006年，艾滋病疗法的评价以及预测问题
8 T5 Q4 Q( W7 D+ v2 v( J
1 k+ g6 `1 A" W; P! R


6 L4 a3 D1 Y) b
8 E* ?+ f9 C3 Y; K+ F（5）预测与预报
! @0 G# k3 M, B2 h3 j5 Y8 @

; D0 t& n" N* j" Z9 |2 B8 t
•主要有五种：
, @3 s5 X3 k- D3 q
  `) \5 j- w, ^$ W, }& ~, C•小样本内部预测-回归拟合（内部预测，如用身高 体重得预测性别）

•大样本的内部预测-逻辑回归
5 M/ @& l4 Z+ l
•小样本的未来预测-灰色预测（外部预测：用前10年预测第十一年）

•大样本的随机因素或周期特征的未来预测-时间序列
# h" W& S$ v' }2 P7 R' d
1 N9 U5 i+ A" Q5 S- x1 l1 d- r& s•大样本的未来预测-神经网络，小波神经网络

+ ^8 j+ k, R# ]# N8 n- l* _* b
* A4 q5 ~5 s' o) D  F) S5 G2 D
  l. \  {& u' Z+ x5 e7 H, Z•①灰色预测模型（★）

2 R, |4 x1 o/ t; w4 e9 q•  满足两个条件可用：

! W) G. l+ g5 i5 V+ a•  a数据样本点个数少，6-15个
2 |" C* O( L+ F
! n9 |, H0 i( T0 |' _: P: V5 f' \•  b数据呈现指数或曲线的形式

/ E0 q/ |$ J+ }7 D; V•②微分方程预测（备用）
. @) m9 J- _  J8 z1 K" z. J, ]
• 无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据之间的关系。

8 k# _/ k/ a8 u7 L
! G2 s; M2 [6 N3 X9 y2 K7 p
( y0 R8 U+ u! u: x- a3 L•③回归分析预测（★）
6 s9 Z7 [) w& n  H
% A# f: \" {/ J4 i) J•  求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化之后，求因变量如何变化；
! u7 _" }* I% p6 n. U; M
•  样本点的个数有要求：
" v+ h6 m' R; B: ]
  c( O" D3 h- y1 S4 Z8 A+ i•  a自变量之间协方差比较小，最好趋于零，自变量间的关系小；
# H; D* P) B- |3 j1 H) @' f/ U: O
•  b样本点的个数n>3k+1，k为自变量的个数；

1 A1 b0 q' r5 m7 e8 G1 ?•  c因变量要符合正态分布

( y  C4 R% r# L3 Z
- l% A, v! @; g4 a2 M  g
•④马尔科夫预测（备用）

8 j0 O- Y/ W0 [; |0 ], H3 {•  一个序列之间没有信息的传递，前后没有联系，数据与数据之间随机性强，相互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的概率，只能得到概率
- l3 O# _* f5 ?, C7 X5 z  H6 r5 @
3 g2 G$ A, l- u* C, x. O7 [6 H- _9 U

% `8 R& p! w. B9 `•⑤时间序列预测（★）

. C3 L, f& Z: A1 X+ L, G•  与马尔科夫预测互补，至少有2个点需要信息的传递，ARMA模型，周期模型，季节模型等。
  b& z* j+ F- Q- ?  Z4 I6 T
•⑥小波分析预测

•⑦神经网络预测
% {/ j6 _' P3 U9 i! L
8 s6 I$ \6 C8 M% I5 W+ V2 |- J•⑧混沌序列预测
6 P; a8 b6 r% h  W% x

0 p  r& p- m) |* o) l
（6）优化与控制

* K' }1 V: ~0 @1 G$ B3 V•①线性规划、整数规划、0-1规划（有约束，确定的目标）
& a* c& M$ b8 T+ j8 o4 v
•②非线性规划与智能优化算法
9 V7 |2 |( z9 |
6 I- M: Y% N  M5 c" B: O( }5 F•③多目标规划和目标规划（柔性约束，目标含糊，超过）

4 Y: E: H/ Y7 q% r2 J6 c& @•④动态规划
$ w  f# w8 k2 ?2 ^8 Q( b
•⑤图论、网络优化（多因素交错复杂）
: R; J4 Z. T% D7 N
•⑥排队论与计算机仿真
$ G; d! ~  W% u8 U% e1 D/ ?
" T0 t% S& \) E8 u•⑦模糊规划（范围约束）

•⑧灰色规划（难）
  _7 k& v2 s1 Q3 ~

' X: r, d) L! C0 {: A! \6 O---------------------
作者：ItsL
来源：CSDN
% k  C! @: m/ a* U
& q2 D, h4 P3 L4 a/ t7 v  i  Z