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数学建模方法（一）预测与预报

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杨利霞

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发表于 2020-3-15 15:57 |只看该作者 |倒序浏览

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数学建模方法（一）预测与预报
（一）预测与预报

灰色预测模型（必须掌握）

满足两个条件可用：
①数据样本点个数少，6-15个
②数据呈现指数或者曲线的形式

概述
关于所谓的“颜色”预测或者检测等，大致分为三色：黑、白、灰，在此以预测为例阐述。
其中，白色预测是指系统的内部特征完全已知，系统信息完全充分；黑色预测指系统的内部特征一无所知，只能通过观测其与外界的联系来进行研究；灰色预测则是介于黑、白两者之间的一种预测，一部分已知，一部分未知，系统因素间有不确定的关系。细致度比较：白>黑>灰。

原理
灰色预测是通过计算各因素之间的关联度，鉴别系统各因素之间发展趋势的相异程度。其核心体系是灰色模型（Grey Model，GM），即对原始数据做累加生成（或者累减、均值等方法）生成近似的指数规律在进行建模的方法。

分类及求解步骤
1、GM（1,1）与GM（2,1）、DGM、Verhulst模型的分类比较：

2.求解步骤思维导图：

实例
3 Z! Z, M* [/ f# e4 ?1.使用GM（1，1）的预测检验“北方某城市1986年-1992年道路噪声交通平均声级数据：”

`/ t4 L1 Y R

见下图：

2.使用GM（2,1）的MATLAB实例：

3.灰色预测模型GM（1，1）
GM(1,1).m

%建立符号变量a(发展系数)和b(灰作用量)
syms a b;
c = [a b]';

%原始数列 A
A = [174, 179, 183, 189, 207, 234, 220.5, 256, 270, 285];%填入已有的数据列！
n = length(A);

%对原始数列 A 做累加得到数列 B
B = cumsum(A);

%对数列 B 做紧邻均值生成
for i = 2:n
C(i) = (B(i) + B(i - 1))/2;
end
C(1) = [];

%构造数据矩阵
B = [-C;ones(1,n-1)];
Y = A; Y(1) = []; Y = Y';

%使用最小二乘法计算参数 a(发展系数)和b(灰作用量)
c = inv(B*B')*B*Y;
c = c';
a = c(1); b = c(2);

%预测后续数据
F = []; F(1) = A(1);
for i = 2:(n+10) %这里10代表向后预测的数目，如果只预测一个的话为1
F(i) = (A(1)-b/a)/exp(a*(i-1))+ b/a;
end

%对数列 F 累减还原,得到预测出的数据
G = []; G(1) = A(1);
for i = 2:(n+10) %10同上
G(i) = F(i) - F(i-1); %得到预测出来的数据
end

disp('预测数据为：');
G

%模型检验

H = G(1:10); %这里的10是已有数据的个数
%计算残差序列
epsilon = A - H;

%法一：相对残差Q检验
%计算相对误差序列
delta = abs(epsilon./A);
%计算相对误差Q
disp('相对残差Q检验：')
Q = mean(delta)

%法二：方差比C检验
disp('方差比C检验：')
C = std(epsilon, 1)/std(A, 1)

%法三：小误差概率P检验
S1 = std(A, 1);
tmp = find(abs(epsilon - mean(epsilon))< 0.6745 * S1);
disp('小误差概率P检验：')
P = length(tmp)/n

%绘制曲线图
t1 = 1995:2004;%用自己的，如1 2 3 4 5...
t2 = 1995:2014;%用自己的，如1 2 3 4 5...

plot(t1, A,'ro'); hold on;
plot(t2, G, 'g-');
xlabel('年份'); ylabel('污水量/亿吨');
legend('实际污水排放量','预测污水排放量');
title('长江污水排放量增长曲线'); %都用自己的
grid on;

zan