数学建模插值法——三次埃尔米特插值&三次样本插值（笔记）

杨利霞

数学建模插值法——三次埃尔米特插值&三次样本插值（笔记）
* G4 G9 y% g) \, F; @0 J3 _7 ~
. Q; g/ h4 s, l2 R/ }今天学习了插值法的matlab实现。
我们接触过五种基本的插值方法，有拉格朗日插值、牛顿插值、分段线性插值、分段三次Hermite插值和样条插值（三次）。

5 _6 l1 D0 K% L: g0 X9 _插值法在数学建模中的应用：数模比赛中，常常需要根据已知的函数点进行数据、模型的处理和分析，而有时候现有的数据是极少的，不足以支撑分析的进行，这时就需要使用一些数学的方法，“模拟产生”一些新的但又比较靠谱的值来满足需求，这就是插值的作用。
& z  ^1 d& g' {# _% h" x
一般来讲，数学建模中主要用到的是 分段三次Hermite插值和三次样条插值
8 D. s5 }+ ^  q" e7 E- r而matlab中都有对应的函数（感慨一下：matlab真强大！）
. f/ y, b# c% {: _# ^! q' ], M: S3 y( f这两种插值的matlab实现也是本文的重点。

% V! H; y1 @6 k; J接下来先来用数学定义简单解释一下 分段三次Hermite插值和三次样条插值给有需要的人（便于理解）
1）分段三次Hermite插值
① 埃尔米特插值多项式：插值多项式要求在插值节点上函数值相等，有的实际问题还要求在节点上的导数值相等，甚至高阶导数值也相等，满足这种要求的插值多项式成为埃尔米特插值多项式。
) U3 y7 U4 Q& y7 g) G0 Y8 N2 v（直接使用埃尔米特插值得到的多项式次数较高，也存在龙格现象，因此在实际应用中，往往使用分段三次埃尔米特插值多项式）
② 分段三次埃尔米特插值：
$ Q- h. O  c# r2 A+ e" _& A5 `2 J
( S. O1 d9 M( D' _0 G
2）三次样条插值函数

/ D) j0 Q! q( y2 b其次，再用matlab分别实现两种插值法
+ |/ t% R4 O( K! y1 y/ z; K7 n这里应用背景是：MathorCup第六届A题 淡水养殖池塘水华发生及池水净化处理
这道题中，附件2中COD、溶氧、PH值等数据均是隔两周采样一次，数据量不足以用于建立合理的模型，因此要考虑现有数据进行插值以补充数据。具体附件截图如下：

2 d( F% Q& U" b0 w- u接下来用matlab进行数据补充实现（注：叶绿素A、B、C以及CA2+、MG+等数据不做插值 ）
3 [" Z* L( e* r+ D" S
这是我写的代码：
  b, O6 y/ u' }) X+ G1、三次埃尔米特插值（spline函数）：
（1）代码部分：
. J3 ~$ u/ T& f% S# a2 [' X
/ F8 `' l0 t. I; @6 n+ v- ]7 |4 y（2）运行结果：
1 }0 ?2 J4 G- ]9 L3 D7 K/ S7 x

( ?# r' ~5 e  z9 t" m) W2、三次样条插值
（1）代码部分（pchip函数）：
/ u# W# b. C: \0 L) ?$ L+ F
% u. j' ~( P% n- g5 U
（2）运行结果：
& N, d  y; `5 E6 O! Y: Z( M

. E& |, K# q$ G. L  U! e9 B经过两次试验发现，大体上三段埃尔米特插值和三次样条插值插值效果相似，三次样条插值生成的曲线更加平滑。由于我们不知道数据的生成过程，因此这两种插值都可以使用。
1 u7 _8 o6 F5 y1 Y
3 U  W  z9 Z7 s; J2 Y注：以上内容均参考清风老师的数学建模视频讲解
) j6 D- v. x' @# q& o原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_43793141/article/details/105176616
; d6 D+ Z8 v" w2 y. ^  W: x
4 j/ J( |+ c- n8 v" k  H9 S# g* Q
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chace

谢谢分享 努力学习

张迪迪.迪丽热巴

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张迪迪.迪丽热巴

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xiEnqing

听说回帖加体力~