数学建模插值法——三次埃尔米特插值&三次样本插值（笔记）

杨利霞

数学建模插值法——三次埃尔米特插值&三次样本插值（笔记）
- s! H+ }, e8 e9 S. a5 B
今天学习了插值法的matlab实现。
我们接触过五种基本的插值方法，有拉格朗日插值、牛顿插值、分段线性插值、分段三次Hermite插值和样条插值（三次）。

% i0 r5 Q1 N- r" q) M5 c插值法在数学建模中的应用：数模比赛中，常常需要根据已知的函数点进行数据、模型的处理和分析，而有时候现有的数据是极少的，不足以支撑分析的进行，这时就需要使用一些数学的方法，“模拟产生”一些新的但又比较靠谱的值来满足需求，这就是插值的作用。

& S+ c' T* R; J' f一般来讲，数学建模中主要用到的是 分段三次Hermite插值和三次样条插值
而matlab中都有对应的函数（感慨一下：matlab真强大！）
这两种插值的matlab实现也是本文的重点。

) e( I  q9 O6 I# H' k. U0 b接下来先来用数学定义简单解释一下 分段三次Hermite插值和三次样条插值给有需要的人（便于理解）
) G/ h+ q4 R; K$ g) F% s$ M* O1）分段三次Hermite插值
① 埃尔米特插值多项式：插值多项式要求在插值节点上函数值相等，有的实际问题还要求在节点上的导数值相等，甚至高阶导数值也相等，满足这种要求的插值多项式成为埃尔米特插值多项式。
; H2 b" k5 M  h2 l  N6 M4 k（直接使用埃尔米特插值得到的多项式次数较高，也存在龙格现象，因此在实际应用中，往往使用分段三次埃尔米特插值多项式）
② 分段三次埃尔米特插值：


4 |, [2 L0 m( q5 p2）三次样条插值函数
; K) o3 e9 M) r  H* ^
% T# F. s# h+ G( N, ~. z% S其次，再用matlab分别实现两种插值法
; z: v' p1 i. C这里应用背景是：MathorCup第六届A题 淡水养殖池塘水华发生及池水净化处理
这道题中，附件2中COD、溶氧、PH值等数据均是隔两周采样一次，数据量不足以用于建立合理的模型，因此要考虑现有数据进行插值以补充数据。具体附件截图如下：
" O1 Q: D( [2 q6 r! x+ t) l
接下来用matlab进行数据补充实现（注：叶绿素A、B、C以及CA2+、MG+等数据不做插值 ）

$ T/ o" C% p+ M8 a" z这是我写的代码：
- {$ B9 ^! t* |1、三次埃尔米特插值（spline函数）：
（1）代码部分：
8 X$ u- _8 f8 G- k; W
（2）运行结果：


" v$ i6 e% y( N" x2、三次样条插值
（1）代码部分（pchip函数）：


（2）运行结果：
  M+ o: @9 e4 [4 R

经过两次试验发现，大体上三段埃尔米特插值和三次样条插值插值效果相似，三次样条插值生成的曲线更加平滑。由于我们不知道数据的生成过程，因此这两种插值都可以使用。
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' ~8 i5 C: E7 i) E  s注：以上内容均参考清风老师的数学建模视频讲解
' m* ?: U* O; S5 x/ v* \/ ~原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_43793141/article/details/105176616
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chace

谢谢分享 努力学习
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张迪迪.迪丽热巴

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张迪迪.迪丽热巴

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xiEnqing

听说回帖加体力~