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TA的每日心情 | 开心 2021-8-11 17:59 |
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签到天数: 17 天 [LV.4]偶尔看看III 网络挑战赛参赛者 网络挑战赛参赛者 - 自我介绍
- 本人女,毕业于内蒙古科技大学,担任文职专业,毕业专业英语。
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数学建模插值法——三次埃尔米特插值&三次样本插值(笔记)
- s! H+ }, e8 e9 S. a5 B) M) X" Q" j9 `3 U$ \
今天学习了插值法的matlab实现。! u* A0 Y% b. M! \/ _; Q
我们接触过五种基本的插值方法,有拉格朗日插值、牛顿插值、分段线性插值、分段三次Hermite插值和样条插值(三次)。" X$ W6 u3 o7 C- b4 n
% i0 r5 Q1 N- r" q) M5 c插值法在数学建模中的应用:数模比赛中,常常需要根据已知的函数点进行数据、模型的处理和分析,而有时候现有的数据是极少的,不足以支撑分析的进行,这时就需要使用一些数学的方法,“模拟产生”一些新的但又比较靠谱的值来满足需求,这就是插值的作用。% E& g3 w% T6 M% ]
& S+ c' T* R; J' f一般来讲,数学建模中主要用到的是 分段三次Hermite插值和三次样条插值. @& P7 y! N$ }/ e6 w, l' {
而matlab中都有对应的函数(感慨一下:matlab真强大!)) j4 g$ Z" x4 ~
这两种插值的matlab实现也是本文的重点。! f1 h. ~9 }) f. f, W; d
) e( I q9 O6 I# H' k. U0 b接下来先来用数学定义简单解释一下 分段三次Hermite插值和三次样条插值给有需要的人(便于理解)
) G/ h+ q4 R; K$ g) F% s$ M* O1)分段三次Hermite插值+ I: z1 |( [: c9 L# h& t# H1 J$ x
① 埃尔米特插值多项式:插值多项式要求在插值节点上函数值相等,有的实际问题还要求在节点上的导数值相等,甚至高阶导数值也相等,满足这种要求的插值多项式成为埃尔米特插值多项式。
; H2 b" k5 M h2 l N6 M4 k(直接使用埃尔米特插值得到的多项式次数较高,也存在龙格现象,因此在实际应用中,往往使用分段三次埃尔米特插值多项式)2 M0 u9 f u, J- g
② 分段三次埃尔米特插值:: v- {( W7 ^. J& r k+ c7 G0 u
7 f; G6 Z8 H4 L3 |- x* Z; i0 v; ~
4 |, [2 L0 m( q5 p2)三次样条插值函数
; K) o3 e9 M) r H* ^
% T# F. s# h+ G( N, ~. z% S其次,再用matlab分别实现两种插值法
; z: v' p1 i. C这里应用背景是:MathorCup第六届A题 淡水养殖池塘水华发生及池水净化处理: p, [ F) Q4 O8 k) w
这道题中,附件2中COD、溶氧、PH值等数据均是隔两周采样一次,数据量不足以用于建立合理的模型,因此要考虑现有数据进行插值以补充数据。具体附件截图如下:
" O1 Q: D( [2 q6 r! x+ t) l
7 J* c, d/ [1 ?& g: w! q
接下来用matlab进行数据补充实现(注:叶绿素A、B、C以及CA2+、MG+等数据不做插值 )3 A7 C' R1 e6 ?& ?; V O0 ^& e/ T2 Q
$ T/ o" C% p+ M8 a" z这是我写的代码:
- {$ B9 ^! t* |1、三次埃尔米特插值(spline函数):4 b8 T+ r6 e/ o" X; P
(1)代码部分:
8 X$ u- _8 f8 G- k; W
5 e" P+ w+ k8 U" R) _# k) b: Y
(2)运行结果:9 _4 z8 _8 [: S; M$ a3 `1 z6 k
! E* {3 ?! y2 [* M3 W+ j
" v$ i6 e% y( N" x2、三次样条插值# x# y" c! @. o( S; L
(1)代码部分(pchip函数):- ?( J2 B7 d3 |( x0 i
! ^/ S- T; U7 j6 A, u& Q! H
, c& O3 Q; `/ g! _: \$ A3 r6 F, d1 g
(2)运行结果:
M+ o: @9 e4 [4 R
9 Z8 U4 z6 A& p/ ^ k4 H5 w
V% O! w. u/ s
经过两次试验发现,大体上三段埃尔米特插值和三次样条插值插值效果相似,三次样条插值生成的曲线更加平滑。由于我们不知道数据的生成过程,因此这两种插值都可以使用。
. {7 t9 k+ [/ S, ~) @
' ~8 i5 C: E7 i) E s注:以上内容均参考清风老师的数学建模视频讲解
' m* ?: U* O; S5 x/ v* \/ ~原文链接:https://blog.csdn.net/weixin_43793141/article/details/105176616
' [& X3 e! f) _2 G
* m3 ~# j$ b% `# `/ H- N. g
! p" {: P) y3 N6 X1 d, D |
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