数学建模插值法——三次埃尔米特插值&三次样本插值（笔记）

杨利霞

数学建模插值法——三次埃尔米特插值&三次样本插值（笔记）

今天学习了插值法的matlab实现。
& R( w4 ~- R" z4 u0 C我们接触过五种基本的插值方法，有拉格朗日插值、牛顿插值、分段线性插值、分段三次Hermite插值和样条插值（三次）。

插值法在数学建模中的应用：数模比赛中，常常需要根据已知的函数点进行数据、模型的处理和分析，而有时候现有的数据是极少的，不足以支撑分析的进行，这时就需要使用一些数学的方法，“模拟产生”一些新的但又比较靠谱的值来满足需求，这就是插值的作用。
' ^9 p. O. T  j: _% J
9 F) H- m1 p* _$ Z* [+ Q5 j$ P9 [+ y一般来讲，数学建模中主要用到的是 分段三次Hermite插值和三次样条插值
* U) R9 _: I( b$ ?+ w2 C) A而matlab中都有对应的函数（感慨一下：matlab真强大！）
这两种插值的matlab实现也是本文的重点。
) f2 ]; j8 I7 G: P1 D* a
接下来先来用数学定义简单解释一下 分段三次Hermite插值和三次样条插值给有需要的人（便于理解）
$ M$ s' w' B; `/ I1）分段三次Hermite插值
1 x. @3 z$ y0 T① 埃尔米特插值多项式：插值多项式要求在插值节点上函数值相等，有的实际问题还要求在节点上的导数值相等，甚至高阶导数值也相等，满足这种要求的插值多项式成为埃尔米特插值多项式。
3 i, R3 m5 ]# P) D  c4 W9 S; n" T0 n（直接使用埃尔米特插值得到的多项式次数较高，也存在龙格现象，因此在实际应用中，往往使用分段三次埃尔米特插值多项式）
② 分段三次埃尔米特插值：

# [9 w8 w. o6 F4 R: a) V# \
2）三次样条插值函数

其次，再用matlab分别实现两种插值法
5 n9 E% X4 J/ r# o6 g这里应用背景是：MathorCup第六届A题 淡水养殖池塘水华发生及池水净化处理
4 m' y7 @* n* x: ]: N" O这道题中，附件2中COD、溶氧、PH值等数据均是隔两周采样一次，数据量不足以用于建立合理的模型，因此要考虑现有数据进行插值以补充数据。具体附件截图如下：

6 G: ]4 x, U4 M$ r接下来用matlab进行数据补充实现（注：叶绿素A、B、C以及CA2+、MG+等数据不做插值 ）

9 ^+ {" f7 [$ g: [+ m3 ?! |% ?) U; ?3 L这是我写的代码：
1、三次埃尔米特插值（spline函数）：
（1）代码部分：

! G) t# y5 Q' g0 j9 H" @* y（2）运行结果：

7 t, b) X2 l* ~8 j- [+ k& m- w
2、三次样条插值
9 \& q# u6 ~. B0 @; y（1）代码部分（pchip函数）：
; X) w) H5 Y6 A7 R! p
5 H) x2 W$ \" W( y
4 R. X- \5 L! [$ D* ~（2）运行结果：


经过两次试验发现，大体上三段埃尔米特插值和三次样条插值插值效果相似，三次样条插值生成的曲线更加平滑。由于我们不知道数据的生成过程，因此这两种插值都可以使用。
% [& R/ G0 k( A" R  H6 M% q
注：以上内容均参考清风老师的数学建模视频讲解
# K* J6 D$ I% b: \5 _7 N. t% i原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_43793141/article/details/105176616


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chace

谢谢分享 努力学习
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张迪迪.迪丽热巴

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  |! K' T5 A8 p6 j0 a2 n

xiEnqing

听说回帖加体力~