数学建模十大算法漫谈

杨利霞

数学建模十大算法漫谈

作者:July  二零一一年一月二十九日
& b& l) x5 H0 l0 C
  r) |" h; b0 @4 b9 j! \) H本文参考：
I、  细数二十世纪最伟大的十大算法 [译者：本人July]
II、 本BLOG内 经典算法研究系列
III、维基百科
/ @. Q; L0 ~2 X
3 v5 x( Q/ M& w+ e6 |------------------------------------------
3 M6 A% M; o/ k' o+ ?
博主说明:
7 t0 s% ?. Z  l% _! H4 o0 m1、此数学建模十大算法依据网上的一份榜单而写，本文对此十大算法作一一简单介绍。
' W1 P1 L3 Q4 h) W; _3 x这只是一份榜单而已，数学建模中还有很多的算法，未一一囊括。欢迎读者提供更多的好的算法。
2、在具体阐述每一算法的应用时，除了列出常见的应用之外，
1 G, P# Y0 s0 J/ T- e6 _9 ]同时，还会具体结合数学建模竞赛一一阐述。
( h0 @4 G; }& y( t7 p毕竟，此十大算法，在数学建模竞赛中有着无比广泛而重要的应用。
且，凡是标着“某某年某国某题”，即是那一年某个国家的数学建模竞赛原题。
3、此十大算法，在一些经典的算法设计书籍上，无过多阐述。
& |. Y% f  [& D5 C& [* w6 {6 n若要具体细致的深入研究，还得请参考国内或国际上关于此十大算法的优秀论文。
谢谢。
) m. g, i+ W: j! [

3 Z+ X' X/ b7 U3 Y) t1 m5 i


一、蒙特卡罗算法
1946年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和 Nick Metropolis
" n" h' n$ K( I& o+ ~9 x: p共同发明了，蒙特卡罗方法。


1 U; G" d7 h9 w- F. t此算法被评为20世纪最伟大的十大算法之一，详情，请参见我的博文：
; @1 A& K2 E" \+ fhttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/10/6127953.aspx
8 D" N; e8 S! t# Y9 l' [
3 A% j1 N5 S7 N5 ?& i7 J* M! c

6 {  _! G0 y) \& Y% Q: r蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），又称随机抽样或统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导

5 T9 `/ ], z$ q1 X, L1 t, u8 Y的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方

4 e/ n% s  T4 U- |' d: ~4 N法。
7 W/ Y$ X8 h0 v9 ^; p
4 [2 E. `( O- c. y1 ?3 P: W

  [3 N" p0 s' s由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真

实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。
4 {& i( c9 c- w
, c: K. o# C' |0 P  x' N( j蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：
, A+ m+ k) a, z( T# B4 U当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法

，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作

4 ]4 ~. D, E6 o) s为问题的解。

: c; ^6 }- P' N0 J

. Z, j$ V+ v7 C* b9 K有一个例子可以使你比较直观地了解蒙特卡洛方法：
8 H* t8 g& }4 X8 V假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程

度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然

后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候
/ I8 [" p- ]5 w2 D2 Z% W# r/ j( K
0 l; n9 M: T+ D9 e2 q" t4 o，结果就越精确。
* p* j' Y, C2 ]0 _8 r) l1 m4 t, X在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。

. V; x: X6 T3 _8 n
6 z" C1 z' w( C% a& G7 X- _2 G蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模
) r6 O! S; T% X( O! X. h- y
' y& Z; {( I: u9 \& g拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的
8 p. N2 A) D5 e9 j1 S0 p
( ]" K6 n+ x( E1 ~) j  w1 l近似解。

' d% f2 B2 _' g, e6 i. m8 G
1 L2 B6 ?3 F4 P
7 Q- m7 U) i2 T* ?7 }9 V蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难，而
. `+ T5 y3 d$ U$ u& m+ w% P
  g% m- K/ n* ^7 i蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下：
* E( b4 M2 S' yI、  直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解。
5 V! K2 H/ m. C3 f3 F. g# uII、 采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律。
) g) }4 Z4 m0 t& u3 E: g* H3 Y4 DIII、不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。
等等。
' D  d) D* f- v- Z" l5 x+ z
9 Y, A) D# {' }( `( `5 n6 N此算法，日后还会在本BLOG 内详细阐述。



* g1 W5 C% R& m& @' W5 ]
二、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
$ v- {1 T; b6 z  M. q( U/ N/ _* h我们通常会遇到大量的数据需要处理， 而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。

; p$ i3 a6 i8 d5 z( l7 I/ I1 O数据拟合在数学建模比赛中中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98年数

7 Q8 u5 l" \$ i# p学建模美国赛A题，生物组织切片的三维插值处理，94年A题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有
3 e, X9 i; X0 e* c4 [, x+ o
吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理。
! d' w* o& P' u; Z+ u

" Q( V* I2 V) M' j
/ y9 g0 O! o  g% t; }: T' [此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用，熟悉MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。

5 f9 ?, l4 b9 Z+ S* _1 v/ T7 }" G# L. M
: X1 g+ @* i3 ]; x0 u9 `
( i" U  }+ |$ K/ m) h
' [) d$ J: H# t# t2 K三、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件
0 J, ?) C: b8 T2 g  j+ @& C
3 G9 J  j% `. x6 k1 ^; I7 k0 o、几个函数表达式作为目标函数的问题，遇到这类问题，求解就是关键了，比如98年B题，用很多不等式
5 c' w+ [6 C* C" Z- b
完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规划后用 Lindo 、 Lingo 等软件来进行解决比较方便，所以还

需要熟悉这两个软件。

( B* `4 D  B; a6 T7 Q1 R% e2 t$ j
" r; O0 z4 T! v# v  E

四、图论算法
这类问题算法有很多，
! ~$ T# S9 C) g4 J包括： Dijkstra 、 Floyd 、 Prim 、 Bellman-Ford ，最大流，二分匹配等问题。



) c4 U! m% [. N0 ?2 x% \关于此类图论算法，可参考Introduction to Algorithms--算法导论，关于图算法的第22章-第26章。
+ Z. ]! I) ~/ W- q( B$ G' ?同时，本BLOG内经典算法研究系列，对Dijkstra算法有所简单描述，
0 a9 w6 [0 `+ ^! c! b9 u-----------
经典算法研究系列：二、Dijkstra 算法初探
5 H+ b/ e( m, T" @8 l! W' l/ j# zhttp://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2010/12/24/6096981.aspx

更多，请关注本BLOG 日后更新的博文。

0 w' [. e) \# N: }

  P3 n4 r1 U. a
) ^& ?, ?* m5 ~9 H' ]$ ?五、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
在数学建模竞赛中，如:92 年B题用分枝定界法， 97年B题是典型的动态规划问题，
  c6 t: n3 X0 H1 _# x6 z; b此外 98 年 B 题体现了分治算法。
" J  j8 W0 `. _4 m; t" z

5 F; i& U1 t  c7 T# R这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似，
推荐看一下算法导论，与《计算机算法设计与分析》（电子工业出版社）等与计算机算法有关的书。
8 }1 ]; l5 Y9 p7 Y* |7 U

7 {# S8 U- [8 P* J

六、最优化理论的三大经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。

在数学建模竞赛中：比如97年A题的模拟退火算法,00年B题的神经网络分类算法，01年B题这种难题也可
+ q- e# e& `7 y' u) a
以使用神经网络，还有美国竞赛89年A题也和 BP 算法有关系，当时是86年刚提出BP算法，89年就考了，

6 x& Y% O3 }2 G/ z) T/ Y5 I7 `# w# y说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。
03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前算法最佳的是遗传算法。
4 h8 F+ A/ ]: c* \

4 j. J) [8 T) k
( t* t! I0 t: {# M另，本人对人工智能非常感兴趣，遗传算法已在本BLOG内有所阐述，敬请参见。
! W7 i3 h7 s; i  ^8 [' ?- n# R----------
* a# E) E4 _& j8 h% |' _经典算法研究系列：七、深入浅出遗传算法，透析GA本质
http://blog.csdn.net/v_JULY_v/archive/2011/01/12/6132775.aspx

$ A1 u% m2 X. i: v* m5 l( A

其它俩大算法，模拟退火法，与神经网络，也定会在本BLOG内日后的博文更新中，详细阐述。

; y, Y# N; ?/ J7 c2 F
$ V1 n+ }% ^0 N- a* Z6 I1 b

七、网格算法和穷举法
: X' I& \! X6 P& {* [8 ~网格算法和穷举法一样，只是网格法是连续问题的穷举。
* @  z% U1 v) A/ Q2 H; t) ?比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题，那么对这些变量可取的空间进行采点，
' g9 R- E, U$ x/ e比如在 [ a; b ] 区间内取 M +1 个点，就是 a; a +( b ? a ) =M; a +2 ￠ ( b ? a ) =M ; …；b

那么这样循环就需要进行 ( M + 1) N 次运算，所以计算量很大。
+ \& r7 \) w9 Z* m* j/ _$ e( Z
: V* c, t! U# H
& W8 z/ i4 M( S! N" E9 T在数学建模竞赛中：比如 97 年 A 题、 99 年 B 题都可以用网格法搜索，这种方法最好在运算速度较
/ N" W+ a  H3 Z4 G# H2 z& U6 U
. f# K. b+ T, f! r9 O2 p快的计算机中进行，还有要用高级语言来做，最好不要用 MATLAB 做网格，否则会算很久。
* w! l. |# a3 j6 k! N7 R
穷举法大家都熟悉，自不用多说了。  

$ J5 g7 M4 {' Q" V


% W* V+ s; p' e4 q! E8 M八、一些连续离散化方法
大部分物理问题的编程解决，都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界
+ i3 t# I: P& D8 k" b
7 r+ s- K$ n# m中，计算机只能处理离散的量，所以需要对连续量进行离散处理。


8 v, ^8 ^. I, q4 s这种方法应用很广，而且和上面的很多算法有关。
2 h& i, g+ G1 F- R; n事实上，网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。
: i2 R1 }7 w# ~. x5 ^8 \: x% {( |' G
! n" v+ Q; @! M8 H, v

3 G6 l; r4 }# c  |, j% y
7 M/ M6 B+ q  w+ f) I九、数值分析算法
数值分析（numerical analysis），是数学的一个分支，主要研究连续数学（区别于离散数学）问题的

算法。
! t0 s) ^& h) P- m' i
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比 如方程组求解、矩阵运算、
1 c4 h( P% _2 K. O2 C; n
函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。

这类算法是针对高级语言而专门设的，如果你用的是 MATLAB 、 Mathematica ，大可不必准备，
* A' L6 Y- H; k) k  O; E6 ?7 n* G因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。

* A* n- C/ V. ~7 n1 T
9 [  l* U; X1 a7 E4 R

十、图象处理算法
在数学建模竞赛中：比如01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值

. I8 S) T% J# [4 ^2 [: e# d! I+ n9 E计算， 03 年 B 题要求更高，不但需要编程计算还要进行处理，而数模论文中也有很多图片需要展示，

因此图象处理就是关键。做好这类问题，重要的是把MATLAB 学好，特别是图象处理的部分。
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5 Z. J( V; X- J: X- |9 C  B

此数学建模十大算法的程序源码打包，请于此处下载：
& x) I9 C2 a' ?: Z% bhttp://download.csdn.net/source/3007336
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: e, b8 }+ B9 B1 Z" m本人对算法，尤其感兴趣，且日渐愈浓，
. H+ j9 P7 P! R) `) h- J* D日后，更多的、好的、经典实用算法将会在本BLOG内有所详细而细致入微的阐述与深入研究。
完。



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作者声明：
" N0 \, ~- l+ V% w- z) e本人July对本博客所有任何文章、内容和资料享有版权，
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/ \. d$ w. i' K7 p原文链接：https://blog.csdn.net/v_JULY_v/article/details/6168683
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总结的很到位，言简意赅

chace

谢谢分享，总结很好
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