数学建模----SARS的传播

浅夏110

本题要建立传染病模型。上网一查，最经典的传染病模型是SIR模型，出自1760年伯努利家族的丹尼尔.伯努利对天花传播规律的研究。
  a# A# c' M" e! _; A- ^
本题主要使用微分方程进行建模。
# B7 Y: g! i5 y: o4 W9 c& J
（一）梳理题目
, {2 ]2 k2 N1 X. h4 Q' F2 I

( i5 c0 R% w8 x1 i! d

& ]  m- m! k% G! `3 P1 y

7 k- o: V# ]4 W2 a( H+ E: M（二）Highlights which makes this paper stands out
(1)对早期模型拟合曲线的残差分析
* ?/ ^+ w) N! |  i* W. Q拟合模型一定要用残差分析绘制残差图来分析拟合效果。比只是看图说话好。
3 w% c% |0 p5 D7 B
9 \! K/ D/ L2 A, x8 p5 w
" X7 w( U+ p( D8 K
e i是第i天的计算值和实际值的残差
e∗i e_i^*e i∗是减去期望E（ei）=0 E（e_i）=0E（e i）=0,再除以残差的标准差得到的标准化残差
标准化残差服从标准正态分布
. A* s0 h& m5 @" q& Q/ o美中不足的是！！！
没有解释为什么用这个式子作为残差的标准差的估计值。。。一般情况下，样本标准差的无偏估计应该是：
; ]9 B$ `6 P$ V
) E# w0 c1 @0 C" q( E

% v& O) l; I% \7 r9 J; d
如读者朋友知道原因，请评论告知，非常感谢
3 T9 p: }! w& ~7 z3 h" x& c/ U
! z' n) }& x7 Z# T/ w; J


论文绘制的残差图表明早期模型只有前期拟合效果较好，中后期都与实际情况偏离较大。

* U4 L" b  o5 v* s  |（2）模型假设和符号定义
0 I/ [+ y4 L2 [- ^! b这个假设写得简直太数学太专业了，为后面用微分方程建模埋下了十足的伏笔啊。
& V/ @3 y1 U" G( e1 f0 R1 F' N

6 |9 D# l' `# k! d
  o# S9 j! a$ n: |! r
这6个关键变量的找出，是不容易的。
* N" d' q$ e: G5 z3 x
, h8 k9 i7 b$ K) X$ Q7 }
* Q! [! w) s+ x2 B/ _- I
（2）基于SIR模型建立新模型
基于一个经典模型，成功率较高，又有更多可参考的资料。
5 v: j, V! b: b: f* s" h. XSIR简单地把一个城市的人口分为三类，三类的状态转移图精准地刻画了传染病的传播过程。
4 d$ M  c4 r* A# ~. w8 L5 O

" m6 k0 k3 j% v, m3 U
利用微分方程组建立数学模型，这也是对上图的数学描述：
- [, M9 I+ Y# T/ b  s: g. b3 H9 t


,因为S类（易感类，能被感染的人群）随疫情发展减少。
其它数学公式论文中很清晰

4 u: b1 j- ^; X7 X* P6 i; m

) Z& D' Y+ i) j  i+ ]
（3）求解模型
/ T  F: V! t; Q' j, }求解可以说是很考验数学功底了。深入挖掘模型中方程的关系和隐含信息。
5 J5 S- z$ _1 U! d- t

! m' c( z- p) \2 A



) E# N; w7 E" y; z4 E5 _" @8 O然后根据实际数据就得到了σ 必须小于1的结论：
4 a/ E8 ~$ T4 ~+ P; @


9 g1 v; ~4 [9 h5 y( P（4）用导数为0划分疫情发展的四个阶段

+ Q- X- m$ D% V$ Z4 H

$ L3 Y" |) H0 I
' z% g/ M! ^  K) A2 |
; E4 ]1 \/ O3 c  @; S2 a9 S（5）根据实际设计三个关键函数
3 i2 Y+ W' d' c* y; A这才是体现智商和拉开区分度的重要赛点！！！前面那些都是小亮点，这个是闪瞎眼睛的关键。
6 I3 _$ |% d9 u% h2 ^论文也说了，疫情的发展要分阶段研究，各个参数在不同阶段的取值和变化规律（函数）是不同的，所以用分段函数来描述是符合实际的。

2 {$ l4 Z4 C8 x2 ^5 \6 x$ q平均传染期函数：

4 m3 ^& b9 m6 U" y% q4 l( T

) I! J. N3 j& A( a! O. k# I就诊率函数：
0 O- L7 T  D6 U. r


平均接触率函数：
, l) F6 [' u" G2 d
( D7 O* D, w% m6 x0 u

模型预测效果图：

% n1 B8 U: s6 h6 o

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+ F* `/ m, e9 a  w原文链接：https://blog.csdn.net/qq_36607894/article/details/92246947
, ]" b2 A( r, v% a
$ v" v( e1 M2 O1 S- [# q7 L
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