数学建模----SARS的传播

浅夏110

本题要建立传染病模型。上网一查，最经典的传染病模型是SIR模型，出自1760年伯努利家族的丹尼尔.伯努利对天花传播规律的研究。
) f/ z5 A5 a% r
本题主要使用微分方程进行建模。
2 y: l3 {2 k- K% S+ ]7 H) U
7 n- Q$ {* w1 ^# J+ a& W+ q（一）梳理题目
) j' L+ _: _9 [  {2 Z) J# H! c
( R# b5 W/ v- e1 }) |1 O
) f0 V5 L: L# e% ^4 j% Q" b" c  C

" t8 U. p* m: K% ]! K  M

& G, I& N! P; X（二）Highlights which makes this paper stands out
+ @& V+ y  R9 h6 ~& g6 w; B(1)对早期模型拟合曲线的残差分析
* O, Y5 `0 W) S  K2 p拟合模型一定要用残差分析绘制残差图来分析拟合效果。比只是看图说话好。
1 S' z0 @% I2 G% E: E
" N# e. D& W' d9 T. {
9 @0 h$ M! |- Q4 n( H# N
e i是第i天的计算值和实际值的残差
5 R. t, u" }/ q% X/ G! Qe∗i e_i^*e i∗是减去期望E（ei）=0 E（e_i）=0E（e i）=0,再除以残差的标准差得到的标准化残差
标准化残差服从标准正态分布
5 |" p' ]# ]/ Y美中不足的是！！！
没有解释为什么用这个式子作为残差的标准差的估计值。。。一般情况下，样本标准差的无偏估计应该是：


) O- _' `- W4 A' r

如读者朋友知道原因，请评论告知，非常感谢
0 {* y$ D; j, h8 e& Q3 |
/ K7 `( X* }& H& g* n

4 Z( F3 P5 [  l$ F/ x  g- v
/ G# D7 ~# m: ?: |. `论文绘制的残差图表明早期模型只有前期拟合效果较好，中后期都与实际情况偏离较大。

（2）模型假设和符号定义
9 [: o6 E* `  q" k这个假设写得简直太数学太专业了，为后面用微分方程建模埋下了十足的伏笔啊。
9 s6 ]4 I& W) Q; w, t2 b$ S

- L' S/ J, C- k3 K
6 l: Q" M, r  a- N
  v) B7 u8 J; Q& y6 ~这6个关键变量的找出，是不容易的。
# J' J" G/ }  }+ R- d* H

0 T: T7 P+ C+ x( q, q
' M: w( [- t" O( x5 \（2）基于SIR模型建立新模型
3 m! g$ }# B7 R基于一个经典模型，成功率较高，又有更多可参考的资料。
" w- s" Q; R: q$ {SIR简单地把一个城市的人口分为三类，三类的状态转移图精准地刻画了传染病的传播过程。

6 x9 _  D8 t; M

利用微分方程组建立数学模型，这也是对上图的数学描述：
  D% r/ Y) r7 F$ y6 Y9 ?  b


,因为S类（易感类，能被感染的人群）随疫情发展减少。
/ f4 V6 k1 R# U其它数学公式论文中很清晰




- f( \& a6 o; I- U（3）求解模型
8 L; ?) f/ c! [' _8 W0 q求解可以说是很考验数学功底了。深入挖掘模型中方程的关系和隐含信息。
3 S" t# _5 t/ f# r, R( k3 S
+ z9 {$ h6 Q  F8 X# {
6 G+ m. F" V% S( v: [  R3 D
3 Q  w, m! D9 _2 g5 j


然后根据实际数据就得到了σ 必须小于1的结论：


2 U+ K5 h4 @1 L% P+ y& V
4 k% {$ ]9 \* C4 S' U+ F（4）用导数为0划分疫情发展的四个阶段
# n( r0 \" r) y3 Y0 E% \+ U5 U2 J

1 ~5 i0 ?, T0 a
- ?6 ~9 `6 w" i  W

0 U4 o$ A0 C+ \& z; b* L  q（5）根据实际设计三个关键函数
0 m0 ~$ ~7 r% o/ |$ l) k8 T这才是体现智商和拉开区分度的重要赛点！！！前面那些都是小亮点，这个是闪瞎眼睛的关键。
" l8 q" C* T2 p7 L# L' Y6 ?论文也说了，疫情的发展要分阶段研究，各个参数在不同阶段的取值和变化规律（函数）是不同的，所以用分段函数来描述是符合实际的。

平均传染期函数：
5 W" ?  J* c8 C- i! ?
9 J" z9 _6 q- ~' c" w/ K/ @2 H/ h

就诊率函数：
; k& r4 X1 A2 N; e7 D+ D


. |; d' f" r* O" w: N7 o平均接触率函数：



+ l6 |% L0 P( r7 ^: Q模型预测效果图：
( K/ T$ j; @# f9 ~0 n' |$ R

4 S1 H' P& D8 H& Z
# o- c  @; h1 i  a* J  O1 r  t; a————————————————
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