数学建模----SARS的传播

浅夏110

本题要建立传染病模型。上网一查，最经典的传染病模型是SIR模型，出自1760年伯努利家族的丹尼尔.伯努利对天花传播规律的研究。

本题主要使用微分方程进行建模。
7 m" t) h9 \/ y
# g( S% v. _- V- e5 n（一）梳理题目
0 \( g0 k% J/ H


0 j. B5 l1 v& _# c2 f7 _
* r+ z! l0 t. F+ A1 @
5 C7 ]- Y, w5 z3 b8 A2 c  d  b7 t
（二）Highlights which makes this paper stands out
(1)对早期模型拟合曲线的残差分析
0 E: l. P' H: T拟合模型一定要用残差分析绘制残差图来分析拟合效果。比只是看图说话好。

( L1 p9 u) @, }) l' ~/ e
( B( _: W$ {4 ^( K: V& R. o
5 t6 S) I2 P* ye i是第i天的计算值和实际值的残差
e∗i e_i^*e i∗是减去期望E（ei）=0 E（e_i）=0E（e i）=0,再除以残差的标准差得到的标准化残差
; v' q# r* u* J* i, @标准化残差服从标准正态分布
美中不足的是！！！
没有解释为什么用这个式子作为残差的标准差的估计值。。。一般情况下，样本标准差的无偏估计应该是：
  e. F, d2 g) Q* @: v! a

/ e7 }" H- c( W1 X
+ g, e# w5 K7 Y$ N) ~
5 b( a' m$ c+ J" t如读者朋友知道原因，请评论告知，非常感谢


" U8 z  C& k" J9 l

论文绘制的残差图表明早期模型只有前期拟合效果较好，中后期都与实际情况偏离较大。

（2）模型假设和符号定义
这个假设写得简直太数学太专业了，为后面用微分方程建模埋下了十足的伏笔啊。

9 {1 M! t) i5 d! @9 I) i


这6个关键变量的找出，是不容易的。


8 k+ H+ p8 M) F# E
0 C/ F' W, {9 r（2）基于SIR模型建立新模型
7 j! B0 ~" A( m" A; Y基于一个经典模型，成功率较高，又有更多可参考的资料。
SIR简单地把一个城市的人口分为三类，三类的状态转移图精准地刻画了传染病的传播过程。
+ Z# K* Z$ K9 S' s4 {. f. u
' \+ Q8 Y9 P; q& _: f

5 j  T  c9 O5 p' }利用微分方程组建立数学模型，这也是对上图的数学描述：



,因为S类（易感类，能被感染的人群）随疫情发展减少。
其它数学公式论文中很清晰
3 G- M9 O$ d* A2 F
3 A8 y: p! c: G& K7 ^4 |9 k; h
& a. X$ f7 I7 K) k

（3）求解模型
求解可以说是很考验数学功底了。深入挖掘模型中方程的关系和隐含信息。

( e( Y( c- x" z; a

$ c2 I( }# N2 a) \: o9 S6 j1 P

" {' j5 T# d7 A1 H3 X
然后根据实际数据就得到了σ 必须小于1的结论：

6 a/ a6 d; ^% G5 R. v- k

( g  A1 ~6 R' w6 `7 a( p$ U（4）用导数为0划分疫情发展的四个阶段

# I3 C. X' F  y0 Y7 i- [: W5 i



/ E% D2 B. q2 }（5）根据实际设计三个关键函数
这才是体现智商和拉开区分度的重要赛点！！！前面那些都是小亮点，这个是闪瞎眼睛的关键。
论文也说了，疫情的发展要分阶段研究，各个参数在不同阶段的取值和变化规律（函数）是不同的，所以用分段函数来描述是符合实际的。

平均传染期函数：


9 c% x& f6 x  i) `+ l# o. j
就诊率函数：


8 c/ H8 V9 ^6 W' L0 |
平均接触率函数：

' b- B1 `- W/ C1 }& G. l  B9 x

/ f6 r7 ]) C& t" p模型预测效果图：

" Z+ O# y0 l$ O3 {4 \
* i: A* U( `0 y% Y6 v
7 C# w: U1 k5 e8 g; {8 C' c0 h% L# p. @————————————————
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) P* _6 N/ H/ q: `4 _原文链接：https://blog.csdn.net/qq_36607894/article/details/92246947
+ G& r; ~" k# x9 V% s  Z5 _6 a