数学建模----SARS的传播

浅夏110

本题要建立传染病模型。上网一查，最经典的传染病模型是SIR模型，出自1760年伯努利家族的丹尼尔.伯努利对天花传播规律的研究。

! f  x4 W/ p4 q! Y. d  W" S1 k本题主要使用微分方程进行建模。
, w$ L* O# x' K, _: B
（一）梳理题目
4 c- _& C9 k9 v8 U# s5 k2 f
, k/ V: e0 S$ {( @


% D  c: L" j% Y( U

（二）Highlights which makes this paper stands out
(1)对早期模型拟合曲线的残差分析
拟合模型一定要用残差分析绘制残差图来分析拟合效果。比只是看图说话好。
- v! L# t5 U6 [
0 X: K$ O" y' G0 V
) V) R1 B8 T7 q5 I$ d; g& z
e i是第i天的计算值和实际值的残差
e∗i e_i^*e i∗是减去期望E（ei）=0 E（e_i）=0E（e i）=0,再除以残差的标准差得到的标准化残差
( m4 ~$ q3 [; ^% P/ h- V; _标准化残差服从标准正态分布
9 r. {$ C  C7 h美中不足的是！！！
没有解释为什么用这个式子作为残差的标准差的估计值。。。一般情况下，样本标准差的无偏估计应该是：

' w! {5 J& h6 G


如读者朋友知道原因，请评论告知，非常感谢
" ]2 ~/ A- j! ?



论文绘制的残差图表明早期模型只有前期拟合效果较好，中后期都与实际情况偏离较大。

（2）模型假设和符号定义
这个假设写得简直太数学太专业了，为后面用微分方程建模埋下了十足的伏笔啊。

! Y. u: o% {. b$ a9 C: H/ J
1 B8 |$ a5 u; Q
' \0 Z! j2 J2 [$ c6 m" s
这6个关键变量的找出，是不容易的。
4 i& N5 K0 V& Z6 V4 j
) D" e4 y# U8 W$ F* M& x" h3 P; _

（2）基于SIR模型建立新模型
基于一个经典模型，成功率较高，又有更多可参考的资料。
1 `5 S* J1 s+ R( rSIR简单地把一个城市的人口分为三类，三类的状态转移图精准地刻画了传染病的传播过程。
' x, d0 Y) ~( f% Y: X! `& _
5 }' E9 Z/ Y' l0 s- {
' I5 s$ R& P6 @+ I/ n& Y0 |- E
. r! ]9 c8 J' K8 _) V) |" z利用微分方程组建立数学模型，这也是对上图的数学描述：



,因为S类（易感类，能被感染的人群）随疫情发展减少。
其它数学公式论文中很清晰
/ _9 S8 M( M8 p2 Q" e  ~

& x- D$ {* ^0 `: ~8 Y- k+ O

) s8 e4 s$ M$ Z! ]% }  F4 R! `（3）求解模型
求解可以说是很考验数学功底了。深入挖掘模型中方程的关系和隐含信息。

! z. f/ z, Q6 I- l, k/ V
' c& S6 `/ g5 u' g1 o7 o  w$ I. D



+ P& M6 Q5 ^/ S$ ~" d1 s' c然后根据实际数据就得到了σ 必须小于1的结论：
% q  Q6 `; b1 j

3 \6 F! L3 I& b+ H
（4）用导数为0划分疫情发展的四个阶段


1 ?% `3 n6 _+ _0 a. U
' A. |% p. n, v$ G

0 P7 t7 g) l9 _4 L! ]  H  D) M& W（5）根据实际设计三个关键函数
这才是体现智商和拉开区分度的重要赛点！！！前面那些都是小亮点，这个是闪瞎眼睛的关键。
$ v) n: _9 M& T; v' n2 n& e4 _论文也说了，疫情的发展要分阶段研究，各个参数在不同阶段的取值和变化规律（函数）是不同的，所以用分段函数来描述是符合实际的。

平均传染期函数：

* S" G6 k; t5 H2 \- G% O
+ g5 \( Z6 U, S% H# a9 r
! y% _* p2 _4 f5 p- T- V& @就诊率函数：
! _4 C  w8 g% t8 O. ^0 u


% o; A0 e+ x2 l' j# \1 A平均接触率函数：


( M! s, v; B" B2 T" C2 |. g8 x
模型预测效果图：
( [) P$ F" K- o5 h( c- M) O
$ m1 B7 P7 @0 [! v5 J
* _; Z( z1 K, |' D$ e6 m( B! N# ^5 z
. q4 b% W5 N+ c! z$ }5 S- O————————————————
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2 T) e/ O; o- S& m* h: H( q

& i- ~# \9 R0 h, X1 S) p1 ~9 V