【数学建模】数学建模(一)——数学模型概述

杨利霞

" ?6 X, M. R' ]0 K: {4 ^1 J2 p【数学建模】数学建模(一)——数学模型概述
一. 模型
4 ^+ \6 Q6 i0 B/ l! O$ j1. 原型和模型
        原型指人们在现实世界里关心、研究或从事生产、管理的实际对象。模型则指为了某个特定目的将原型的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。
' b9 j3 H1 C$ H" h2 O, m       按照模型替代原型的方式，模型可以分为物质模型（形象模型）和理想模型（抽象模型）。前者包括直观模型、物理模型等，后者包括思维模型、符号模型、数学模型等。
" o9 L" H, |( X; s/ d       数学模型可以描述为，对现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，作出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
2. 建模方法
; p- E8 |8 P6 ^+ ?3 ~) [) ]4 J+ q        建模方法大体可以分为机理分析和测试分析两种。机理分析是根据对客观事物特性的认识，找出反应内部机理的数量规律，建立的模型常有明确的物理或现实意义。测试分析是将研究对象看作一个“黑箱”系统，通过对系统输入、输出数据的测量和统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合的最好的模型。
$ F6 a; s" M# v, Z- Y  f3. 建模步骤
        按机理分析方法的建模步骤如下

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4. 建模过程
        按一般步骤，数学建模过程分为表述、求解、解释、验证几个阶段，并通过这些阶段实现从数学模型到现实对象的循环。
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/ O/ b2 T1 \3 t5 I- D, p* j5. 模型分类
        按建立模型的数学方法：初等模型、几何模型、统计回归模型、数学规划模型等。
        按模型的表现特性：确定性模型和随机模型、静态模型和动态模型、线性模型和非线性模型、离散模型和连续模型。
        按建模目的：描述模型、预报模型、优化模型、决策模型等。
        按对模型结构的了解程度：白箱模型、灰箱模型、黑箱模型。
# C3 n% G/ s+ @" k二. 系统辨识
- d! Y/ t/ G: v! L$ T9 [        在科学研究和工程实践中，实验和观测是重要的手段之一。实验的结果是输入和输出的数据，通过这些数据去建立数学模型就是系统辨识。
1 {/ Q1 u- t( x0 M  {. e        系统辨识为：根据输入与输出数据在指定的一类系统中选择一个系统，这个系统和所研究的实践系统等价。
; p# O9 K' i# |9 S. B' o# s  v        系统辨识大致步骤：①模型类的选择；②实验设计；③参数估计；④模型核验与确认。
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9 w% K) d+ B. K& y+ b2 X7 I8 s三. 机器学习
       机器学习就是把无序的数据转换成有用的信息，它的主要任务就是分类，其中涉及的几个关键概念：①训练集是用于训练机器学习算法的数据样本几何；②目标变量是机器学习算法的预测结果，在分类算法中，目标变量的结果类型通常是标称型的，而在回归算法中通常是连续型的；③知识表示可以采用规则集的形式，也可以采用概率分布的形式。
        机器学习的另一个任务是回归，它主要用于预测数值型数据。分类和回归属于监督学习，是因为这类算法必须知道预测什么，即目标变量的分类信息。与监督学习相对应的是无监督学习，此时数据没有类别信息，也不会给定目标值。在无监督学习中，将数据集合分成由类似的对象组成的多个类的过程被称为聚类；将寻找描述数据统计值的过程称为密度估计。
% [2 J0 J6 a# \; D) e' }/ W用于执行分类、回归、聚类和密度估计的机器学习算法


/ p* v* m& d+ P9 X        机器学习程序设计的步骤：①收集数据；②准备输入数据；③分析输入数据；④训练算法；⑤测试算法；⑥使用算法。
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. x1 t2 Z- d- R9 g参考文献：
8 I" ]4 C' N& I2 e3 j1. 数学模型（第四版）. 姜启源
2. 系统建模与辨识 . 王秀峰
3. 机器学习（第九版）


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6 ^& G9 ?' {0 N: r4 |& _" P: ] 一. 模型
1. 原型和模型
) _! N; W+ F7 y3 r2 g% f/ n2 ~        原型指人们在现实世界里关心、研究或从事生产、管理的实际对象。模型则指为了某个特定目的将原型的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。
       按照模型替代原型的方式，模型可以分为物质模型（形象模型）和理想模型（抽象模型）。前者包括直观模型、物理模型等，后者包括思维模型、符号模型、数学模型等。
; K* g) x$ R- n       数学模型可以描述为，对现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，作出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
2. 建模方法
1 `. Q: U7 D! ]2 Z0 C" [; w$ g- `        建模方法大体可以分为机理分析和测试分析两种。机理分析是根据对客观事物特性的认识，找出反应内部机理的数量规律，建立的模型常有明确的物理或现实意义。测试分析是将研究对象看作一个“黑箱”系统，通过对系统输入、输出数据的测量和统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合的最好的模型。
3 @: G8 n8 q% p. E9 I/ ]3. 建模步骤
        按机理分析方法的建模步骤如下
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  t5 r, x/ K; f% y8 ^# L4. 建模过程
        按一般步骤，数学建模过程分为表述、求解、解释、验证几个阶段，并通过这些阶段实现从数学模型到现实对象的循环。
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5. 模型分类
6 h/ Q' @( m- c4 B# N        按建立模型的数学方法：初等模型、几何模型、统计回归模型、数学规划模型等。
# x9 _3 V  T+ v6 U- n/ n        按模型的表现特性：确定性模型和随机模型、静态模型和动态模型、线性模型和非线性模型、离散模型和连续模型。
        按建模目的：描述模型、预报模型、优化模型、决策模型等。
% e7 G: W  S( P' N) P        按对模型结构的了解程度：白箱模型、灰箱模型、黑箱模型。
$ H/ g2 d2 y% t2 j二. 系统辨识
- C5 T4 B2 F  P, J        在科学研究和工程实践中，实验和观测是重要的手段之一。实验的结果是输入和输出的数据，通过这些数据去建立数学模型就是系统辨识。
; I+ [' ~1 l3 b        系统辨识为：根据输入与输出数据在指定的一类系统中选择一个系统，这个系统和所研究的实践系统等价。
! v+ l+ ?" x8 |9 {5 g5 k; C        系统辨识大致步骤：①模型类的选择；②实验设计；③参数估计；④模型核验与确认。


/ {6 w7 M6 B0 x/ e# {) S, \( ]三. 机器学习
       机器学习就是把无序的数据转换成有用的信息，它的主要任务就是分类，其中涉及的几个关键概念：①训练集是用于训练机器学习算法的数据样本几何；②目标变量是机器学习算法的预测结果，在分类算法中，目标变量的结果类型通常是标称型的，而在回归算法中通常是连续型的；③知识表示可以采用规则集的形式，也可以采用概率分布的形式。
. {% H8 k( K- i, y2 c' g. s5 |        机器学习的另一个任务是回归，它主要用于预测数值型数据。分类和回归属于监督学习，是因为这类算法必须知道预测什么，即目标变量的分类信息。与监督学习相对应的是无监督学习，此时数据没有类别信息，也不会给定目标值。在无监督学习中，将数据集合分成由类似的对象组成的多个类的过程被称为聚类；将寻找描述数据统计值的过程称为密度估计。
用于执行分类、回归、聚类和密度估计的机器学习算法
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8 ]- y0 e. S' A        机器学习程序设计的步骤：①收集数据；②准备输入数据；③分析输入数据；④训练算法；⑤测试算法；⑥使用算法。

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7 a1 V0 e( e+ e参考文献：
1. 数学模型（第四版）. 姜启源
" t  U+ D6 d1 H9 _1 ~; g1 e: {2. 系统建模与辨识 . 王秀峰
' {5 C- O. j  Q! A/ K5 K; S! Y3. 机器学习（第九版）

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