数学建模-常见模型整理及分类

杨利霞

数学建模-常见模型整理及分类数学模型的分类
) u4 N& E$ w! e- D/ H5 x3 M1. 按模型的数学方法分：
# d' i; P  R$ f' j几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
% z, S- C! d! f7 l2 U8 l3 y  p1 W& Y型、马氏链模型等。
. h& _5 l; ?: o2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
( z* F; q7 J2 [2 \5 h- `& P4 F' E人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
1 c# o7 c* }9 L4 r" Z2 y4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
# Z' D: q4 v/ x' {一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
! D! T$ a+ D' }; I5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
6 c9 c+ {) {) l% k/ U) K. w# I比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
9 E2 N/ S9 s! k* L% s6 V* A  q! J6. 按比赛命题方向分：
; P8 k9 [( b) @4 o2 b* j, D国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
* s+ u' G; t, [. w运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
) O5 O' v" V7 B/ m7 {数学建模十大算法
  f" D8 K: T/ `+ k1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
' I$ f& o3 d/ C0 C2 O比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
  R% c( c! ?, h  w$ ?/ K9 l. L通常使用 Matlab 作为工具
6 @5 [9 d, t! k. _. F0 S3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
3 ]8 R7 G6 s" q7 V7 ?- ~3 O# X建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
+ H, n% J3 y' q( S法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
$ o+ h0 c! u& @2 f: k6 [+ {4 O# \4 B这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
. D1 C. r1 u3 H$ O% p论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
3 v2 y, Q- ?& Z6 b5 u$ v- I! ?6 f5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
% v" O4 r* m+ J4 e" ^$ T* Y& B这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
$ n/ f, O5 V3 Q+ h帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
0 e+ M8 w& V; W# E8 ?  J5 j( m8 B当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
0 H1 n9 V5 T, O6 w0 F很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
1 g9 e0 S! b6 |! }1 L* u据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
0 \3 T' I: v* J2 g; A. T4 U10 、图象处理算法
7 O) e; ?) ^* u6 P赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
, a5 y2 s' w2 h. H8 t的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
; a$ f# a2 g" R. A算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
/ [! T0 `5 J# I; Y. U5 L解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
  W9 E! J. s+ P; [' w! M个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
  p! ~4 ~8 I9 a# c微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
# T# ]% i( A# ?  P3 Z找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
, a7 I9 d! J% B  G: [3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
& m% k( ]$ V6 n; p( Q化； 样本点的个数有要求：
0 T, @0 W$ J6 W3 `& u, }①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
  t# w7 R- p/ [: [1 x②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
! C/ k3 n* y2 d- V5 D一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 、 时间序列预测
" f/ r9 B( Q' B, b% b& i& s" C预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
, r( h$ z4 Y% v( [: h+ d6、 、 小波分析预测（高大上）
! `+ X5 Y. E/ ^$ s4 `: }8 Y数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
0 p" ^9 }% z6 O4 t" i  Q' q预测波动数据的函数。
1 p5 F; V+ @$ T7 f* r& ?/ z7、 、 神经网络 （ 较好） ）
/ g4 M; {8 A4 S" c4 i+ T/ Z大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
& W# a4 M3 M* b2 x/ ?! D办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
5 l2 b5 h8 P# g5 s2 P, |9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
4 R& }) u+ R3 m3 r在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
9 L7 ?! s- L# T* w$ q7 ^$ Z逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
4 k( X* M/ @7 }# c12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
  w& H1 e0 D) m5 @2 U% T优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
* R& ^- z7 `% o7 H4 T8 d0 o* E14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
0 p' N' ?7 C# x( w$ _# K4 M其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
) j) q- r  o* |: O3 P的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
4 G5 W' B5 n$ x4 Q! k量有无影响，差异量的多少
; z6 O- P6 Y& u# R' s; o) P协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
% e0 V8 v4 I  X# z, k17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
3 T3 U& s9 r5 b6 _& q18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
# H7 F9 g/ c. j" n8 Y7 w( |非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
0 i* }. n( J( G! I+ W5 D智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
1 h$ l7 J# r! O7 ~) X' [19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
/ R" ]% \' a( U7 z21 、图像处理 （ 较好） ）
7 y6 C7 m! Y; s# |2 W9 t- V1 O! OMATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
; A4 k9 i2 g% r2 ]射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
/ a! G$ `( O3 d! ]1、聚类分析、
/ _" i. D& [2 e0 h9 x2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
1 P9 q: h/ j3 Y- A! U4、判别分析
6 R' Y" C/ \. u- L+ O' v5、典型相关分析
% l! d& G1 o1 P+ E" D6、对应分析
7、多维标度法（一般）
# J- G" b/ a$ F( d' {8、偏最小二乘回归分析（较好）
4 S5 m" [7 j( R5 w5 ?7 I/ f2 v: v24 、分类与判别
, o( S' L/ G% q5 R4 j& T, _$ T; [主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
6 g- h( u0 W+ q. I5 o2、关联性聚类
3、层次聚类
: T% w$ s" G( Z" g4、密度聚类
- @" u. v1 N, f$ }5、其他聚类
4 ]$ P" E. o, U; n, y' ~5 d6、贝叶斯判别（较好）
& T4 k& U* K# u; W5 M2 o3 x7、费舍尔判别（较好）
8 h# x! z# L8 L: O8 t1 ?3 g0 ~8、模糊识别
, N1 @& ~0 c5 W0 x5 Q1 |25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
8 B. i/ ?/ l$ U; Z2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
+ F$ C$ o. G3 M7 C/ P7 A+ ]4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
3 V* N) Z& A6 ~# v一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
$ V  A7 G3 z+ T; s( ~, y) n! x- b6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
9 r, p9 w$ i5 u7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
9 a) P7 G9 C$ F. I9 {, S! q26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
/ V8 ?$ p0 s& x; l( d率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
% |- X* |- W- B/ {————————————————
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