数学建模-常见模型整理及分类

杨利霞

2 d; d3 S% X: i数学建模-常见模型整理及分类数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
6 u$ N  U& R, J2. 按模型的特征分：
6 Y& p' P: U& T3 p/ O静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
7 |3 Z# J/ c/ @- f4 k( f预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
/ R0 W  g* C2 @8 j$ F- E+ K5 a/ @8 \一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
6 J" n+ s5 b3 v, c, r  c往也和建模的目的对应
9 v( [. e8 n- k6 I5. 按对模型结构的了解程度分： ：
5 h. Q0 f" F2 G: r7 ]* S有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
% ^4 _5 S+ w: C6. 按比赛命题方向分：
% K2 ?0 M, o8 M- a" c- v国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
9 M& j0 j# ~7 z) L; r数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
9 z5 {! ~  _- `# S7 J& L. u9 d该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
) O; i9 P( v) [+ U& R. I通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
/ H' K3 f, p7 `, q) K法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
6 K; U6 Z& R, Q: ~4 、图论算法
- ~$ ^$ t5 M$ E8 F# B3 l这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
. d1 t1 x. ]/ D" r$ |1 X$ W5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
6 f9 l0 X! D7 [1 e! c2 W  v这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
/ l. ~; I" Y; J9 O, Z2 \当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
3 G- H+ D3 J- n0 ]0 s/ t+ s很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
* C0 w  @0 o9 k0 d, i7 `据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
( t5 \$ n; f# o. f如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
9 ~& f2 s$ Y- Y" X+ e10 、图象处理算法
# k& A5 M! f0 ]( h3 I8 Q赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
& h2 S- A4 }' n6 ^$ G; x的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
( R" s" y6 ~, T) @& N1 L. Q" h算法简介
% w* e: O6 D! [. k1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
3 m) q3 u! `3 L个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
! c0 v: G- g/ B. G2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
  L. [  a/ \3 o; p8 a! r  n: W  q微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
- U4 c: I6 L+ D3 Y" s其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
6 J4 ]) g7 A( H/ e" E3 、回归分析预测 （ 一般） ）
8 k, `! a) X5 U求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
6 ?) N. f5 X" E! j2 S$ H化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
% l  B8 x/ y$ I概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
; O% k7 `: C4 K0 c3 |3 F5 z$ P6、 、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
; P( y2 d( ^( Y0 m, Q  h预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
预测波动数据的函数。
7、 、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
0 f8 K$ k( g  V* l; R, n% ]办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
" _, U/ j4 f2 `8、 、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
& e$ g; D4 ?1 [! \# X% X2 }) `9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
6 k) R3 o+ |# E拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
! l3 m* c3 k, g/ K; I+ P在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
7 V) s* ^% C' k. S3 {10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
: ]6 W- A3 \$ u" t) T0 O评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
6 L# N1 w2 H6 F7 p# q% u12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
3 B5 T: w" t2 J" q8 d/ w( D0 U+ O优化问题，对各省发展状况进行评判
5 @2 `; T7 r, i  w* ^13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
3 l6 M% F4 g! l% o; K0 Z秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
! O- s) M0 _; ?& o4 q" D似。
! G* a1 F  o5 y' `1 H14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
$ y4 Q' N$ U8 g+ `4 a/ s4 i解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
5 ~% o; H- ~! {* e的最差值。
! U) Q6 O5 k! w! s8 L: \6 R" b15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
% f/ {0 W3 V0 u5 |2 f可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
1 s  ?- }2 R  s" y16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
# `! V7 Z: Z* G. L量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
# }& R- v) d/ k, u2 g模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
: ]% N8 D. N  r# x非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
( D- R/ x+ n$ @' ^2 a智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
: x! c  s3 J: U; M算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
' M  [/ G" W! A# F2 V离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
, |+ j) G! [' R9 [8 y9 @3 A排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
# J/ M( H: T. L9 G* ?. b即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
) w+ T  A! g- E有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
3 T1 f9 q- r7 j6 q  h9 s计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
1 Q# c) B1 M, L/ q8 q/ l, J7 @般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
+ I( J' b2 z/ `1 k) |. g22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
6 [: m. }4 Y4 w: f. D+ o$ i. c( v. B支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
7 H  f2 I) E5 m/ w4 p& v5 E射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
8 J5 Q' A1 N1 r5 ?2 l23、 、 多元分析
1、聚类分析、
5 T/ i* q4 W. `3 b2、因子分析
$ _# }& B$ v  Z- A9 N) W3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
5 f+ {% p; S4 `5 n/ z; r' s1 e4、判别分析
3 ^3 C  y" C% D9 a) ?. `1 n6 o5、典型相关分析
6、对应分析
7 A8 c9 B; L( o* [2 [7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
" b4 J+ C* C6 ?- i$ A24 、分类与判别
3 ?' ?/ y+ t2 T. o' s! F主要包括以下几种方法，
3 L; O+ J& r0 g- `1 T, r4 ]; |1、距离聚类（系统聚类）（一般）
* s- K, W; V- j" V2、关联性聚类
3、层次聚类
4、密度聚类
5、其他聚类
+ c& l1 B5 E( U, U  R  d6 Z3 q6、贝叶斯判别（较好）
4 u3 Z7 D6 K. B1 X7 [$ O: N7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
/ m0 y1 O) k7 |8 Q- ?* O5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
+ t; g1 ]' ?# n" q* t一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
& T7 i$ I% x, D  I6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
# b9 y, ^% S8 V. x数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
5 M6 M: v2 R2 N5 n# c9 Z8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
, A" }' s/ a6 z7 r* V% G# R3 L9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
0 G3 g% Q9 t; b% S- l' l7 R& U————————————————
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