数学建模-常见模型整理及分类

杨利霞

& F6 h. j+ q7 u数学建模-常见模型整理及分类数学模型的分类
1 r1 ?+ G  k1 t* b% r2 T6 a1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
" |  d/ j! x+ H1 K6 }9 A静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
$ B, R1 Z1 I. A, C& h性模型和非线性模型等。
" f& B# d. x2 R* A3. 按模型的应用领域分：
" u# ~" {; L6 J2 K人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
5 I5 |9 W  B- F0 l& r# |3 s预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
" f( n( |8 [6 ~. U* ~+ s往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
3 w1 V% D- t% m3 C4 I+ n* l比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
! l* w( h- [+ P0 f1 ^运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
, m' M  E4 _6 M) ~- c' B+ U  x+ k数学建模十大算法
$ t$ Q- \' a% D7 U+ N1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
/ t2 x3 C2 P/ l) v以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
8 y/ {& C3 Z* N  d, c/ k比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
" R2 L" \5 g1 w8 q9 v# g5 g% L建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
% p8 [* Q- T* m" z" o! A论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
0 a; ~! o) I# d+ P$ b5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
- |0 a, N: L1 M+ f3 ]: m这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
* x( p. Z4 T4 d# y6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
! F0 K8 {6 ]/ x  @$ V这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
! f7 Y" x, B% s4 Y8 X7 J7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
5 L1 s2 j' S; u* @4 _8 |/ r8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
# X) `  L% a0 X6 f, M" x% z0 D9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
- B9 |0 |9 s- c10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
算法简介
$ j- ]+ w! D/ ^/ T3 N: l) Z2 z9 c/ o1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
  C3 y5 D- E) [解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
- D8 ]+ T! R1 m; j- v1 w7 x& q个条件可用：
: z* Y: T1 }$ m7 w4 ?% O①数据样本点个数 6 个以上
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
; K/ D- @; C7 ^2 x2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
. k2 g  {/ ^. L/ s/ U微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
$ q( k* f! Z2 L6 q找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
- N: l7 t8 _% i8 F. }5 h②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
; v7 _9 L; j0 C' N一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
) z9 T* a1 H8 c" v互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
+ D& H  M$ P4 s6、 、 小波分析预测（高大上）
1 {- b5 ?! g( P- F, W' b. H9 f/ X数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
; a; n; [3 k* o4 v; P预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
预测波动数据的函数。
7、 、 神经网络 （ 较好） ）
! |) b' S! E. F; B2 M大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
/ B8 W8 J8 |# e3 _8、 、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
$ w& C: i$ ^2 Z2 U逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
3 E: d+ ]" Z) O0 L! i3 t) u7 J9 v10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
) @( Y; f( N( F* E9 o% c评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
3 N; M% s  t& g( ~2 F; c* {) E11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
1 M7 ~) d, v. ^+ \* c12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
  H+ R/ ?% d8 j! n9 s. Y' }优化问题，对各省发展状况进行评判
1 A1 [, W+ _5 U3 `+ B/ m13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
. E+ I( |9 e2 Y秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
6 t, |7 p8 n( |4 M" [, E& p4 q法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
$ C# S* f9 G& _( k; m  V似。
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
6 N1 J+ A1 A! S+ {( i! {其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
5 @* k9 j5 @1 D3 K+ \: \评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
7 W5 e& w! @7 S+ O5 I) m& ?0 }解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
9 \1 A8 [$ m6 j1 Z4 U的最差值。
9 B# R6 U& Z2 d& e4 j15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
: N" ?' O- C0 y  h) h$ o可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
, T7 ^% k1 w' s% U% h" N+ O6 J该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
9 v. ?8 p) p: I: @5 f: t方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
' i4 v/ s( N) u7 X素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
8 v' ^0 L3 p- d: C/ \2 s2 F  k17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
+ Y% ^, t9 x7 z6 s8 |模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
& a5 ?7 {9 z' D算法、神经网络、粒子群等
3 H0 u: O0 H, G4 i其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
& O+ o6 |3 W# B3 Q9 a离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
2 q" |; A! P" w有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
4 O# e  g% ]% A2 G9 N( {$ O例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
2 V  b: q# ?% ?7 ^+ S射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
3 p$ Y, x6 W1 _- y5 H1、聚类分析、
2、因子分析
5 V) B$ A: a+ V4 [3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
) S+ J7 v, M+ t' i% T4、判别分析
( G6 d& R6 [7 O: H4 ~5 P5、典型相关分析
/ R' o) n& G& ~& I+ c; J2 O$ j5 q6、对应分析
7、多维标度法（一般）
# o+ T; {) x/ ^8、偏最小二乘回归分析（较好）
% l& r+ N, I% Q( e) Y: I- b7 X24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
: j. t/ ]( g: x5 r& J& Z2 C9 N- I6 @1、距离聚类（系统聚类）（一般）
8 n) |/ {& @% d% y- T! D! C2、关联性聚类
; y4 o1 q1 |" d! A3 Z' X3、层次聚类
4、密度聚类
5、其他聚类
. n3 m* Q, T  L/ O+ r$ Q  n6、贝叶斯判别（较好）
/ P1 z9 L3 T! u- G( x$ x8 V7 n7、费舍尔判别（较好）
% g! N( M) w6 X( _! l6 u4 m2 i8、模糊识别
25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
. M* B8 t2 H* O" {3 e2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
! o% J5 D+ A3 V  ?+ a+ j3、Person 相关（样本点的个数比较多）
  r$ y* f) t3 d& F% Q% E4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
  M# l2 b9 |4 M5 }, V. K9 s) q5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
" |$ V2 \' H: Y/ ]一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
: r/ g% f/ c$ {3 Q% R2 Q6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
- L9 z6 [2 w7 ~! h* j7、生存分析（事件史分析）（较好）
* w* Q) g) K; v2 E' m: X数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
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