数学建模-常见模型整理及分类

杨利霞

数学建模-常见模型整理及分类数学模型的分类
4 E" F$ a; c7 t* a+ g/ s, I1. 按模型的数学方法分：
& t+ o; i/ S; G& I0 R9 k0 E几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
. t3 |6 F2 k- T, |, A/ l静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
, V8 G* M, ~2 c+ G. a性模型和非线性模型等。
* b6 D" F3 R: t( b3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
5 m% t0 x; t3 C, c% Z3 J4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
4 L1 |$ f. m" e+ R往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
4 f& v! x0 E2 \7 o+ X# I比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
# w# J$ s& i2 ?. |& f6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
; t0 U0 y$ B: d. Y运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
8 E. |) m# a. z& ]该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
9 L4 D5 n2 o( v! k& c2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
' T4 T/ ^4 L) E1 ?3 H建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
$ H, {9 u# ]8 O$ Y4 o6 \6 D, }法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
: g( X, ?7 `1 B: N* i这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
: s, _+ C7 z; }论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
0 X6 L2 u; {  k8 @! n2 |6 U) r5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
& n, D3 ~, g/ o& Q3 P0 r$ I6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
: e3 O+ |$ V3 ~6 a& D' S! C) G; e帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
: e  Y& N4 s7 \. P# H, S一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
$ d, X% F4 P, C6 C据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
2 O2 n9 m# d" w9 `/ Q1 b9 ]- ^如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
7 ]% }+ B& T% J7 z. Q2 }如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
* S# Q" A# L2 I* A0 E赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
算法简介
9 e# w4 l" L+ L4 a7 t2 ]1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
9 s# d4 @9 k8 M6 [/ H解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
: a  u6 T2 ~! l①数据样本点个数 6 个以上
+ ]2 X+ m# t: L& |1 p②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
3 g5 A0 d  `6 k* ^, X& o2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
# b0 u( i+ g! {. h" i" h微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
7 l* b$ P) K# b3 p! \' L' y! M# b其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
, y% @& K$ |3 d1 I①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
7 \' Y4 W0 y: u( ~( S一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
  I4 m3 Q; L$ ~  u/ y互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
6 z+ o! w9 H& q8 K; y3 ?5、 、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
% m: Y2 z9 K& @) H（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
# E& K9 L; ~1 ?- H预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
预测波动数据的函数。
7、 、 神经网络 （ 较好） ）
5 I) V) B; Z6 l1 s% K) ?, P& b" T' A大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
8 B* S9 G0 X+ `+ ^! d8 `7 L/ M* Y办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8 D* n; u8 K5 p$ B; h8、 、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
) o8 t/ j! K% F, V( ]: v1 @在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
# }3 M, P$ q% I5 A10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
8 K& Q; b0 Y" x- M' E; E- T+ n11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
$ R4 [+ m( q) s7 P+ k7 s+ Q; [作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
  [$ ?: N5 _) f# P0 w12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
6 |( w4 m9 P7 R6 e秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
/ Y! N7 T% L1 W2 B+ ]* g# w5 R% N+ `似。
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
8 Y" ~% k) W7 T5 O- f$ H6 T8 p其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
6 R1 v# @2 c& \+ b15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
5 {' e3 R3 ~4 J: [3 E该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
, t) w( X8 b/ g! I8 E9 Z方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
# ?6 v% c8 ~/ a6 a4 k3 o& g: V5 Y% y+ C协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
, X9 z8 e, w) E$ x) m素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
: S. M) t# J* H# a9 ^此外还有灵敏度分析，稳定性分析
& k& e' u  e3 m: X17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
$ a4 Y% P0 g, f  [- _  w模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
0 |! H7 M7 H( r% N1 y( k优解。
/ B! ^4 n9 t) s4 x18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
: @  u1 i8 h4 U6 w) y非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
( y5 U* M  A* V' N7 C/ j智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
; p8 k- q) {2 Q* Y/ p2 Y离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
" S) E; x; p  I5 C8 ?6 ^% e# [排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
* M& s$ l2 X) c即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
: h/ A2 i1 d) r. b7 m" @23、 、 多元分析
+ L7 h  U6 d2 H* a2 z3 Z1、聚类分析、
2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
  h. z/ ~9 d! t, X从而达到降维的目的。
8 b/ y6 F- g2 b4 A* m4、判别分析
5、典型相关分析
9 V) _. h6 ^) }! a8 o8 h# [6、对应分析
. i/ w" a) \* ]: b2 g1 u7、多维标度法（一般）
9 b2 k& Y& F+ |( X  F# t8、偏最小二乘回归分析（较好）
) E0 _" m1 d4 \: F6 C24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
3、层次聚类
6 T) K' ]4 u. [! y- _/ {; P9 U4、密度聚类
5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
; E# M# D" x& i! _8 g4 A1 o6 v25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
# h, @0 X9 |' v0 i0 R9 S2 R5、典型相关分析
" s  i. h" y8 u; u0 Z（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
1 \  C- l5 g5 B: b7 ^0 e2 g+ ~( }若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
) X8 B8 ~5 h7 l: G, d! Y7、生存分析（事件史分析）（较好）
2 P0 C+ y- ]' y数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
3 u* B  s. |- T# A2 N. o8 O8、格兰杰因果检验
/ y. I4 s/ X( f5 v" ~7 M6 a计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
1 u- x, \& A5 s. w26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
3 _$ R4 {; d' u4 M量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
- W# {5 }* j4 |3 s  d1 Z————————————————
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