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❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏）

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杨利霞

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TA的每日心情

	开心 2021-8-11 17:59

签到天数: 17 天

[LV.4]偶尔看看III

网络挑战赛参赛者

自我介绍: 本人女，毕业于内蒙古科技大学，担任文职专业，毕业专业英语。

群组: 2018美赛大象算法课程

群组: 2018美赛护航培训课程

群组: 2019年数学中国站长建

群组: 2019年数据分析师课程

群组: 2018年大象老师国赛优

电梯直达

1^#

发表于 2021-7-8 15:06 |只看该作者 |倒序浏览

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❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏）

前言
所谓活到老，学到老，虽然我感觉自己已经学了很多算法了，但是昨天熬夜整理完以后发现，自己还是个弟弟，实在忍不住了，打算把算法学习路线发出来，我把整个算法学习的阶段总结成了五个步骤，分别为：基础语法学习（重要）、语法配套练习、数据结构、算法入门、算法进阶。本文梳理了这五个大项的思维导图，在下文会有详细介绍。
希望各位能够找到自己的定位，通过自己的努力在算法这条路上越走越远。
刚开始切勿心浮气躁，千万不要给自己立 flag，说一定要把这么多东西都学会。就算你的精力旺盛，日夜操劳，时间也是有限的。所以，首先是明确我们要做什么，然后制定好一个合理的目标，再一点一点将要学习的内容逐步付诸实践才是最重要的。
每日一篇C语言打卡，目前更新到：光天化日学C语言（20）- 赋值运算符与赋值表达式 | 让代码变得更加简介（建议收藏）。

图片较大，文章中有拆解，需要原图可以留言找我要哈
1、基础语法学习
算法是以编程语言为基础的，所以选择一门编程语言来学习是必须的。
因为作者本身是C/C++技术栈的，所以就拿C语言来举例子吧。如果是 Java、Python 技术栈，可以跳过 C语言相关的内容。这一小节，先给出学习路线图，然后我再来讲，每部分应该如何去学。

1）HelloWorld
无论是 Java、Python、C/C++，想要上手一门语言，第一步一定是 HelloWorld，先不要急着去配环境。如果环境配了几个小时，可能一开始的雄心壮志就被配环境的过程消磨殆尽，更加不要谈日后的丰功伟业了。
2）让自己产生兴趣
所以，我们需要让这件事情从一开始就变得有趣，这样才能坚持下去。比如找一个相对较为有趣的教程，这里我会推荐这个：《光天化日学C语言》。听名字就比较搞笑，可能作者本身也不是什么正经人，哈哈哈！虽然不能作为一个严谨的教程去学，起码可以对搞笑的内容先产生兴趣。从而对于语言本身有学习下去的动力。
刚才提到的这个系列，可以先收藏起来。回头再去看，它讲述的是对白式的 C语言教学，从最简单的输出 HelloWorld 这个字符串开始讲起，逐渐让读者产生对C语言的兴趣。这个系列的作者是前 WorldFinal 退役选手，一直致力于将困难的问题讲明白。我看了他的大部分教程，基本都能一遍看懂。算了，不装了，摊牌了，因为我就是这个作者。
3）目录是精髓
然后，我们大致看下你选择的教程的前几个章节，那些标题是否有你认知以外的名词出现，比如以这个思维导图为例，前几个章节为：
1、第一个C语言程序
2、搭建本地环境
3、变量
4、标准输出
5、标准输入
6、进制转换入门
7、ASCII字符
8、常量

如果你觉得这些名词中有 3 / 4 以上是没有什么概念的。那么，可能需要补齐一些数学、计算机方面的基础知识。反之，我们就可以继续下一步了。
4）习惯思考并爱上它
只要对一件事情养成习惯以后，你就会发现，再难的事情，都只是一点一点积累的过程。重要的是，每天学习的过程一定要吃透，养成主动思考的好习惯。因为，越到后面肯定是越难的，如果前期不养成习惯，后面很可能心有余而力不足。
就像刷题，一旦不会做就去找解题报告，最后就养成了看解题报告才会做题的习惯。当然这也是一种习惯，只不过不是一种好习惯罢了。
5）实践是检验真理的唯一标准
光看教程肯定是不行的，写代码肯定还是要动手的，因为有些语法你看一遍，必定忘记。但是写了几遍，永世难忘。这或许就是写代码的魅力所在吧。
所以，记得多写代码实践哟 (＾Ｕ＾)ノ~ＹＯ
6）坚持其实并没有那么难
每天把教程上的内容，自己在键盘上敲一遍，坚持一天，两天，三天。你会发现，第四天就变成了习惯。所以坚持就是今天做了这件事情，明天继续做。
7）适当给予正反馈
然而，就算再有趣的教程，看多了都会乏味，这是人性决定的，你我都逃不了。能够让你坚持下去的只有你自己，这时候，适当给予自己一些正反馈就显得尤为重要。比如，可以用一张表格将自己的学习计划记录下来，然后每天都去分析一下自己的数据。
当然，你也可以和我一样，创建一个博客，然后每天更新博文，就算没有内容，也坚持日更，久而久之，你会发现，下笔如有神，键盘任我行！更新的内容，可以是自己的学习笔记，心路历程等等。
看着每天的粉丝量呈指数级增长，这是全网对你的认可，应该没有什么会是比这个更好的正反馈了。
8）学习需要有仪式感
那么，至此，不知道屏幕前的你感想如何，反正正在打字的我已经激情澎湃了。已经全然忘记这一章是要讲C语言基础的了！
介于篇幅，我会把C语言基础的内容，放在这个专栏《光天化日学C语言》里面去讲，一天更新一篇，对啊，既然说了要坚持，要养成习惯，我当然也要做到啦~如果你学到了哪一章，可以在评论区评论 “打卡” ，也算是一种全网见证嘛！
我也很希望大家的学习速度能够超越我的更新速度。
2、语法配套练习
学习的过程中，做题当然也是免不了的，还是应征那句话：实践是检验真理的唯一标准。
而这里的题库，是我花了大量时间，搜罗了网上各大C语言教程里的例题，总结出来的思维导图，可以先大致看一眼：

从数学基础、输入输出、数据类型、循环、数组、指针、函数、位运算、结构体、排序等几个方面，总结出的具有概括性的例题 100 道《C语言入门100例》，目前还在更新中。
这里可以列举几个例子：
1、例题1：交换变量的值
一、题目描述
循环输入，每输入两个数 a aa 和 b bb，交换两者的值后输出 a aa 和 b bb。当没有任何输入时，结束程序。

二、解题思路
难度：🔴⚪⚪⚪⚪

这个题的核心是考察如何交换两个变量的值，不像 python，我们可以直接写出下面这样的代码就实现了变量的交换。
a, b = b, a
1
在C语言里，这个语法是错误的。
我们可以这么理解，你有两个杯子 a aa 和 b bb，两个杯子里都盛满了水，现在想把两个杯子里的水交换一下，那么第一个想到的方法是什么？
当然是再找来一个临时杯子：
1）先把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
2）再把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里；
3）最后把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子；

这种就是临时变量法，那么当然，还有很多很多的方法，接下来就让我们来见识一下吧。

三、代码详解
1、正确解法1：引入临时变量
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b, tmp;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      tmp = a; // (1)
      a = b;    // (2)
      b = tmp; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) tmp = a;表示把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
( 2 ) (2)(2) a = b;表示把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里；
( 3 ) (3)(3) b = tmp;表示把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子里；
这三步，就实现了变量 a aa 和 b bb 的交换。
2、正确解法2：引入算术运算
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      a = a + b; // (1)
      b = a - b; // (2)
      a = a - b; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) a = a + b;执行完毕后，现在最新的a的值变成原先的a + b的值；
( 2 ) (2)(2) b = a - b;执行完毕后，相当于b的值变成了a + b - b，即原先a的值；
( 3 ) (3)(3) a = a - b;执行完毕后，相当于a的值变成了a + b - a，即原先b的值；
从而实现了变量a和b的交换。
3、正确解法3：引入异或运算
首先，介绍一下C语言中的^符号，代表的是异或。
二进制的异或，就是两个数转换成二进制表示后，按照位进行以下运算：
左操作数右操作数异或结果
0 0 0
1 1 0
0 1 1
1 0 1
也就是对于 0 和 1，相同的数异或为 0，不同的数异或为 1。
这样就有了三个比较清晰的性质：
1）两个相同的十进制数异或的结果一定位零。
2）任何一个数和 0 的异或结果一定是它本身。
3）异或运算满足结合律和交换律。
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      a = a ^ b; // (1)
      b = a ^ b; // (2)
      a = a ^ b; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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我们直接来看 ( 1 ) (1)(1) 和 ( 2 ) (2)(2) 这两句话，相当于b等于a ^ b ^ b，根据异或的几个性质，我们知道，这时候的b的值已经变成原先a的值了。
而再来看最后一句话，相当于a等于a ^ b ^ a，还是根据异或的几个性质，这时候，a的值已经变成了原先b的值。
从而实现了变量a和b的交换。

4、正确解法4：奇淫技巧
当然，由于这个题目问的是交换变量后的输出，所以它是没办法知道我程序中是否真的进行了交换，所以可以干一些神奇的事情。比如这么写：
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      printf("%d %d\n", b, a);
}
return 0;
}
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你学废了吗 🤣？
2、例题2：整数溢出
一、题目描述
先输入一个 t ( t ≤ 100 ) t (t \le 100)t(t≤100)，然后输入 t tt 组数据。每组输入为 4 个正整数 a , b , c , d ( 0 ≤ a , b , c , d ≤ 2 62 ) a,b,c,d(0 \le a,b,c,d \le 2^{62})a,b,c,d(0≤a,b,c,d≤2
62
)，输出 a + b + c + d a+b+c+da+b+c+d 的值。

二、解题思路
难度：🔴🔴⚪⚪⚪

这个问题考察的是对补码的理解。
仔细观察题目给出的四个数的范围：[ 0 , 2 62 ] [0, 2^{62}][0,2
62
]，这四个数加起来的和最大值为 2 64 2^{64}2
64
。而C语言中，long long的最大值为：2 63 − 1 2^{63}-12
63
−1，就算是unsigned long long，最大值也只有2 64 − 1 2^{64}-12
64
−1。
但是我们发现，只有当四个数都取得最大值 2 62 2^{62}2
62
  时，结果才为 2 64 2^{64}2
64
，所以可以对这一种情况进行特殊判断，具体参考代码详解。
三、代码详解
#include <stdio.h>
typedef unsigned long long ull;                         // (1)
const ull MAX = (((ull)1)<<62);                         // (2)

int main() {
int t;
ull a, b, c, d;
scanf("%d", &t);
while (t--) {
scanf("%llu %llu %llu %llu", &a, &b, &c, &d);    // (3)
if (a == MAX && b == MAX && c == MAX && d == MAX) // (4)
printf("18446744073709551616\n");          // (5)
else
printf("%llu\n", a + b + c + d);             // (6)
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) 由于这题数据量较大，所有数据都需要用64位无符号整型。ull作为unsigned long long的别名；
( 2 ) (2)(2) 用常量MAX表示 2 62 2^{62}2
62
，这里采用左移运算符直接实现 2 22 是幂运算；
数学 C语言
2 n 2^n2
n
1<<n
需要注意的是，由于 1 是int类型，所以需要对 1 进行强制转换。(ull)1等价于(unsigned long long)1；
( 3 ) (3)(3) %llu是无符号64位整型的输入方式；
( 4 ) (4)(4) 这里是对所有数都等于最大值的特殊判断，&&运算符的优先级低于==，所以这里不加括号也没事；
( 5 ) (5)(5) 由于 2 64 2^{64}2
64
  是无法用数字的形式输出的，所以我们提前计算机算好以后，用字符串的形式进行输出；
( 6 ) (6)(6) 其它情况都在 [ 0 , 2 64 − 1 ] [0, 2^{64}-1][0,2
64
−1] 范围内，直接相加输出即可。
由于这个专栏是付费专栏，可能对学生党不是很友好，所以作者经过再三思考，打算放出 300 张一折优惠券，先到先得。只要拿这个图片来找作者即可享受，仅限前 300 名。
为了适当提高一定门槛，你至少需要学会如何下载图片或者截图并且发送到微信里 🤣。

3、数据结构
《C语言入门100例》上的例题，如果能理解前面 25 道，那基本C语言的学习就可以告一段落了，接下来就要开始我们的数据结构的学习了。
1、什么是数据结构
你可能听说过数组、链表、队列、栈、堆、二叉树、图，没错，这些都是数据结构，但是你要问我什么是数据结构，我突然就一脸懵逼了。
如果一定要给出一个官方的解释，那么它就是：
计算机存储、组织数据的方式。相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。通常情况下，精心选择的数据结构可以带来更高的运行或者存储效率。往往同高效的检索算法和索引技术有关。

是不是还不如说它是堆，是栈，是队列呢？
是这样的，我们学习的过程中，跳过一些不必要的概念，能够节省我们更多的时间，从而达到更好的效果，当你还在理解数据结构是什么的时候，可能人家已经知道了栈有哪些操作了。
2、数据结构和算法的关系
很多同学搞不明白，数据结构与算法有哪些千丝万缕的关系？甚至有些同学以为算法里本身就包含了数据结构。
数据结构主要讲解数据的组织形式，比如链表，堆，栈，队列。
而算法，则注重的是思想，比如链表的元素怎么插入、删除、查找？堆的元素怎么弹出来的？栈为什么是先进后出？队列又为什么是先进先出？
讲得直白一点，数据结构是有实体的，算法是虚拟的；数据结构是物质上的，算法是精神上的。当然，物质和精神缺一不可。
3、数据结构概览
周末花了一个下午整理的思维导图，数据结构：

常用的一些数据结构，各自有各自的优缺点，总结如下：
a、数组
内存结构：内存空间连续
实现难度：简单
下标访问：支持
分类：静态数组、动态数组
插入时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)

b、字符串
内存结构：内存空间连续，类似字符数组
实现难度：简单，一般系统会提供一些方便的字符串操作函数
下标访问：支持
插入时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)

c、链表
内存结构：内存空间连续不连续，看具体实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：单向链表、双向链表、循环链表、DancingLinks
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

d、哈希表
内存结构：哈希表本身连续，但是衍生出来的结点逻辑上不连续
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：正数哈希、字符串哈希、滚动哈希
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

e、队列
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FIFO、单调队列、双端队列
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

f、栈
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FILO、单调栈
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

g、树
内存结构：内存结构一般不连续，但是有时候实现的时候，为了方便，一般是物理连续，逻辑不连续
实现难度：较难
下标访问：不支持
分类：二叉树和多叉树
插入时间复杂度：看情况而定
查找时间复杂度：理论上 O ( l o g 2 n ) O(log_2n)O(log
2

n)
删除时间复杂度：看情况而定

1、二叉树
二叉树的种类较多，比如：二叉搜索树、平衡树。平衡树又可以分为 AVL 树、红黑树、线段树、堆。最平衡的树莫过于满二叉树了。
其中，堆也是一种二叉树，也就是我们常说的优先队列。
2、多叉树
B树和B+树是多叉树，当然我们平时学到的并查集其实也是个多叉树，更加严谨一点，应该称之为森林。
h、图
内存结构：不一定
实现难度：难
下标访问：不支持
分类：有向图、无向图
插入时间复杂度：根据算法而定
查找时间复杂度：根据算法而定
删除时间复杂度：根据算法而定

1、图的概念
在讲解最短路问题之前，首先需要介绍一下计算机中图（图论）的概念，如下：
图 G GG 是一个有序二元组 ( V , E ) (V,E)(V,E)，其中 V VV 称为顶点集合，E EE 称为边集合，E EE 与 V VV 不相交。顶点集合的元素被称为顶点，边集合的元素被称为边。
对于无权图，边由二元组 ( u , v ) (u,v)(u,v) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V。对于带权图，边由三元组 ( u , v , w ) (u,v, w)(u,v,w) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V，w ww 为权值，可以是任意类型。
图分为有向图和无向图，对于有向图， ( u , v ) (u, v)(u,v) 表示的是从顶点 u uu 到顶点 v vv 的边，即 u → v u \to vu→v；对于无向图，( u , v ) (u, v)(u,v) 可以理解成两条边，一条是从顶点 u uu 到顶点 v vv 的边，即 u → v u \to vu→v，另一条是从顶点 v vv 到顶点 u uu 的边，即 v → u v \to uv→u；
2、图的存储
对于图的存储，程序实现上也有多种方案，根据不同情况采用不同的方案。接下来以图二-3-1所表示的图为例，讲解四种存储图的方案。

1）邻接矩阵
邻接矩阵是直接利用一个二维数组对边的关系进行存储，矩阵的第 i ii 行第 j jj 列的值表示 i → j i \to ji→j 这条边的权值；特殊的，如果不存在这条边，用一个特殊标记 ∞ \infty∞ 来表示；如果 i = j i = ji=j，则权值为 0 00。
它的优点是：实现非常简单，而且很容易理解；缺点也很明显，如果这个图是一个非常稀疏的图，图中边很少，但是点很多，就会造成非常大的内存浪费，点数过大的时候根本就无法存储。
[ 0 ∞ 3 ∞ 1 0 2 ∞ ∞ ∞ 0 3 9 8 ∞ 0 ] \left[
01∞9∞0∞8320∞∞∞30
0∞3∞102∞∞∞0398∞0
\right]
⎣
⎢
⎢
⎡


0
1
∞
9


∞
0
∞
8


3
2
0
∞


∞
∞
3
0


⎦
⎥
⎥
⎤

2）邻接表
邻接表是图中常用的存储结构之一，采用链表来存储，每个顶点都有一个链表，链表的数据表示和当前顶点直接相邻的顶点的数据( v , w ) (v, w)(v,w)，即顶点和边权。
它的优点是：对于稀疏图不会有数据浪费；缺点就是实现相对邻接矩阵来说较麻烦，需要自己实现链表，动态分配内存。
如图所示，d a t a datadata 即 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组，代表和对应顶点 u uu 直接相连的顶点数据，w ww 代表 u → v u \to vu→v 的边权，n e x t nextnext 是一个指针，指向下一个 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组。

在 C++ 中，还可以使用 vector 这个容器来代替链表的功能；
vector<Edge> edges[maxn];
1
3）前向星
前向星是以存储边的方式来存储图，先将边读入并存储在连续的数组中，然后按照边的起点进行排序，这样数组中起点相等的边就能够在数组中进行连续访问了。
它的优点是实现简单，容易理解；缺点是需要在所有边都读入完毕的情况下对所有边进行一次排序，带来了时间开销，实用性也较差，只适合离线算法。
如图所示，表示的是三元组 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w) 的数组，i d x idxidx 代表数组下标。

那么用哪种数据结构才能满足所有图的需求呢？
接下来介绍一种新的数据结构 —— 链式前向星。
4）链式前向星
链式前向星和邻接表类似，也是链式结构和数组结构的结合，每个结点 i ii 都有一个链表，链表的所有数据是从 i ii 出发的所有边的集合（对比邻接表存的是顶点集合），边的表示为一个四元组 ( u , v , w , n e x t ) (u, v, w, next)(u,v,w,next)，其中 ( u , v ) (u, v)(u,v) 代表该条边的有向顶点对 u → v u \to vu→v，w ww 代表边上的权值，n e x t nextnext 指向下一条边。
具体的，我们需要一个边的结构体数组 edge[maxm]，maxm表示边的总数，所有边都存储在这个结构体数组中，并且用head来指向 i ii 结点的第一条边。
4 |/ l( T, j# V; l; I边的结构体声明如下：- |3 D- Y& ?( B4 T6 n
struct Edge {, z& W- l% b* b1 r
int u, v, w, next;
* d; |; ~8 \, |) ^' K, y# s8 i/ A9 Z Edge() {}/ ?1 y: t: K- Q* j( h# F$ m
Edge(int _u, int _v, int _w, int _next) :9 {0 ^  x& t/ A. `
      u(_u), v(_v), w(_w), next(_next) " y- ?! N' ?+ ~1 G4 x; g1 _
{
6 z6 q0 g" G1 y' B$ T# K }
2 V6 U5 l, S: A6 z; e: H* a9 _$ X}edge[maxm];( c8 {2 }- X2 B9 l' z
1
2 _  r+ q; n% d: o& T8 X5 K2# ], l! J) c4 h0 {7 v
3
# }7 M. D2 q" W4
1 n  U& ^7 c; P' P" n5. j% Z0 I5 E- \" g. z
6
3 L% i8 f3 r5 X5 M% a- T7
; |7 z: O' ]# C% Y4 o( \% ~80 u/ l% _8 i8 G  I& d
初始化所有的head = -1，当前边总数 edgeCount = 0；- q  k* U9 [2 E
每读入一条 u → v u \to vu→v 的边，调用 addEdge(u, v, w)，具体函数的实现如下：4 Y0 f2 [9 _& o6 e' j, D
void addEdge(int u, int v, int w) {
3 W5 X* e" J/ M3 M4 c  ^ edge[edgeCount] = Edge(u, v, w, head);
4 I) D+ Q! J0 b6 R' z, R head = edgeCount++;
, i7 h) z5 q9 K: I$ o: [7 k}
; h( U+ c$ W8 n: k1
9 d3 |8 K: u6 F. w+ `2) g" P2 F4 M/ b* _
3
' j$ E% c$ K- N) C8 ?4# {7 H% G; H8 i4 s: @3 L
这个函数的含义是每加入一条边 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w)，就在原有的链表结构的首部插入这条边，使得每次插入的时间复杂度为 O ( 1 ) O(1)O(1)，所以链表的边的顺序和读入顺序正好是逆序的。这种结构在无论是稠密的还是稀疏的图上都有非常好的表现，空间上没有浪费，时间上也是最小开销。
* Y0 L* V5 A& B/ l+ _6 K! A: O  c7 G调用的时候只要通过head就能访问到由 i ii 出发的第一条边的编号，通过编号到edge数组进行索引可以得到边的具体信息，然后根据这条边的next域可以得到第二条边的编号，以此类推，直到 next域为 -1 为止。0 {9 M" |" i8 W8 u2 M+ `5 z
for (int e = head; ~e; e = edges[e].next) {$ `+ D8 [0 J* ]1 y* w
int v = edges[e].v;( e; p. X) y( [7 s9 J
ValueType w = edges[e].w;2 ^4 d2 ?0 g2 t# R; f% b1 |
...
% Y, K0 l. z; o! i4 a}: J" [% r8 i0 z
1
5 h8 i' `" Z( R9 D0 Q2 n2' j; i* W5 L( [1 J
3
# |: z7 X. T* J4
* M/ U3 Q0 x; w3 V  t0 N/ m58 ?$ M6 V& `; M* I
文中的 ~e等价于 e != -1，是对e进行二进制取反的操作（-1 的的补码二进制全是 1，取反后变成全 0，这样就使得条件不满足跳出循环）。
0 o7 G3 a6 f2 H; e& L& \4 `; Q* }4、算法入门$ G! M8 O) K6 Y0 y6 E* _
算法入门，其实就是要开始我们的刷题之旅了。先给出思维导图，然后一一介绍入门十大算法。
8 n2 P; R* P6 }# m3 j, k8 Z% o
- L+ S) l9 ?$ ~, p9 L! u! T- G$ s
入门十大算法是枚举、排序、模拟、二分、双指针、差分法、位运算、贪心、迭代、分治。
6 f# _3 H" z# C3 Q5 m$ N3 g2 ]对于这十大算法，我会逐步更新道这个专栏里面：《LeetCode算法全集》。3 s/ K2 O' S8 h; c! x: d; ]3 d
1、枚举; s8 H- n5 f5 J* W; v0 m6 w
枚举可以简单理解成for循环，从一个数组中遍历查找一个值，就是枚举；从一个数组中找到一个最大值，就是枚举；求数组所有数的和，也是枚举。
, V" p: v$ v! }) R$ _+ h1 O) Z对于枚举而言，基本就是循环语句的语法学会，这个算法就算学会了。
  g, I" H( G5 |) D6 G2、排序
3 G$ B! B3 O7 |1 Z既然是入门，千万不要去看快排、希尔排序这种冷门排序。+ ]2 _4 P( @4 K" F! |  E, U
冒泡排序、选择排序、简单插入排序原理好懂，先看懂再说，其他不管。因为这三者都是基于枚举的。) C! J* ^$ C+ `
C中有现成qsort排序函数，C++中有现成 sort排序函数，直接拿来用，等算法进阶时再回头来看快速排序的算法实现。4 W1 r8 z! D7 C6 e
3、模拟
5 d8 c5 k6 q' y& C模拟就是要求做什么，你就做什么，完全不要去考虑效率问题。- [* |( s7 j, a
不管时间复杂度和空间复杂度，放手去做！
: ~. _( m2 S! A9 T1 H但是，有时候模拟题需要一些复杂的数据结构，所以模拟题难起来也可以很男，难上加难。
( ?8 ]! v* f) B1 [4、二分: n* w  L$ U) n' k
二分一般指二分查找，当然有时候也指代二分枚举。: ]+ W6 `* m2 m  v7 L
例如，在一个有序数组中查找值，我们一般这个干：3 {  R& V- |" s$ R. M
1）令初始情况下，数组下标从 0 开始，且数组长度为 n nn，则定义一个区间，它的左端点是 l = 0 l=0l=0，右端点是 r = n − 1 r = n-1r=n−1；8 a, m2 d: h( s% m. U7 Z9 M- D
2）生成一个区间中点 m i d = ( l + r ) / 2 mid = (l + r) / 2mid=(l+r)/2，并且判断 m i d midmid 对应的数组元素和给定的目标值的大小关系，主要有三种：
) s& [( h6 a% ~6 H: t* T) { 2.a）目标值等于数组元素，直接返回 m i d midmid；
- N0 [+ k4 u7 U0 [* i 2.b）目标值大于数组元素，则代表目标值应该出现在区间 [ m i d + 1 , r ] [mid+1, r][mid+1,r]，迭代左区间端点：l = m i d + 1 l = mid + 1l=mid+1；. f( J% A2 a' o  p
2.c）目标值小于数组元素，则代表目标值应该出现在区间 [ l , m i d − 1 ] [l, mid-1][l,mid−1]，迭代右区间端点：r = m i d − 1 r = mid - 1r=mid−1；
2 o/ E* f) H) w$ m3）如果这时候 l > r l > rl>r，则说明没有找到目标值，返回 − 1 -1−1；否则，回到 2）继续迭代。
" ?# w% w, {5 F- [7 Z9 m% s- Z5、双指针
$ C; w( V8 K: s9 M7 {' _双指针，主要是利用两个下标在一个数组上，根据问题的单调性，进行指针偏移，由于每个指针只往后偏移，所以时间复杂度可以达到 O ( n ) O(n)O(n)，由于思想非常简单，所以出题时，热度不低。6 Y8 v+ l! U) S
0 F8 I+ m4 F! a0 D+ |; t- U3 ?7 k
9 f0 O" O& c! F* e% j
6、差分法+ l9 z2 d1 Y" i9 `
差分法一般配合前缀和。
4 U. \' R  {" X1 s+ G对于区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内求满足数量的数，可以利用差分法分解问题；3 ~- y( p# R: v4 A* Q% s+ v
假设 [ 0 , x ] [0, x][0,x] 内的 g o o d n u m b e r good \ numbergood number 数量为 g x g_xg
% h) q7 T8 C6 D% ]* r2 A7 P+ \x
! n8 P# P5 S& X- ^  T9 b) s 8 w8 U+ d: ~* E( x* e# e) \4 B
，那么区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内的数量就是 g r − g l − 1 g_r - g_{l-1}g 6 z" C: M3 p- ^+ \4 U7 l; L9 P) I
r
+ B% q- l' H. j) i+ _6 [
0 f3 i" n/ T- T& o4 p- q −g
. ?5 e( R, n( S' L; X' i4 i0 Y8 Yl−1& Z3 l/ l/ C+ `- Z. g

2 [" U: q& i: c3 o ；分别用同样的方法求出 g r g_rg 4 E7 s, @; l" r' D9 B/ q
r0 r1 i+ E/ A: s* c% r
; w; [7 Y$ h1 }
  和 g l − 1 g_{l-1}g 2 i, T! p* ^1 x- L
l−18 ^  U) \$ T% y; F' T1 V7 W
. J- p3 j- @! `! n4 p
，再相减即可；
* C8 Y! C5 u' L7 V
: [3 k7 R& I& K8 N: s& n+ ?) a% r3 G
$ H5 ]0 Z; w$ d! l9 L. W" ~7、位运算
; L3 F. c& @0 t; d0 n位运算可以理解成对二进制数字上的每一个位进行操作的运算。2 M* K" z* ~5 Q5 C
位运算分为布尔位运算符和移位位运算符。, \) _* U0 M8 H, a! F
布尔位运算符又分为位与(&)、位或(|)、异或(^)、按位取反(~)；移位位运算符分为左移(<<) 和右移(>>)。
  i& g# C% k1 y& Y# M如图所示：* E6 u# T! V$ ^5 i7 V5 B

# P+ {7 K6 }" g' \/ G
6 f( t( v$ b0 Y( ?位运算的特点是语句短，但是可以干大事！$ p' c. y3 f; _' S
比如，请用一句话来判断一个数是否是2的幂，代码如下：
: a# ^$ _% e6 Y4 k3 ?) d, a!(x & (x - 1))- Y  {# @1 C' |" U- Z
1
# T' n! f7 Z$ G8、贪心* r. T  Y3 Q4 N9 D( ?6 i* X
贪心，一般就是按照当前最优解，去推算全局最优解。- k2 V6 g4 `$ {& R6 n
所以，只有当当前最优解和全局最优解一致时才能用贪心算法。贪心算法的证明是比较难的，但是一些简单的贪心问题会比较直观，很容易看出来这个能够这么贪。
$ |2 l/ `" }! s1 n( j& p- g9、迭代+ Z8 X5 ~3 K, ~! h& o
每一次对过程的重复称为一次“迭代”，而每一次迭代得到的结果会作为下一次迭代的初始值，周而复始，直到问题全部解决。* \! f; k& B+ ~$ f9 C4 U
10、分治
/ a9 Y3 B2 C, y; _/ W分治，就是把问题分成若干子问题求解，子问题解决后，问题就解决了。一般利用递归实现。属于初学者比较头疼的内容。递归一开始学习的时候，一定要注意全局变量和局部变量的关系。; B- e5 H" U. X- K& ~
5、算法进阶7 F! q2 ^& F9 s! `# y2 x: e( K
算法进阶这块是我打算规划自己未来十年去完成的一个项目，囊括了大学生ACM程序设计竞赛、高中生的OI竞赛、LeetCode 职场面试算法的算法全集，也就是之前网络上比较有名的《夜深人静写算法》系列，这可以说是我自己对自己的一个要求和目标吧。8 P' P5 n: t) r8 X6 q
如果只是想进大厂，那么算法入门已经足够了，不需要再来看算法进阶了，当然如果对算法有浓厚兴趣，也欢迎和我一起打卡。由于内容较难，工作也比较忙，所以学的也比较慢，一周基本也只能更新一篇。( j5 p+ X, u8 i! V7 c" i
这个系列主要分为以下几个大块内容：& }) u1 S  |+ t: T+ I( t
1）图论3 t& Z) E5 W8 u* ]5 p3 E
2）动态规划5 h4 {) T8 ~( m$ x1 f
3）计算几何
! D4 k" a& Y& m) B- Z 4）数论# E4 n& q; y: a0 S2 f% R
5）字符串匹配1 M9 U- k2 {8 E) {3 P& ~' g
6）高级数据结构（课本上学不到的）
( b6 Q- Q3 ?$ R) T1 }( s 7）杂项算法+ z9 f# O" D- r, ]$ [
2 w1 e. G- a1 _- W+ C6 a, q" h
/ Q: P; \9 K0 C1 s! N
先来看下思维导图，然后我大致讲一下每一类算法各自的特点，以及学习方式：
9 T7 V  U3 ]% Y% L# G/ c
5 [; x0 H! D0 z! V
+ z  _/ e5 [4 b# v0 n. D, K% V' P. o7 t" E" O! c! q  v2 ~, N

- Z6 v5 _( E5 V" {( U9 V1）图论
" g; p, ]1 a7 L7 I3 A, P; N1、搜索概览
+ e+ e% I( J8 E6 z0 _/ b$ J图论主要围绕搜索算法进行展开。搜索算法的原理就是枚举。利用计算机的高性能，给出人类制定好的规则，枚举出所有可行的情况，找到可行解或者最优解。* k! s) o9 q0 V5 Y' `
3 v8 s/ P+ E4 k$ i' x: H, t
0 O% H8 J3 D- Q
比较常见的搜索算法是深度优先搜索（又叫深度优先遍历）和广度优先搜索（又叫广度优先遍历或者宽度优先遍历）。各种图论的算法基本都是依靠这两者进行展开的。
0 c$ o# u5 O4 @3 x# ?! W- Y6 r7 C2、深度优先搜索5 K$ ?/ b8 K' N
深度优先搜索一般用来求可行解，利用剪枝进行优化，在树形结构的图上用处较多；而广度优先搜索一般用来求最优解，配合哈希表进行状态空间的标记，从而避免重复状态的计算；
4 L8 \6 l. J- }% \* f原则上，天下万物皆可搜，只是时间已惘然。搜索会有大量的重复状态出现，这里的状态和动态规划的状态是同一个概念，所以有时候很难分清到底是用搜索还是动态规划。; X$ h$ l. N& j
但是，大体上还是有迹可循的，如果这个状态不能映射到数组被缓存下来，那么大概率就是需要用搜索来求解的。
! F- L1 D3 a! [3 I1 c8 B9 g& z如图所示，代表的是一个深度优先搜索的例子，红色实箭头表示搜索路径，蓝色虚箭头表示回溯路径。
( p+ `( U( W7 Q. C( n3 ^" |. x+ T. X. U* I0 Q: U0 f8 D
7 E- ~4 r' J9 ?+ d/ ~. i
红色块表示往下搜索，蓝色块表示往上回溯，遍历序列为：
8 f# t( U8 V$ Q' A* Z4 @2 q' E 0 -> 1 -> 3 -> 4 -> 5 -> 2 -> 6
" L" s: v( e& s$ T/ |. v* a; z1
; F0 N  Z) @5 j" N7 q8 k同样，搜索的例子还有：: k5 ]5 H! f6 K: \
7 @. H/ |8 `. i9 I
0 {' K" r. r* B- F! T
计算的是利用递归实现的 n nn 的阶乘。
2 g7 |5 J: f9 H% c3、记忆化搜索: X( ]6 x" T0 d7 H) ?
对于斐波那契函数的求解，如下所示：2 {, @* A1 B0 C
f ( n ) = { 1 ( n = 0 ) 1 ( n = 1 ) f ( n − 1 ) + f ( n − 2 ) ( n > 2 ) f(n) =
! \8 n4 `# i# O9 V' Y⎧⎩⎨11f(n−1)+f(n−2)(n=0)(n=1)(n>2)8 q; a, J7 [$ O4 y$ A
{1(n=0)1(n=1)f(n−1)+f(n−2)(n>2)
) m! q; }* v' x3 B: L6 tf(n)=
! I! Z5 {: i0 Y0 r7 U& h% |" D$ M! n⎩
! e$ ?) c( j3 d6 S+ a% M5 R7 X⎪: ~/ b' R' S# y1 L
⎨
+ G) F0 x& V2 d  ~+ V9 ]8 Z⎪* V1 u0 ~% q- B; d1 I. R9 c
⎧
* k8 b3 @' y4 [( b; H; D
5 A+ s& j( r/ C9 e
; Q* W, m" i( F' K7 V0 D14 ?) g% Q. I7 Z2 l
1: s4 t$ B" M3 q( f6 q2 {) J
f(n−1)+f(n−2); R3 [3 b7 _( t8 ~

6 ?( D: ?; \8 n( l/ @  " Q% f9 e) H  h, A3 q( T& z7 e
(n=0)' _1 w2 B/ f8 q9 g1 x
(n=1)* U. ?1 t. r( o2 j" \
(n>2)
* B/ x- b/ {4 U0 C % N! d* L5 _* y! V

. x5 F0 ?( ~$ `7 z: R9 j对于 f ( 5 ) f(5)f(5) 的求解，程序调用如下：
8 B& ?  V+ v& t* c2 s, F; L0 D. m
( a7 S2 i! l. B8 T' U) X+ a8 b. x, M- j2 O: C* B! Z
这个过程用到了很多重复状态的搜索，我们需要将它优化，一般将一些状态缓存起来。
/ H. R* ?/ Q: o) @5 _6 I3 {7 B; K我们通过一个动图来感受一下：/ n0 l* `, L& A4 M

0 ?. R7 q' u* I0 U) k4 z& a% V4 Z, E1 E3 g1 T; |+ s; G+ Y2 M
当第二次需要计算 f ( 2 ) f(2)f(2) 和 f ( 3 ) f(3)f(3) 时，由于结果已经计算出来并且存储在 h [ 2 ] h[2]h[2] 和 h [ 3 ] h[3]h[3] 中，所以上面这段代码的fib != inf表达式为真，直接返回，不再需要往下递归计算，这样就把原本的 “递归二叉树” 转换成了 “递归链”，从而将原本指数级的算法变成了多项式级别。/ [7 W) k9 k# D1 W* U" U
这就是记忆化搜索，像这种把状态缓存起来的方法，就是动态规划的思想了。2 y" q- w, X% d9 h$ s1 q
4、广度优先搜索; }" T/ H# H% v( Z' {
单向广搜就是最简化情况下的广度优先搜索（Breadth First Search），以下简称为广搜。游戏开发过程中用到的比较广泛的 A* 寻路，就是广搜的加强版。
& g, b2 W# S$ q* O! U* f我们通过一个动图来对广搜有一个初步的印象。, F  d6 y( `5 j4 H  W# {; }( c
+ L4 R8 J  o( [5 n2 s

7 C  V- ^" t8 O% s. ~+ L# a3 @5 b$ g; w2 ?" E
1 J' e$ Q; r! ^+ b" |0 d
从图中可以看出，广搜的本质还是暴力枚举。即对于每个当前位置，枚举四个相邻可以行走的方向进行不断尝试，直到找到目的地。有点像洪水爆发，从一个源头开始逐渐蔓延开来，直到所有可达的区域都被洪水灌溉，所以我们也把这种算法称为 FloodFill。0 b& r$ z- l% o6 ^
那么，如何把它描述成程序的语言呢？这里需要用到一种数据结构 —— 队列。) T' P5 P& T: I0 z; m. [5 D
这时候，算法和数据结构就完美结合了。
3 w& I; I( O1 i8 n2）动态规划% Q; N5 C) D$ p) R6 E' i
动态规划算法三要素：" F; [% a! D- |; Z& N' M$ k) U, d1 K. G
①所有不同的子问题组成的表；) s  w  w7 }- q7 k
②解决问题的依赖关系可以看成是一个图；
+ F( j# Z8 _; ?/ Q# D9 e/ } ③填充子问题的顺序（即对②的图进行拓扑排序，填充的过程称为状态转移）；" {" E  Q5 q, \8 g- P
" x  H: O# `& H; z0 f  u6 l

0 m8 l& v4 {( F) p7 I2 w' l( I如果子问题的数目为 O ( n t ) O(n^t)O(n
5 g5 J+ m+ o) B# x; \t% m3 m% k3 G+ A1 ?
)，每个子问题需要用到 O ( n e ) O(n^e)O(n , v" b, Q, b3 u+ {
e
' p2 r! H7 J2 j6 \ ) 个子问题的结果，那么我们称它为 tD/eD 的问题，于是可以总结出四类常用的动态规划方程：（下面会把opt作为取最优值的函数（一般取 m i n minmin 或 m a x maxmax ）, w ( j , i ) w(j, i)w(j,i)为一个实函数，其它变量都可以在常数时间计算出来）。  |' M% q9 C2 N1 T9 v) f, I
1、1D/1D
* w0 |0 J7 I6 O$ ld [ i ] = o p t ( d [ j ] + w ( j , i ) ∣ 0 < = i < j ) d = opt( d[j] + w(j, i) | 0 <= i < j )
+ B4 G% ?1 J; Q. K$ n. C. B$ Sd=opt(d[j]+w(j,i)∣0<=i<j). }6 L- c9 O& \) C* R; J: D; N
状态转移如图四所示（黄色块代表d [ i ] dd，绿色块代表d [ j ] d[j]d[j]）：
$ }! z2 Q; A9 g4 o3 p& i! I+ ]# X3 t) i5 Q7 I6 G5 ^
; L6 d/ B$ g8 Q; J6 p9 `+ U6 j  E
这类状态转移方程一般出现在线性模型中。5 y0 S' p% b3 H
2、2D/0D) E4 f) ?* B+ i1 ?4 _
d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ j ] + x i , d [ i ] [ j − 1 ] + y j , d [ i − 1 ] [ j − 1 ] + z i j ) d[j] = opt( d[i-1][j] + x_i, d[j-1] + y_j, d[i-1][j-1] + z_{ij} )
0 E4 X" Y. C0 L  `. S, b6 Md[j]=opt(d[i−1][j]+x # \) l0 U8 `5 T+ a( P
i
* Z. n6 W; w: b8 y+ ^! | , e+ i' O% W; [/ p1 q
,d[j−1]+y
+ @; R; g% }& H' x9 Aj6 T  v/ x' o, g# h4 m" F

! o% d8 I9 B7 Q) N! | ,d[i−1][j−1]+z
  X3 \9 Z* D3 Dij+ e8 N2 w) L8 B5 {' C* H( {; i
7 w  m+ o- O- |
)
- E. i6 y0 D* q+ `* m状态转移如图四所示：& w& J8 p; G; q) I) @

# k, s8 @; P' ~
; Z% Y- Q1 l7 A- r+ H" y/ e$ w比较经典的问题是最长公共子序列、最小编辑距离。
: H" u/ M8 w! C- B  o# P有关最长公共子序列的问题，可以参考以下文章：夜深人静写算法（二十一）- 最长公共子序列3 Z( H& }3 _, W9 g1 D
有关最小编辑距离的问题，可以参考以下文章：夜深人静写算法（二十二）- 最小编辑距离
* k. ^, S  }8 [: }9 }! l3 \/ n" l3、2D/1D
* f0 `, y' C, C' b% c4 I$ jd [ i ] [ j ] = w ( i , j ) + o p t ( d [ i ] [ k − 1 ] + d [ k ] [ j ] ) d[j] = w(i, j) + opt( d[k-1] + d[k][j] )5 b# R# t3 w! W" c1 z6 X5 Q& y- b( \
d[j]=w(i,j)+opt(d[k−1]+d[k][j])
$ ^4 h% R# J+ O4 }$ G区间模型常用方程，如图所示：
# y4 P" _: P2 I( r6 R: f! p" l5 i
" u! k2 a* y3 o' `5 D8 F9 n' k6 J5 N& G
另外一种常用的 2D/1D 的方程为：* P, `3 u6 J3 a9 E6 D; W* E7 F
d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ k ] + w ( i , j , k ) ∣ k < j ) d[j] = opt( d[i-1][k] + w(i, j, k) | k < j )
% K, p% {+ X/ i$ m: {& E5 \  pd[j]=opt(d[i−1][k]+w(i,j,k)∣k<j)  W7 i! P( c0 \
区间模型的详细内容可以参考以下这篇文章：夜深人静写算法（二十七）- 区间DP
% T! L9 k9 Z5 ~/ x* x: p4、2D/2D
/ V5 o8 p8 ^% q+ {4 @d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i ′ ] [ j ′ ] + w ( i ′ , j ′ , i , j ) ∣ 0 < = i ′ < i , 0 < = j ′ < j ) d[j] = opt( d[i'][j'] + w(i', j', i, j) | 0 <= i' < i, 0 <= j' < j)
3 m5 ^+ T) w- O" z% pd[j]=opt(d[i 9 ?' O0 r4 k# i+ G% N
′& ]2 N* b  s; Y
][j
! M- {# E& c- ?# u9 ~′3 g1 o: n; K- W, |- Y7 P, K
]+w(i ; F6 p3 C  Y0 W
′3 Y9 m  v3 A6 N
,j
- T2 M3 N% }9 [′9 u2 L) Y6 x4 S+ ^# S) B
,i,j)∣0<=i
$ m3 x4 F$ m) D; |5 s′
# e8 N, q( S7 X+ Z+ t  A) d <i,0<=j , u/ Y7 i: R% S( Y: Y: s
′
) J* Q5 K/ H% z9 M! V4 O0 | <j)
* J( z" _8 I4 G6 ~: ~3 Y如图所示：
7 @3 J# E# v5 H1 ]8 x* z3 g. h; C$ w8 \, t& L$ {& k

. B1 @" A( t5 U5 Q常见于二维的迷宫问题，由于复杂度比较大，所以一般配合数据结构优化，如线段树、树状数组等。8 s9 _* H/ Z8 b& @% A+ p
对于一个tD/eD 的动态规划问题，在不经过任何优化的情况下，可以粗略得到一个时间复杂度是O ( n t + e ) O(n^ {t+e})O(n
) r: g  ?+ Y0 A. i4 C* H3 Bt+e
0 d9 J7 u6 J0 }6 n) V2 ?/ ` )，空间复杂度是O ( n t ) O(n^t)O(n
. h; q0 i5 X/ s$ d1 q% |+ o% Ut5 q4 m- A& z7 U' F, Y) N$ r
) 的算法，大多数情况下空间复杂度是很容易优化的，难点在于时间复杂度，后续章节将详细讲解各种情况下的动态规划优化算法。, A7 \! ^+ G$ N3 J2 F7 R( P
3）计算几何
# p1 y7 [" d, L; U+ N- T计算几何的问题是代码量最大的。它是计算机科学的一个分支，以往的解析几何，是用代数的方法，建立坐标系去解决问题，但是很多时候需要付出一些代价，比如精度误差，而计算几何更多的是从几何角度，用向量的方法来尽量减少精度误差，例如：将除法转化为乘法、避免三角函数等近似运算等等。
' {5 p- X) z2 K# M1 ]- o7 G3 [如果一个比赛中，有一道计算几何的题，那么至少，它不会是一道水题。
( T- V# N* C2 J+ c1、double 代替 float! p8 t- }4 s5 H5 c
c++ 中 double 的精度高于 float，对精度要求较高的问题，务必采用 double；. t$ j/ {+ r5 Z$ ^
2、浮点数判定
) P# y& Z& ^% [, ?由于浮点数（小数）中是有无理数的，即无限不循环小数，也就是小数点后的位数是无限的，在计算机存储的时候不可能全部存下来，一定是近似的存储的，所以浮点数一定是存在精度误差的（实际上，就算是有理数，也是存在误差的，这和计算机存储机制有关，这里不再展开，有兴趣可以参见我博客的文章：C++ 浮点数精度判定）；. n0 R0 ~" X! a+ i
两个浮点数是否相等，可以采用两数相减的绝对值小于某个精度来实现：
: z# t* Z  P% t3 a+ W4 wconst double eps = 1e-8;
+ U6 }; f  K/ ~) [: Lbool EQ(double a, double b) {
2 g% }6 _9 _3 C' x( Q, B' R return fabs(a - b) < eps;
3 k8 a  T6 i4 P7 F}
/ ?- u$ u# d" S7 E1
1 f0 ?( Y8 S- U6 H2
8 [6 C, G0 s- O# g* E3
9 b8 U1 n( m1 {8 _& c5 `2 w4  h9 v/ e; d' y6 I) c0 b) P7 _3 x
并且可以用一个三值函数来确定某个数是零、大于零还是小于零：+ ]9 ]8 _) P1 v' a
int threeValue(double d) {
5 e1 N( j" V4 T  y  q if (fabs(d) < eps)
0 r* p8 S# z9 S       return 0;; S# d4 P; c6 c3 Y# h
return d > 0 ? 1 : -1;
$ [9 I7 g5 o' a}
% o( O+ C! b) a5 w2 U  @3 k) {1
* E7 |+ A# f. J2 J- B# T2
- P, U! y( q# {3
, c/ r9 |5 [0 ~4
+ c1 n# p) q: T' I% S  }5
% z3 x* X+ l+ K# k( p: V. @. `' w3、负零判定
$ h9 P+ L. d0 e1 h. @2 x8 `因为精度误差的存在，所以在输出的时候一定要注意，避免输出 -0.00：+ D, j) u7 c0 D, u
double v = -0.0000000001;- p+ X4 z( e2 x- j7 m/ N) j
printf("%.2lf\n", v);
! F& Q4 G+ P" S. q( v12 B' f7 C: n  m0 h8 Z, T% I
2
* r5 s; X4 x3 `, X- I9 }避免方法是先通过三值函数确定实际值是否为0，如果是0，则需要取完绝对值后再输出：9 E: {- t. v. u8 K+ x" _. }# N
double v = -0.0000000001;
. Y+ D& W4 A) Z) [ if(threeValue(v) == 0) {+ j; \  `& s6 y6 ^; q4 v& e
      v = fabs(v);) {6 R6 F, n0 k
}
7 p: K  A! W7 G1 C& M! M! k printf("%.2lf\n", v);# p' r9 m" T) p. q% B4 [: C
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4: ^( @% d7 R' w$ W4 r) x4 Y& Q3 N
5% L( Q3 y9 A4 `% g% A* Q
4、避免三角函数、对数、开方、除法等
+ D0 @/ s' g5 g% Oc++ 三角函数运算方法采用的是 CORDIC算法，一种利用迭代的方式进行求解的算法，其中还用到了开方运算，所以实际的算力消耗还是很大的，在实际求解问题的过程中，能够避免不用就尽量不用。
! g8 ^) n- D3 ]( {; `除法运算会带来精度误差，所以能够转换成乘法的也尽量转换为乘法运算。
2 B* R5 M2 p" _$ U1 D6 i5、系统性的学习3 Z2 ^, J& f: b, I1 t
基础知识：点、向量、叉乘、点乘、旋转、线段、线段判交、三角形面积；
) o+ t- H6 ]: f( g  ^7 J进阶知识：多边形面积、凸多边形判定、点在多边形内判定；* `6 m. ^" n  f2 [# l$ x2 [
相关算法：二维凸包、三维凸包、旋转卡壳、多边形面积交、多边形面积并、多边形面积异或、多边形和圆的面积交、半平面交、最小覆盖圆、最小包围球、模拟退火。% u  X) d7 E6 c; M+ O' W1 P
( j6 ?: G7 T3 Y( o, J$ H) w7 ^* q
$ s9 z2 z* r! o9 Z  D- ^8 x
学习计算几何，最好是系统性的，刷题的过程中不断提炼出自己的模板。9 ~+ N, j& C$ Z5 j) P+ B
4）数论5 _6 s8 F5 g- v. ?$ X4 F
刷题的时候遇到不会的数论题，真的是很揪心，从头学起吧，内容实在是太多了，每个知识点都要证明吃透，不然下次遇到还是不会；不学吧，又不甘心，就是单纯的想把这个题过了，真是进退两难！
3 G# i& W- X  W) }1 l数论对一个人的数学思维要求较高，但是一般也是一些固定的模式，所以把模板整理出来很重要。& J. J. W  I! w5 i3 ^
当然，数论也有简单问题，一般先做一些入门题提升信心。
6 \- g% o3 y. s' ?7 Q0 `1、数论入门2 T! B# S2 W% a# d0 u# O& x( o: C
主要是一些基本概念，诸如：
3 v9 a9 Y: Z" V" p0 `整除性、素数与合数、素数判定、素数筛选法、因数分解、算术基本定理、因子个数、因子和、最大公约数 (GCD) 和最小公倍数 (LCM)、辗转相除、同余、模运算、快速幂取模、循环节；' b5 C6 `& r3 c9 [0 g
2、数论四大定理( J- n# j. W2 I* [5 k/ c
这四个定理学完，可以KO很多题：
, ]. C0 @5 H( v- ^6 D  o欧拉定理、中国剩余定理、费马小定理、威尔逊定理
0 |; B5 T  f  b; y( _$ ^" B& _3、数论进阶; {: [/ M0 y7 g" g
系统性的学习，基本也就这些内容了：
# `! D4 ^5 E3 {" `扩展欧几里得、逆元、欧拉函数、同余方程组、扩展欧拉定理、RSA、卢卡斯定理、整数分块、狄利克雷卷积、莫比乌斯反演、大数判素、大数因子分解、大步小步离散对数等等。! }. c" o2 K! }9 M  L; v
5）字符串匹配3 ~9 V3 H2 [( j! k% z! u
字符串匹配学习路线比较明确。
  {8 f! j3 z+ J- T1 f. D先学习前缀匹配：字典树。  b5 n) a/ e: ?( n% d
然后可以简单看一下回文串判定算法：Manacher。
; D" u3 p) [% I7 U& h以及经典的单字符串匹配算法：KMP。
实际上平时最常用的还是 BM 算法，而ACM中基本不考察。
/ q; |6 {. j7 I4 W; X  {然后就是较为高阶的前缀自动机、后缀数组、后缀树、后缀自动机了。
& J' M% a# f( g6 ~, L. V关于算法学习路线的内容到这里就结束了。
6 u6 M$ L, E' Y如果还有不懂的问题，可以想方设法找到作者的微信进行在线咨询。& k* s6 o# m, \5 U
参考资料
" V0 R+ ?1 q) ~" M【阶段一】C语言学习资料：《光天化日学C语言》（日更）* P! p1 r: N; N+ ~
【阶段二】C语言例题：《C语言入门100例》（日更）
; h- k/ n9 @  y; `【阶段三】算法入门题集：《LeetCode算法全集》（日更）
  e+ T. o5 @" p! @  M* ]# q- b【阶段四】算法进阶：《夜深人静写算法》（周更）3 h4 C+ h0 t+ `1 b" f
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