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❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏）

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杨利霞

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TA的每日心情

	开心 2021-8-11 17:59

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[LV.4]偶尔看看III

网络挑战赛参赛者

自我介绍: 本人女，毕业于内蒙古科技大学，担任文职专业，毕业专业英语。

群组: 2018美赛大象算法课程

群组: 2018美赛护航培训课程

群组: 2019年数学中国站长建

群组: 2019年数据分析师课程

群组: 2018年大象老师国赛优

电梯直达

1^#

发表于 2021-7-8 15:06 |只看该作者 |倒序浏览

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❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏）

前言
所谓活到老，学到老，虽然我感觉自己已经学了很多算法了，但是昨天熬夜整理完以后发现，自己还是个弟弟，实在忍不住了，打算把算法学习路线发出来，我把整个算法学习的阶段总结成了五个步骤，分别为：基础语法学习（重要）、语法配套练习、数据结构、算法入门、算法进阶。本文梳理了这五个大项的思维导图，在下文会有详细介绍。
希望各位能够找到自己的定位，通过自己的努力在算法这条路上越走越远。
刚开始切勿心浮气躁，千万不要给自己立 flag，说一定要把这么多东西都学会。就算你的精力旺盛，日夜操劳，时间也是有限的。所以，首先是明确我们要做什么，然后制定好一个合理的目标，再一点一点将要学习的内容逐步付诸实践才是最重要的。
每日一篇C语言打卡，目前更新到：光天化日学C语言（20）- 赋值运算符与赋值表达式 | 让代码变得更加简介（建议收藏）。

图片较大，文章中有拆解，需要原图可以留言找我要哈
1、基础语法学习
算法是以编程语言为基础的，所以选择一门编程语言来学习是必须的。
因为作者本身是C/C++技术栈的，所以就拿C语言来举例子吧。如果是 Java、Python 技术栈，可以跳过 C语言相关的内容。这一小节，先给出学习路线图，然后我再来讲，每部分应该如何去学。

1）HelloWorld
无论是 Java、Python、C/C++，想要上手一门语言，第一步一定是 HelloWorld，先不要急着去配环境。如果环境配了几个小时，可能一开始的雄心壮志就被配环境的过程消磨殆尽，更加不要谈日后的丰功伟业了。
2）让自己产生兴趣
所以，我们需要让这件事情从一开始就变得有趣，这样才能坚持下去。比如找一个相对较为有趣的教程，这里我会推荐这个：《光天化日学C语言》。听名字就比较搞笑，可能作者本身也不是什么正经人，哈哈哈！虽然不能作为一个严谨的教程去学，起码可以对搞笑的内容先产生兴趣。从而对于语言本身有学习下去的动力。
刚才提到的这个系列，可以先收藏起来。回头再去看，它讲述的是对白式的 C语言教学，从最简单的输出 HelloWorld 这个字符串开始讲起，逐渐让读者产生对C语言的兴趣。这个系列的作者是前 WorldFinal 退役选手，一直致力于将困难的问题讲明白。我看了他的大部分教程，基本都能一遍看懂。算了，不装了，摊牌了，因为我就是这个作者。
3）目录是精髓
然后，我们大致看下你选择的教程的前几个章节，那些标题是否有你认知以外的名词出现，比如以这个思维导图为例，前几个章节为：
1、第一个C语言程序
2、搭建本地环境
3、变量
4、标准输出
5、标准输入
6、进制转换入门
7、ASCII字符
8、常量

如果你觉得这些名词中有 3 / 4 以上是没有什么概念的。那么，可能需要补齐一些数学、计算机方面的基础知识。反之，我们就可以继续下一步了。
4）习惯思考并爱上它
只要对一件事情养成习惯以后，你就会发现，再难的事情，都只是一点一点积累的过程。重要的是，每天学习的过程一定要吃透，养成主动思考的好习惯。因为，越到后面肯定是越难的，如果前期不养成习惯，后面很可能心有余而力不足。
就像刷题，一旦不会做就去找解题报告，最后就养成了看解题报告才会做题的习惯。当然这也是一种习惯，只不过不是一种好习惯罢了。
5）实践是检验真理的唯一标准
光看教程肯定是不行的，写代码肯定还是要动手的，因为有些语法你看一遍，必定忘记。但是写了几遍，永世难忘。这或许就是写代码的魅力所在吧。
所以，记得多写代码实践哟 (＾Ｕ＾)ノ~ＹＯ
6）坚持其实并没有那么难
每天把教程上的内容，自己在键盘上敲一遍，坚持一天，两天，三天。你会发现，第四天就变成了习惯。所以坚持就是今天做了这件事情，明天继续做。
7）适当给予正反馈
然而，就算再有趣的教程，看多了都会乏味，这是人性决定的，你我都逃不了。能够让你坚持下去的只有你自己，这时候，适当给予自己一些正反馈就显得尤为重要。比如，可以用一张表格将自己的学习计划记录下来，然后每天都去分析一下自己的数据。
当然，你也可以和我一样，创建一个博客，然后每天更新博文，就算没有内容，也坚持日更，久而久之，你会发现，下笔如有神，键盘任我行！更新的内容，可以是自己的学习笔记，心路历程等等。
看着每天的粉丝量呈指数级增长，这是全网对你的认可，应该没有什么会是比这个更好的正反馈了。
8）学习需要有仪式感
那么，至此，不知道屏幕前的你感想如何，反正正在打字的我已经激情澎湃了。已经全然忘记这一章是要讲C语言基础的了！
介于篇幅，我会把C语言基础的内容，放在这个专栏《光天化日学C语言》里面去讲，一天更新一篇，对啊，既然说了要坚持，要养成习惯，我当然也要做到啦~如果你学到了哪一章，可以在评论区评论 “打卡” ，也算是一种全网见证嘛！
我也很希望大家的学习速度能够超越我的更新速度。
2、语法配套练习
学习的过程中，做题当然也是免不了的，还是应征那句话：实践是检验真理的唯一标准。
而这里的题库，是我花了大量时间，搜罗了网上各大C语言教程里的例题，总结出来的思维导图，可以先大致看一眼：

从数学基础、输入输出、数据类型、循环、数组、指针、函数、位运算、结构体、排序等几个方面，总结出的具有概括性的例题 100 道《C语言入门100例》，目前还在更新中。
这里可以列举几个例子：
1、例题1：交换变量的值
一、题目描述
循环输入，每输入两个数 a aa 和 b bb，交换两者的值后输出 a aa 和 b bb。当没有任何输入时，结束程序。

二、解题思路
难度：🔴⚪⚪⚪⚪

这个题的核心是考察如何交换两个变量的值，不像 python，我们可以直接写出下面这样的代码就实现了变量的交换。
a, b = b, a
1
在C语言里，这个语法是错误的。
我们可以这么理解，你有两个杯子 a aa 和 b bb，两个杯子里都盛满了水，现在想把两个杯子里的水交换一下，那么第一个想到的方法是什么？
当然是再找来一个临时杯子：
1）先把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
2）再把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里；
3）最后把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子；

这种就是临时变量法，那么当然，还有很多很多的方法，接下来就让我们来见识一下吧。

三、代码详解
1、正确解法1：引入临时变量
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b, tmp;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      tmp = a; // (1)
      a = b;    // (2)
      b = tmp; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) tmp = a;表示把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
( 2 ) (2)(2) a = b;表示把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里；
( 3 ) (3)(3) b = tmp;表示把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子里；
这三步，就实现了变量 a aa 和 b bb 的交换。
2、正确解法2：引入算术运算
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      a = a + b; // (1)
      b = a - b; // (2)
      a = a - b; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) a = a + b;执行完毕后，现在最新的a的值变成原先的a + b的值；
( 2 ) (2)(2) b = a - b;执行完毕后，相当于b的值变成了a + b - b，即原先a的值；
( 3 ) (3)(3) a = a - b;执行完毕后，相当于a的值变成了a + b - a，即原先b的值；
从而实现了变量a和b的交换。
3、正确解法3：引入异或运算
首先，介绍一下C语言中的^符号，代表的是异或。
二进制的异或，就是两个数转换成二进制表示后，按照位进行以下运算：
左操作数右操作数异或结果
0 0 0
1 1 0
0 1 1
1 0 1
也就是对于 0 和 1，相同的数异或为 0，不同的数异或为 1。
这样就有了三个比较清晰的性质：
1）两个相同的十进制数异或的结果一定位零。
2）任何一个数和 0 的异或结果一定是它本身。
3）异或运算满足结合律和交换律。
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      a = a ^ b; // (1)
      b = a ^ b; // (2)
      a = a ^ b; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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我们直接来看 ( 1 ) (1)(1) 和 ( 2 ) (2)(2) 这两句话，相当于b等于a ^ b ^ b，根据异或的几个性质，我们知道，这时候的b的值已经变成原先a的值了。
而再来看最后一句话，相当于a等于a ^ b ^ a，还是根据异或的几个性质，这时候，a的值已经变成了原先b的值。
从而实现了变量a和b的交换。

4、正确解法4：奇淫技巧
当然，由于这个题目问的是交换变量后的输出，所以它是没办法知道我程序中是否真的进行了交换，所以可以干一些神奇的事情。比如这么写：
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      printf("%d %d\n", b, a);
}
return 0;
}
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你学废了吗 🤣？
2、例题2：整数溢出
一、题目描述
先输入一个 t ( t ≤ 100 ) t (t \le 100)t(t≤100)，然后输入 t tt 组数据。每组输入为 4 个正整数 a , b , c , d ( 0 ≤ a , b , c , d ≤ 2 62 ) a,b,c,d(0 \le a,b,c,d \le 2^{62})a,b,c,d(0≤a,b,c,d≤2
62
)，输出 a + b + c + d a+b+c+da+b+c+d 的值。

二、解题思路
难度：🔴🔴⚪⚪⚪

这个问题考察的是对补码的理解。
仔细观察题目给出的四个数的范围：[ 0 , 2 62 ] [0, 2^{62}][0,2
62
]，这四个数加起来的和最大值为 2 64 2^{64}2
64
。而C语言中，long long的最大值为：2 63 − 1 2^{63}-12
63
−1，就算是unsigned long long，最大值也只有2 64 − 1 2^{64}-12
64
−1。
但是我们发现，只有当四个数都取得最大值 2 62 2^{62}2
62
  时，结果才为 2 64 2^{64}2
64
，所以可以对这一种情况进行特殊判断，具体参考代码详解。
三、代码详解
#include <stdio.h>
typedef unsigned long long ull;                         // (1)
const ull MAX = (((ull)1)<<62);                         // (2)

int main() {
int t;
ull a, b, c, d;
scanf("%d", &t);
while (t--) {
scanf("%llu %llu %llu %llu", &a, &b, &c, &d);    // (3)
if (a == MAX && b == MAX && c == MAX && d == MAX) // (4)
printf("18446744073709551616\n");          // (5)
else
printf("%llu\n", a + b + c + d);             // (6)
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) 由于这题数据量较大，所有数据都需要用64位无符号整型。ull作为unsigned long long的别名；
( 2 ) (2)(2) 用常量MAX表示 2 62 2^{62}2
62
，这里采用左移运算符直接实现 2 22 是幂运算；
数学 C语言
2 n 2^n2
n
1<<n
需要注意的是，由于 1 是int类型，所以需要对 1 进行强制转换。(ull)1等价于(unsigned long long)1；
( 3 ) (3)(3) %llu是无符号64位整型的输入方式；
( 4 ) (4)(4) 这里是对所有数都等于最大值的特殊判断，&&运算符的优先级低于==，所以这里不加括号也没事；
( 5 ) (5)(5) 由于 2 64 2^{64}2
64
  是无法用数字的形式输出的，所以我们提前计算机算好以后，用字符串的形式进行输出；
( 6 ) (6)(6) 其它情况都在 [ 0 , 2 64 − 1 ] [0, 2^{64}-1][0,2
64
−1] 范围内，直接相加输出即可。
由于这个专栏是付费专栏，可能对学生党不是很友好，所以作者经过再三思考，打算放出 300 张一折优惠券，先到先得。只要拿这个图片来找作者即可享受，仅限前 300 名。
为了适当提高一定门槛，你至少需要学会如何下载图片或者截图并且发送到微信里 🤣。

3、数据结构
《C语言入门100例》上的例题，如果能理解前面 25 道，那基本C语言的学习就可以告一段落了，接下来就要开始我们的数据结构的学习了。
1、什么是数据结构
你可能听说过数组、链表、队列、栈、堆、二叉树、图，没错，这些都是数据结构，但是你要问我什么是数据结构，我突然就一脸懵逼了。
如果一定要给出一个官方的解释，那么它就是：
计算机存储、组织数据的方式。相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。通常情况下，精心选择的数据结构可以带来更高的运行或者存储效率。往往同高效的检索算法和索引技术有关。

是不是还不如说它是堆，是栈，是队列呢？
是这样的，我们学习的过程中，跳过一些不必要的概念，能够节省我们更多的时间，从而达到更好的效果，当你还在理解数据结构是什么的时候，可能人家已经知道了栈有哪些操作了。
2、数据结构和算法的关系
很多同学搞不明白，数据结构与算法有哪些千丝万缕的关系？甚至有些同学以为算法里本身就包含了数据结构。
数据结构主要讲解数据的组织形式，比如链表，堆，栈，队列。
而算法，则注重的是思想，比如链表的元素怎么插入、删除、查找？堆的元素怎么弹出来的？栈为什么是先进后出？队列又为什么是先进先出？
讲得直白一点，数据结构是有实体的，算法是虚拟的；数据结构是物质上的，算法是精神上的。当然，物质和精神缺一不可。
3、数据结构概览
周末花了一个下午整理的思维导图，数据结构：

常用的一些数据结构，各自有各自的优缺点，总结如下：
a、数组
内存结构：内存空间连续
实现难度：简单
下标访问：支持
分类：静态数组、动态数组
插入时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)

b、字符串
内存结构：内存空间连续，类似字符数组
实现难度：简单，一般系统会提供一些方便的字符串操作函数
下标访问：支持
插入时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)

c、链表
内存结构：内存空间连续不连续，看具体实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：单向链表、双向链表、循环链表、DancingLinks
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

d、哈希表
内存结构：哈希表本身连续，但是衍生出来的结点逻辑上不连续
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：正数哈希、字符串哈希、滚动哈希
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

e、队列
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FIFO、单调队列、双端队列
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

f、栈
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FILO、单调栈
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

g、树
内存结构：内存结构一般不连续，但是有时候实现的时候，为了方便，一般是物理连续，逻辑不连续
实现难度：较难
下标访问：不支持
分类：二叉树和多叉树
插入时间复杂度：看情况而定
查找时间复杂度：理论上 O ( l o g 2 n ) O(log_2n)O(log
2

n)
删除时间复杂度：看情况而定

1、二叉树
二叉树的种类较多，比如：二叉搜索树、平衡树。平衡树又可以分为 AVL 树、红黑树、线段树、堆。最平衡的树莫过于满二叉树了。
其中，堆也是一种二叉树，也就是我们常说的优先队列。
2、多叉树
B树和B+树是多叉树，当然我们平时学到的并查集其实也是个多叉树，更加严谨一点，应该称之为森林。
h、图
内存结构：不一定
实现难度：难
下标访问：不支持
分类：有向图、无向图
插入时间复杂度：根据算法而定
查找时间复杂度：根据算法而定
删除时间复杂度：根据算法而定

1、图的概念
在讲解最短路问题之前，首先需要介绍一下计算机中图（图论）的概念，如下：
图 G GG 是一个有序二元组 ( V , E ) (V,E)(V,E)，其中 V VV 称为顶点集合，E EE 称为边集合，E EE 与 V VV 不相交。顶点集合的元素被称为顶点，边集合的元素被称为边。
对于无权图，边由二元组 ( u , v ) (u,v)(u,v) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V。对于带权图，边由三元组 ( u , v , w ) (u,v, w)(u,v,w) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V，w ww 为权值，可以是任意类型。
图分为有向图和无向图，对于有向图， ( u , v ) (u, v)(u,v) 表示的是从顶点 u uu 到顶点 v vv 的边，即 u → v u \to vu→v；对于无向图，( u , v ) (u, v)(u,v) 可以理解成两条边，一条是从顶点 u uu 到顶点 v vv 的边，即 u → v u \to vu→v，另一条是从顶点 v vv 到顶点 u uu 的边，即 v → u v \to uv→u；
2、图的存储
对于图的存储，程序实现上也有多种方案，根据不同情况采用不同的方案。接下来以图二-3-1所表示的图为例，讲解四种存储图的方案。

1）邻接矩阵
邻接矩阵是直接利用一个二维数组对边的关系进行存储，矩阵的第 i ii 行第 j jj 列的值表示 i → j i \to ji→j 这条边的权值；特殊的，如果不存在这条边，用一个特殊标记 ∞ \infty∞ 来表示；如果 i = j i = ji=j，则权值为 0 00。
它的优点是：实现非常简单，而且很容易理解；缺点也很明显，如果这个图是一个非常稀疏的图，图中边很少，但是点很多，就会造成非常大的内存浪费，点数过大的时候根本就无法存储。
[ 0 ∞ 3 ∞ 1 0 2 ∞ ∞ ∞ 0 3 9 8 ∞ 0 ] \left[
01∞9∞0∞8320∞∞∞30
0∞3∞102∞∞∞0398∞0
\right]
⎣
⎢
⎢
⎡


0
1
∞
9


∞
0
∞
8


3
2
0
∞


∞
∞
3
0


⎦
⎥
⎥
⎤

2）邻接表
邻接表是图中常用的存储结构之一，采用链表来存储，每个顶点都有一个链表，链表的数据表示和当前顶点直接相邻的顶点的数据( v , w ) (v, w)(v,w)，即顶点和边权。
它的优点是：对于稀疏图不会有数据浪费；缺点就是实现相对邻接矩阵来说较麻烦，需要自己实现链表，动态分配内存。
如图所示，d a t a datadata 即 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组，代表和对应顶点 u uu 直接相连的顶点数据，w ww 代表 u → v u \to vu→v 的边权，n e x t nextnext 是一个指针，指向下一个 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组。

在 C++ 中，还可以使用 vector 这个容器来代替链表的功能；
vector<Edge> edges[maxn];
1
3）前向星
前向星是以存储边的方式来存储图，先将边读入并存储在连续的数组中，然后按照边的起点进行排序，这样数组中起点相等的边就能够在数组中进行连续访问了。
它的优点是实现简单，容易理解；缺点是需要在所有边都读入完毕的情况下对所有边进行一次排序，带来了时间开销，实用性也较差，只适合离线算法。
如图所示，表示的是三元组 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w) 的数组，i d x idxidx 代表数组下标。

那么用哪种数据结构才能满足所有图的需求呢？
接下来介绍一种新的数据结构 —— 链式前向星。
4）链式前向星
链式前向星和邻接表类似，也是链式结构和数组结构的结合，每个结点 i ii 都有一个链表，链表的所有数据是从 i ii 出发的所有边的集合（对比邻接表存的是顶点集合），边的表示为一个四元组 ( u , v , w , n e x t ) (u, v, w, next)(u,v,w,next)，其中 ( u , v ) (u, v)(u,v) 代表该条边的有向顶点对 u → v u \to vu→v，w ww 代表边上的权值，n e x t nextnext 指向下一条边。
具体的，我们需要一个边的结构体数组 edge[maxm]，maxm表示边的总数，所有边都存储在这个结构体数组中，并且用head来指向 i ii 结点的第一条边。
1 d: p: v8 [4 E: R边的结构体声明如下：
# z. F& N8 {' b2 x3 f+ ^% J  ~struct Edge {
2 R" d; @3 U: A# Q int u, v, w, next;4 m- _( A) P  j$ P
Edge() {}" e! ^# j& w8 `, Z5 e9 f( t
Edge(int _u, int _v, int _w, int _next) :, r) T# `: b' i* r+ X5 f
      u(_u), v(_v), w(_w), next(_next) 8 v( N, n' F  x) B7 `/ h2 ]: ]/ e
{* L  {3 X. m  k0 w2 F* H8 o! ~
}
5 G3 _1 `$ ~) T* T* I}edge[maxm];+ g9 k7 ^( N, J1 v" _  R$ M
1
& Y2 c( C* m: d+ @6 o2! r8 y2 K; F4 X) z
3
8 w- i( c! ~3 s7 F7 G2 {: ~# t4
- I+ a( Q3 h  h  K: V. c5
" O0 p1 r* M9 I; d# @, Z' I+ e9 l6
0 T% Z3 r" w" l% t7 V7 T8 n( x8 J78 d3 C! T* K1 Z- ]/ p4 W
8
# i: m0 e& |. D) ?- h! I7 J- z初始化所有的head = -1，当前边总数 edgeCount = 0；
+ v0 d! K7 P, n$ R每读入一条 u → v u \to vu→v 的边，调用 addEdge(u, v, w)，具体函数的实现如下：
5 q* n$ b$ H* D8 s# r: Ovoid addEdge(int u, int v, int w) {
( @+ o7 Z9 m- c8 g3 Z edge[edgeCount] = Edge(u, v, w, head);/ |2 h$ f6 X2 U" @4 I* L
head = edgeCount++;/ v1 o4 T: m, Q8 w7 C! _% g" D
}
# ]$ o8 V0 w0 C& C- n; Z1
% ]$ l5 Y/ b, r- U2
- G; K! S% H& }% e0 W35 l/ w+ t  F  i) ]; t
4$ m5 {( I' G, O8 k; a! B
这个函数的含义是每加入一条边 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w)，就在原有的链表结构的首部插入这条边，使得每次插入的时间复杂度为 O ( 1 ) O(1)O(1)，所以链表的边的顺序和读入顺序正好是逆序的。这种结构在无论是稠密的还是稀疏的图上都有非常好的表现，空间上没有浪费，时间上也是最小开销。
# p: q4 ^5 T6 H8 H: o! t调用的时候只要通过head就能访问到由 i ii 出发的第一条边的编号，通过编号到edge数组进行索引可以得到边的具体信息，然后根据这条边的next域可以得到第二条边的编号，以此类推，直到 next域为 -1 为止。% \( A" w0 B! m2 B* v; O; C
for (int e = head; ~e; e = edges[e].next) {0 p( n2 ]# x- |4 ~: V* m3 b* m
int v = edges[e].v;: i" }5 A2 e6 o5 s
ValueType w = edges[e].w;
1 a- K4 t  j; p& @5 J! s ...! N  r4 g  r! |6 z, z2 Z7 m
}4 ^, _* q/ ]# s  g; j
1
1 W* f/ B: k6 q7 q) U7 k2. }/ U: K; _4 C9 h
3) ~; X1 O6 h& H! _2 J- X: L5 G
43 R- Q8 A, h2 c! ?6 U" \+ q
5( ^* B( T0 R- S3 N3 l
文中的 ~e等价于 e != -1，是对e进行二进制取反的操作（-1 的的补码二进制全是 1，取反后变成全 0，这样就使得条件不满足跳出循环）。3 m2 E; I5 v2 {3 ^( p5 v* E
4、算法入门* H: U- o1 y1 N# x3 l; N
算法入门，其实就是要开始我们的刷题之旅了。先给出思维导图，然后一一介绍入门十大算法。3 d  `5 J& }. B) {5 H1 A

( {5 u9 X% k- @& a  }- {& R  f
+ {" S7 E* J) ~入门十大算法是枚举、排序、模拟、二分、双指针、差分法、位运算、贪心、迭代、分治。
; |" \+ I: ^! I6 Y& H+ v对于这十大算法，我会逐步更新道这个专栏里面：《LeetCode算法全集》。9 \' Z. I9 \; X1 z3 e
1、枚举
0 a; [% G. ]! s8 `; m8 J枚举可以简单理解成for循环，从一个数组中遍历查找一个值，就是枚举；从一个数组中找到一个最大值，就是枚举；求数组所有数的和，也是枚举。2 F2 P, t0 r  C& A
对于枚举而言，基本就是循环语句的语法学会，这个算法就算学会了。/ |% k3 I6 D, l* A4 s$ }
2、排序$ k- ]% Z4 q8 F4 v! n
既然是入门，千万不要去看快排、希尔排序这种冷门排序。
9 u( i9 [4 Q" C1 j冒泡排序、选择排序、简单插入排序原理好懂，先看懂再说，其他不管。因为这三者都是基于枚举的。
  M5 b6 ]( [0 o6 kC中有现成qsort排序函数，C++中有现成 sort排序函数，直接拿来用，等算法进阶时再回头来看快速排序的算法实现。; W! I  ?; o, u+ L0 W
3、模拟
! o8 ?( q. n- w- E3 `' @# u3 d8 [模拟就是要求做什么，你就做什么，完全不要去考虑效率问题。
1 |! X4 {" H9 H$ L# f' o# Q不管时间复杂度和空间复杂度，放手去做！1 i* s1 [$ `# y, r9 ]  k7 _
但是，有时候模拟题需要一些复杂的数据结构，所以模拟题难起来也可以很男，难上加难。
4 J1 p7 u7 y# |% _$ I4 e' t8 x% E  \4、二分; c9 M. x- W5 b1 a/ m  v
二分一般指二分查找，当然有时候也指代二分枚举。
" \* _; y# i) ~* f8 w9 ]+ C3 t2 h例如，在一个有序数组中查找值，我们一般这个干：' f% y1 s  ]0 \7 ?4 x* h; e* |$ r
1）令初始情况下，数组下标从 0 开始，且数组长度为 n nn，则定义一个区间，它的左端点是 l = 0 l=0l=0，右端点是 r = n − 1 r = n-1r=n−1；$ A" K1 v2 {3 x2 g  \4 ]2 i
2）生成一个区间中点 m i d = ( l + r ) / 2 mid = (l + r) / 2mid=(l+r)/2，并且判断 m i d midmid 对应的数组元素和给定的目标值的大小关系，主要有三种：+ X$ U3 x1 S- S$ y3 l, N. e/ J
2.a）目标值等于数组元素，直接返回 m i d midmid；4 U, q# |- W& W' s! s5 m4 r
2.b）目标值大于数组元素，则代表目标值应该出现在区间 [ m i d + 1 , r ] [mid+1, r][mid+1,r]，迭代左区间端点：l = m i d + 1 l = mid + 1l=mid+1；/ v; {0 p; T$ {2 ?/ n1 {
2.c）目标值小于数组元素，则代表目标值应该出现在区间 [ l , m i d − 1 ] [l, mid-1][l,mid−1]，迭代右区间端点：r = m i d − 1 r = mid - 1r=mid−1；
$ ^1 L* w  K$ J' A3）如果这时候 l > r l > rl>r，则说明没有找到目标值，返回 − 1 -1−1；否则，回到 2）继续迭代。! A; W, n! o1 i# b
5、双指针
' f  S  t/ y: A; E9 B双指针，主要是利用两个下标在一个数组上，根据问题的单调性，进行指针偏移，由于每个指针只往后偏移，所以时间复杂度可以达到 O ( n ) O(n)O(n)，由于思想非常简单，所以出题时，热度不低。8 w0 g4 I) K& J8 X% L, ~& X4 s* ]( X- h& C
* S* L3 ?; H/ r* I4 {- a

; d! \! b+ C! o' g  t6、差分法" ?& @$ C( w  n1 l! G
差分法一般配合前缀和。  {7 P& r( {8 z7 j
对于区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内求满足数量的数，可以利用差分法分解问题；! `7 r( }  b" a. p' C! A
假设 [ 0 , x ] [0, x][0,x] 内的 g o o d n u m b e r good \ numbergood number 数量为 g x g_xg
. r! U# ?6 x; r. a1 H- }4 X- `x& E9 C4 N# h' B# f3 O" _: s* p  ~

; p: s; v  z. R6 d ，那么区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内的数量就是 g r − g l − 1 g_r - g_{l-1}g , n# v9 r2 G! |$ F* c) h; T* O
r4 I5 j2 Z# s4 E$ p' \2 s, W; A

: v" X$ X/ i4 K8 _/ N% n9 D −g - Y. q, _) M5 {* f' ], F  `
l−1
7 s; r# H  f/ O2 z
# L9 G7 \- G" J2 A9 U ；分别用同样的方法求出 g r g_rg " k+ H" M8 ^9 L6 O/ g( q7 n( p1 j' J
r' _' G# Q9 L7 |9 d+ l% p3 m3 n

* p9 ^+ k/ o) u% [" a  和 g l − 1 g_{l-1}g
+ F% N; p5 e8 a; Ll−1/ {' j- F9 i3 s: D% H

5 J' N# n. V( d$ h+ r* Y5 M: L ，再相减即可；
6 Q7 p/ q1 h3 T: H
( t5 H9 f8 O1 ~5 i2 V# Q7 ?3 t" E9 R, A& a$ ]7 ^6 q  Y# E
7、位运算
+ g" A5 M% \. W" o: g8 |: D位运算可以理解成对二进制数字上的每一个位进行操作的运算。9 p/ @2 x( U7 K& i7 u& t; ?+ @
位运算分为布尔位运算符和移位位运算符。2 F  @* p4 A9 o9 Z& i; d) `: g$ ]; \
布尔位运算符又分为位与(&)、位或(|)、异或(^)、按位取反(~)；移位位运算符分为左移(<<) 和右移(>>)。/ w: k0 y. p5 z. p2 a
如图所示：
; m: d# E# D+ s+ c/ ?5 m  A* [& u6 A& `  {8 V

( x$ Q. z4 \6 o, e位运算的特点是语句短，但是可以干大事！
& b+ \+ q5 d/ z, I& Q比如，请用一句话来判断一个数是否是2的幂，代码如下：1 o* N; x2 o2 Q. U" ?5 X
!(x & (x - 1))0 J  Q9 a1 n& ]6 R1 b6 x
13 Q* {/ L% P+ N9 L5 O0 R( L6 h
8、贪心
7 A5 W+ L0 j( h! r8 m" b1 L, p+ {贪心，一般就是按照当前最优解，去推算全局最优解。4 w+ [) a" \# P0 @4 q$ T* h
所以，只有当当前最优解和全局最优解一致时才能用贪心算法。贪心算法的证明是比较难的，但是一些简单的贪心问题会比较直观，很容易看出来这个能够这么贪。! c' d+ G! g# A- G6 V* Q
9、迭代, F- E; `1 l: r* e- P- V5 v
每一次对过程的重复称为一次“迭代”，而每一次迭代得到的结果会作为下一次迭代的初始值，周而复始，直到问题全部解决。" b& o* e. D" I( ^$ h7 U. U! I
10、分治
% z1 _0 c9 U/ n( F. U分治，就是把问题分成若干子问题求解，子问题解决后，问题就解决了。一般利用递归实现。属于初学者比较头疼的内容。递归一开始学习的时候，一定要注意全局变量和局部变量的关系。) n0 Q3 O8 j5 f, H# \8 P& q: }
5、算法进阶
( N, }+ G7 z; l* |$ [2 {# P5 j算法进阶这块是我打算规划自己未来十年去完成的一个项目，囊括了大学生ACM程序设计竞赛、高中生的OI竞赛、LeetCode 职场面试算法的算法全集，也就是之前网络上比较有名的《夜深人静写算法》系列，这可以说是我自己对自己的一个要求和目标吧。( g) t  T0 Q8 y6 F6 N& P
如果只是想进大厂，那么算法入门已经足够了，不需要再来看算法进阶了，当然如果对算法有浓厚兴趣，也欢迎和我一起打卡。由于内容较难，工作也比较忙，所以学的也比较慢，一周基本也只能更新一篇。, b$ p5 i; o! }1 Y5 L
这个系列主要分为以下几个大块内容：: h+ U  r/ H% ^; \
1）图论
& s, C; i7 c( X& |# A  X- y 2）动态规划
& m$ p) W% c1 Y9 T9 R& w. V& p. i 3）计算几何
' D6 M6 x3 P* z/ e 4）数论9 E) Q4 ]8 i* ]2 q4 {. N
5）字符串匹配, i. R: S6 T+ R$ q1 |# r
6）高级数据结构（课本上学不到的）0 ?1 m# M" f7 X, ^/ ^8 W# z
7）杂项算法
9 i: k2 B; \7 E9 q  r4 C, r2 q& v+ H: W& P- |

  u# X; U" n) n6 c/ h先来看下思维导图，然后我大致讲一下每一类算法各自的特点，以及学习方式：- y( D" D; F2 _  ^2 P1 b& }" q
7 E$ ]5 d: p6 H3 t/ Z% b2 a
0 C* n1 `% T( a$ D' F4 c" r( S  g! y

7 t, ~0 P( q, W0 S/ K; x4 y
: d! H( |8 n7 C: G6 J1）图论
3 T; ~: _% y- T& X7 H1、搜索概览1 t- t  i" m) W
图论主要围绕搜索算法进行展开。搜索算法的原理就是枚举。利用计算机的高性能，给出人类制定好的规则，枚举出所有可行的情况，找到可行解或者最优解。
* J7 z1 E9 N6 j1 s* }) B2 v- n* J# b1 s% ?
! e& b7 Z' o9 d) Z
比较常见的搜索算法是深度优先搜索（又叫深度优先遍历）和广度优先搜索（又叫广度优先遍历或者宽度优先遍历）。各种图论的算法基本都是依靠这两者进行展开的。* a. o0 k6 Z3 [& z" T, T& T
2、深度优先搜索7 g3 A1 c  u. e1 ^* d; a
深度优先搜索一般用来求可行解，利用剪枝进行优化，在树形结构的图上用处较多；而广度优先搜索一般用来求最优解，配合哈希表进行状态空间的标记，从而避免重复状态的计算；8 o. a9 Z5 ?) f" Y% D+ p; ?
原则上，天下万物皆可搜，只是时间已惘然。搜索会有大量的重复状态出现，这里的状态和动态规划的状态是同一个概念，所以有时候很难分清到底是用搜索还是动态规划。
  j8 K/ ]) I4 m. W7 u3 u0 ~但是，大体上还是有迹可循的，如果这个状态不能映射到数组被缓存下来，那么大概率就是需要用搜索来求解的。, B, M! C7 S; b, Y& w) r, p, c, g
如图所示，代表的是一个深度优先搜索的例子，红色实箭头表示搜索路径，蓝色虚箭头表示回溯路径。2 ^% G2 Z- j: a# n. y
8 m  }+ Z) x6 P; o7 i+ |
! D9 R* v; y4 U' }6 M0 D
红色块表示往下搜索，蓝色块表示往上回溯，遍历序列为：# y: E" v5 G% w1 t: \
0 -> 1 -> 3 -> 4 -> 5 -> 2 -> 6
3 A4 R+ _3 g0 E4 |. E2 u) D1
$ Z% e- X3 k& k  o+ @3 i* g1 L) L5 e同样，搜索的例子还有：4 i7 R0 _3 w: Q( O8 n/ j" ~* B3 R3 a
9 D+ v" J$ M& ?
, j  A  j4 ?9 W( g3 e& ^5 n/ h
计算的是利用递归实现的 n nn 的阶乘。
5 K/ A) I9 m: w/ e. N  c" p3、记忆化搜索9 W4 G( r  p* O4 C+ b% ?$ R9 M
对于斐波那契函数的求解，如下所示：
) \# j0 }2 L  |! x1 k4 {; a' A5 nf ( n ) = { 1 ( n = 0 ) 1 ( n = 1 ) f ( n − 1 ) + f ( n − 2 ) ( n > 2 ) f(n) =
5 k9 G5 m( C2 \7 D. Q5 D⎧⎩⎨11f(n−1)+f(n−2)(n=0)(n=1)(n>2)/ z' a* R% Z  N$ s6 f' a0 l
{1(n=0)1(n=1)f(n−1)+f(n−2)(n>2)6 D3 C3 q0 n8 Y: c
f(n)= & z( Y' [% |" S! I: j) C
⎩
: L: d: M: ?5 T# E⎪
2 L  _7 _, D, u$ k⎨
$ a6 J) k2 n9 D⎪5 P$ e+ t4 W' b/ Q8 U- w
⎧; v9 O) `5 }9 L. Q  m

2 Z, L8 Q; u+ r3 i
$ m& H$ b4 l- B! K1
) M+ e( s3 r- d; C1" `" j3 H) F* K# T
f(n−1)+f(n−2)! U6 ]2 V6 k- U; m; |
9 C' C" B$ |% l* u* L( d. B

1 g/ p3 v4 d1 [* n9 i+ e7 J9 i(n=0)
# Q  q5 c6 _9 V6 H. T$ n(n=1)
: _+ e: I% E% i2 X4 Y: U(n>2)1 t4 s7 U, I: x' {5 L* j. t3 D1 k  C
% _+ z" `& w; [6 E1 V6 v* t9 @

! I6 V- x" H6 r对于 f ( 5 ) f(5)f(5) 的求解，程序调用如下：) c- \/ P! u+ B" O% M

" }; y+ J9 {2 i( ^5 B( r
8 [* E& X; T# r# d2 w" ^; ]这个过程用到了很多重复状态的搜索，我们需要将它优化，一般将一些状态缓存起来。) @: G* U' @  H, u! C4 Y
我们通过一个动图来感受一下：
% i# C# @4 u1 _- H
. p( Z: w6 X8 s6 P8 z9 e" ?* M7 e; M. D+ [+ t! z) R& g: [8 v
当第二次需要计算 f ( 2 ) f(2)f(2) 和 f ( 3 ) f(3)f(3) 时，由于结果已经计算出来并且存储在 h [ 2 ] h[2]h[2] 和 h [ 3 ] h[3]h[3] 中，所以上面这段代码的fib != inf表达式为真，直接返回，不再需要往下递归计算，这样就把原本的 “递归二叉树” 转换成了 “递归链”，从而将原本指数级的算法变成了多项式级别。
/ i- r( d; W: D! ~$ }9 E  {这就是记忆化搜索，像这种把状态缓存起来的方法，就是动态规划的思想了。
  q) Q% l- K* o' v: ?5 }0 h$ B$ G4、广度优先搜索: u  V  e& K/ w1 f
单向广搜就是最简化情况下的广度优先搜索（Breadth First Search），以下简称为广搜。游戏开发过程中用到的比较广泛的 A* 寻路，就是广搜的加强版。
" S1 c, j! t- f' F$ l6 i0 p4 B我们通过一个动图来对广搜有一个初步的印象。
3 ~% P& K+ s3 I7 o6 ~' f7 d- m/ T/ P8 y& |5 x

4 v' K# a$ G  c2 N5 y2 D* E& J& l- U' G- p

4 r- S$ S' O* P+ n9 H从图中可以看出，广搜的本质还是暴力枚举。即对于每个当前位置，枚举四个相邻可以行走的方向进行不断尝试，直到找到目的地。有点像洪水爆发，从一个源头开始逐渐蔓延开来，直到所有可达的区域都被洪水灌溉，所以我们也把这种算法称为 FloodFill。3 u! U0 K$ U: p2 v
那么，如何把它描述成程序的语言呢？这里需要用到一种数据结构 —— 队列。, E0 H$ O$ H" |0 Z+ i
这时候，算法和数据结构就完美结合了。
$ ^) v& R3 @+ F: D2）动态规划
8 C# r, D( Y; d4 T) {动态规划算法三要素：) p2 G0 k3 k% \  {" i. y' t
①所有不同的子问题组成的表；1 a/ Q% z% [/ r3 V# ]9 f; U
②解决问题的依赖关系可以看成是一个图；3 e+ W# W# r9 ^  ]* |! |" ~/ I
③填充子问题的顺序（即对②的图进行拓扑排序，填充的过程称为状态转移）；
' o( G# e# c8 k. [& V$ x4 z, p. T1 M2 R! ]) s. s
, x. I4 h" `" c* c8 O7 X
如果子问题的数目为 O ( n t ) O(n^t)O(n # M: M; Q. Q  G0 y
t8 I; j# t7 {- W  r( @6 B
)，每个子问题需要用到 O ( n e ) O(n^e)O(n - F+ F" @4 S  v; F. e  I- L& j
e
# ^8 a5 k0 F4 {% V$ ~2 \1 @ ) 个子问题的结果，那么我们称它为 tD/eD 的问题，于是可以总结出四类常用的动态规划方程：（下面会把opt作为取最优值的函数（一般取 m i n minmin 或 m a x maxmax ）, w ( j , i ) w(j, i)w(j,i)为一个实函数，其它变量都可以在常数时间计算出来）。: ]& b' h- p7 q" A
1、1D/1D
7 P6 f, A2 y% L. Xd [ i ] = o p t ( d [ j ] + w ( j , i ) ∣ 0 < = i < j ) d = opt( d[j] + w(j, i) | 0 <= i < j )
" f9 Q- c7 h9 z- z0 bd=opt(d[j]+w(j,i)∣0<=i<j)
. ^- k: i$ q6 s6 [状态转移如图四所示（黄色块代表d [ i ] dd，绿色块代表d [ j ] d[j]d[j]）：
, Q) m, r* S/ e( U; r( J% {/ f$ l% D! ^* O/ r4 j3 g( J

: P' `4 ?: ], g1 B9 z这类状态转移方程一般出现在线性模型中。/ |3 W$ t* o" n3 M5 S: W
2、2D/0D
( ^0 z- A% B7 id [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ j ] + x i , d [ i ] [ j − 1 ] + y j , d [ i − 1 ] [ j − 1 ] + z i j ) d[j] = opt( d[i-1][j] + x_i, d[j-1] + y_j, d[i-1][j-1] + z_{ij} )' z& h6 {( n9 q) U$ k3 M
d[j]=opt(d[i−1][j]+x 8 H1 [, |7 `* D2 ^7 a
i
* S5 m' x3 U, N( x) O0 O- \
,d[j−1]+y
8 A- |6 @9 K$ F, L* ?j
8 @, @1 L* Q4 w) B8 x' E0 y! E - e" f5 T. n, |& B1 R) i7 t% A* h
,d[i−1][j−1]+z
- c9 d. c& T( V0 R2 b$ z. A9 Aij% X9 ]/ _& l$ i9 [2 v% I6 A1 r- l

8 G0 f7 l" q4 }8 _5 b )/ o. O6 O& k0 a/ L1 U# h* C
状态转移如图四所示：
0 w# {) Z, ?6 v) {  E/ L0 A% N6 U6 i% g9 p

! @+ F/ E6 |# k: ~. F9 U: ^比较经典的问题是最长公共子序列、最小编辑距离。; P. H5 E0 H# g* K7 `1 @
有关最长公共子序列的问题，可以参考以下文章：夜深人静写算法（二十一）- 最长公共子序列
' V/ c# b$ |( O, B( b$ [* z' I有关最小编辑距离的问题，可以参考以下文章：夜深人静写算法（二十二）- 最小编辑距离
. Y, l; @, _1 U' s6 I3、2D/1D
& H! f5 Z* N4 L3 s! kd [ i ] [ j ] = w ( i , j ) + o p t ( d [ i ] [ k − 1 ] + d [ k ] [ j ] ) d[j] = w(i, j) + opt( d[k-1] + d[k][j] )
+ X* D- y+ q" i: V6 zd[j]=w(i,j)+opt(d[k−1]+d[k][j])
$ G& d/ B) z5 B. T1 [区间模型常用方程，如图所示：
0 Q( k" Y: c: G
: I7 \; h, K5 _- h' R% j% ?* |( b- @3 A% L! [' `
另外一种常用的 2D/1D 的方程为：
/ ^* L- j! y+ f# c3 id [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ k ] + w ( i , j , k ) ∣ k < j ) d[j] = opt( d[i-1][k] + w(i, j, k) | k < j )
! t6 Q) B9 D0 ^" K: Md[j]=opt(d[i−1][k]+w(i,j,k)∣k<j)
$ o# I/ d& o" X3 P( i区间模型的详细内容可以参考以下这篇文章：夜深人静写算法（二十七）- 区间DP$ s: j! I: j9 t) H. i: R# |
4、2D/2D
5 k# ^: l) @0 R9 ~  L7 \- V0 n' r$ Fd [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i ′ ] [ j ′ ] + w ( i ′ , j ′ , i , j ) ∣ 0 < = i ′ < i , 0 < = j ′ < j ) d[j] = opt( d[i'][j'] + w(i', j', i, j) | 0 <= i' < i, 0 <= j' < j)% o* l1 j! R" [# h, r+ L
d[j]=opt(d[i
  d! N4 F8 R0 g/ v, g  E! N′
+ ?1 D8 h2 i- m; x+ u ][j 4 D! Z* e7 R* d. B3 g7 K- L9 K
′- s/ d$ l2 b; }
]+w(i
! y2 N5 e& y5 c3 N3 m: U6 ~′
; T5 u9 I0 q8 ]; R, W, o* j7 @, F ,j   y* y' S% z8 ^% F
′) M5 J; u- \; Q% g) I' U+ I# o
,i,j)∣0<=i
5 M, q! Y1 i: K* `% M! z/ z' y′
& t' H1 Q; a3 l <i,0<=j
6 f; D2 L" |* K$ l5 U- v′! }% U, ?- J" v) A' r
<j)4 o+ ^. \) L) ^9 P+ G7 h2 t5 `
如图所示：7 l) i6 d: H2 V7 k+ O* c

4 {- z' d% q. m5 K0 c6 `
$ h' o3 V) M" m( ?常见于二维的迷宫问题，由于复杂度比较大，所以一般配合数据结构优化，如线段树、树状数组等。
6 V: r, I1 D/ |; o# |) h7 k  l1 ]对于一个tD/eD 的动态规划问题，在不经过任何优化的情况下，可以粗略得到一个时间复杂度是O ( n t + e ) O(n^ {t+e})O(n
9 O* q; U8 g  z+ f' G1 ht+e
% O  v& L" k1 e% m )，空间复杂度是O ( n t ) O(n^t)O(n
# U$ G1 |8 |( ~' g7 ^5 s% I  |, mt9 G8 M; J7 W# l* E' q
) 的算法，大多数情况下空间复杂度是很容易优化的，难点在于时间复杂度，后续章节将详细讲解各种情况下的动态规划优化算法。$ q* B( o8 ^0 X' B8 u" n1 S) L
3）计算几何
( G9 e8 x. m1 W" U' o计算几何的问题是代码量最大的。它是计算机科学的一个分支，以往的解析几何，是用代数的方法，建立坐标系去解决问题，但是很多时候需要付出一些代价，比如精度误差，而计算几何更多的是从几何角度，用向量的方法来尽量减少精度误差，例如：将除法转化为乘法、避免三角函数等近似运算等等。4 i7 n0 }# J0 {* N5 \
如果一个比赛中，有一道计算几何的题，那么至少，它不会是一道水题。: S/ i" b: u* w6 S: H  d
1、double 代替 float
0 h  v9 ]5 O2 ~/ lc++ 中 double 的精度高于 float，对精度要求较高的问题，务必采用 double；; z# J/ L8 J% t; ]
2、浮点数判定
% o8 A. w3 `4 E" \# q! N$ r, [由于浮点数（小数）中是有无理数的，即无限不循环小数，也就是小数点后的位数是无限的，在计算机存储的时候不可能全部存下来，一定是近似的存储的，所以浮点数一定是存在精度误差的（实际上，就算是有理数，也是存在误差的，这和计算机存储机制有关，这里不再展开，有兴趣可以参见我博客的文章：C++ 浮点数精度判定）；
9 x- L  V) h5 L; k  P7 m( V两个浮点数是否相等，可以采用两数相减的绝对值小于某个精度来实现：7 h( L1 f+ U) X  ?
const double eps = 1e-8;5 T: i/ R2 m8 Z  C, G; C3 l! a
bool EQ(double a, double b) {) \8 n5 r: O! G4 A# f8 K$ m6 H
return fabs(a - b) < eps;7 w& e( {1 x; M
}2 |8 l4 V: ^" C
1
  F1 F1 y1 n% r- |0 `2
3 n# J2 l5 m1 S+ F& i% _0 v3
: n' ]6 U" J7 |6 U( m2 p. C45 J! C# r0 Z+ c
并且可以用一个三值函数来确定某个数是零、大于零还是小于零：( }, Q$ ^8 W" s9 Q. ]+ Q. W
int threeValue(double d) {
# @3 s' ^0 h) n: S' }0 Z9 x if (fabs(d) < eps)
( t/ a/ C9 u* K8 K& Z       return 0;) X, K  ]$ N' O+ a( z
return d > 0 ? 1 : -1;, X, J2 p# P1 O- j' A$ _2 f
}- ?0 x! ~! j4 J5 o. }
11 |. ]: s- a$ f( B
2
5 `! y% r' i, K1 y( ~4 M' ?1 W1 n% ^3& B' B; T) |  K  e
42 s$ @0 V  f8 @# F; a
5
  ?  e# i. j: T6 X6 o3、负零判定: i7 k, P! n$ K( a+ J% {% U- q
因为精度误差的存在，所以在输出的时候一定要注意，避免输出 -0.00：
9 M% w, D, |4 o7 \) t! g; u7 X double v = -0.0000000001;
- S3 G" w6 }7 g* ^ printf("%.2lf\n", v);- O9 X) i; F" a$ y, j
1
1 E4 d5 F& k" o6 E2
+ j9 ]" g/ w* b( C1 G- G避免方法是先通过三值函数确定实际值是否为0，如果是0，则需要取完绝对值后再输出：
* k! j& y: b, }, T double v = -0.0000000001;
: u8 ]  p4 g9 v+ ~/ J if(threeValue(v) == 0) {
& k7 ~' w" I  i* h/ |" r       v = fabs(v);
" s% B  D) s8 f, A }8 }, R3 T2 Y. H) E  {9 @3 ?
printf("%.2lf\n", v);2 D4 a2 F" J9 z, ]8 m9 G5 B$ i8 z2 N" J
1
7 }$ B( |7 V4 W0 m21 Y* y$ S# X# I5 j/ E
3- q; c  Q" Q# ?' u
4
' [' ]1 _( L9 a) |5
0 I0 f' W! c, x" n: M: ~: g4 O4、避免三角函数、对数、开方、除法等
- P+ L0 a% c' y$ [c++ 三角函数运算方法采用的是 CORDIC算法，一种利用迭代的方式进行求解的算法，其中还用到了开方运算，所以实际的算力消耗还是很大的，在实际求解问题的过程中，能够避免不用就尽量不用。0 Y6 g' @+ v, W3 \5 I- m$ a! B
除法运算会带来精度误差，所以能够转换成乘法的也尽量转换为乘法运算。7 x! p/ q* V) E& j& |7 d
5、系统性的学习  \. k8 m4 B6 a# [& t4 F8 h/ w
基础知识：点、向量、叉乘、点乘、旋转、线段、线段判交、三角形面积；
' l! `( k4 B( s0 H, }, Y进阶知识：多边形面积、凸多边形判定、点在多边形内判定；# C# c2 b( U7 Q( i
相关算法：二维凸包、三维凸包、旋转卡壳、多边形面积交、多边形面积并、多边形面积异或、多边形和圆的面积交、半平面交、最小覆盖圆、最小包围球、模拟退火。5 d* c+ p/ ^! A3 B2 u

- R  d1 \7 X) h
; v( {# [! E/ x( Q9 }* r9 u7 ]学习计算几何，最好是系统性的，刷题的过程中不断提炼出自己的模板。1 |. V' f9 e: x* {8 Y% v
4）数论0 e( z4 V# r7 ?# d1 X3 q! H
刷题的时候遇到不会的数论题，真的是很揪心，从头学起吧，内容实在是太多了，每个知识点都要证明吃透，不然下次遇到还是不会；不学吧，又不甘心，就是单纯的想把这个题过了，真是进退两难！
' p$ N. I, u% b% U7 D6 u数论对一个人的数学思维要求较高，但是一般也是一些固定的模式，所以把模板整理出来很重要。: [* D' d' D! m! O* Q4 u6 A
当然，数论也有简单问题，一般先做一些入门题提升信心。& _- f  D% j6 t, M4 a8 N
1、数论入门
, P. {/ P: `$ s) y/ R; o9 p  B/ |主要是一些基本概念，诸如：* j$ l; ^  f$ W
整除性、素数与合数、素数判定、素数筛选法、因数分解、算术基本定理、因子个数、因子和、最大公约数 (GCD) 和最小公倍数 (LCM)、辗转相除、同余、模运算、快速幂取模、循环节；9 x' N- I) F8 d: s0 {% @$ I
2、数论四大定理
1 s. S) q; d/ H+ r( v4 e这四个定理学完，可以KO很多题：
9 K5 ?! Y& z# M: g6 q欧拉定理、中国剩余定理、费马小定理、威尔逊定理
% J+ H  h( h7 p% d- K. s3、数论进阶* l8 C; e$ A0 [) ^0 i
系统性的学习，基本也就这些内容了：- i& `- z; Q3 y' x# R  s
扩展欧几里得、逆元、欧拉函数、同余方程组、扩展欧拉定理、RSA、卢卡斯定理、整数分块、狄利克雷卷积、莫比乌斯反演、大数判素、大数因子分解、大步小步离散对数等等。0 I9 C3 {% R" L9 P; q5 Q- c. s
5）字符串匹配) s5 q8 N$ ?% H& Z, V: ^7 J* C
字符串匹配学习路线比较明确。
3 `0 a8 o: c1 |# B7 b8 m; E3 h先学习前缀匹配：字典树。
, G$ `& I( c3 f然后可以简单看一下回文串判定算法：Manacher。
2 l6 k8 f2 E: q" W以及经典的单字符串匹配算法：KMP。
9 n6 ^; d+ d$ }- o# T实际上平时最常用的还是 BM 算法，而ACM中基本不考察。$ G* _2 o8 W  ]" S& Z: B. T7 }
然后就是较为高阶的前缀自动机、后缀数组、后缀树、后缀自动机了。
7 a5 n/ U& {; j1 f+ }# k关于算法学习路线的内容到这里就结束了。
& T# t: `- c3 @+ b; {5 Z$ ~. ^如果还有不懂的问题，可以想方设法找到作者的微信进行在线咨询。- G1 h0 `4 ]8 C; x
参考资料
% ^! P# T) o; S8 t【阶段一】C语言学习资料：《光天化日学C语言》（日更）
, O& g8 x- c& T: O【阶段二】C语言例题：《C语言入门100例》（日更）; [! r9 n) x7 e- _0 Q) I: e
【阶段三】算法入门题集：《LeetCode算法全集》（日更）" s' K+ d' m  D5 w/ H. K
【阶段四】算法进阶：《夜深人静写算法》（周更）8 L% s. `3 _8 _0 c0 V0 G& h6 _" O4 A
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