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❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏）

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杨利霞

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TA的每日心情

	开心 2021-8-11 17:59

签到天数: 17 天

[LV.4]偶尔看看III

网络挑战赛参赛者

自我介绍: 本人女，毕业于内蒙古科技大学，担任文职专业，毕业专业英语。

群组: 2018美赛大象算法课程

群组: 2018美赛护航培训课程

群组: 2019年数学中国站长建

群组: 2019年数据分析师课程

群组: 2018年大象老师国赛优

电梯直达

1^#

发表于 2021-7-8 15:06 |只看该作者 |倒序浏览

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❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏）

前言
所谓活到老，学到老，虽然我感觉自己已经学了很多算法了，但是昨天熬夜整理完以后发现，自己还是个弟弟，实在忍不住了，打算把算法学习路线发出来，我把整个算法学习的阶段总结成了五个步骤，分别为：基础语法学习（重要）、语法配套练习、数据结构、算法入门、算法进阶。本文梳理了这五个大项的思维导图，在下文会有详细介绍。
希望各位能够找到自己的定位，通过自己的努力在算法这条路上越走越远。
刚开始切勿心浮气躁，千万不要给自己立 flag，说一定要把这么多东西都学会。就算你的精力旺盛，日夜操劳，时间也是有限的。所以，首先是明确我们要做什么，然后制定好一个合理的目标，再一点一点将要学习的内容逐步付诸实践才是最重要的。
每日一篇C语言打卡，目前更新到：光天化日学C语言（20）- 赋值运算符与赋值表达式 | 让代码变得更加简介（建议收藏）。

图片较大，文章中有拆解，需要原图可以留言找我要哈
1、基础语法学习
算法是以编程语言为基础的，所以选择一门编程语言来学习是必须的。
因为作者本身是C/C++技术栈的，所以就拿C语言来举例子吧。如果是 Java、Python 技术栈，可以跳过 C语言相关的内容。这一小节，先给出学习路线图，然后我再来讲，每部分应该如何去学。

1）HelloWorld
无论是 Java、Python、C/C++，想要上手一门语言，第一步一定是 HelloWorld，先不要急着去配环境。如果环境配了几个小时，可能一开始的雄心壮志就被配环境的过程消磨殆尽，更加不要谈日后的丰功伟业了。
2）让自己产生兴趣
所以，我们需要让这件事情从一开始就变得有趣，这样才能坚持下去。比如找一个相对较为有趣的教程，这里我会推荐这个：《光天化日学C语言》。听名字就比较搞笑，可能作者本身也不是什么正经人，哈哈哈！虽然不能作为一个严谨的教程去学，起码可以对搞笑的内容先产生兴趣。从而对于语言本身有学习下去的动力。
刚才提到的这个系列，可以先收藏起来。回头再去看，它讲述的是对白式的 C语言教学，从最简单的输出 HelloWorld 这个字符串开始讲起，逐渐让读者产生对C语言的兴趣。这个系列的作者是前 WorldFinal 退役选手，一直致力于将困难的问题讲明白。我看了他的大部分教程，基本都能一遍看懂。算了，不装了，摊牌了，因为我就是这个作者。
3）目录是精髓
然后，我们大致看下你选择的教程的前几个章节，那些标题是否有你认知以外的名词出现，比如以这个思维导图为例，前几个章节为：
1、第一个C语言程序
2、搭建本地环境
3、变量
4、标准输出
5、标准输入
6、进制转换入门
7、ASCII字符
8、常量

如果你觉得这些名词中有 3 / 4 以上是没有什么概念的。那么，可能需要补齐一些数学、计算机方面的基础知识。反之，我们就可以继续下一步了。
4）习惯思考并爱上它
只要对一件事情养成习惯以后，你就会发现，再难的事情，都只是一点一点积累的过程。重要的是，每天学习的过程一定要吃透，养成主动思考的好习惯。因为，越到后面肯定是越难的，如果前期不养成习惯，后面很可能心有余而力不足。
就像刷题，一旦不会做就去找解题报告，最后就养成了看解题报告才会做题的习惯。当然这也是一种习惯，只不过不是一种好习惯罢了。
5）实践是检验真理的唯一标准
光看教程肯定是不行的，写代码肯定还是要动手的，因为有些语法你看一遍，必定忘记。但是写了几遍，永世难忘。这或许就是写代码的魅力所在吧。
所以，记得多写代码实践哟 (＾Ｕ＾)ノ~ＹＯ
6）坚持其实并没有那么难
每天把教程上的内容，自己在键盘上敲一遍，坚持一天，两天，三天。你会发现，第四天就变成了习惯。所以坚持就是今天做了这件事情，明天继续做。
7）适当给予正反馈
然而，就算再有趣的教程，看多了都会乏味，这是人性决定的，你我都逃不了。能够让你坚持下去的只有你自己，这时候，适当给予自己一些正反馈就显得尤为重要。比如，可以用一张表格将自己的学习计划记录下来，然后每天都去分析一下自己的数据。
当然，你也可以和我一样，创建一个博客，然后每天更新博文，就算没有内容，也坚持日更，久而久之，你会发现，下笔如有神，键盘任我行！更新的内容，可以是自己的学习笔记，心路历程等等。
看着每天的粉丝量呈指数级增长，这是全网对你的认可，应该没有什么会是比这个更好的正反馈了。
8）学习需要有仪式感
那么，至此，不知道屏幕前的你感想如何，反正正在打字的我已经激情澎湃了。已经全然忘记这一章是要讲C语言基础的了！
介于篇幅，我会把C语言基础的内容，放在这个专栏《光天化日学C语言》里面去讲，一天更新一篇，对啊，既然说了要坚持，要养成习惯，我当然也要做到啦~如果你学到了哪一章，可以在评论区评论 “打卡” ，也算是一种全网见证嘛！
我也很希望大家的学习速度能够超越我的更新速度。
2、语法配套练习
学习的过程中，做题当然也是免不了的，还是应征那句话：实践是检验真理的唯一标准。
而这里的题库，是我花了大量时间，搜罗了网上各大C语言教程里的例题，总结出来的思维导图，可以先大致看一眼：

从数学基础、输入输出、数据类型、循环、数组、指针、函数、位运算、结构体、排序等几个方面，总结出的具有概括性的例题 100 道《C语言入门100例》，目前还在更新中。
这里可以列举几个例子：
1、例题1：交换变量的值
一、题目描述
循环输入，每输入两个数 a aa 和 b bb，交换两者的值后输出 a aa 和 b bb。当没有任何输入时，结束程序。

二、解题思路
难度：🔴⚪⚪⚪⚪

这个题的核心是考察如何交换两个变量的值，不像 python，我们可以直接写出下面这样的代码就实现了变量的交换。
a, b = b, a
1
在C语言里，这个语法是错误的。
我们可以这么理解，你有两个杯子 a aa 和 b bb，两个杯子里都盛满了水，现在想把两个杯子里的水交换一下，那么第一个想到的方法是什么？
当然是再找来一个临时杯子：
1）先把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
2）再把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里；
3）最后把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子；

这种就是临时变量法，那么当然，还有很多很多的方法，接下来就让我们来见识一下吧。

三、代码详解
1、正确解法1：引入临时变量
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b, tmp;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      tmp = a; // (1)
      a = b;    // (2)
      b = tmp; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) tmp = a;表示把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
( 2 ) (2)(2) a = b;表示把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里；
( 3 ) (3)(3) b = tmp;表示把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子里；
这三步，就实现了变量 a aa 和 b bb 的交换。
2、正确解法2：引入算术运算
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      a = a + b; // (1)
      b = a - b; // (2)
      a = a - b; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) a = a + b;执行完毕后，现在最新的a的值变成原先的a + b的值；
( 2 ) (2)(2) b = a - b;执行完毕后，相当于b的值变成了a + b - b，即原先a的值；
( 3 ) (3)(3) a = a - b;执行完毕后，相当于a的值变成了a + b - a，即原先b的值；
从而实现了变量a和b的交换。
3、正确解法3：引入异或运算
首先，介绍一下C语言中的^符号，代表的是异或。
二进制的异或，就是两个数转换成二进制表示后，按照位进行以下运算：
左操作数右操作数异或结果
0 0 0
1 1 0
0 1 1
1 0 1
也就是对于 0 和 1，相同的数异或为 0，不同的数异或为 1。
这样就有了三个比较清晰的性质：
1）两个相同的十进制数异或的结果一定位零。
2）任何一个数和 0 的异或结果一定是它本身。
3）异或运算满足结合律和交换律。
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      a = a ^ b; // (1)
      b = a ^ b; // (2)
      a = a ^ b; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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我们直接来看 ( 1 ) (1)(1) 和 ( 2 ) (2)(2) 这两句话，相当于b等于a ^ b ^ b，根据异或的几个性质，我们知道，这时候的b的值已经变成原先a的值了。
而再来看最后一句话，相当于a等于a ^ b ^ a，还是根据异或的几个性质，这时候，a的值已经变成了原先b的值。
从而实现了变量a和b的交换。

4、正确解法4：奇淫技巧
当然，由于这个题目问的是交换变量后的输出，所以它是没办法知道我程序中是否真的进行了交换，所以可以干一些神奇的事情。比如这么写：
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      printf("%d %d\n", b, a);
}
return 0;
}
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你学废了吗 🤣？
2、例题2：整数溢出
一、题目描述
先输入一个 t ( t ≤ 100 ) t (t \le 100)t(t≤100)，然后输入 t tt 组数据。每组输入为 4 个正整数 a , b , c , d ( 0 ≤ a , b , c , d ≤ 2 62 ) a,b,c,d(0 \le a,b,c,d \le 2^{62})a,b,c,d(0≤a,b,c,d≤2
62
)，输出 a + b + c + d a+b+c+da+b+c+d 的值。

二、解题思路
难度：🔴🔴⚪⚪⚪

这个问题考察的是对补码的理解。
仔细观察题目给出的四个数的范围：[ 0 , 2 62 ] [0, 2^{62}][0,2
62
]，这四个数加起来的和最大值为 2 64 2^{64}2
64
。而C语言中，long long的最大值为：2 63 − 1 2^{63}-12
63
−1，就算是unsigned long long，最大值也只有2 64 − 1 2^{64}-12
64
−1。
但是我们发现，只有当四个数都取得最大值 2 62 2^{62}2
62
  时，结果才为 2 64 2^{64}2
64
，所以可以对这一种情况进行特殊判断，具体参考代码详解。
三、代码详解
#include <stdio.h>
typedef unsigned long long ull;                         // (1)
const ull MAX = (((ull)1)<<62);                         // (2)

int main() {
int t;
ull a, b, c, d;
scanf("%d", &t);
while (t--) {
scanf("%llu %llu %llu %llu", &a, &b, &c, &d);    // (3)
if (a == MAX && b == MAX && c == MAX && d == MAX) // (4)
printf("18446744073709551616\n");          // (5)
else
printf("%llu\n", a + b + c + d);             // (6)
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) 由于这题数据量较大，所有数据都需要用64位无符号整型。ull作为unsigned long long的别名；
( 2 ) (2)(2) 用常量MAX表示 2 62 2^{62}2
62
，这里采用左移运算符直接实现 2 22 是幂运算；
数学 C语言
2 n 2^n2
n
1<<n
需要注意的是，由于 1 是int类型，所以需要对 1 进行强制转换。(ull)1等价于(unsigned long long)1；
( 3 ) (3)(3) %llu是无符号64位整型的输入方式；
( 4 ) (4)(4) 这里是对所有数都等于最大值的特殊判断，&&运算符的优先级低于==，所以这里不加括号也没事；
( 5 ) (5)(5) 由于 2 64 2^{64}2
64
  是无法用数字的形式输出的，所以我们提前计算机算好以后，用字符串的形式进行输出；
( 6 ) (6)(6) 其它情况都在 [ 0 , 2 64 − 1 ] [0, 2^{64}-1][0,2
64
−1] 范围内，直接相加输出即可。
由于这个专栏是付费专栏，可能对学生党不是很友好，所以作者经过再三思考，打算放出 300 张一折优惠券，先到先得。只要拿这个图片来找作者即可享受，仅限前 300 名。
为了适当提高一定门槛，你至少需要学会如何下载图片或者截图并且发送到微信里 🤣。

3、数据结构
《C语言入门100例》上的例题，如果能理解前面 25 道，那基本C语言的学习就可以告一段落了，接下来就要开始我们的数据结构的学习了。
1、什么是数据结构
你可能听说过数组、链表、队列、栈、堆、二叉树、图，没错，这些都是数据结构，但是你要问我什么是数据结构，我突然就一脸懵逼了。
如果一定要给出一个官方的解释，那么它就是：
计算机存储、组织数据的方式。相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。通常情况下，精心选择的数据结构可以带来更高的运行或者存储效率。往往同高效的检索算法和索引技术有关。

是不是还不如说它是堆，是栈，是队列呢？
是这样的，我们学习的过程中，跳过一些不必要的概念，能够节省我们更多的时间，从而达到更好的效果，当你还在理解数据结构是什么的时候，可能人家已经知道了栈有哪些操作了。
2、数据结构和算法的关系
很多同学搞不明白，数据结构与算法有哪些千丝万缕的关系？甚至有些同学以为算法里本身就包含了数据结构。
数据结构主要讲解数据的组织形式，比如链表，堆，栈，队列。
而算法，则注重的是思想，比如链表的元素怎么插入、删除、查找？堆的元素怎么弹出来的？栈为什么是先进后出？队列又为什么是先进先出？
讲得直白一点，数据结构是有实体的，算法是虚拟的；数据结构是物质上的，算法是精神上的。当然，物质和精神缺一不可。
3、数据结构概览
周末花了一个下午整理的思维导图，数据结构：

常用的一些数据结构，各自有各自的优缺点，总结如下：
a、数组
内存结构：内存空间连续
实现难度：简单
下标访问：支持
分类：静态数组、动态数组
插入时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)

b、字符串
内存结构：内存空间连续，类似字符数组
实现难度：简单，一般系统会提供一些方便的字符串操作函数
下标访问：支持
插入时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)

c、链表
内存结构：内存空间连续不连续，看具体实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：单向链表、双向链表、循环链表、DancingLinks
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

d、哈希表
内存结构：哈希表本身连续，但是衍生出来的结点逻辑上不连续
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：正数哈希、字符串哈希、滚动哈希
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

e、队列
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FIFO、单调队列、双端队列
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

f、栈
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FILO、单调栈
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

g、树
内存结构：内存结构一般不连续，但是有时候实现的时候，为了方便，一般是物理连续，逻辑不连续
实现难度：较难
下标访问：不支持
分类：二叉树和多叉树
插入时间复杂度：看情况而定
查找时间复杂度：理论上 O ( l o g 2 n ) O(log_2n)O(log
2

n)
删除时间复杂度：看情况而定

1、二叉树
二叉树的种类较多，比如：二叉搜索树、平衡树。平衡树又可以分为 AVL 树、红黑树、线段树、堆。最平衡的树莫过于满二叉树了。
其中，堆也是一种二叉树，也就是我们常说的优先队列。
2、多叉树
B树和B+树是多叉树，当然我们平时学到的并查集其实也是个多叉树，更加严谨一点，应该称之为森林。
h、图
内存结构：不一定
实现难度：难
下标访问：不支持
分类：有向图、无向图
插入时间复杂度：根据算法而定
查找时间复杂度：根据算法而定
删除时间复杂度：根据算法而定

1、图的概念
在讲解最短路问题之前，首先需要介绍一下计算机中图（图论）的概念，如下：
图 G GG 是一个有序二元组 ( V , E ) (V,E)(V,E)，其中 V VV 称为顶点集合，E EE 称为边集合，E EE 与 V VV 不相交。顶点集合的元素被称为顶点，边集合的元素被称为边。
对于无权图，边由二元组 ( u , v ) (u,v)(u,v) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V。对于带权图，边由三元组 ( u , v , w ) (u,v, w)(u,v,w) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V，w ww 为权值，可以是任意类型。
图分为有向图和无向图，对于有向图， ( u , v ) (u, v)(u,v) 表示的是从顶点 u uu 到顶点 v vv 的边，即 u → v u \to vu→v；对于无向图，( u , v ) (u, v)(u,v) 可以理解成两条边，一条是从顶点 u uu 到顶点 v vv 的边，即 u → v u \to vu→v，另一条是从顶点 v vv 到顶点 u uu 的边，即 v → u v \to uv→u；
2、图的存储
对于图的存储，程序实现上也有多种方案，根据不同情况采用不同的方案。接下来以图二-3-1所表示的图为例，讲解四种存储图的方案。

1）邻接矩阵
邻接矩阵是直接利用一个二维数组对边的关系进行存储，矩阵的第 i ii 行第 j jj 列的值表示 i → j i \to ji→j 这条边的权值；特殊的，如果不存在这条边，用一个特殊标记 ∞ \infty∞ 来表示；如果 i = j i = ji=j，则权值为 0 00。
它的优点是：实现非常简单，而且很容易理解；缺点也很明显，如果这个图是一个非常稀疏的图，图中边很少，但是点很多，就会造成非常大的内存浪费，点数过大的时候根本就无法存储。
[ 0 ∞ 3 ∞ 1 0 2 ∞ ∞ ∞ 0 3 9 8 ∞ 0 ] \left[
01∞9∞0∞8320∞∞∞30
0∞3∞102∞∞∞0398∞0
\right]
⎣
⎢
⎢
⎡


0
1
∞
9


∞
0
∞
8


3
2
0
∞


∞
∞
3
0


⎦
⎥
⎥
⎤

2）邻接表
邻接表是图中常用的存储结构之一，采用链表来存储，每个顶点都有一个链表，链表的数据表示和当前顶点直接相邻的顶点的数据( v , w ) (v, w)(v,w)，即顶点和边权。
它的优点是：对于稀疏图不会有数据浪费；缺点就是实现相对邻接矩阵来说较麻烦，需要自己实现链表，动态分配内存。
如图所示，d a t a datadata 即 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组，代表和对应顶点 u uu 直接相连的顶点数据，w ww 代表 u → v u \to vu→v 的边权，n e x t nextnext 是一个指针，指向下一个 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组。

在 C++ 中，还可以使用 vector 这个容器来代替链表的功能；
vector<Edge> edges[maxn];
1
3）前向星
前向星是以存储边的方式来存储图，先将边读入并存储在连续的数组中，然后按照边的起点进行排序，这样数组中起点相等的边就能够在数组中进行连续访问了。
它的优点是实现简单，容易理解；缺点是需要在所有边都读入完毕的情况下对所有边进行一次排序，带来了时间开销，实用性也较差，只适合离线算法。
如图所示，表示的是三元组 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w) 的数组，i d x idxidx 代表数组下标。

那么用哪种数据结构才能满足所有图的需求呢？
接下来介绍一种新的数据结构 —— 链式前向星。
4）链式前向星
链式前向星和邻接表类似，也是链式结构和数组结构的结合，每个结点 i ii 都有一个链表，链表的所有数据是从 i ii 出发的所有边的集合（对比邻接表存的是顶点集合），边的表示为一个四元组 ( u , v , w , n e x t ) (u, v, w, next)(u,v,w,next)，其中 ( u , v ) (u, v)(u,v) 代表该条边的有向顶点对 u → v u \to vu→v，w ww 代表边上的权值，n e x t nextnext 指向下一条边。
具体的，我们需要一个边的结构体数组 edge[maxm]，maxm表示边的总数，所有边都存储在这个结构体数组中，并且用head来指向 i ii 结点的第一条边。# L% ?6 G  j6 @, d. u
边的结构体声明如下：
/ a( c7 D0 i- z$ X6 W& L/ Jstruct Edge {5 _2 C+ M; A; N  B
int u, v, w, next;$ T+ x7 E$ k& f! M* F+ H2 d2 v
Edge() {}
  z; a  s% G  S! T! B' R9 n2 t Edge(int _u, int _v, int _w, int _next) :
1 u7 _7 n" O0 u$ n* i9 X+ R8 O       u(_u), v(_v), w(_w), next(_next)
: a1 N; q" V. \1 `/ G {
& H/ x# Q; |4 r }( }% X: h7 j6 D  t
}edge[maxm];' w6 V0 b: i) Z8 I& d7 |
1
& v, T0 z+ _  V- _# J7 z, _0 ~+ B2$ A3 I7 W/ U/ o2 Q4 W1 \: K
3
; x5 P% n) ]" x+ Z6 _4
8 N3 G# n& J1 b' w% C/ ^( A5: U4 I7 T: r, C# J, C% X
6- v# t, h1 M4 l$ C/ @( v' u
7
2 h9 l: c" A. I2 O8 X6 _6 P8
+ b7 h/ t' Y8 u9 |( G, U初始化所有的head = -1，当前边总数 edgeCount = 0；' V! T- U1 u' Q4 }1 O( P8 g
每读入一条 u → v u \to vu→v 的边，调用 addEdge(u, v, w)，具体函数的实现如下：
* I( q7 i, n2 R2 F9 j. f5 Nvoid addEdge(int u, int v, int w) {
* u; x- ~& t- C( |. l edge[edgeCount] = Edge(u, v, w, head);
5 a" ?5 ~& G! F* ?# ~. _- h head = edgeCount++;$ S5 G+ R# n3 F* W4 c, k6 C
}
7 j) O+ n% [/ U! {1 Z7 m1
) x+ `( y. t) I( k28 ~* p! z$ g' h% W  Y+ R% j
31 f+ n( o4 N0 l+ L9 d9 @. k0 s) q
4
& Y! z9 J# f8 ], W1 o这个函数的含义是每加入一条边 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w)，就在原有的链表结构的首部插入这条边，使得每次插入的时间复杂度为 O ( 1 ) O(1)O(1)，所以链表的边的顺序和读入顺序正好是逆序的。这种结构在无论是稠密的还是稀疏的图上都有非常好的表现，空间上没有浪费，时间上也是最小开销。
: B9 a6 Y9 H; t' O7 f! G  r调用的时候只要通过head就能访问到由 i ii 出发的第一条边的编号，通过编号到edge数组进行索引可以得到边的具体信息，然后根据这条边的next域可以得到第二条边的编号，以此类推，直到 next域为 -1 为止。
8 b% B" g7 b7 j: N: g+ afor (int e = head; ~e; e = edges[e].next) {
* _  d9 S1 U; U7 l int v = edges[e].v;4 M$ p5 n5 p. c: x- \( \
ValueType w = edges[e].w;; z, M6 u2 F( {
...
# o% V" @$ b  h* P5 W3 {1 T}2 A) Q' {8 p2 Y1 K! s
1
" T" I8 f9 [' ]( e5 b3 m$ V2 d29 O& W" u6 O  @; Y  q
3
1 `) k* }5 a3 z49 y* S1 }* F" Q+ g7 e
5
" G4 x  L' f- X+ U( d1 M文中的 ~e等价于 e != -1，是对e进行二进制取反的操作（-1 的的补码二进制全是 1，取反后变成全 0，这样就使得条件不满足跳出循环）。& Z4 `9 N0 G' f2 M& U; X  z3 `; m
4、算法入门. c; o. b5 p1 v) B, L
算法入门，其实就是要开始我们的刷题之旅了。先给出思维导图，然后一一介绍入门十大算法。/ E( V+ _9 y- B/ {$ j
) ~# X4 F2 R% l0 W
& i( w: q1 y6 A, n# W
入门十大算法是枚举、排序、模拟、二分、双指针、差分法、位运算、贪心、迭代、分治。
- o3 c! w' O' ]对于这十大算法，我会逐步更新道这个专栏里面：《LeetCode算法全集》。
6 _; p5 u" @3 y: q" r1、枚举
# A) z! R" n2 G6 W7 \3 i枚举可以简单理解成for循环，从一个数组中遍历查找一个值，就是枚举；从一个数组中找到一个最大值，就是枚举；求数组所有数的和，也是枚举。
7 k; v% e: A8 O对于枚举而言，基本就是循环语句的语法学会，这个算法就算学会了。
! \0 c5 g; u3 Y* L% Q. R2、排序
0 W' r1 p. g* k既然是入门，千万不要去看快排、希尔排序这种冷门排序。
) ~" ^: r0 o* k5 ~/ ^冒泡排序、选择排序、简单插入排序原理好懂，先看懂再说，其他不管。因为这三者都是基于枚举的。, n7 v4 h- L2 \& ]) h
C中有现成qsort排序函数，C++中有现成 sort排序函数，直接拿来用，等算法进阶时再回头来看快速排序的算法实现。* R2 {8 C8 H' k3 ^9 u/ n8 V% `
3、模拟2 m5 N% `& g3 H1 F& j
模拟就是要求做什么，你就做什么，完全不要去考虑效率问题。
. M2 Y% }# N( r' v, V' i不管时间复杂度和空间复杂度，放手去做！
! \! c) y2 z/ ?* }1 u# X但是，有时候模拟题需要一些复杂的数据结构，所以模拟题难起来也可以很男，难上加难。8 m. ~9 i8 l- v6 \
4、二分
  F3 Y% B  o$ p: ]* t二分一般指二分查找，当然有时候也指代二分枚举。* N' h6 ?2 d6 u- ^! R) D
例如，在一个有序数组中查找值，我们一般这个干：5 Z5 i% r! x; v6 t: @" G
1）令初始情况下，数组下标从 0 开始，且数组长度为 n nn，则定义一个区间，它的左端点是 l = 0 l=0l=0，右端点是 r = n − 1 r = n-1r=n−1；
. ~1 [6 K; e; l- s& i2 e2）生成一个区间中点 m i d = ( l + r ) / 2 mid = (l + r) / 2mid=(l+r)/2，并且判断 m i d midmid 对应的数组元素和给定的目标值的大小关系，主要有三种：- b+ U. J: [! n+ t8 {: f
2.a）目标值等于数组元素，直接返回 m i d midmid；. f/ C( d* N9 W  D+ Q
2.b）目标值大于数组元素，则代表目标值应该出现在区间 [ m i d + 1 , r ] [mid+1, r][mid+1,r]，迭代左区间端点：l = m i d + 1 l = mid + 1l=mid+1；
$ b: |( h+ l6 C# s  C+ c 2.c）目标值小于数组元素，则代表目标值应该出现在区间 [ l , m i d − 1 ] [l, mid-1][l,mid−1]，迭代右区间端点：r = m i d − 1 r = mid - 1r=mid−1；
- q& N; K% X, g: H1 V( n3）如果这时候 l > r l > rl>r，则说明没有找到目标值，返回 − 1 -1−1；否则，回到 2）继续迭代。% \& {* ^% W$ [! P: t9 o" {
5、双指针" w, Z8 Q- b1 s( _- o/ w! y7 X
双指针，主要是利用两个下标在一个数组上，根据问题的单调性，进行指针偏移，由于每个指针只往后偏移，所以时间复杂度可以达到 O ( n ) O(n)O(n)，由于思想非常简单，所以出题时，热度不低。* E9 w2 k4 {8 N) d( D$ A

" J: Y& {( P7 n: I6 W5 [  {& O9 h% _: U. V
6、差分法
8 q* }4 Z- w" W- Z3 F7 v差分法一般配合前缀和。
' a$ ?: C; Y4 k, q9 G对于区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内求满足数量的数，可以利用差分法分解问题；7 R' h; T+ n4 J% M  L+ o$ b9 m
假设 [ 0 , x ] [0, x][0,x] 内的 g o o d n u m b e r good \ numbergood number 数量为 g x g_xg
1 b' F% i& b0 Q; L8 sx
5 d: M; K1 D" b% b
2 ]' l# ^% \6 ~# c ，那么区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内的数量就是 g r − g l − 1 g_r - g_{l-1}g " O# D& N% ~7 E9 b( p. ~1 ~: ]0 V
r
  |9 K% J% B6 V2 S* I8 @$ c ; l7 K# Z; C5 ]1 ^, h: J6 I
−g 8 X0 l, }" R& s) `) O8 K1 B
l−1
. M4 f7 K* q+ b- C% A
5 f/ w8 C9 {: f0 `1 s" W5 Y ；分别用同样的方法求出 g r g_rg
! u: r# K& c$ W6 H" E6 _1 F$ k0 Fr
% g  B) B/ Y" H" |5 O6 E- Z $ X4 F  J/ Z  z
  和 g l − 1 g_{l-1}g 7 I- t5 {' Y! z  x% p6 m7 ~
l−1
- G7 T% r1 v7 h$ z: x* Z   I$ I( W6 ^7 g8 {4 |7 p
，再相减即可；: X4 f7 t$ S" y4 e; k- ^* ^% T( t
% b) A* `- ^/ d4 H8 L4 i

" F% z& v- o- f5 @* Q! K7、位运算* r) o0 W* g5 A: `1 D
位运算可以理解成对二进制数字上的每一个位进行操作的运算。- q* }8 f; R' g6 S$ H7 Y$ }
位运算分为布尔位运算符和移位位运算符。
5 l5 Z$ p1 n. D: l布尔位运算符又分为位与(&)、位或(|)、异或(^)、按位取反(~)；移位位运算符分为左移(<<) 和右移(>>)。* B( [5 _3 b* ^6 F! ~9 w
如图所示：# g8 m' [+ G' R8 o# f' q! N
( ]5 H' g6 t2 w) G7 y* r' e3 M% U

' Q; P7 E7 ?# x7 U3 N% U% M: ~位运算的特点是语句短，但是可以干大事！2 x. C2 w% p1 }. f3 s
比如，请用一句话来判断一个数是否是2的幂，代码如下：
; ^& i2 P) l* Y9 d' q1 G2 C/ R!(x & (x - 1))0 }+ U- a" n- ]% R, \
1& v* ]0 i0 |/ _/ p7 p% q+ ~
8、贪心9 q' O9 K( l7 b0 g. G" v7 G8 y
贪心，一般就是按照当前最优解，去推算全局最优解。4 T1 G. @6 {* d/ p# [6 y4 O3 Q8 _- }5 j
所以，只有当当前最优解和全局最优解一致时才能用贪心算法。贪心算法的证明是比较难的，但是一些简单的贪心问题会比较直观，很容易看出来这个能够这么贪。
( U- `- i6 l: O9 ~2 V9、迭代- I' @4 p3 l9 l9 _7 Z
每一次对过程的重复称为一次“迭代”，而每一次迭代得到的结果会作为下一次迭代的初始值，周而复始，直到问题全部解决。
6 T* r0 K, H. f$ x6 e! ?1 e, G10、分治& O+ u0 B( k5 m) o4 K
分治，就是把问题分成若干子问题求解，子问题解决后，问题就解决了。一般利用递归实现。属于初学者比较头疼的内容。递归一开始学习的时候，一定要注意全局变量和局部变量的关系。( P! T; r6 n+ [+ x0 t! C' V4 p& h
5、算法进阶# }! J7 v/ R- j" K. E# Y( D; z: |2 C
算法进阶这块是我打算规划自己未来十年去完成的一个项目，囊括了大学生ACM程序设计竞赛、高中生的OI竞赛、LeetCode 职场面试算法的算法全集，也就是之前网络上比较有名的《夜深人静写算法》系列，这可以说是我自己对自己的一个要求和目标吧。( w: `, W4 j- d' v  T( {
如果只是想进大厂，那么算法入门已经足够了，不需要再来看算法进阶了，当然如果对算法有浓厚兴趣，也欢迎和我一起打卡。由于内容较难，工作也比较忙，所以学的也比较慢，一周基本也只能更新一篇。" t$ @3 i$ e4 c3 M5 s1 J
这个系列主要分为以下几个大块内容：2 g9 k* [  l$ c" @3 q. s
1）图论
6 o% E0 X1 m8 L 2）动态规划
7 z: H! s( C! ?( L 3）计算几何! `7 r" P' C3 J; [
4）数论
) O! T: S+ L$ [8 ]; S9 x 5）字符串匹配% [7 X( S6 t' a
6）高级数据结构（课本上学不到的）
6 h' v7 O6 f  a  R6 L 7）杂项算法
; B+ C- J6 c1 k. D' y) m
1 l8 q4 r, m8 B6 i& d
) R& h- ^4 N: \- |" ~' _先来看下思维导图，然后我大致讲一下每一类算法各自的特点，以及学习方式：) X* I* J% c" U- X

& b+ u5 r1 e, M  k# f6 T; q5 X8 y$ A1 L# M- l' J& i
! d* c; z  @& V

! [+ l0 @. b* f$ k( v1）图论2 ^0 R' t8 V; [
1、搜索概览
" T3 L5 b7 ^$ f; {& y图论主要围绕搜索算法进行展开。搜索算法的原理就是枚举。利用计算机的高性能，给出人类制定好的规则，枚举出所有可行的情况，找到可行解或者最优解。" v% B& t- s* z* ]
% H% y( Y0 H* U

* d2 ?9 H. Y: D% V8 M比较常见的搜索算法是深度优先搜索（又叫深度优先遍历）和广度优先搜索（又叫广度优先遍历或者宽度优先遍历）。各种图论的算法基本都是依靠这两者进行展开的。
4 B8 K( m+ y) Q2、深度优先搜索! h- I& K" d' {1 O% S# {1 s
深度优先搜索一般用来求可行解，利用剪枝进行优化，在树形结构的图上用处较多；而广度优先搜索一般用来求最优解，配合哈希表进行状态空间的标记，从而避免重复状态的计算；
5 D/ X) M  V' K3 m! Y- Z原则上，天下万物皆可搜，只是时间已惘然。搜索会有大量的重复状态出现，这里的状态和动态规划的状态是同一个概念，所以有时候很难分清到底是用搜索还是动态规划。9 c. f% E$ M" g' q' Q
但是，大体上还是有迹可循的，如果这个状态不能映射到数组被缓存下来，那么大概率就是需要用搜索来求解的。$ Q* y1 G# x: X2 ?+ Q. Z4 A
如图所示，代表的是一个深度优先搜索的例子，红色实箭头表示搜索路径，蓝色虚箭头表示回溯路径。
1 T& Q$ f9 ~1 c5 b6 W) r2 a4 l( _- y& d
1 m& `. V8 n; V3 A# i
红色块表示往下搜索，蓝色块表示往上回溯，遍历序列为：- m/ j; S7 E" A3 o& N+ t
0 -> 1 -> 3 -> 4 -> 5 -> 2 -> 6
1 o+ }6 _7 m( z% }2 \$ a1
- f3 T+ R( t" I) G# j同样，搜索的例子还有：9 Y7 d* c8 Q8 ~& _" Z
3 l8 c. k" q; j: M  e

+ v) [; [- f. i$ Y& p' z计算的是利用递归实现的 n nn 的阶乘。
5 v  R2 b: {( S$ K! u2 h3、记忆化搜索
9 F; y7 r( Y) D' o: \4 R1 v/ `对于斐波那契函数的求解，如下所示：$ C/ E, X( g1 s3 T% q# t  X
f ( n ) = { 1 ( n = 0 ) 1 ( n = 1 ) f ( n − 1 ) + f ( n − 2 ) ( n > 2 ) f(n) =. \, @4 }  e: z4 \/ s
⎧⎩⎨11f(n−1)+f(n−2)(n=0)(n=1)(n>2)1 @6 j- N/ p7 F
{1(n=0)1(n=1)f(n−1)+f(n−2)(n>2), m; L0 F7 s+ d& [
f(n)=
; ^9 w2 V0 n. [/ r8 `. j8 a⎩3 ^" T; Z/ v$ I) v" C4 T/ c2 W
⎪# G; q* Y7 @) N. O: M
⎨3 N" M0 D6 ]% N* W4 f
⎪( b0 Y2 Z% G& Y  ]' b: L
⎧
! q% h  P1 c+ ]6 i
/ R# r( l! Y5 j1 h, z
5 M; z$ z* t. ~/ Z' G1
9 T' _  p- x% i/ h7 h1 p1
7 C: a: n: w; A4 wf(n−1)+f(n−2)
+ O$ P. m- L4 P; G7 k, d+ v
" k5 ]; }3 ^$ f0 G, B
2 ~% Z" F) q$ ?  |2 I" d; o(n=0)
( ?+ Z/ q$ t1 J(n=1)
8 p4 K8 ^" D2 l& `- _' a(n>2)
. U0 l+ m! Y4 N5 W9 U! ]
9 j6 }7 q6 I2 a: S0 }$ I+ W ) X* r6 W+ w) P5 o. q
对于 f ( 5 ) f(5)f(5) 的求解，程序调用如下：
5 `& T8 p- }" X# ~2 b" |' V" t- J; M: ^& q+ d  K& h9 C# C9 m% r

- ~* m+ ]; r- J5 ?这个过程用到了很多重复状态的搜索，我们需要将它优化，一般将一些状态缓存起来。
* C8 D' h, A( G/ ?& o$ T我们通过一个动图来感受一下：
( O: b9 F9 C- h7 x* ]* ]1 j' @2 H. z5 T) z1 P1 d
# U; s; O8 X- t% ~% H" r* N- g
当第二次需要计算 f ( 2 ) f(2)f(2) 和 f ( 3 ) f(3)f(3) 时，由于结果已经计算出来并且存储在 h [ 2 ] h[2]h[2] 和 h [ 3 ] h[3]h[3] 中，所以上面这段代码的fib != inf表达式为真，直接返回，不再需要往下递归计算，这样就把原本的 “递归二叉树” 转换成了 “递归链”，从而将原本指数级的算法变成了多项式级别。% [6 J$ K! u( ^0 U# Q) W& U3 U
这就是记忆化搜索，像这种把状态缓存起来的方法，就是动态规划的思想了。
$ C) d' h/ S" ^9 e+ z  _- {1 M4、广度优先搜索4 a8 R7 \" e& T
单向广搜就是最简化情况下的广度优先搜索（Breadth First Search），以下简称为广搜。游戏开发过程中用到的比较广泛的 A* 寻路，就是广搜的加强版。
. E8 M: x0 q. _4 @+ k- s我们通过一个动图来对广搜有一个初步的印象。
/ h: n8 x2 v: d. X+ v, x5 M) E) ^7 M- A! ]
% A  U1 a! n6 V0 z

0 i& [! j* f1 a5 y& ~
% x: v  N2 t0 u; H# }- b# O+ v1 k从图中可以看出，广搜的本质还是暴力枚举。即对于每个当前位置，枚举四个相邻可以行走的方向进行不断尝试，直到找到目的地。有点像洪水爆发，从一个源头开始逐渐蔓延开来，直到所有可达的区域都被洪水灌溉，所以我们也把这种算法称为 FloodFill。
, c3 }: w# {9 z那么，如何把它描述成程序的语言呢？这里需要用到一种数据结构 —— 队列。
' T, y* N" j0 s/ {4 f这时候，算法和数据结构就完美结合了。  j$ p$ N  x* o. O9 X8 _
2）动态规划
1 S  H* }* B/ G& Z! O2 K, f动态规划算法三要素：" r/ L+ G$ u- @/ {& s
①所有不同的子问题组成的表；
, T6 M2 z( a- ` ②解决问题的依赖关系可以看成是一个图；
% Z" u% S% h1 t ③填充子问题的顺序（即对②的图进行拓扑排序，填充的过程称为状态转移）；8 o) V! G3 L8 x- I) E
, S. Z) u& l" o, _" N
4 I$ @, ?  V. [  e% U# K
如果子问题的数目为 O ( n t ) O(n^t)O(n 0 T  r' a6 f& @' d4 i
t
! I% V3 k9 s$ \- O$ @% E )，每个子问题需要用到 O ( n e ) O(n^e)O(n   X. H7 T- x" O; \4 j! }0 {
e
+ O6 P) S6 {. E! A# K ) 个子问题的结果，那么我们称它为 tD/eD 的问题，于是可以总结出四类常用的动态规划方程：（下面会把opt作为取最优值的函数（一般取 m i n minmin 或 m a x maxmax ）, w ( j , i ) w(j, i)w(j,i)为一个实函数，其它变量都可以在常数时间计算出来）。
% l* @, E% ?# e+ X1 N2 {/ b; n! N6 [1、1D/1D
2 ~( I# A2 m. G5 ]- gd [ i ] = o p t ( d [ j ] + w ( j , i ) ∣ 0 < = i < j ) d = opt( d[j] + w(j, i) | 0 <= i < j )) \3 Y- D3 C1 G3 O2 L0 b2 T7 W) R8 }
d=opt(d[j]+w(j,i)∣0<=i<j)
3 a. W7 l; C4 J6 V状态转移如图四所示（黄色块代表d [ i ] dd，绿色块代表d [ j ] d[j]d[j]）：
# h- d* G7 C3 e* }- I( b0 z: [1 l3 }4 D, I$ i
( q! Z% A6 Z' p# J' @5 p' ^
这类状态转移方程一般出现在线性模型中。) R6 u1 S) |0 W7 n8 \- V
2、2D/0D
1 E5 |! X5 X3 P, q* {d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ j ] + x i , d [ i ] [ j − 1 ] + y j , d [ i − 1 ] [ j − 1 ] + z i j ) d[j] = opt( d[i-1][j] + x_i, d[j-1] + y_j, d[i-1][j-1] + z_{ij} )
; Y; c7 \1 C# Q$ `d[j]=opt(d[i−1][j]+x 4 F9 {8 s# r5 T6 j
i
  S6 O* ~/ w3 Z5 b   l: Y4 t2 J+ D2 D
,d[j−1]+y ' l4 A# J/ `6 m4 }( W8 e& C
j( a9 d% A& P' q  ?

$ P5 T4 g) n5 c7 Y ,d[i−1][j−1]+z
/ D7 ]% j4 m8 Qij, t& H: X9 T. z1 W- I6 h
9 r8 O5 ]4 J! {
)
4 H. c& f3 n. k2 J* o7 {1 Q状态转移如图四所示：* j( D; R+ W5 N# ]+ i- L0 m

) l5 }, t9 c' Q# B/ t- a% X, O6 E9 o2 Q
比较经典的问题是最长公共子序列、最小编辑距离。
5 \% ^* R$ C+ d' d5 n有关最长公共子序列的问题，可以参考以下文章：夜深人静写算法（二十一）- 最长公共子序列
9 O6 y$ o: e) w, k6 b% l1 |有关最小编辑距离的问题，可以参考以下文章：夜深人静写算法（二十二）- 最小编辑距离
2 }. X( g) q8 k" a5 v6 [3 D3、2D/1D
+ ^( _0 [! o4 @) l7 T. S# Pd [ i ] [ j ] = w ( i , j ) + o p t ( d [ i ] [ k − 1 ] + d [ k ] [ j ] ) d[j] = w(i, j) + opt( d[k-1] + d[k][j] ), f# \/ Q( o1 d" Z. u- w
d[j]=w(i,j)+opt(d[k−1]+d[k][j])
0 B0 O) H9 O: G, B区间模型常用方程，如图所示：5 u$ V$ A  q3 N3 @  o) T( \0 x

  s/ M+ z1 E% g( z* B  g6 p2 w4 z' g7 i8 R# J5 A
另外一种常用的 2D/1D 的方程为：; i- m- W. m- m2 _0 w$ H3 E
d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ k ] + w ( i , j , k ) ∣ k < j ) d[j] = opt( d[i-1][k] + w(i, j, k) | k < j )
( V. u* C' d1 f+ s" }d[j]=opt(d[i−1][k]+w(i,j,k)∣k<j), s4 N. S& E, u/ m. c: @
区间模型的详细内容可以参考以下这篇文章：夜深人静写算法（二十七）- 区间DP
% q# z8 i; [8 P* s4、2D/2D  C, G3 Y! U# y
d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i ′ ] [ j ′ ] + w ( i ′ , j ′ , i , j ) ∣ 0 < = i ′ < i , 0 < = j ′ < j ) d[j] = opt( d[i'][j'] + w(i', j', i, j) | 0 <= i' < i, 0 <= j' < j)
) O( @. k. z9 N9 nd[j]=opt(d[i * V7 w- e6 s( j& o. ?
′% a6 k9 D% R5 d
][j
0 F! V7 U7 ^3 e4 p. o+ L′% D# Q" B( L. A& {% I
]+w(i ! g9 v4 O1 Y/ w2 ^3 j
′
# U+ ~+ l! {" ^! _- K ,j
5 I7 P3 P" T: @′
6 v2 G# k# o7 Z' j ,i,j)∣0<=i
( o" p( P! K& @& |′
) x5 m6 P+ ]7 L  i& ` <i,0<=j . I6 t* H, p1 `! `0 h
′
* \* E& Q& a+ w) \5 p: f8 {. ] <j)
5 g' Y( i6 m- a, T2 |2 l  u. Z如图所示：/ e4 R# p0 R7 Q* k* R
6 n7 G1 L% M; V- Q9 ~9 _$ ~
7 w, E# [+ ^  N2 J/ O* D: H
常见于二维的迷宫问题，由于复杂度比较大，所以一般配合数据结构优化，如线段树、树状数组等。
* [$ x: w3 {$ \' [5 R对于一个tD/eD 的动态规划问题，在不经过任何优化的情况下，可以粗略得到一个时间复杂度是O ( n t + e ) O(n^ {t+e})O(n ; ]- e! E+ b7 M* K
t+e! z' P5 y" z1 F  [6 E
)，空间复杂度是O ( n t ) O(n^t)O(n 0 c5 Z- f& `7 u* g3 u! g
t
' I4 J: ~7 K, P% D0 O, @% J ) 的算法，大多数情况下空间复杂度是很容易优化的，难点在于时间复杂度，后续章节将详细讲解各种情况下的动态规划优化算法。5 f( [5 u2 c3 i) k+ d' r
3）计算几何, v6 v8 ]' I" O
计算几何的问题是代码量最大的。它是计算机科学的一个分支，以往的解析几何，是用代数的方法，建立坐标系去解决问题，但是很多时候需要付出一些代价，比如精度误差，而计算几何更多的是从几何角度，用向量的方法来尽量减少精度误差，例如：将除法转化为乘法、避免三角函数等近似运算等等。
* G( V9 I- {' L如果一个比赛中，有一道计算几何的题，那么至少，它不会是一道水题。
. v0 \# H: b1 C: X7 Q" J1、double 代替 float
- J- E0 M- o( `! Dc++ 中 double 的精度高于 float，对精度要求较高的问题，务必采用 double；
' _9 Z, \7 n+ K2、浮点数判定
- ~% p! x5 Y# l' I2 Q- P由于浮点数（小数）中是有无理数的，即无限不循环小数，也就是小数点后的位数是无限的，在计算机存储的时候不可能全部存下来，一定是近似的存储的，所以浮点数一定是存在精度误差的（实际上，就算是有理数，也是存在误差的，这和计算机存储机制有关，这里不再展开，有兴趣可以参见我博客的文章：C++ 浮点数精度判定）；* Z* b( O0 L; l% C8 P
两个浮点数是否相等，可以采用两数相减的绝对值小于某个精度来实现：9 i* R6 }( z5 W3 Y
const double eps = 1e-8;
( E3 _; @# g! q  y/ {" J" @bool EQ(double a, double b) {' y! o  s' N8 c* D2 ?! z1 `
return fabs(a - b) < eps;  |& [+ `; a6 y3 f. }6 s$ o7 I
}9 i( Y# r6 I1 D9 w/ q; v
1% b- }) n7 l. s% Z  K- q
23 z. Y% ?& b: J: N: i2 ?& g4 ^/ [
30 q' S1 K. t- }$ b1 y6 G7 d8 U
4
. h( b( L# f/ N8 T1 }并且可以用一个三值函数来确定某个数是零、大于零还是小于零：
7 I7 K; u# O' \int threeValue(double d) {
8 O& _" e6 p: d! f- z/ ?3 E; B0 ~ if (fabs(d) < eps)
- W3 s' C  `0 g, {& M8 V  d       return 0;2 R$ ]4 x! H$ K" ^6 d6 Y
return d > 0 ? 1 : -1;' }- r% y2 y' T; o( i' P
}& j/ h7 ~  D+ i! d
1
! \3 M8 U4 n) j  U# m2% C5 q8 C& H( a( T+ t, e
38 f7 b& N. U! g  x7 Z- i
4: d6 v  g" {/ x& C
5- R1 Q% o+ i4 G  V# C3 P$ m/ x0 x. b% X
3、负零判定
2 Z+ E0 K! I4 i, t$ T  `因为精度误差的存在，所以在输出的时候一定要注意，避免输出 -0.00：! R* [8 P- j; Q% k& f" L; [& k
double v = -0.0000000001;
# x! M- F# M, C+ H printf("%.2lf\n", v);
. P0 ^" W" @7 c! N18 W: K2 J# E4 }9 s  z! p) N
2) f; o$ @; Q) {; n
避免方法是先通过三值函数确定实际值是否为0，如果是0，则需要取完绝对值后再输出：& B' G9 O  `5 U  U+ V$ J
double v = -0.0000000001;
8 K( k& P$ Q" v3 ]6 z2 r7 V if(threeValue(v) == 0) {( {; ?. r5 _) M! f8 C' D
      v = fabs(v);
9 U! P3 [( J8 R6 p6 M, D }1 r0 _7 f, g3 r5 `+ B; u) y
printf("%.2lf\n", v);% ]+ X) m; |# ], v; X2 q3 G
1
, O4 I# \! B9 Y# c* q+ ?0 c" P25 ?. Y$ B% q1 E) v5 }
3' |# L3 ]8 m2 J; z+ |8 W' o1 b
4
" i1 R8 T; e# d) w& V) |" X) E- I9 F. S58 f" }  }/ m1 i  L$ y
4、避免三角函数、对数、开方、除法等
6 G' o9 a$ Q) J% L7 r1 Jc++ 三角函数运算方法采用的是 CORDIC算法，一种利用迭代的方式进行求解的算法，其中还用到了开方运算，所以实际的算力消耗还是很大的，在实际求解问题的过程中，能够避免不用就尽量不用。
% g& S" B+ ?) y) U  x除法运算会带来精度误差，所以能够转换成乘法的也尽量转换为乘法运算。7 X2 I# ?! p' L- |% A
5、系统性的学习- K* O' r/ c& X- E
基础知识：点、向量、叉乘、点乘、旋转、线段、线段判交、三角形面积；* ?$ j/ f) W$ ]8 l) a) ]
进阶知识：多边形面积、凸多边形判定、点在多边形内判定；; d" h* G- M4 L+ L, d6 u! v
相关算法：二维凸包、三维凸包、旋转卡壳、多边形面积交、多边形面积并、多边形面积异或、多边形和圆的面积交、半平面交、最小覆盖圆、最小包围球、模拟退火。
# y; W1 b: s- a) G
* o/ o# |3 ]/ T3 S; Z% Z0 m, f$ D/ G/ f/ g2 A# e! A
学习计算几何，最好是系统性的，刷题的过程中不断提炼出自己的模板。
; H& Y7 F4 _9 t- N8 ^4）数论% u1 B! E4 O3 i
刷题的时候遇到不会的数论题，真的是很揪心，从头学起吧，内容实在是太多了，每个知识点都要证明吃透，不然下次遇到还是不会；不学吧，又不甘心，就是单纯的想把这个题过了，真是进退两难！
! O% Y3 I$ }& n$ f! Z" s& C数论对一个人的数学思维要求较高，但是一般也是一些固定的模式，所以把模板整理出来很重要。
' K  v7 ~3 a& z/ G! |* j( r) Q当然，数论也有简单问题，一般先做一些入门题提升信心。
; A2 J, |& r2 o. H8 d1、数论入门# @& u* p+ Y9 h/ R
主要是一些基本概念，诸如：/ p. \# A8 _8 s/ X& N3 A- s* a0 Z
整除性、素数与合数、素数判定、素数筛选法、因数分解、算术基本定理、因子个数、因子和、最大公约数 (GCD) 和最小公倍数 (LCM)、辗转相除、同余、模运算、快速幂取模、循环节；+ l% M" h, U" j1 k) x; Z6 z
2、数论四大定理# h  B! [( |# a# h7 I
这四个定理学完，可以KO很多题：  V% \: `+ O" Y  S* O. K# W
欧拉定理、中国剩余定理、费马小定理、威尔逊定理
, |; x# B+ b2 ~+ v, }$ G9 F3、数论进阶
) G, q! V  U$ j3 Y+ V9 E) R+ f系统性的学习，基本也就这些内容了：
) a9 d5 B0 \7 O' `' x扩展欧几里得、逆元、欧拉函数、同余方程组、扩展欧拉定理、RSA、卢卡斯定理、整数分块、狄利克雷卷积、莫比乌斯反演、大数判素、大数因子分解、大步小步离散对数等等。% e& p1 G7 {+ U7 [6 {
5）字符串匹配
# q% _; I5 b5 g5 B字符串匹配学习路线比较明确。
1 v0 c( B8 C, S# W: l9 ]先学习前缀匹配：字典树。
0 U8 T. D9 {  x5 W$ b' T) W然后可以简单看一下回文串判定算法：Manacher。! L" M& }" L0 K4 o
以及经典的单字符串匹配算法：KMP。$ @( g$ }1 W: J
实际上平时最常用的还是 BM 算法，而ACM中基本不考察。
$ Z; G5 B; W2 L& {然后就是较为高阶的前缀自动机、后缀数组、后缀树、后缀自动机了。
  a) U" p  G- A" Z关于算法学习路线的内容到这里就结束了。0 f6 [6 F1 C5 ]8 t- c2 f$ F( {
如果还有不懂的问题，可以想方设法找到作者的微信进行在线咨询。# g0 a; x: ~* E) o7 R% w
参考资料
; ?: Z; p2 U' s! C【阶段一】C语言学习资料：《光天化日学C语言》（日更）
3 c$ @7 E+ _$ Z. l4 W) q【阶段二】C语言例题：《C语言入门100例》（日更）
% y; K% p, ~  V5 j' _/ R0 G【阶段三】算法入门题集：《LeetCode算法全集》（日更）
/ ?5 C& N9 T$ @. B$ p【阶段四】算法进阶：《夜深人静写算法》（周更）
$ w' B; f3 t: A————————————————* Y6 |9 Y, R2 {& y! [0 T3 Q& J
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