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❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏）

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杨利霞

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TA的每日心情

	开心 2021-8-11 17:59

签到天数: 17 天

[LV.4]偶尔看看III

网络挑战赛参赛者

自我介绍: 本人女，毕业于内蒙古科技大学，担任文职专业，毕业专业英语。

群组: 2018美赛大象算法课程

群组: 2018美赛护航培训课程

群组: 2019年数学中国站长建

群组: 2019年数据分析师课程

群组: 2018年大象老师国赛优

电梯直达

1^#

发表于 2021-7-8 15:06 |只看该作者 |倒序浏览

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❤️两万字《算法 + 数据结构》全套路线❤️（建议收藏）

前言
所谓活到老，学到老，虽然我感觉自己已经学了很多算法了，但是昨天熬夜整理完以后发现，自己还是个弟弟，实在忍不住了，打算把算法学习路线发出来，我把整个算法学习的阶段总结成了五个步骤，分别为：基础语法学习（重要）、语法配套练习、数据结构、算法入门、算法进阶。本文梳理了这五个大项的思维导图，在下文会有详细介绍。
希望各位能够找到自己的定位，通过自己的努力在算法这条路上越走越远。
刚开始切勿心浮气躁，千万不要给自己立 flag，说一定要把这么多东西都学会。就算你的精力旺盛，日夜操劳，时间也是有限的。所以，首先是明确我们要做什么，然后制定好一个合理的目标，再一点一点将要学习的内容逐步付诸实践才是最重要的。
每日一篇C语言打卡，目前更新到：光天化日学C语言（20）- 赋值运算符与赋值表达式 | 让代码变得更加简介（建议收藏）。

图片较大，文章中有拆解，需要原图可以留言找我要哈
1、基础语法学习
算法是以编程语言为基础的，所以选择一门编程语言来学习是必须的。
因为作者本身是C/C++技术栈的，所以就拿C语言来举例子吧。如果是 Java、Python 技术栈，可以跳过 C语言相关的内容。这一小节，先给出学习路线图，然后我再来讲，每部分应该如何去学。

1）HelloWorld
无论是 Java、Python、C/C++，想要上手一门语言，第一步一定是 HelloWorld，先不要急着去配环境。如果环境配了几个小时，可能一开始的雄心壮志就被配环境的过程消磨殆尽，更加不要谈日后的丰功伟业了。
2）让自己产生兴趣
所以，我们需要让这件事情从一开始就变得有趣，这样才能坚持下去。比如找一个相对较为有趣的教程，这里我会推荐这个：《光天化日学C语言》。听名字就比较搞笑，可能作者本身也不是什么正经人，哈哈哈！虽然不能作为一个严谨的教程去学，起码可以对搞笑的内容先产生兴趣。从而对于语言本身有学习下去的动力。
刚才提到的这个系列，可以先收藏起来。回头再去看，它讲述的是对白式的 C语言教学，从最简单的输出 HelloWorld 这个字符串开始讲起，逐渐让读者产生对C语言的兴趣。这个系列的作者是前 WorldFinal 退役选手，一直致力于将困难的问题讲明白。我看了他的大部分教程，基本都能一遍看懂。算了，不装了，摊牌了，因为我就是这个作者。
3）目录是精髓
然后，我们大致看下你选择的教程的前几个章节，那些标题是否有你认知以外的名词出现，比如以这个思维导图为例，前几个章节为：
1、第一个C语言程序
2、搭建本地环境
3、变量
4、标准输出
5、标准输入
6、进制转换入门
7、ASCII字符
8、常量

如果你觉得这些名词中有 3 / 4 以上是没有什么概念的。那么，可能需要补齐一些数学、计算机方面的基础知识。反之，我们就可以继续下一步了。
4）习惯思考并爱上它
只要对一件事情养成习惯以后，你就会发现，再难的事情，都只是一点一点积累的过程。重要的是，每天学习的过程一定要吃透，养成主动思考的好习惯。因为，越到后面肯定是越难的，如果前期不养成习惯，后面很可能心有余而力不足。
就像刷题，一旦不会做就去找解题报告，最后就养成了看解题报告才会做题的习惯。当然这也是一种习惯，只不过不是一种好习惯罢了。
5）实践是检验真理的唯一标准
光看教程肯定是不行的，写代码肯定还是要动手的，因为有些语法你看一遍，必定忘记。但是写了几遍，永世难忘。这或许就是写代码的魅力所在吧。
所以，记得多写代码实践哟 (＾Ｕ＾)ノ~ＹＯ
6）坚持其实并没有那么难
每天把教程上的内容，自己在键盘上敲一遍，坚持一天，两天，三天。你会发现，第四天就变成了习惯。所以坚持就是今天做了这件事情，明天继续做。
7）适当给予正反馈
然而，就算再有趣的教程，看多了都会乏味，这是人性决定的，你我都逃不了。能够让你坚持下去的只有你自己，这时候，适当给予自己一些正反馈就显得尤为重要。比如，可以用一张表格将自己的学习计划记录下来，然后每天都去分析一下自己的数据。
当然，你也可以和我一样，创建一个博客，然后每天更新博文，就算没有内容，也坚持日更，久而久之，你会发现，下笔如有神，键盘任我行！更新的内容，可以是自己的学习笔记，心路历程等等。
看着每天的粉丝量呈指数级增长，这是全网对你的认可，应该没有什么会是比这个更好的正反馈了。
8）学习需要有仪式感
那么，至此，不知道屏幕前的你感想如何，反正正在打字的我已经激情澎湃了。已经全然忘记这一章是要讲C语言基础的了！
介于篇幅，我会把C语言基础的内容，放在这个专栏《光天化日学C语言》里面去讲，一天更新一篇，对啊，既然说了要坚持，要养成习惯，我当然也要做到啦~如果你学到了哪一章，可以在评论区评论 “打卡” ，也算是一种全网见证嘛！
我也很希望大家的学习速度能够超越我的更新速度。
2、语法配套练习
学习的过程中，做题当然也是免不了的，还是应征那句话：实践是检验真理的唯一标准。
而这里的题库，是我花了大量时间，搜罗了网上各大C语言教程里的例题，总结出来的思维导图，可以先大致看一眼：

从数学基础、输入输出、数据类型、循环、数组、指针、函数、位运算、结构体、排序等几个方面，总结出的具有概括性的例题 100 道《C语言入门100例》，目前还在更新中。
这里可以列举几个例子：
1、例题1：交换变量的值
一、题目描述
循环输入，每输入两个数 a aa 和 b bb，交换两者的值后输出 a aa 和 b bb。当没有任何输入时，结束程序。

二、解题思路
难度：🔴⚪⚪⚪⚪

这个题的核心是考察如何交换两个变量的值，不像 python，我们可以直接写出下面这样的代码就实现了变量的交换。
a, b = b, a
1
在C语言里，这个语法是错误的。
我们可以这么理解，你有两个杯子 a aa 和 b bb，两个杯子里都盛满了水，现在想把两个杯子里的水交换一下，那么第一个想到的方法是什么？
当然是再找来一个临时杯子：
1）先把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
2）再把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里；
3）最后把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子；

这种就是临时变量法，那么当然，还有很多很多的方法，接下来就让我们来见识一下吧。

三、代码详解
1、正确解法1：引入临时变量
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b, tmp;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      tmp = a; // (1)
      a = b;    // (2)
      b = tmp; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) tmp = a;表示把 a aa 杯子的水倒进这个临时的杯子里；
( 2 ) (2)(2) a = b;表示把 b bb 杯子的水倒进 a aa 杯子里；
( 3 ) (3)(3) b = tmp;表示把临时杯子里的水倒进 b bb 杯子里；
这三步，就实现了变量 a aa 和 b bb 的交换。
2、正确解法2：引入算术运算
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      a = a + b; // (1)
      b = a - b; // (2)
      a = a - b; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) a = a + b;执行完毕后，现在最新的a的值变成原先的a + b的值；
( 2 ) (2)(2) b = a - b;执行完毕后，相当于b的值变成了a + b - b，即原先a的值；
( 3 ) (3)(3) a = a - b;执行完毕后，相当于a的值变成了a + b - a，即原先b的值；
从而实现了变量a和b的交换。
3、正确解法3：引入异或运算
首先，介绍一下C语言中的^符号，代表的是异或。
二进制的异或，就是两个数转换成二进制表示后，按照位进行以下运算：
左操作数右操作数异或结果
0 0 0
1 1 0
0 1 1
1 0 1
也就是对于 0 和 1，相同的数异或为 0，不同的数异或为 1。
这样就有了三个比较清晰的性质：
1）两个相同的十进制数异或的结果一定位零。
2）任何一个数和 0 的异或结果一定是它本身。
3）异或运算满足结合律和交换律。
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      a = a ^ b; // (1)
      b = a ^ b; // (2)
      a = a ^ b; // (3)
      printf("%d %d\n", a, b);
}
return 0;
}
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我们直接来看 ( 1 ) (1)(1) 和 ( 2 ) (2)(2) 这两句话，相当于b等于a ^ b ^ b，根据异或的几个性质，我们知道，这时候的b的值已经变成原先a的值了。
而再来看最后一句话，相当于a等于a ^ b ^ a，还是根据异或的几个性质，这时候，a的值已经变成了原先b的值。
从而实现了变量a和b的交换。

4、正确解法4：奇淫技巧
当然，由于这个题目问的是交换变量后的输出，所以它是没办法知道我程序中是否真的进行了交换，所以可以干一些神奇的事情。比如这么写：
#include <stdio.h>
int main() {
int a, b;
while (scanf("%d %d", &a, &b) != EOF) {
      printf("%d %d\n", b, a);
}
return 0;
}
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你学废了吗 🤣？
2、例题2：整数溢出
一、题目描述
先输入一个 t ( t ≤ 100 ) t (t \le 100)t(t≤100)，然后输入 t tt 组数据。每组输入为 4 个正整数 a , b , c , d ( 0 ≤ a , b , c , d ≤ 2 62 ) a,b,c,d(0 \le a,b,c,d \le 2^{62})a,b,c,d(0≤a,b,c,d≤2
62
)，输出 a + b + c + d a+b+c+da+b+c+d 的值。

二、解题思路
难度：🔴🔴⚪⚪⚪

这个问题考察的是对补码的理解。
仔细观察题目给出的四个数的范围：[ 0 , 2 62 ] [0, 2^{62}][0,2
62
]，这四个数加起来的和最大值为 2 64 2^{64}2
64
。而C语言中，long long的最大值为：2 63 − 1 2^{63}-12
63
−1，就算是unsigned long long，最大值也只有2 64 − 1 2^{64}-12
64
−1。
但是我们发现，只有当四个数都取得最大值 2 62 2^{62}2
62
  时，结果才为 2 64 2^{64}2
64
，所以可以对这一种情况进行特殊判断，具体参考代码详解。
三、代码详解
#include <stdio.h>
typedef unsigned long long ull;                         // (1)
const ull MAX = (((ull)1)<<62);                         // (2)

int main() {
int t;
ull a, b, c, d;
scanf("%d", &t);
while (t--) {
scanf("%llu %llu %llu %llu", &a, &b, &c, &d);    // (3)
if (a == MAX && b == MAX && c == MAX && d == MAX) // (4)
printf("18446744073709551616\n");          // (5)
else
printf("%llu\n", a + b + c + d);             // (6)
}
return 0;
}
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( 1 ) (1)(1) 由于这题数据量较大，所有数据都需要用64位无符号整型。ull作为unsigned long long的别名；
( 2 ) (2)(2) 用常量MAX表示 2 62 2^{62}2
62
，这里采用左移运算符直接实现 2 22 是幂运算；
数学 C语言
2 n 2^n2
n
1<<n
需要注意的是，由于 1 是int类型，所以需要对 1 进行强制转换。(ull)1等价于(unsigned long long)1；
( 3 ) (3)(3) %llu是无符号64位整型的输入方式；
( 4 ) (4)(4) 这里是对所有数都等于最大值的特殊判断，&&运算符的优先级低于==，所以这里不加括号也没事；
( 5 ) (5)(5) 由于 2 64 2^{64}2
64
  是无法用数字的形式输出的，所以我们提前计算机算好以后，用字符串的形式进行输出；
( 6 ) (6)(6) 其它情况都在 [ 0 , 2 64 − 1 ] [0, 2^{64}-1][0,2
64
−1] 范围内，直接相加输出即可。
由于这个专栏是付费专栏，可能对学生党不是很友好，所以作者经过再三思考，打算放出 300 张一折优惠券，先到先得。只要拿这个图片来找作者即可享受，仅限前 300 名。
为了适当提高一定门槛，你至少需要学会如何下载图片或者截图并且发送到微信里 🤣。

3、数据结构
《C语言入门100例》上的例题，如果能理解前面 25 道，那基本C语言的学习就可以告一段落了，接下来就要开始我们的数据结构的学习了。
1、什么是数据结构
你可能听说过数组、链表、队列、栈、堆、二叉树、图，没错，这些都是数据结构，但是你要问我什么是数据结构，我突然就一脸懵逼了。
如果一定要给出一个官方的解释，那么它就是：
计算机存储、组织数据的方式。相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。通常情况下，精心选择的数据结构可以带来更高的运行或者存储效率。往往同高效的检索算法和索引技术有关。

是不是还不如说它是堆，是栈，是队列呢？
是这样的，我们学习的过程中，跳过一些不必要的概念，能够节省我们更多的时间，从而达到更好的效果，当你还在理解数据结构是什么的时候，可能人家已经知道了栈有哪些操作了。
2、数据结构和算法的关系
很多同学搞不明白，数据结构与算法有哪些千丝万缕的关系？甚至有些同学以为算法里本身就包含了数据结构。
数据结构主要讲解数据的组织形式，比如链表，堆，栈，队列。
而算法，则注重的是思想，比如链表的元素怎么插入、删除、查找？堆的元素怎么弹出来的？栈为什么是先进后出？队列又为什么是先进先出？
讲得直白一点，数据结构是有实体的，算法是虚拟的；数据结构是物质上的，算法是精神上的。当然，物质和精神缺一不可。
3、数据结构概览
周末花了一个下午整理的思维导图，数据结构：

常用的一些数据结构，各自有各自的优缺点，总结如下：
a、数组
内存结构：内存空间连续
实现难度：简单
下标访问：支持
分类：静态数组、动态数组
插入时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)

b、字符串
内存结构：内存空间连续，类似字符数组
实现难度：简单，一般系统会提供一些方便的字符串操作函数
下标访问：支持
插入时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)

c、链表
内存结构：内存空间连续不连续，看具体实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：单向链表、双向链表、循环链表、DancingLinks
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：O ( n ) O(n)O(n)
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

d、哈希表
内存结构：哈希表本身连续，但是衍生出来的结点逻辑上不连续
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：正数哈希、字符串哈希、滚动哈希
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

e、队列
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FIFO、单调队列、双端队列
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

f、栈
内存结构：看用数组实现，还是链表实现
实现难度：一般
下标访问：不支持
分类：FILO、单调栈
插入时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)
查找时间复杂度：理论上不支持
删除时间复杂度：O ( 1 ) O(1)O(1)

g、树
内存结构：内存结构一般不连续，但是有时候实现的时候，为了方便，一般是物理连续，逻辑不连续
实现难度：较难
下标访问：不支持
分类：二叉树和多叉树
插入时间复杂度：看情况而定
查找时间复杂度：理论上 O ( l o g 2 n ) O(log_2n)O(log
2

n)
删除时间复杂度：看情况而定

1、二叉树
二叉树的种类较多，比如：二叉搜索树、平衡树。平衡树又可以分为 AVL 树、红黑树、线段树、堆。最平衡的树莫过于满二叉树了。
其中，堆也是一种二叉树，也就是我们常说的优先队列。
2、多叉树
B树和B+树是多叉树，当然我们平时学到的并查集其实也是个多叉树，更加严谨一点，应该称之为森林。
h、图
内存结构：不一定
实现难度：难
下标访问：不支持
分类：有向图、无向图
插入时间复杂度：根据算法而定
查找时间复杂度：根据算法而定
删除时间复杂度：根据算法而定

1、图的概念
在讲解最短路问题之前，首先需要介绍一下计算机中图（图论）的概念，如下：
图 G GG 是一个有序二元组 ( V , E ) (V,E)(V,E)，其中 V VV 称为顶点集合，E EE 称为边集合，E EE 与 V VV 不相交。顶点集合的元素被称为顶点，边集合的元素被称为边。
对于无权图，边由二元组 ( u , v ) (u,v)(u,v) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V。对于带权图，边由三元组 ( u , v , w ) (u,v, w)(u,v,w) 表示，其中 u , v ∈ V u, v \in Vu,v∈V，w ww 为权值，可以是任意类型。
图分为有向图和无向图，对于有向图， ( u , v ) (u, v)(u,v) 表示的是从顶点 u uu 到顶点 v vv 的边，即 u → v u \to vu→v；对于无向图，( u , v ) (u, v)(u,v) 可以理解成两条边，一条是从顶点 u uu 到顶点 v vv 的边，即 u → v u \to vu→v，另一条是从顶点 v vv 到顶点 u uu 的边，即 v → u v \to uv→u；
2、图的存储
对于图的存储，程序实现上也有多种方案，根据不同情况采用不同的方案。接下来以图二-3-1所表示的图为例，讲解四种存储图的方案。

1）邻接矩阵
邻接矩阵是直接利用一个二维数组对边的关系进行存储，矩阵的第 i ii 行第 j jj 列的值表示 i → j i \to ji→j 这条边的权值；特殊的，如果不存在这条边，用一个特殊标记 ∞ \infty∞ 来表示；如果 i = j i = ji=j，则权值为 0 00。
它的优点是：实现非常简单，而且很容易理解；缺点也很明显，如果这个图是一个非常稀疏的图，图中边很少，但是点很多，就会造成非常大的内存浪费，点数过大的时候根本就无法存储。
[ 0 ∞ 3 ∞ 1 0 2 ∞ ∞ ∞ 0 3 9 8 ∞ 0 ] \left[
01∞9∞0∞8320∞∞∞30
0∞3∞102∞∞∞0398∞0
\right]
⎣
⎢
⎢
⎡


0
1
∞
9


∞
0
∞
8


3
2
0
∞


∞
∞
3
0


⎦
⎥
⎥
⎤

2）邻接表
邻接表是图中常用的存储结构之一，采用链表来存储，每个顶点都有一个链表，链表的数据表示和当前顶点直接相邻的顶点的数据( v , w ) (v, w)(v,w)，即顶点和边权。
它的优点是：对于稀疏图不会有数据浪费；缺点就是实现相对邻接矩阵来说较麻烦，需要自己实现链表，动态分配内存。
如图所示，d a t a datadata 即 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组，代表和对应顶点 u uu 直接相连的顶点数据，w ww 代表 u → v u \to vu→v 的边权，n e x t nextnext 是一个指针，指向下一个 ( v , w ) (v, w)(v,w) 二元组。

在 C++ 中，还可以使用 vector 这个容器来代替链表的功能；
vector<Edge> edges[maxn];
1
3）前向星
前向星是以存储边的方式来存储图，先将边读入并存储在连续的数组中，然后按照边的起点进行排序，这样数组中起点相等的边就能够在数组中进行连续访问了。
它的优点是实现简单，容易理解；缺点是需要在所有边都读入完毕的情况下对所有边进行一次排序，带来了时间开销，实用性也较差，只适合离线算法。
如图所示，表示的是三元组 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w) 的数组，i d x idxidx 代表数组下标。

那么用哪种数据结构才能满足所有图的需求呢？
接下来介绍一种新的数据结构 —— 链式前向星。
4）链式前向星
链式前向星和邻接表类似，也是链式结构和数组结构的结合，每个结点 i ii 都有一个链表，链表的所有数据是从 i ii 出发的所有边的集合（对比邻接表存的是顶点集合），边的表示为一个四元组 ( u , v , w , n e x t ) (u, v, w, next)(u,v,w,next)，其中 ( u , v ) (u, v)(u,v) 代表该条边的有向顶点对 u → v u \to vu→v，w ww 代表边上的权值，n e x t nextnext 指向下一条边。
具体的，我们需要一个边的结构体数组 edge[maxm]，maxm表示边的总数，所有边都存储在这个结构体数组中，并且用head来指向 i ii 结点的第一条边。! V! ~0 O0 F1 h. b
边的结构体声明如下：) _8 z" q! I$ T7 x3 ~0 n) }
struct Edge {
$ @# N3 T- k$ Y- n int u, v, w, next;7 r1 X- u, e$ x% L! [
Edge() {}& D" @) N6 a/ U$ P1 D2 f* K; b# d6 L3 ~
Edge(int _u, int _v, int _w, int _next) :
2 J+ }1 q# e3 H& S- e3 X       u(_u), v(_v), w(_w), next(_next)
2 U; I3 @4 K  \' x* s {0 W0 d6 O0 I. @( }. X9 A1 c3 d
}
. r6 E1 p8 \7 n# y5 \3 H& \}edge[maxm];! p! U, q% ], @2 _/ }: v
15 X7 G6 W7 @; n' V4 Z+ y( C2 ^
2
. @/ \/ A9 N$ {5 U; q( `8 C3
! L6 R& I& Y: }; c4
) I* A) w( {1 k0 J4 K% X. X5
5 f& p3 G  f& m7 |0 N6& c. t" O( I* T% `
73 I7 a, y. C* `5 B  g# ^
8( S$ |3 B  F# G) C+ _
初始化所有的head = -1，当前边总数 edgeCount = 0；7 x" L/ f6 C3 y# T: z
每读入一条 u → v u \to vu→v 的边，调用 addEdge(u, v, w)，具体函数的实现如下：
6 O% s, D0 }+ ^. qvoid addEdge(int u, int v, int w) {9 S  k* \' d# e2 W1 O4 R
edge[edgeCount] = Edge(u, v, w, head);- S2 a4 i5 D. ^: G/ _& J8 w, e
head = edgeCount++;2 c* }) c- h- }; q6 G
}' j: s# E9 o3 `3 Y7 d
1
8 T, Z* W/ }$ w5 E2 g2
4 ^; }) E+ R  t+ h+ J3  W0 S' A" o( g7 Y& t2 Y
4$ ]) P" R8 ^' X0 R! a  W
这个函数的含义是每加入一条边 ( u , v , w ) (u, v, w)(u,v,w)，就在原有的链表结构的首部插入这条边，使得每次插入的时间复杂度为 O ( 1 ) O(1)O(1)，所以链表的边的顺序和读入顺序正好是逆序的。这种结构在无论是稠密的还是稀疏的图上都有非常好的表现，空间上没有浪费，时间上也是最小开销。
+ K1 M4 u; _! R调用的时候只要通过head就能访问到由 i ii 出发的第一条边的编号，通过编号到edge数组进行索引可以得到边的具体信息，然后根据这条边的next域可以得到第二条边的编号，以此类推，直到 next域为 -1 为止。
& P: c8 n+ b0 Y1 }" X4 `for (int e = head; ~e; e = edges[e].next) {
' L2 L5 Z  v8 o$ M+ U/ j" u  u int v = edges[e].v;
( p' _& ]6 E% z- S ValueType w = edges[e].w;4 A) a* A6 a( Q9 O# K
...4 w. l8 t3 U" B# Z( _
}, Y& c6 f7 Z2 R7 r
1
0 p; Q( g6 U7 Q( k8 L/ z29 _$ x; R! p0 t
3
$ K, P* K; q3 g6 ]+ _/ ~: w+ q# n% \4* s3 Q9 ]8 M  [7 t, O  J
5
8 U+ }2 @! _! C& u3 p9 A: P* u9 _- G文中的 ~e等价于 e != -1，是对e进行二进制取反的操作（-1 的的补码二进制全是 1，取反后变成全 0，这样就使得条件不满足跳出循环）。# s5 u! k! S. z$ `1 M+ M( h2 u/ l
4、算法入门
& U; B, j' X% E! o9 a. x8 P算法入门，其实就是要开始我们的刷题之旅了。先给出思维导图，然后一一介绍入门十大算法。: [4 z* O$ m2 C/ n$ r

$ W: M' [( w+ r6 |# w
: {, F& G/ u' i入门十大算法是枚举、排序、模拟、二分、双指针、差分法、位运算、贪心、迭代、分治。5 _$ s* [8 t: C$ q9 ^. `) ~
对于这十大算法，我会逐步更新道这个专栏里面：《LeetCode算法全集》。6 n9 W- ]% g% L- v+ N: F
1、枚举
7 X# n9 z& }( U* V* }枚举可以简单理解成for循环，从一个数组中遍历查找一个值，就是枚举；从一个数组中找到一个最大值，就是枚举；求数组所有数的和，也是枚举。
- _* W+ w. `& F$ @' y7 e; Y对于枚举而言，基本就是循环语句的语法学会，这个算法就算学会了。' ]  l- t; H! \9 f4 m
2、排序
5 s' T0 Q/ P% f. E既然是入门，千万不要去看快排、希尔排序这种冷门排序。% b% e" M# w2 g
冒泡排序、选择排序、简单插入排序原理好懂，先看懂再说，其他不管。因为这三者都是基于枚举的。- _) S5 C0 h* X  M# l0 `3 j  a
C中有现成qsort排序函数，C++中有现成 sort排序函数，直接拿来用，等算法进阶时再回头来看快速排序的算法实现。
& n1 k5 }4 o* v- d3、模拟
% K4 c7 W0 F! m. e" }+ V; Y模拟就是要求做什么，你就做什么，完全不要去考虑效率问题。) ]2 D8 ~9 Z, C5 b; W
不管时间复杂度和空间复杂度，放手去做！
" u6 Z) l5 d, \% C" ]$ m但是，有时候模拟题需要一些复杂的数据结构，所以模拟题难起来也可以很男，难上加难。
3 {/ A) g5 D8 y9 j: W" t4、二分
1 e" [. Q+ F7 P6 E二分一般指二分查找，当然有时候也指代二分枚举。
9 v' }8 i" J- G: {4 C3 [( H& k2 q* ?例如，在一个有序数组中查找值，我们一般这个干：
: m  @, y5 `- J6 B+ ?1）令初始情况下，数组下标从 0 开始，且数组长度为 n nn，则定义一个区间，它的左端点是 l = 0 l=0l=0，右端点是 r = n − 1 r = n-1r=n−1；
" l8 B7 i3 H* j  b2）生成一个区间中点 m i d = ( l + r ) / 2 mid = (l + r) / 2mid=(l+r)/2，并且判断 m i d midmid 对应的数组元素和给定的目标值的大小关系，主要有三种：
8 a) W. @  Q' f% a 2.a）目标值等于数组元素，直接返回 m i d midmid；% L6 t+ A# t0 V# p3 g& e
2.b）目标值大于数组元素，则代表目标值应该出现在区间 [ m i d + 1 , r ] [mid+1, r][mid+1,r]，迭代左区间端点：l = m i d + 1 l = mid + 1l=mid+1；
* E7 H# ~" P7 ~- W 2.c）目标值小于数组元素，则代表目标值应该出现在区间 [ l , m i d − 1 ] [l, mid-1][l,mid−1]，迭代右区间端点：r = m i d − 1 r = mid - 1r=mid−1；
8 M+ S4 O; O- ?- u- m3）如果这时候 l > r l > rl>r，则说明没有找到目标值，返回 − 1 -1−1；否则，回到 2）继续迭代。! A$ N" S0 K9 R, F' e$ p4 e/ O
5、双指针# R; k- o0 ~- `" p; D
双指针，主要是利用两个下标在一个数组上，根据问题的单调性，进行指针偏移，由于每个指针只往后偏移，所以时间复杂度可以达到 O ( n ) O(n)O(n)，由于思想非常简单，所以出题时，热度不低。# \; U8 f+ I- |+ t0 v
' k2 X/ Q+ Z$ q* B
) P2 N6 h+ g4 ]
6、差分法* a1 W; Z8 n+ y7 Z- D! Z
差分法一般配合前缀和。
* N) h0 F: d$ k对于区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内求满足数量的数，可以利用差分法分解问题；
, C( i9 o5 b7 @# x" ]& x* x, `假设 [ 0 , x ] [0, x][0,x] 内的 g o o d n u m b e r good \ numbergood number 数量为 g x g_xg ! r- a% o/ n5 w1 P7 b# M6 d8 o* `
x& [3 V& Y! G8 ]3 x7 f, @
9 M$ `& B- ^! |  Z
，那么区间 [ l , r ] [l, r][l,r] 内的数量就是 g r − g l − 1 g_r - g_{l-1}g ' _! ]( y. N. q" E5 M
r
9 P2 v: @6 ^' L. }
" ]3 a) V1 \6 Y$ h$ W: d7 B' W −g
0 B4 s3 \" N, s7 G+ v0 pl−1
$ i. P2 m! i, y0 R/ p 3 y7 g5 V+ r7 K0 q+ {6 S
；分别用同样的方法求出 g r g_rg
5 b9 p4 \; @0 {  Sr0 g+ D4 [$ N. O  _( v5 Q! y

: P8 c) c) a' ~: K  和 g l − 1 g_{l-1}g
5 b$ T/ G' C7 @% P9 Bl−1
% N0 Z/ N- j4 X
" q2 v6 s$ W$ {8 l/ i ，再相减即可；$ O, v% k- w0 q. H, A  U% e: P

  f) H0 m  s; A! M- W7 v: T  r
0 [+ |% z" {" i! \5 M  C" r5 @7、位运算7 ]. [+ R- L' z8 |1 J" W' \9 w% M
位运算可以理解成对二进制数字上的每一个位进行操作的运算。$ `- y% k1 I& k; |+ ^
位运算分为布尔位运算符和移位位运算符。
0 A1 u  S3 a9 E! U6 d* L. X布尔位运算符又分为位与(&)、位或(|)、异或(^)、按位取反(~)；移位位运算符分为左移(<<) 和右移(>>)。
5 x# Q0 L2 E# B% Q如图所示：
# s' ~+ b: H* u( K; d: M" O( i3 _" [9 F( V7 J. r+ S: h2 `, z

3 ^5 c3 {  n' c4 p) s位运算的特点是语句短，但是可以干大事！
6 U6 E3 E9 n8 i5 D  i比如，请用一句话来判断一个数是否是2的幂，代码如下：
- m  ?# p  r) v0 O6 {) ?!(x & (x - 1))$ i, a+ z9 U5 l+ X- _
17 N" u5 t4 e! n4 X0 N
8、贪心
# b: Z9 Z! q. A  r/ Y9 m: ~6 X贪心，一般就是按照当前最优解，去推算全局最优解。
, y2 F" X5 C5 }( o! M9 \所以，只有当当前最优解和全局最优解一致时才能用贪心算法。贪心算法的证明是比较难的，但是一些简单的贪心问题会比较直观，很容易看出来这个能够这么贪。
- }& N, @# J* @1 O9、迭代$ I  B; n& ]' M7 f; r
每一次对过程的重复称为一次“迭代”，而每一次迭代得到的结果会作为下一次迭代的初始值，周而复始，直到问题全部解决。+ k! s. Y, n7 X" o) h- Z2 G: _
10、分治
8 Q! v4 x7 {* P/ f  l& H分治，就是把问题分成若干子问题求解，子问题解决后，问题就解决了。一般利用递归实现。属于初学者比较头疼的内容。递归一开始学习的时候，一定要注意全局变量和局部变量的关系。
6 }& j4 r! |9 U- U5、算法进阶2 R$ r( A# }6 B
算法进阶这块是我打算规划自己未来十年去完成的一个项目，囊括了大学生ACM程序设计竞赛、高中生的OI竞赛、LeetCode 职场面试算法的算法全集，也就是之前网络上比较有名的《夜深人静写算法》系列，这可以说是我自己对自己的一个要求和目标吧。, G6 M9 Q1 d7 F/ e
如果只是想进大厂，那么算法入门已经足够了，不需要再来看算法进阶了，当然如果对算法有浓厚兴趣，也欢迎和我一起打卡。由于内容较难，工作也比较忙，所以学的也比较慢，一周基本也只能更新一篇。
# v) E" j+ G* B  M6 c1 T这个系列主要分为以下几个大块内容：
7 P7 x$ t& R# ~; k* J 1）图论
- `7 ]3 ?$ k  ^6 E 2）动态规划
; r4 R. y* E9 p& D; m" w 3）计算几何
5 E2 I" |+ ~3 b% z, E 4）数论  \" x  ^3 ~( e, C/ A# n
5）字符串匹配( |5 W! W5 b# u5 q
6）高级数据结构（课本上学不到的）5 a/ A  x  K$ G/ W
7）杂项算法
+ e" Q8 Q* m/ \9 _8 A6 [  G9 G0 `
( A. M2 ?1 V1 g- u
先来看下思维导图，然后我大致讲一下每一类算法各自的特点，以及学习方式：4 H& X" ?" S9 W6 n1 E, r

0 P: v# `2 y' H. X( a+ ^+ ?- J5 A8 f0 E6 W4 l" Y$ |1 ]
- v% d4 z* n6 S6 A9 p" h

+ V+ g# M9 J+ J; o& R1）图论
) @( a3 ^* w0 l/ U' ^& {1、搜索概览% B" i1 R% Z, s7 c* Y* _6 k2 h
图论主要围绕搜索算法进行展开。搜索算法的原理就是枚举。利用计算机的高性能，给出人类制定好的规则，枚举出所有可行的情况，找到可行解或者最优解。) V* ^  w* C* ^

9 P0 |) s2 c4 X& l& Q& }  N1 w# {* C+ O% h/ a
比较常见的搜索算法是深度优先搜索（又叫深度优先遍历）和广度优先搜索（又叫广度优先遍历或者宽度优先遍历）。各种图论的算法基本都是依靠这两者进行展开的。8 S3 V9 Y2 C9 k2 _
2、深度优先搜索
1 E3 R1 G8 ~6 l! I# M深度优先搜索一般用来求可行解，利用剪枝进行优化，在树形结构的图上用处较多；而广度优先搜索一般用来求最优解，配合哈希表进行状态空间的标记，从而避免重复状态的计算；; m8 ~* \1 E! X/ d4 C! Q6 r4 @; i
原则上，天下万物皆可搜，只是时间已惘然。搜索会有大量的重复状态出现，这里的状态和动态规划的状态是同一个概念，所以有时候很难分清到底是用搜索还是动态规划。, w" S+ l$ N/ Q: l8 L$ v) g9 {
但是，大体上还是有迹可循的，如果这个状态不能映射到数组被缓存下来，那么大概率就是需要用搜索来求解的。
- k8 i5 T( A! U$ Y! x; ^3 e% b如图所示，代表的是一个深度优先搜索的例子，红色实箭头表示搜索路径，蓝色虚箭头表示回溯路径。; ?9 C( Q9 T% |/ [' |

& |. z& y& d; X$ a. o! e( {
6 W8 ?$ E# L3 D7 O1 x+ _- q# `红色块表示往下搜索，蓝色块表示往上回溯，遍历序列为：. t0 H( M/ S3 g  o: K; @1 E. f
0 -> 1 -> 3 -> 4 -> 5 -> 2 -> 6
3 P. O7 v( {" A' o3 [9 |: J1/ b. f# k- T" d, Q2 Y
同样，搜索的例子还有：
. y# w1 R- o3 j! A2 g& }3 c- S/ G! T4 d! \

% a- C% a) c" ~6 ]( G9 C1 g" V计算的是利用递归实现的 n nn 的阶乘。7 M5 z# N7 {# t5 |; r% h# T
3、记忆化搜索* I$ p* u. S5 R2 M+ A
对于斐波那契函数的求解，如下所示：
2 u8 ?8 d: K) G$ m! f& Zf ( n ) = { 1 ( n = 0 ) 1 ( n = 1 ) f ( n − 1 ) + f ( n − 2 ) ( n > 2 ) f(n) =
$ q* z. w& g+ x  S6 @⎧⎩⎨11f(n−1)+f(n−2)(n=0)(n=1)(n>2)
2 K  k, `6 O( {. v{1(n=0)1(n=1)f(n−1)+f(n−2)(n>2)
3 c2 N  B' \/ Q6 W) _, z2 lf(n)=
" M/ i/ R! @4 K/ j' i⎩  T& e3 o" u% b! B3 Z  s8 ~
⎪' v8 q& `3 U+ \6 b# V6 U
⎨
& y9 b1 |! U% F% E! p. x# }⎪
/ Y( f  o( j/ l⎧
! u, ~+ m6 g, ~% w' t! L1 ` - F3 }$ R: Z+ C

4 v4 X: K1 `. ^) W/ M" z1
7 r6 x$ z/ M0 J1& V# Y3 R8 D; L+ L
f(n−1)+f(n−2)
5 M! ?4 u: \" Z6 J1 ]9 S
, x8 F, }3 n% c* o* I9 o  9 N) |, J" H( J4 Q
(n=0)
$ M& k# F0 r( C1 R(n=1)6 w7 u3 i/ E/ N/ @" h/ x5 X3 b
(n>2)7 c7 x" W6 p  N2 G$ J2 L6 n

8 o# F( @( k& }! @! k; Q) l% B: a2 x
# z7 K, w* J1 \" }对于 f ( 5 ) f(5)f(5) 的求解，程序调用如下：
% J$ L+ W. f' }8 E* t! B  D) m3 {5 y6 W( ]
+ Z* }" [. `& T/ M9 g
这个过程用到了很多重复状态的搜索，我们需要将它优化，一般将一些状态缓存起来。' Z) ~! R1 z3 Q5 I' l; f% n  O+ z
我们通过一个动图来感受一下：
' B7 l: E* \, f- r( q; I
5 m" w" w  e5 k# P3 F3 H, _+ k4 Z7 S6 C% @) u  ~; t
当第二次需要计算 f ( 2 ) f(2)f(2) 和 f ( 3 ) f(3)f(3) 时，由于结果已经计算出来并且存储在 h [ 2 ] h[2]h[2] 和 h [ 3 ] h[3]h[3] 中，所以上面这段代码的fib != inf表达式为真，直接返回，不再需要往下递归计算，这样就把原本的 “递归二叉树” 转换成了 “递归链”，从而将原本指数级的算法变成了多项式级别。
; u" @2 G* d, C$ B& T- L这就是记忆化搜索，像这种把状态缓存起来的方法，就是动态规划的思想了。/ m3 t* }. x1 s+ e+ n" J, i1 I! k4 l
4、广度优先搜索
- X0 y2 {* {, `* H- Z7 l! S- M6 t单向广搜就是最简化情况下的广度优先搜索（Breadth First Search），以下简称为广搜。游戏开发过程中用到的比较广泛的 A* 寻路，就是广搜的加强版。- F6 `0 C2 q& b4 ]
我们通过一个动图来对广搜有一个初步的印象。, v3 u8 j! r, N/ n) ^% W- ?8 u* i

5 ~; m4 p: A! p1 h: X. p. o, R! i' u$ E1 ]0 G( a
5 P. T  \5 H3 `: O- L2 F+ H% s/ g8 q
, s5 a7 U* u3 p) g
从图中可以看出，广搜的本质还是暴力枚举。即对于每个当前位置，枚举四个相邻可以行走的方向进行不断尝试，直到找到目的地。有点像洪水爆发，从一个源头开始逐渐蔓延开来，直到所有可达的区域都被洪水灌溉，所以我们也把这种算法称为 FloodFill。3 P; l5 W" _( E0 h- m8 k
那么，如何把它描述成程序的语言呢？这里需要用到一种数据结构 —— 队列。3 [9 h* S/ y. S: E3 V/ N) i, M. A
这时候，算法和数据结构就完美结合了。
$ ^5 {0 z( C. \; m' }2）动态规划
+ n+ b3 ^) [2 [+ v动态规划算法三要素：
* [. g; f: U# r! r5 t- C" } ①所有不同的子问题组成的表；
. B6 e) P, w' x  w1 t, D0 r ②解决问题的依赖关系可以看成是一个图；- N: M$ z! n7 ]8 R, l
③填充子问题的顺序（即对②的图进行拓扑排序，填充的过程称为状态转移）；
5 Q. V$ J+ H5 j, F* K: v
) j) J. ~6 [2 C
( R- t6 [4 h7 t2 F. I5 M4 ~" E$ ]如果子问题的数目为 O ( n t ) O(n^t)O(n
" `% k: B( l& j& o) Y) Ft& G. d7 U8 E& \+ R
)，每个子问题需要用到 O ( n e ) O(n^e)O(n
# z  Y& n' y. b+ i. R3 Ue, U" h$ X- D9 `6 L) d
) 个子问题的结果，那么我们称它为 tD/eD 的问题，于是可以总结出四类常用的动态规划方程：（下面会把opt作为取最优值的函数（一般取 m i n minmin 或 m a x maxmax ）, w ( j , i ) w(j, i)w(j,i)为一个实函数，其它变量都可以在常数时间计算出来）。7 y5 a5 W  }: X  I
1、1D/1D  _7 ?2 r& o& U0 c4 n( w- ]
d [ i ] = o p t ( d [ j ] + w ( j , i ) ∣ 0 < = i < j ) d = opt( d[j] + w(j, i) | 0 <= i < j )- s5 P0 `  s. q+ @3 i4 z
d=opt(d[j]+w(j,i)∣0<=i<j)
1 d$ `% W' |7 z( C4 J状态转移如图四所示（黄色块代表d [ i ] dd，绿色块代表d [ j ] d[j]d[j]）：8 i& p+ k* X  F

" d) l4 |) ]; c9 Z8 n( V6 r4 q+ S( S( V  _$ c) m+ A5 U* m+ I( B
这类状态转移方程一般出现在线性模型中。: T9 w3 |! H" n) e
2、2D/0D
/ E) ?8 v  T% G/ xd [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ j ] + x i , d [ i ] [ j − 1 ] + y j , d [ i − 1 ] [ j − 1 ] + z i j ) d[j] = opt( d[i-1][j] + x_i, d[j-1] + y_j, d[i-1][j-1] + z_{ij} )
/ H6 c  r* g1 G. z" n0 M  Qd[j]=opt(d[i−1][j]+x
5 `2 s- P$ v8 K$ _9 ~i
7 W+ s% P+ b0 E6 _/ v0 f9 H 0 w0 \; ]& j6 _6 B+ Y) x/ \' g
,d[j−1]+y - E' N( d( J( B: G
j
' _% D7 p/ F: K! T 4 q( I  ]9 D2 H1 u: k% v
,d[i−1][j−1]+z , M6 P7 t: C+ B  G6 Q: b, X
ij- ]$ K4 s; h8 ~. j1 Y

# a% O8 B) V% d )
5 D! }4 i) Z" N状态转移如图四所示：# H. d( C1 i2 Y3 b1 H, ^
+ K) M4 q8 z  e& g8 S" q5 o/ X

* y7 J  ~- j' l; l% I" [比较经典的问题是最长公共子序列、最小编辑距离。
' m$ f9 i$ t/ e" U1 l1 J4 `, L有关最长公共子序列的问题，可以参考以下文章：夜深人静写算法（二十一）- 最长公共子序列
, D& X4 I1 r2 c5 f有关最小编辑距离的问题，可以参考以下文章：夜深人静写算法（二十二）- 最小编辑距离7 A8 K7 o/ m5 {0 _% q
3、2D/1D: t) e  Z4 I; z4 v  v- r* S
d [ i ] [ j ] = w ( i , j ) + o p t ( d [ i ] [ k − 1 ] + d [ k ] [ j ] ) d[j] = w(i, j) + opt( d[k-1] + d[k][j] )
& ]7 F$ P# z# o5 A0 Od[j]=w(i,j)+opt(d[k−1]+d[k][j]). U9 C, |0 r# t4 v
区间模型常用方程，如图所示：
, j' D) r1 x; V+ O7 k' u; e6 N  [2 W- H1 }% T
$ D+ k" ]* x  e
另外一种常用的 2D/1D 的方程为：
7 v, }  R1 K9 c) u7 f4 [3 c! {d [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i − 1 ] [ k ] + w ( i , j , k ) ∣ k < j ) d[j] = opt( d[i-1][k] + w(i, j, k) | k < j )
; x3 U' |. y, p" o1 fd[j]=opt(d[i−1][k]+w(i,j,k)∣k<j)
8 r9 c/ W# `: |0 A) }1 I8 K0 p区间模型的详细内容可以参考以下这篇文章：夜深人静写算法（二十七）- 区间DP
/ q& W! i* F( R% ^0 L4、2D/2D
+ V" }+ y+ ^: w3 O" S. Ed [ i ] [ j ] = o p t ( d [ i ′ ] [ j ′ ] + w ( i ′ , j ′ , i , j ) ∣ 0 < = i ′ < i , 0 < = j ′ < j ) d[j] = opt( d[i'][j'] + w(i', j', i, j) | 0 <= i' < i, 0 <= j' < j)
$ v) s5 _, l( r; @* M$ Id[j]=opt(d[i - @: {" v5 ]% f  M% H6 q& G, s
′
5 n) q1 Y2 U3 z1 C3 b& g; W# O ][j % D4 T" F! }+ R; A, p
′9 Y6 R$ x9 z& ?4 _
]+w(i
4 @6 H- G% @  A- ~: y4 p0 E% u& \′
8 d( t6 y$ z1 S ,j ; G) ~) q: n6 \1 \: [$ }
′7 F& i& ]& x, j* _9 z
,i,j)∣0<=i
3 r: W7 O. A' E+ ~" b′1 T2 ?. E8 t& s6 t( e6 `
<i,0<=j
+ A3 I8 m* A9 n% a′
) R9 ?+ |4 _2 W; o <j); S  I! ^  W4 G7 ?* j4 R
如图所示：8 i0 P' I; r6 ~; v& \
: u: r+ j0 c4 ?. b2 O+ |
4 Z  S8 P, K, d3 J% Q8 t
常见于二维的迷宫问题，由于复杂度比较大，所以一般配合数据结构优化，如线段树、树状数组等。
' T8 ^8 k" f% X% n" c- [对于一个tD/eD 的动态规划问题，在不经过任何优化的情况下，可以粗略得到一个时间复杂度是O ( n t + e ) O(n^ {t+e})O(n ( |/ E/ P1 _- x0 o$ o1 n) a
t+e
3 i+ ?2 {7 N1 |$ q2 M( d) ? )，空间复杂度是O ( n t ) O(n^t)O(n 2 C, \% o3 R1 D+ z
t
- y& z" {6 U  {$ T/ ~! [- H' t ) 的算法，大多数情况下空间复杂度是很容易优化的，难点在于时间复杂度，后续章节将详细讲解各种情况下的动态规划优化算法。- I; h- K# k9 {7 k7 T
3）计算几何
& K  ^# \' t' ?# j; O6 ^5 m1 Y, K4 S计算几何的问题是代码量最大的。它是计算机科学的一个分支，以往的解析几何，是用代数的方法，建立坐标系去解决问题，但是很多时候需要付出一些代价，比如精度误差，而计算几何更多的是从几何角度，用向量的方法来尽量减少精度误差，例如：将除法转化为乘法、避免三角函数等近似运算等等。
; }6 [0 k+ c# O) W  R如果一个比赛中，有一道计算几何的题，那么至少，它不会是一道水题。3 T9 n: Q5 `" I1 u% D2 b
1、double 代替 float
/ R" V9 }+ s4 w9 c: f' D# ]c++ 中 double 的精度高于 float，对精度要求较高的问题，务必采用 double；
" J# Y% ^# M6 }/ ^& K. i+ }9 W2、浮点数判定
& r) e9 u2 `( I% ~, a由于浮点数（小数）中是有无理数的，即无限不循环小数，也就是小数点后的位数是无限的，在计算机存储的时候不可能全部存下来，一定是近似的存储的，所以浮点数一定是存在精度误差的（实际上，就算是有理数，也是存在误差的，这和计算机存储机制有关，这里不再展开，有兴趣可以参见我博客的文章：C++ 浮点数精度判定）；8 T6 l4 o( u5 h) W
两个浮点数是否相等，可以采用两数相减的绝对值小于某个精度来实现：6 U7 d  @% q, E2 B  o5 r+ `9 n
const double eps = 1e-8;3 X' O# x+ J- Q: ]0 {+ t
bool EQ(double a, double b) {+ A% v7 ?- @2 N, j5 m' J2 W  i( i
return fabs(a - b) < eps;
- }8 E7 p# C# L; N}  W% ~; q8 H6 O( W  \' ]  ?. @
1
, F, h; `. g  X& ]" L2: T5 ]: M7 W/ O* J; q4 S
3
9 U- |& s  X+ X$ t; |4
* V& P& X/ H+ d* k并且可以用一个三值函数来确定某个数是零、大于零还是小于零：
- ]" K( l% v. A  w( D) f+ wint threeValue(double d) {# [% [* |6 q& ~$ S3 F
if (fabs(d) < eps). m6 p; W4 m0 b4 {! z
      return 0;
5 _0 Q/ X* u  P* W+ C- x7 ` return d > 0 ? 1 : -1;# _6 `6 Y8 C4 a6 _6 M
}% D' g3 i+ X) h' A- L* i- `/ Q
1. ?8 B0 W* z- S  _  M! W
2, {" \- o" I7 |& |' v
3
- o1 ^  _+ E5 f6 n$ }. e) u4 p4
3 u5 o/ A  g: u9 }1 P5
/ H/ G* B0 i$ f* E1 q4 o! B3 A3、负零判定
6 L0 t+ P9 n7 p  q因为精度误差的存在，所以在输出的时候一定要注意，避免输出 -0.00：
/ W% l$ G; e% \2 E3 O$ Y double v = -0.0000000001;
+ p* Q' B0 }2 L1 J# \ printf("%.2lf\n", v);
  H3 o8 O# `! t6 r  L1# V& \3 \% a9 P, D) N& h8 }" ~/ Q
2, E# C/ F: s! S
避免方法是先通过三值函数确定实际值是否为0，如果是0，则需要取完绝对值后再输出：
) {6 e0 K6 f1 A8 W) I+ g double v = -0.0000000001;. G4 K$ G. S* c3 `
if(threeValue(v) == 0) {( P/ D7 f. g6 F: |& M  D3 V' h' L
      v = fabs(v);1 A" F3 p9 m2 v+ E" U6 v
}
# J" D6 I, p6 Z printf("%.2lf\n", v);, h  d7 C& I& q$ B: p
1
/ T; d3 r' f, ]6 L7 B  G21 b8 \0 ]$ Y0 E) v1 K8 @1 n
3
( ]/ G) i& H3 Z0 ?4 ^4
! |" ?4 }" h7 e! _# P/ i) \5& Y: q" H. o+ k* P+ D; x( G0 `
4、避免三角函数、对数、开方、除法等. c9 z) G# H& u5 }
c++ 三角函数运算方法采用的是 CORDIC算法，一种利用迭代的方式进行求解的算法，其中还用到了开方运算，所以实际的算力消耗还是很大的，在实际求解问题的过程中，能够避免不用就尽量不用。
+ n/ u! Y0 r, {! e' w) ^2 m1 E除法运算会带来精度误差，所以能够转换成乘法的也尽量转换为乘法运算。# l$ q' s3 Y3 x' C: y
5、系统性的学习! h+ H% T/ x, ~* E; J* U  x
基础知识：点、向量、叉乘、点乘、旋转、线段、线段判交、三角形面积；
) ~+ q4 O0 c' I+ h进阶知识：多边形面积、凸多边形判定、点在多边形内判定；
3 R: I! Y: U; S8 X相关算法：二维凸包、三维凸包、旋转卡壳、多边形面积交、多边形面积并、多边形面积异或、多边形和圆的面积交、半平面交、最小覆盖圆、最小包围球、模拟退火。
/ E9 P9 y! j6 _' k
" t' g- v5 a' Q3 N0 _$ Q
. {. i& s- f6 b: B4 N3 X4 C% Y8 q$ `学习计算几何，最好是系统性的，刷题的过程中不断提炼出自己的模板。. w2 A" G- ]( O1 @) x
4）数论6 Q; y0 T4 U4 q1 t9 ~2 L; N
刷题的时候遇到不会的数论题，真的是很揪心，从头学起吧，内容实在是太多了，每个知识点都要证明吃透，不然下次遇到还是不会；不学吧，又不甘心，就是单纯的想把这个题过了，真是进退两难！5 J$ w0 q8 s* o1 |6 N1 ]2 v) C  ]
数论对一个人的数学思维要求较高，但是一般也是一些固定的模式，所以把模板整理出来很重要。
& x' {$ e; d; p1 p2 e当然，数论也有简单问题，一般先做一些入门题提升信心。
+ j! q$ A6 T* c. a1、数论入门
# l. C! s, p* M2 F6 v主要是一些基本概念，诸如：  |5 d0 @4 }+ S0 ?& g
整除性、素数与合数、素数判定、素数筛选法、因数分解、算术基本定理、因子个数、因子和、最大公约数 (GCD) 和最小公倍数 (LCM)、辗转相除、同余、模运算、快速幂取模、循环节；
0 C' ?$ L% N" a/ Q  ^5 v2、数论四大定理
! c+ R1 L2 t, s, ~; W: m这四个定理学完，可以KO很多题：  x) B6 z, y- @) g
欧拉定理、中国剩余定理、费马小定理、威尔逊定理
9 P( [+ p( U; q1 ?$ g: s# @9 s3、数论进阶
4 d8 S' e9 Z2 H5 Z5 q. j系统性的学习，基本也就这些内容了：, [( I$ I8 r: j* X0 P
扩展欧几里得、逆元、欧拉函数、同余方程组、扩展欧拉定理、RSA、卢卡斯定理、整数分块、狄利克雷卷积、莫比乌斯反演、大数判素、大数因子分解、大步小步离散对数等等。! u' e3 j. d! V  R6 V
5）字符串匹配- n3 G; L( e) X
字符串匹配学习路线比较明确。
0 W1 Z) v6 A. D) }/ t先学习前缀匹配：字典树。0 ~& }3 w4 c% i# v( S
然后可以简单看一下回文串判定算法：Manacher。4 w- K3 A1 u' V0 [8 u: o! m
以及经典的单字符串匹配算法：KMP。
+ }) E3 b5 y- M; \实际上平时最常用的还是 BM 算法，而ACM中基本不考察。
  ]+ `+ T; U  x. c6 Z然后就是较为高阶的前缀自动机、后缀数组、后缀树、后缀自动机了。0 O8 Y/ k; d/ |  r- \8 ?7 n0 d$ {7 Q
关于算法学习路线的内容到这里就结束了。5 x3 ?( y  `+ j% W4 B
如果还有不懂的问题，可以想方设法找到作者的微信进行在线咨询。; ]' \7 M! }+ d' a# V
参考资料  `5 ]; j$ ^7 t$ b
【阶段一】C语言学习资料：《光天化日学C语言》（日更）5 K% R2 Q$ p) }# ~. F. x
【阶段二】C语言例题：《C语言入门100例》（日更）* p# O! i: f% |! H! g
【阶段三】算法入门题集：《LeetCode算法全集》（日更）
  E" B, V, c& V' n【阶段四】算法进阶：《夜深人静写算法》（周更）1 H& l& l1 o( S2 ]5 I0 o
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4 y: j: @7 X) R0 B8 m8 Z原文链接：https://blog.csdn.net/WhereIsHeroFrom/article/details/1183822288 F. ]* B3 ], }
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