还在为数学建模的事发愁？带你一起来看看数模竞赛中必备的经典算法

杨利霞

还在为数学建模的事发愁？带你一起来看看数模竞赛中必备的经典算法

( j3 d6 V+ o1 W) s前言
/ ?/ E$ P* a1 E$ N" C3 G( W数学建模比赛是本科生和研究生阶段最重要的比赛之一，包括全国大学生数学建模竞赛（俗称“国赛”）和美国大学生数学建模竞赛（俗称“美赛”）。在这些比赛中取得好成绩，不仅有助于保研、有助于找工作，更重要的是形成科学的思维模式。以下是博主精心整理的两个matlab专栏，包含入门到精通及实战内容，需要的小伙伴可根据自己需求自行订阅。


MATLAB-30天带你从入门到精通

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( N/ Q) m8 J: ^% b! x! XMATLAB深入理解高级教程（附源码）
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在博主的资源中也有各种算法的应用实例源代码，需要的小伙伴自取哟。
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01  蒙特卡罗算法
1946 年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家 JohnvonNeumann, Stan Ulam和 Nick Metropolis 共同发明了蒙特卡罗方法。


蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），又称随机抽样或统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。

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由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。

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蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：


当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作为问题的解。
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举个栗子，直观了解蒙特卡洛方法：


假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如：积分）的复杂程度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候，结果就越精确。在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。

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蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的近似解。
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蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难，而蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下：

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8 Z# L" R9 p: x; }a、直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解；
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b、采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律；
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& z! P" \1 g1 M8 l7 Pc、不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法

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02  数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
, u3 N: V- i1 N" k我们通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用 Matlab 作为工具。

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数据拟合在数学建模比赛中中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是 98 年数学建模美国赛 A 题，生物组织切片的三维插值处理，94 年 A 题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理。




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8 P+ o$ i+ ^% H此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用，熟悉 MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。
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$ Q! Z: W0 ]" E  d: r% G 03 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件、几个函数表达式作为目标函数的问题。

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# `* ~! ?, g/ ^; g3 L! j& S9 R遇到这类问题，求解就是关键了，比如 98 年 B 题，用很多不等式完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规划后用 Lindo、Lingo 等软件来进行解决比较方便，所以还需要熟悉这两个软件。
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! x, x* h! ?$ ~8 `2 s0 L 04  图论算法
5 J; J. f& s  ~, S, m+ J* v2 ^这类问题算法有很多，包括：Dijkstra、Floyd、Prim、Bellman-Ford，最大流，二分匹配等问题。
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& y3 ?# p6 M/ s关于此类图论算法，可参考 IntroductiontoAlgorithms--算法导论，关于图算法的第22章-第26章。




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1 a3 Q- }. k1 r 05  动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
在数学建模竞赛中，如：92 年 B 题用分枝定界法，97年 B 题是典型的动态规划问题，此外 98 年 B 题体现了分治算法。
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7 g/ @0 l  R7 f( A# ]这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似，推荐看一下算法导论，与《计算机算法设计与分析》（电子工业出版社）等与计算机算法有关的书。
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1 J2 c1 m$ b: B( X: E" D4 v! W' U 06  最优化理论的三大经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。
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8 v- K3 O: W2 l4 R) ?# j在数学建模竞赛中：比如 97 年 A 题的模拟退火算法，00 年 B 题的神经网络分类算法，01 年 B 题这种难题也可以使用神经网络。

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还有美国竞赛 89 年 A 题也和 BP 算法有关系，当时是 86 年刚提出 BP 算法，89 年就考了，说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。

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03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前算法最佳的是遗传算法。
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07  网格算法和穷举法
/ e6 T$ [8 x1 G0 E网格算法和穷举法一样，只是网格法是连续问题的穷举。


比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题，那么对这些变量可取的空间进行采点，比如在 [a;b] 区间内取 M+1 个点，那么这样循环就需要进行 (M+1)N 次运算，所以计算量很大。

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在数学建模竞赛中：比如 97 年 A 题、99 年 B 题都可以用网格法搜索，这种方法最好在运算速度较快的计算机中进行，还有要用高级语言来做，最好不要用MATLAB 做网格，否则会算很久。

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, n0 R: a: b4 J: F6 w8 L: D穷举法大家都熟悉，自不用多说了。

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08 一些连续离散化方法
+ M+ H# o9 u9 l4 _( o大部分物理问题的编程解决，都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界中，计算机只能处理离散的量，所以需要对连续量进行离散处理。
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9 s4 [( p# y2 {. A7 M0 I0 O  z/ V: |) c: j这种方法应用很广，而且和上面的很多算法有关。事实上，网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。

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09 数值分析算法
数值分析（numericalanalysis），是数学的一个分支，主要研究连续数学（区别于离散数学）问题的算法。

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4 Y( r# x5 k4 c% y, P& w如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。
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这类算法是针对高级语言而专门设的，如果你用的是 MATLAB、Mathematica，大可不必准备，因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。

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10  图象处理算法
在数学建模竞赛中：比如 01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值计算，03 年 B 题要求更高，不但需要编程计算还要进行处理，而数模论文中也有很多图片需要展示，因此图象处理就是关键。做好这类问题，重要的是把 MATLAB 学好，特别是图象处理的部分。

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