还在为数学建模的事发愁？带你一起来看看数模竞赛中必备的经典算法

杨利霞

还在为数学建模的事发愁？带你一起来看看数模竞赛中必备的经典算法

) ]5 b; y) O5 t, S. }8 J前言
; v2 U$ i  {3 Z8 i2 e数学建模比赛是本科生和研究生阶段最重要的比赛之一，包括全国大学生数学建模竞赛（俗称“国赛”）和美国大学生数学建模竞赛（俗称“美赛”）。在这些比赛中取得好成绩，不仅有助于保研、有助于找工作，更重要的是形成科学的思维模式。以下是博主精心整理的两个matlab专栏，包含入门到精通及实战内容，需要的小伙伴可根据自己需求自行订阅。
3 I& j3 K4 V& g3 h+ g

MATLAB-30天带你从入门到精通
' M! w0 T) S* }& ~

3 @0 X# I: Z0 h- E3 P0 z5 _https://blog.csdn.net/wenyusuran/category_10614422.html
0 ]' {0 V8 x+ k; B4 ]$ y' U

2 G! x& }- Q9 h, m" OMATLAB深入理解高级教程（附源码）

) g5 ^* n4 c/ E  B+ i" S/ P
7 A0 O8 v2 r# E, c0 G7 F+ ^https://blog.csdn.net/wenyusuran/category_2239265.html
8 ^. k  a: j* O  `6 i
% F. n! ^& y; x6 p
8 t7 H0 {! a* W/ \" |$ N( X5 N在博主的资源中也有各种算法的应用实例源代码，需要的小伙伴自取哟。

& r8 ~0 l; z& p# v0 C6 [
8 i/ z0 s' p, O% g* _

/ `" ]) A$ q! O

; Q" G/ L' ~3 z" H

  ^, n( l. b- Z: X



, i" V9 c- Z. ~8 K8 P 01  蒙特卡罗算法
1946 年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家 JohnvonNeumann, Stan Ulam和 Nick Metropolis 共同发明了蒙特卡罗方法。

" c" ]5 G, p8 w" A  T
6 F. q$ ~& z+ p4 X) Q# H; n% A蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），又称随机抽样或统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。


+ n! R: ~3 k. b: p由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。


) A" m" o8 n' ?, z, C9 t2 Y+ q) C) A蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：


当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作为问题的解。
+ N5 W/ C0 w8 j  x, d- F

举个栗子，直观了解蒙特卡洛方法：
! s: p6 R0 u# y
: g) }4 B0 T1 [- }) K% a$ Y
假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如：积分）的复杂程度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候，结果就越精确。在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。

; g+ w' W# t# E  @- ]; K. Y% h( v1 K
  W- b& G& h% J- h0 t
+ v0 L5 H4 o. N5 v; z" Y
9 Q& a$ @9 l, R2 |

8 m! D4 g! e; `( o% x' k) m) N蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的近似解。
0 ~1 Z) K" Z, s" f7 o+ O
7 s, b7 J% t- ]2 X% o5 h6 `9 M! a
. |' u: W! d5 k# g蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难，而蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下：

9 R6 ~( V- W, C9 p6 C5 k9 B) _
a、直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解；

7 Q4 @/ r3 d$ R. b6 w& p
; ]6 a) W7 h" A5 q  S6 K! n* gb、采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律；

2 D9 B/ I2 m5 H" l
c、不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法


等等
6 d7 q& Y, S7 K6 b5 E

02  数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
我们通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用 Matlab 作为工具。
6 X- Z* y+ r  W5 N/ I" g1 k

数据拟合在数学建模比赛中中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是 98 年数学建模美国赛 A 题，生物组织切片的三维插值处理，94 年 A 题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理。

! `( f" g1 [0 N# Z0 ~: b: i8 ]% V

" T+ `! G" d2 E* x8 }
. G9 Y+ r4 p  f6 I! O; v0 B

此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用，熟悉 MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。
* h& G) T5 W: H) V) U
) X0 B1 h" ^. O# U. ]% h% \
8 Z- \8 y; Y# h 03 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
+ }# m/ m" u: L" [7 _4 U0 G7 c数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件、几个函数表达式作为目标函数的问题。
5 _! ]: ~. M, p) X) H
. F- a& }4 P, N% m# P. D: V7 v
遇到这类问题，求解就是关键了，比如 98 年 B 题，用很多不等式完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规划后用 Lindo、Lingo 等软件来进行解决比较方便，所以还需要熟悉这两个软件。
# `: J( i! N* g9 G- F9 O# J% ^  w* f
7 M+ _1 \# N3 d
& \' T+ W% L3 G4 }$ a 04  图论算法
; z8 B7 r, j- ?" `这类问题算法有很多，包括：Dijkstra、Floyd、Prim、Bellman-Ford，最大流，二分匹配等问题。


关于此类图论算法，可参考 IntroductiontoAlgorithms--算法导论，关于图算法的第22章-第26章。

/ b8 r$ [/ d/ s4 T
, g2 V2 B, \6 C3 m1 u- g7 g3 w
2 ?' F1 k6 M; S. W
1 r: q( M( ?* q
. i! W* v( J% P2 n+ v$ C
05  动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
在数学建模竞赛中，如：92 年 B 题用分枝定界法，97年 B 题是典型的动态规划问题，此外 98 年 B 题体现了分治算法。


0 T2 ?& }- V7 o4 P8 u9 ~

3 E2 o; z7 z) G) H& I

0 ]1 t+ A+ z9 H这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似，推荐看一下算法导论，与《计算机算法设计与分析》（电子工业出版社）等与计算机算法有关的书。
5 W7 x2 q  n& A: t6 U9 Q
# W- Z" |8 J" q" T. g
06  最优化理论的三大经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
+ o+ m/ e9 s2 p. w这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。
" x, b" m0 y6 v: J: t

在数学建模竞赛中：比如 97 年 A 题的模拟退火算法，00 年 B 题的神经网络分类算法，01 年 B 题这种难题也可以使用神经网络。


; [  u- u$ W3 A9 N' w, V还有美国竞赛 89 年 A 题也和 BP 算法有关系，当时是 86 年刚提出 BP 算法，89 年就考了，说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。


03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前算法最佳的是遗传算法。

+ T, D, V" r! g6 s" O

! ?* s9 j( c+ z. q& A0 k

4 u1 c/ x# T9 I. k. h; `& ]
0 i; ]8 s$ k, H
' Z! F+ e2 @" l& M3 Q5 w1 E/ u5 l

1 D0 {4 y3 |* g$ c0 n& f: H 07  网格算法和穷举法
网格算法和穷举法一样，只是网格法是连续问题的穷举。

& F, R+ }  ^2 d& J8 p( C
比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题，那么对这些变量可取的空间进行采点，比如在 [a;b] 区间内取 M+1 个点，那么这样循环就需要进行 (M+1)N 次运算，所以计算量很大。
1 P3 l1 Y' E3 L$ H% W2 y
+ O  K" x8 h; p  J( n
在数学建模竞赛中：比如 97 年 A 题、99 年 B 题都可以用网格法搜索，这种方法最好在运算速度较快的计算机中进行，还有要用高级语言来做，最好不要用MATLAB 做网格，否则会算很久。


穷举法大家都熟悉，自不用多说了。

3 I8 J9 ^# ?' |- k
08 一些连续离散化方法
# G2 [2 @6 J. M9 O" b大部分物理问题的编程解决，都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界中，计算机只能处理离散的量，所以需要对连续量进行离散处理。
' Q! t" }* t; j$ ?2 ~7 Q
( o& z0 e8 H: a$ I* J
这种方法应用很广，而且和上面的很多算法有关。事实上，网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。


, f' `' \( o  u( I  R- m, [7 ]" Z 09 数值分析算法
数值分析（numericalanalysis），是数学的一个分支，主要研究连续数学（区别于离散数学）问题的算法。
% ?% E# C6 F4 ]

6 y: v3 O- y/ j4 h3 m  C) Y如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。


6 x/ i6 D# G* Z2 r2 D+ c这类算法是针对高级语言而专门设的，如果你用的是 MATLAB、Mathematica，大可不必准备，因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。
2 J5 |; z& T# R( T% \+ }6 y& i# q! [- H
* y' l! l( s) k7 i1 d9 L! L
10  图象处理算法
在数学建模竞赛中：比如 01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值计算，03 年 B 题要求更高，不但需要编程计算还要进行处理，而数模论文中也有很多图片需要展示，因此图象处理就是关键。做好这类问题，重要的是把 MATLAB 学好，特别是图象处理的部分。
* T5 u' u7 j6 j' ?/ n7 _- P
3 o: N$ F! K/ r% J. s( }
5 w& t- E" e2 X, a

————————————————
  F: _2 @% b8 O版权声明：本文为CSDN博主「文宇肃然」的原创文章，遵循CC 4.0 BY-SA版权协议，转载请附上原文出处链接及本声明。
. u; \. H/ E) ?% j- X/ J* K, q原文链接：https://blog.csdn.net/wenyusuran/article/details/114093268
) Z) y! ^7 s7 B$ J

5 Y. e" P/ b' S% S0 r