KMP算法—终于全部弄懂了

杨利霞

KMP算法—终于全部弄懂了
  k. |0 ]' E. N( Q简介
　　KMP 算法是 D.E.Knuth、J,H,Morris 和 V.R.Pratt 三位神人共同提出的，称之为 Knuth-Morria-Pratt 算法，简称 KMP 算法。该算法相对于 Brute-Force（暴力）算法有比较大的改进，主要是消除了主串指针的回溯，从而使算法效率有了某种程度的提高。


5 R8 K0 s. S; p0 a  c( S$ A. I提取加速匹配的信息
　　上面说道 KMP 算法主要是通过消除主串指针的回溯来提高匹配的效率的，那么，它是则呢样来消除回溯的呢？就是因为它提取并运用了加速匹配的信息！
  m: M, A; O, n; D+ p7 K& J; O　　这种信息就是对于每模式串 t 的每个元素 t j，都存在一个实数 k ，使得模式串 t 开头的 k 个字符（t 0 t 1…t k-1）依次与 t j 前面的 k（t j-k t j-k+1…t j-1，这里第一个字符 t j-k 最多从 t 1 开始，所以 k < j）个字符相同。如果这样的 k 有多个，则取最大的一个。模式串 t 中每个位置 j 的字符都有这种信息，采用 next 数组表示，即 next[ j ]=MAX{ k }。
6 P0 B6 c+ k" c6 [, V& ?; O1 v　　
6 T: F1 l  L: N- M  M4 j　　加速信息，即数组 next 的提取是整个 KMP 算法中最核心的部分，弄懂了 next 的求解方法，也就弄懂了 KMP 算法的十之七八了，但是不巧的是这部分代码恰恰是最不容易弄懂的……
# A- n' T- _! s) O; s# r/ L　　
* U) j" W' E+ s; t先上代码
) i/ V+ I( `/ k0 S- L  f) R, Z1 f% s7 V

2 H* q/ f! b) t6 H- A2 Fvoid Getnext(int next[],String t)
" s- m9 @8 K, U" O* U+ K- X! B{
   int j=0,k=-1;
5 Y3 V0 A+ S$ i$ a& F   next[0]=-1;
   while(j<t.length-1)
5 p$ C: o0 J# Q  `% _# x" v, c) Y   {
      if(k == -1 || t[j] == t[k])
      {
: @; B, t+ r! u         j++;k++;
         next[j] = k;
& J9 |8 n+ i6 E) T      }
      else k = next[k];//此语句是这段代码最反人类的地方，如果你一下子就能看懂，那么请允许我称呼你一声大神！
   }
}
% Q& s3 T' M2 w( m6 [
5 H+ p2 J3 a/ i7 J2 Vok，下面咱们分三种情况来讲 next 的求解过程

3 V4 @& d; d; o* h5 C
& s  j# D9 v# m0 K特殊情况
+ L7 d  I& w0 V( l! _当 j 的值为 0 或 1 的时候，它们的 k 值都为 0，即 next[0] = 0、next[1] =0。但是为了后面 k 值计算的方便，我们将 next[0] 的值设置成 -1。
$ {/ H- k( b# S7 A& [6 I, O

当 t[j] == t[k] 的情况
. f+ F9 T2 {/ E" y3 k( j举个栗子

观察上图可知，当 t[j] == t[k] 时，必然有"t[0]…t[k-1]" == " t[j-k]…t[j-1]"，此时的 k 即是相同子串的长度。因为有"t[0]…t[k-1]" == " t[j-k]…t[j-1]"，且 t[j] == t[k]，则有"t[0]…t[k]" == " t[j-k]…t[j]"，这样也就得出了next[j+1]=k+1。


当t[j] != t[k] 的情况
关于这种情况，在代码中的描述就是“简单”的一句 k = next[k]；。我当时看了之后，感觉有点蒙，于是就去翻《数据结构教程》。但是这本书里，对于这行代码的解释只有三个字：k 回退…！于是我从“有点蒙”的状态升级到了“很蒙蔽”的状态，我心想，k 回退？我当然知道这是 k 退回，但是它为什么要会退到 next[k] 的位置？为什么不是回退到k-1？？？巴拉巴拉巴拉…此处省略一万字。

; q1 g4 y" U& d! ]
! U$ D4 [, \4 v' W6 C我绞尽脑汁，仍是不得其解。于是我就去问度娘…
3 V; `& ?$ x  W4 Z) N0 T/ x% S0 s  Z在我看了众多博客之后，终于有了一种拨云见日的感觉，看下图
. y2 h% h' {& }/ `! S  q0 P
　　 由第2中情况可知，当 t[j] == t[k] 时，t[j+1] 的最大子串的长度为 k，即 next[j+1] = k+1。但是此时t[j] != t[k] 了，所以就有 next[j+1] < k，那么求 next[j+1] 就等同于求 t[j] 往前小于 k 个的字符（包括t[j]，看上图蓝色框框）与 t[k] 前面的字符（绿色框框）的最长重合串，即 t[j-k+1] ~ t[j] 与 t[0] ~ t[k-1] 的最长重合串（这里所说“最长重合串”实不严谨，但你知道是符合 k 的子串就行…），那么就相当于求 next[k]（只不过 t[k] 变成了 t[j],但是 next[k] 的值与 t[k] 无关）!!!。所以才有了这句 k = next[k]，如果新的一轮循环（这时 k = next[k] ，j 不变）中 t[j] 依然不等于 t[k] ，则说明倒数第二大 t[0~next[k]-1] 也不行，那么 k 会继续被 next[k] 赋值（这就是所谓的 k 回退…），直到找到符合重合的子串或者 k == -1。

" m1 b5 K" e, m
! I, S% g# x: t4 c8 y至此，算是把求解数组 next 的算法弄清楚了（其实是，终于把 k = next[k] 弄懂了…）


因为这个算法神奇难解之处就在k=next[k]这一处的理解上，网上解析的非常之多，有的就是例证，举例子按代码走流程，走出结果了，跟肉眼看的一致，就认为解释了为什么k=next[k]；很少有看到解释的非常清楚的，或者有，但我没有仔细和耐心看下去。我一般扫一眼，就大概知道这个解析是否能说的通。仔细想了三天，搞的千转百折，山重水复，一头雾气缭绕的。搞懂以后又觉得确实简单，但是绕人，烧脑。


再此特别感谢昵称为“sofu6”的博客园主，正是他的博客，让我这愚笨的脑袋瓜开窍了
/ D8 _2 `0 G: Z8 N- ^  l

. y0 f7 }1 g) ^  LKMP算法实现
当你求出了 next 数组之后，KMP 算法就很轻易搞定了，下面我用三张图，让你明白 KMP 算法完成匹配的整个过程。
- A3 G3 H, L# X! S5 @以目标串：s，指针为 i ；模式串：t 指针为 j ; 为例
. _! o. d% q$ I* W2 P
! T- @4 q( Y# ~5 x* t7 v上图表示：“si-j ~ si-1” == “t 0 ~ t j-1”，s i != t j（前面都相等，但比较到 t j 时发现不相等了）且next[j] == k。
7 t/ J! W. D0 l! m
根据 next 数组的定义得知 “t k ~ t j-1” == “t 0 ~ t k-1”，所以 “t 0 ~ t k-1” == “si-k ~ si-1”

将模式串右移，得到上图，这样就避免了目标穿的指针回溯。

% w6 D5 q2 ~8 U$ J2 ~
  A9 y& j5 x" k1 m都明了之后就可以手写 KMP 的代码了
3 v) d' J' b3 j- Q
' |+ _+ V7 y8 t) x2 |5 h. d1 e# g
8 |8 e; C6 W; P( R  J) Kint KMP(String s,String t)
{
( }+ G9 P5 h) G- \: n) x   int next[MaxSize],i=0;j=0;
9 n# k/ R+ ?' J+ N, Q1 t   Getnext(t,next);
0 [3 t! @! ]( \   while(i<s.length&&j<t.length)
   {
1 I- s! J8 L0 G5 ^3 H# i      if(j==-1 || s==t[j])
4 ~  i) o* ?" b+ L: {3 }      {
         i++;
6 X  A* Z& o  ?3 F         j++;
0 o  [. x$ u9 {3 K/ Z1 _      }
      else j=next[j];               //j回退。。。
$ C* I0 [# @9 ?$ O4 X6 T, J5 @   }
   if(j>=t.length)
8 y% O( G0 u3 ?- ]0 ^       return (i-t.length);         //匹配成功，返回子串的位置
* w5 S6 _& t2 L4 p6 m4 D+ g9 [   else
      return (-1);                  //没找到
}

改进后的 next 求解方法
0 Y. J1 N/ W3 c$ m先来看一下上面算法存在的缺陷：
: w* {0 Q8 l; j2 {" s1 U* ~
显然，当我们上边的算法得到的next数组应该是[ -1，0，0，1 ]
2 u7 b% L9 o; a, z% ]! z5 e2 ]8 d( C

所以下一步我们应该是把j移动到第1个元素咯：
3 n# \* L" Q2 `3 e  T8 |- z
不难发现，这一步是完全没有意义的。因为后面的B已经不匹配了，那前面的B也一定是不匹配的，同样的情况其实还发生在第2个元素A上。
4 G) K/ d$ i: x. I
0 Q1 t' i' k/ v3 Z+ g- e3 L+ V
显然，发生问题的原因在于t[j] == t[next[j]]。


所以我们需要谈价一个判断：
! S. p5 K' u2 l8 I2 D4 u
' `: z! r# }" i: L
3 p9 Q7 R* {2 r4 i0 i4 i; h! \9 [void Getnext(int next[],String t)
& M8 \. W8 f5 D) C2 N{
   int j=0,k=-1;
5 x: [$ ^4 M" E% u' s) R   next[0]=-1;
   while(j<t.length-1)
   {
      if(k == -1 || t[j] == t[k])
      {
         j++;k++;
         if(t[j]==t[k])//当两个字符相同时，就跳过
% }& {; J  e' t1 R4 ~            next[j] = next[k];
         else
5 c' |4 x8 R* d( Y4 D2 z# t            next[j] = k;
8 f$ L& t* |9 L5 U      }
8 x& o9 \) ]' b- v8 Y) w/ V: ?      else k = next[k];
   }
, t/ q2 p, e$ s: P9 X# J}
; ^& {4 U2 M* S( h. @6 r8 H————————————————
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3 N4 r5 m2 w3 A! \原文链接：https://blog.csdn.net/dark_cy/article/details/88698736
6 G' z( M  {" D. }. m

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