KMP算法—终于全部弄懂了

杨利霞

KMP算法—终于全部弄懂了
简介
! u; r  k4 G/ o8 ?, `　　KMP 算法是 D.E.Knuth、J,H,Morris 和 V.R.Pratt 三位神人共同提出的，称之为 Knuth-Morria-Pratt 算法，简称 KMP 算法。该算法相对于 Brute-Force（暴力）算法有比较大的改进，主要是消除了主串指针的回溯，从而使算法效率有了某种程度的提高。
7 e& M0 z0 [5 ~9 r* q5 t4 x

提取加速匹配的信息
0 {. i/ r$ }& v' y4 X7 K　　上面说道 KMP 算法主要是通过消除主串指针的回溯来提高匹配的效率的，那么，它是则呢样来消除回溯的呢？就是因为它提取并运用了加速匹配的信息！
　　这种信息就是对于每模式串 t 的每个元素 t j，都存在一个实数 k ，使得模式串 t 开头的 k 个字符（t 0 t 1…t k-1）依次与 t j 前面的 k（t j-k t j-k+1…t j-1，这里第一个字符 t j-k 最多从 t 1 开始，所以 k < j）个字符相同。如果这样的 k 有多个，则取最大的一个。模式串 t 中每个位置 j 的字符都有这种信息，采用 next 数组表示，即 next[ j ]=MAX{ k }。
　　
　　加速信息，即数组 next 的提取是整个 KMP 算法中最核心的部分，弄懂了 next 的求解方法，也就弄懂了 KMP 算法的十之七八了，但是不巧的是这部分代码恰恰是最不容易弄懂的……
! ]1 w* [( B5 |- e- y2 R. {+ U/ R　　
先上代码

# y" A; z+ `5 O( x; z. k8 c
void Getnext(int next[],String t)
3 g9 r6 o$ M" M% K9 ?* g{
   int j=0,k=-1;
   next[0]=-1;
   while(j<t.length-1)
   {
; ]7 ]! g, q9 W: W      if(k == -1 || t[j] == t[k])
      {
         j++;k++;
4 j7 S& E: L+ ?         next[j] = k;
4 D. a. ]! w- F, @5 \$ H      }
      else k = next[k];//此语句是这段代码最反人类的地方，如果你一下子就能看懂，那么请允许我称呼你一声大神！
   }
}
% O/ G9 f# _) o# |6 E
ok，下面咱们分三种情况来讲 next 的求解过程

$ s$ a) |! x0 ~! `
特殊情况
当 j 的值为 0 或 1 的时候，它们的 k 值都为 0，即 next[0] = 0、next[1] =0。但是为了后面 k 值计算的方便，我们将 next[0] 的值设置成 -1。

2 x( Y1 `& R6 f
7 L  q: @: J1 _, T2 a. {7 q当 t[j] == t[k] 的情况
) k; m: `2 J1 H; G- n( l) H举个栗子

5 W  m% k, [; w8 B1 z+ k2 p; T+ ~' C观察上图可知，当 t[j] == t[k] 时，必然有"t[0]…t[k-1]" == " t[j-k]…t[j-1]"，此时的 k 即是相同子串的长度。因为有"t[0]…t[k-1]" == " t[j-k]…t[j-1]"，且 t[j] == t[k]，则有"t[0]…t[k]" == " t[j-k]…t[j]"，这样也就得出了next[j+1]=k+1。


当t[j] != t[k] 的情况
# G! j$ z& y. q' H7 R关于这种情况，在代码中的描述就是“简单”的一句 k = next[k]；。我当时看了之后，感觉有点蒙，于是就去翻《数据结构教程》。但是这本书里，对于这行代码的解释只有三个字：k 回退…！于是我从“有点蒙”的状态升级到了“很蒙蔽”的状态，我心想，k 回退？我当然知道这是 k 退回，但是它为什么要会退到 next[k] 的位置？为什么不是回退到k-1？？？巴拉巴拉巴拉…此处省略一万字。
/ z( Z* j  k! E& t# C3 {- ?% M( Y
' `7 B( y( }1 \, U! F
我绞尽脑汁，仍是不得其解。于是我就去问度娘…
# X" {$ h3 ~# D4 t+ I1 M: N在我看了众多博客之后，终于有了一种拨云见日的感觉，看下图

　　 由第2中情况可知，当 t[j] == t[k] 时，t[j+1] 的最大子串的长度为 k，即 next[j+1] = k+1。但是此时t[j] != t[k] 了，所以就有 next[j+1] < k，那么求 next[j+1] 就等同于求 t[j] 往前小于 k 个的字符（包括t[j]，看上图蓝色框框）与 t[k] 前面的字符（绿色框框）的最长重合串，即 t[j-k+1] ~ t[j] 与 t[0] ~ t[k-1] 的最长重合串（这里所说“最长重合串”实不严谨，但你知道是符合 k 的子串就行…），那么就相当于求 next[k]（只不过 t[k] 变成了 t[j],但是 next[k] 的值与 t[k] 无关）!!!。所以才有了这句 k = next[k]，如果新的一轮循环（这时 k = next[k] ，j 不变）中 t[j] 依然不等于 t[k] ，则说明倒数第二大 t[0~next[k]-1] 也不行，那么 k 会继续被 next[k] 赋值（这就是所谓的 k 回退…），直到找到符合重合的子串或者 k == -1。

# u& Z' ]# s% X  @: e
至此，算是把求解数组 next 的算法弄清楚了（其实是，终于把 k = next[k] 弄懂了…）

; w$ T0 l9 Y+ l) m0 P
因为这个算法神奇难解之处就在k=next[k]这一处的理解上，网上解析的非常之多，有的就是例证，举例子按代码走流程，走出结果了，跟肉眼看的一致，就认为解释了为什么k=next[k]；很少有看到解释的非常清楚的，或者有，但我没有仔细和耐心看下去。我一般扫一眼，就大概知道这个解析是否能说的通。仔细想了三天，搞的千转百折，山重水复，一头雾气缭绕的。搞懂以后又觉得确实简单，但是绕人，烧脑。
5 [0 Y% g; @# \' o7 m
9 ~* J% E' \8 s
再此特别感谢昵称为“sofu6”的博客园主，正是他的博客，让我这愚笨的脑袋瓜开窍了

! D$ X# G8 x0 N# f, w% ~2 J5 s
' @3 r4 t$ X7 N8 b' w' j5 mKMP算法实现
+ G  I: j. M, c% t( I( `3 d9 t当你求出了 next 数组之后，KMP 算法就很轻易搞定了，下面我用三张图，让你明白 KMP 算法完成匹配的整个过程。
以目标串：s，指针为 i ；模式串：t 指针为 j ; 为例
# O' G" E9 @. m5 x  d+ o
上图表示：“si-j ~ si-1” == “t 0 ~ t j-1”，s i != t j（前面都相等，但比较到 t j 时发现不相等了）且next[j] == k。
5 g3 _0 a) K2 _* ]0 s$ M7 W
# G" {$ e' E! f* e9 s5 c根据 next 数组的定义得知 “t k ~ t j-1” == “t 0 ~ t k-1”，所以 “t 0 ~ t k-1” == “si-k ~ si-1”

! B! G& ^6 |+ v$ b8 [; y将模式串右移，得到上图，这样就避免了目标穿的指针回溯。


都明了之后就可以手写 KMP 的代码了


6 F7 q3 ~" r" Oint KMP(String s,String t)
4 ^9 z0 h" K8 G' F& H{
   int next[MaxSize],i=0;j=0;
, p! ~1 y; M; O; I' ], K# l- a   Getnext(t,next);
/ j& N$ b' Z) i, h2 g* Z5 v/ J   while(i<s.length&&j<t.length)
   {
      if(j==-1 || s==t[j])
      {
0 b! V2 q; c0 y9 J9 K5 _         i++;
         j++;
      }
, ?7 s' [3 H: m+ E7 o: K( P2 Q) F* M      else j=next[j];               //j回退。。。
   }
   if(j>=t.length)
1 |. D0 ]% h8 J1 V# o6 _' u       return (i-t.length);         //匹配成功，返回子串的位置
   else
# Q. y( n+ @9 J$ F/ o7 H% }      return (-1);                  //没找到
5 G6 |: ~+ w. y( {" P; p+ D}

改进后的 next 求解方法
先来看一下上面算法存在的缺陷：
/ b) T6 c8 Q7 n. h6 A+ V
2 J  Y# P0 d" r0 U5 m* j显然，当我们上边的算法得到的next数组应该是[ -1，0，0，1 ]
1 y9 g: c& J, T8 M8 L6 s: z

所以下一步我们应该是把j移动到第1个元素咯：
1 t  V3 z- s2 ^' _6 V$ \- M
不难发现，这一步是完全没有意义的。因为后面的B已经不匹配了，那前面的B也一定是不匹配的，同样的情况其实还发生在第2个元素A上。

0 N+ b3 p9 _+ ?1 u5 N
显然，发生问题的原因在于t[j] == t[next[j]]。


: d- e. _5 X+ U: i6 n8 M! A- X所以我们需要谈价一个判断：
( v6 {% b* }( b0 E

+ l  Y' U+ w- Y  T+ o2 {void Getnext(int next[],String t)
% \: [' l( R( f0 R9 C6 x% n{
( a; p7 b& }4 }1 U  S$ B   int j=0,k=-1;
   next[0]=-1;
   while(j<t.length-1)
- j# O3 K& U, p1 C6 b2 M+ _   {
. u. y/ F$ Y2 Z: U+ v' C+ w      if(k == -1 || t[j] == t[k])
) ?+ h2 S: ?0 g6 @$ A      {
% I  [6 {& m5 J" o6 F, ]. T7 e$ y         j++;k++;
: H* Q" d# @9 G: ^, c) }, n9 E         if(t[j]==t[k])//当两个字符相同时，就跳过
            next[j] = next[k];
         else
+ c# W+ z# v& C$ B( C            next[j] = k;
- X8 H, R9 I% l4 J      }
$ ^' Z; w3 ~1 w1 B5 `/ C" ~% c6 w* E      else k = next[k];
   }
}
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