数学建模基础学习-常见模型整理及分类（点开即可观看）

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数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
. F5 ?4 S. r5 {/ V几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
0 V, A$ C9 P5 M8 y+ e# l+ ~% O型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
/ e8 u- p! {0 e2 T5 u* E8 X' G性模型和非线性模型等。
" P; H+ e1 s* f7 h$ U( u3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
. O  z# \( l, o5 X6 t5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
4 `/ a6 f" R, w7 V: e& H# M! o, {比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
- A+ O3 z, K" h7 c& Y2 R$ h. Q6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
1 X/ e: p9 A/ A7 r; p, Q7 {2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
* a8 m5 \# s/ s比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
# ~( u- y4 y+ o7 V( a建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
0 C& D# ^6 q& h& c7 K. k/ I) Z法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
/ D) @; x! y0 Q0 U4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
  W& P- ?; z  h9 F/ e0 ]论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
6 R* f" _) ]' Y  L1 Z6 w3 [4 ~5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
$ C7 }' n. y# ]# e% y0 s7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
( p2 ]8 A8 p  \  z, S! J  {一些高级语言作为编程工具
! Y6 ?# g: l0 u' _2 U8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
# r, z. i$ {# ~+ P9 、数值分析算法
( B- h9 W; a0 |7 H如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
6 x) ?- J; I. G. z/ I) v如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
) ?6 Z7 b$ N0 R; m9 h$ N$ A10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
2 ~* O& i: v9 O, x, Y的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
. n- O. F  D, b, H算法简介
, ]6 `5 G) S) K, m1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
1 P$ j6 l, n% _* [解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
4 c, e3 s, G& x, g个条件可用：
; r& t* ?, f$ F0 S9 x$ ~; E& X" h$ w①数据样本点个数 6 个以上
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
9 @% Z1 e& _+ e% t2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
- b9 e4 h" @  g) n微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
- M/ @. i! K1 w, Y3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
3 ~( h3 y" v9 q②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
5 t9 ~7 F8 ?5 `一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
( A6 v1 d  e9 k, y4 j互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
7 Q8 _# i" d. A; X% R5、 、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
7 o" I; z0 F( I" ]) O" ?- a（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
预测波动数据的函数。
/ V! L+ Z/ `, e$ Z7、 、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 、 混沌序列预测（高大上）
0 ?3 h7 b) D3 \9 k& I) u0 d适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
7 U; Q% R/ \0 B! p. o  `9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
; Z& y( ~" A% S( m/ C6 o6 {- n: s逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
9 n/ T  l* k) G* }10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
9 t9 ?6 ]- k+ C: g评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
" [9 S6 W' A9 `; L( S11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
# d3 l" A5 D4 _4 I# c其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
! X: N6 m6 r: |) x1 d0 I评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
: F/ i5 Z4 [9 o. [# u' Y15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
% m0 L3 I: Y# ?. K" @; f可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
; P4 w( ]9 ?" {该方法做评价比一般的方法好。
" a0 n+ ^/ ^; E4 ^" K! F16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
- Y/ b6 L5 x9 Z0 P方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
. o& ^2 f1 Q. N# E协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
6 f$ K, K; ]1 Y: S素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
! q& A* X( n( [! a此外还有灵敏度分析，稳定性分析
, U+ G! g4 C6 P1 U1 g17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
5 H$ f% \3 X6 D- v3 E& u* W  \优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
4 v9 w/ V% B! X- V. ?+ R算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
# A* K6 ]$ y! o* H- ~3 O$ B5 Q20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
6 }3 V0 [0 n* B4 y3 g, C有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
/ G$ x8 d4 w8 A9 ^! B计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
. V" H- s* O3 K: T$ Q% l+ h4 \般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
- f3 m5 M3 T  E( x21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
3 U5 \& J0 j+ O* @4 T- l" v22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
3 B& U$ i" s6 M; [- t( D23、 、 多元分析
4 c4 h1 I3 L& q- j9 T9 A; ]. g1、聚类分析、
# \+ F! W! T# }2、因子分析
3 v2 [/ T* R+ Z( u3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
+ X7 S% ]0 a7 j  w- u1 y各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
' ?/ H( l2 e9 A  U8 B) n) D$ F从而达到降维的目的。
' s0 P7 l" i% g6 |' O/ u4、判别分析
5、典型相关分析
6、对应分析
7、多维标度法（一般）
  A3 a4 ~; z) Y# Q1 w8 o3 H8、偏最小二乘回归分析（较好）
$ t' v5 V# f% O, A) [24 、分类与判别
; Z: Q$ O" M( q" B0 B& o6 p主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
0 E* g. c4 T/ h0 d6 C# O3、层次聚类
* v: U( L5 u( q# V! i, R0 g9 V4、密度聚类
5、其他聚类
8 S  p- n( g' X( R* }6、贝叶斯判别（较好）
8 j9 r5 v1 x5 A4 p1 ^2 _2 d2 \7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
$ c) R' ]' a! r$ j! F3 Z" u6 a2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
0 Z, K! w% m, \3、Person 相关（样本点的个数比较多）
9 ~/ ]. n( m& `/ S4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
* x( p; ~+ E) L3 F: g5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
6 w. X  p1 C) F' E) r' S! K8 L一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
% [5 R! E# I+ E* v% n6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
0 B6 [7 L  M$ k数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
* q5 p2 i& z) `% S; G3 T: b8、格兰杰因果检验
8 t6 Z: h2 L# y  t+ {计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
) L3 k( x9 w# [% R2 Z4 F9、优势分析
3 S8 Y, R6 F' f" |: @- Y: J8 _( C26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
6 g8 O8 g8 H  `$ J9 ?量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
. u- I0 P5 k6 }6 u% W9 o率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
8 J. O2 _: r( {* q- h" x

- x! }4 H8 ?7 H( o" E. {% ~1 h/ A  |
0 T: `: ^  \' U/ I* n& S+ j

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个人觉得马尔可夫模型还是比较容易拟合的
# a* j( h) B$ a7 G6 t5 h0 O