数学建模基础学习-常见模型整理及分类（点开即可观看）

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数学模型的分类
  N8 ?, S2 u9 Z$ r1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
( |' v% ~( v# _7 @( H- Q2. 按模型的特征分：
! {% O4 x- S& J$ T) L+ Q5 v3 a0 N5 ?, `静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
* f( w! h# c, I; h8 K8 T! b人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
: |9 d" }* m' W. J( a4. 按建模的目的分： ：
7 r- ?) \6 Y: d& U( L预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
# ?0 d' T0 S# }, F7 h1 F+ Z; x一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
# H6 N0 w. t- X) t( |5. 按对模型结构的了解程度分： ：
- h4 B, D8 n+ m' O+ V1 r有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
0 d) q- G: k, x0 P: _& i比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
) n/ q1 ]( ^! T7 T! w$ R* K3 _数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
% m0 d# n8 e2 v  l& n5 [$ Z该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
: W0 D3 i8 P  Y以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
8 l  h8 z: z8 {4 t2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
* P3 b1 b' V) Y; H% c! Y! Z- J3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
* A, i2 w/ N4 h4 、图论算法
7 b0 _" y4 m8 M4 s这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
; G& ]( ^5 J! p# U这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
: s! e$ }% B# I% t% I  T4 [2 H6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
6 R) Q7 A3 K3 B- A  f" c( ^: w帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
5 X# c: a; I. F. z! X# [' ]& a7 、网格算法和穷举法
$ O6 Z6 A' \! l) m. \! |4 V当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
" L4 l6 b4 H! Y. F( a8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
: I* v. a! A5 Q3 E, J, L" j9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
3 f: z- A* |( P7 n9 _赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
6 X6 x3 x' s# N算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
0 t3 g- W9 b& s* h, y+ }" I, x/ P①数据样本点个数 6 个以上
! Y% X7 e( Z. ]; Q/ V" V8 {②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
% O5 e/ g$ M* l' e2 O找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
4 o" }- V9 o5 i7 D4 Q化； 样本点的个数有要求：
) O# F  `, O; [1 p①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
% J+ D! J! B) x3 d7 S# Y4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
. L1 T! J; {  R- r  z3 m6、 、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
* Z5 E. z  c5 i& |1 t$ d, p预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
2 ]; T. g$ m6 S$ C) E3 {) H8 P预测波动数据的函数。
3 e% W' R6 ~. r7、 、 神经网络 （ 较好） ）
% o4 y3 P4 B: P大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
+ f1 G- C, T6 m7 H* _! Y# d: B办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 、 混沌序列预测（高大上）
% \) t  x9 x2 b- {适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
/ m& _$ \) f. u2 s8 O) J逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
% f3 v3 }& m) M$ \+ H( |10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
7 b1 F5 Z0 M4 j4 r1 w% Y& G3 a! N评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
3 }8 x. c0 u6 C9 {( r7 B* X# g11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
0 E( F' i, f. r, I/ ^1 c$ I作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
9 j' _- v( `* J: n: `0 a12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
% l7 B6 b: ~. I; j2 q1 X秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
4 X, {4 ^  c# u* x( d- s0 ~8 f6 z) X8 Y法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
0 K4 J; ?: F- R# {; V4 ]6 i解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
) A7 ?1 {* G+ q8 v15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
) h- C4 x- W, V8 N可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
( O+ y4 c+ a8 \来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
0 q. w; o7 ]$ v) u' v; O( `  c该方法做评价比一般的方法好。
16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
/ R: K+ Q6 a# _5 f6 L( p8 L量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
+ {( p3 k# Z8 K/ T% `4 m17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
$ j4 s5 M# h: E& p/ _4 C9 K优解。
! D  t/ W9 J# c18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
- J. R6 l+ S. R2 I0 c, _$ a智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
( l# M9 L% V/ E( d  B- \7 v- i其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
2 v# Q. x: c* ^* W即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
% U2 a1 G! T  [# b0 s" Z/ K有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
2 H) a9 b3 y; {* L计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
$ C! b7 G4 J# F/ m) @' f# r21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
* Y  n( h5 X* i6 n* E) W6 a例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
& R( x8 ^3 x0 r6 b" s22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
, L1 P! R4 `/ W$ K; {# e射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
1、聚类分析、
2、因子分析
& R0 S7 B2 o- r4 W0 V0 k6 y0 `0 t3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
0 v4 v3 R9 x) n各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
, t9 @0 G" ^: u% ]/ X( S从而达到降维的目的。
; \. m0 F/ D' Z2 R5 X5 ~+ x  c, e4、判别分析
5、典型相关分析
6、对应分析
7、多维标度法（一般）
  o  t- @. X% t9 P( D8、偏最小二乘回归分析（较好）
; J  h' T- G+ [! x9 U) d- J8 S! H24 、分类与判别
/ U. s* J. P8 b' m3 O: }主要包括以下几种方法，
8 s" W8 S1 s1 {- k' [" n* t+ |1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
& c/ o9 i; h- I' v3、层次聚类
4、密度聚类
5、其他聚类
6 b4 Y5 V& T( u: W& G2 X  K6、贝叶斯判别（较好）
* s& U' `/ u  c, j1 c7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
+ z! C' g5 J" N7 i: O; Z. f2 t' g! D25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
$ D, ~  @( e9 e4 c/ A# V2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
- V7 m6 o, l0 F' W, K2 F, {2 V$ o3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
4 L  J$ t; T# i8 J. J（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
/ i. A. ]* ]& d. E/ J6、标准化回归分析
! k: T" m6 L* Z6 K& a0 G若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
6 a; f4 @3 H+ l- [; w7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
2 {  _7 U; R3 b9 ?2 T计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
3 N- C8 h( S) b' @' P; Y4 l3 `26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
7 h" I+ s+ A2 c* c6 Q量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
9 X, ]3 s* x+ h3 @1 m# b3 ?, J, A
' z& U7 G) K6 y5 ?

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个人觉得马尔可夫模型还是比较容易拟合的