数学建模基础学习-常见模型整理及分类（点开即可观看）

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数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
! a( q' {8 @2 n型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
. n- D. U5 q' |$ |1 ^性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
& ?& B! ^/ h+ R9 d预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
3 R' F2 o- C9 a0 o4 k一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
# t0 a5 e# h% q) g- P往也和建模的目的对应
; d2 t8 m* o+ I. S: t5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
; A6 G# @8 L3 f; Q$ r$ a6 f; i! e运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
1 c2 X+ B+ _/ y7 ~数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
9 U& U' U2 w6 n7 a' b4 }6 C以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
3 q9 v6 @4 Y  t; M# _; Z. n; q2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
. q3 i& E% _1 A; |, N) U比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
7 p+ {8 U$ d( N8 k3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
. E1 t9 Y: c: c- V  J4 O' @& U建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
4 q. g* v$ O4 W" @* N这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
% U' \& d- C, }$ q% g% H% I5 X& E论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
/ c8 f6 f4 w0 r5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
, k4 X+ [' ?) _0 L$ l% x+ R8 P7 、网格算法和穷举法
3 c4 x( o: C3 h# E! A0 Z' B当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
) d2 {, M; d8 c5 D( Q" U% ?9 |一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
5 a1 F- W$ k) H5 ?据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
7 I, C! h+ y2 r; G; B赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
) o( w5 p1 l* g9 X5 o算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
5 i( N/ P5 p$ X" E解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
①数据样本点个数 6 个以上
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
, u" u, t' z, d! t其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
9 v- x) G( F  H; B. m求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
, N/ F! b6 A% ?$ s5、 、 时间序列预测
( |$ h1 x8 ^+ c7 z  L. C0 D预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
  {, ?3 a  E9 C（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
2 j! ^1 j: ~3 }3 S( j数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
- s; F9 H" r; q+ ~- M& ]7 i+ [$ e预测波动数据的函数。
7、 、 神经网络 （ 较好） ）
9 T1 Y8 A- B5 n0 n* E大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
5 h( I( v3 O$ @, T* h5 {: D8 E办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
# u) }5 C& s3 ^( j8、 、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
+ E7 j' d3 |: f5 V' j2 p- p- I9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
1 B; C1 |. L$ J4 \9 t逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
: g( u5 {& M. u; A12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
8 b6 g- n% p" P1 T8 B秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
" [9 q) {+ u9 S* _0 Z$ b" V" ~1 U14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
; _2 P) @, }0 T( k% |2 S评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
/ N+ y* K3 J8 y+ G* N& ?15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
. W9 X% \- ~# S来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
% a, n1 @, \! i2 |& G) A该方法做评价比一般的方法好。
  {. E+ N. C6 `' a$ P16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
- r2 z9 T6 e' G; }# `- q- C# d+ z7 p方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
  @" ?  Z5 o# z. t, e" M2 S# X协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
$ G  ~/ t" ~3 y" ^此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
" K/ {. F! I$ k. _模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
$ L" M( F, W! X0 W9 n/ C6 @优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
1 c% g" c9 K$ P6 h* l其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
% l# @4 d% N0 c! l5 z- y19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
" `- v  k; |( ^! y! o# }离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
! H' r  g( N( a" V0 f20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
1 u6 y* i1 J5 W, a7 B9 ?) Q5 m排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
7 s* J' d' l6 u# a即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
* S2 \# A  d- n  N3 R有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
7 ]0 Z  F# k1 s2 C( M+ ^21 、图像处理 （ 较好） ）
0 c. h: Z2 J* }" ?MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
# Z/ E. L% c. o射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
5 G! r- }! v0 ^# G/ Q1、聚类分析、
2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
4 I) T& p8 R7 G# W各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
( |" Z! r5 b3 N& c' a从而达到降维的目的。
4、判别分析
, f: c5 y5 H, J2 ^5、典型相关分析
: ~7 z0 _% T1 C9 U$ c6、对应分析
7、多维标度法（一般）
+ J0 @3 {, {0 E$ r8 K8、偏最小二乘回归分析（较好）
0 F, o; ^+ Q! ?  f3 y) P24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
3、层次聚类
5 u% Y+ w  V/ T1 P, v( G- }) j1 N4、密度聚类
: W7 g& e! m; Z( r5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
1 {' t0 }# }1 A+ \3 f; W  E8、模糊识别
25 、关联与因果
3 R7 o3 }/ M3 o$ U" s, {1 [! z& _) g1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
( B& L- \% e7 D) i$ n5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
8 k3 ~  e* U3 l& Q! `% @! @4 B一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
( n% |1 G, C+ j6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
& M  E2 z' c! T- y' C4 b数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
) x+ w* x) A5 ?9 U9 _1 k& f. C8 R计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
: R: J& X$ M4 S# n1 K, a9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
! ?2 g& Z7 w. X6 n; x( u率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
) m9 |8 u' A% a; i7 c: ]& G; n
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个人觉得马尔可夫模型还是比较容易拟合的