数学建模基础学习-常见模型整理及分类（点开即可观看）

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数学模型的分类
5 d) P7 q" ^: l1. 按模型的数学方法分：
! I  s: _# r7 z( e几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
9 m0 B0 E. s0 `4 V' c; F4 }2. 按模型的特征分：
4 N5 D3 K  x' o; F- \+ _静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
4 ~6 S( L% \0 [, X8 h预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
6 n+ G/ S" H% y* X有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
' ]8 u, w( R" A比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
, o: B) m* u/ i' e6. 按比赛命题方向分：
# T8 g, `) G: v5 n, W国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
( t# H5 ~& W  {1 、蒙特卡罗算法
" N1 S9 P( W2 E4 T" a: W该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
3 A9 |3 j) I1 J0 L1 S' V+ \' G以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
6 O0 u9 ^9 `# }, g% G. e比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
: [+ W6 L( I/ e( `通常使用 Matlab 作为工具
% i  P' c/ q' ^, u0 n& @$ X% Q3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
* m3 \# v6 w7 M( t4 t% ~, r+ X法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
9 Y/ J/ h" r  l- P5 Y& r' S论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
, ]1 z) T! Q* _, e5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
( l1 h. O# W! U6 V6 K2 {/ i6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
: S* l9 P/ L( a. F6 o$ H7 、网格算法和穷举法
* T5 K& t4 J+ p% R! c) k" c- g9 U当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
2 V+ a( h. X7 `- b4 J+ J+ r2 z一些高级语言作为编程工具
6 O# g5 Z* r& v+ U8 、一些连续离散化方法
8 V& ]: V* `# I- B6 ^0 |' Q很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
  }. D8 Q' M* f3 F如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
/ t# C% n# |1 P! |10 、图象处理算法
0 K# I. u# r; C( ]赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
3 G, f( }9 d: b0 r& c的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
3 _$ v3 E8 {+ b9 C9 m# a2 n) N行处理
算法简介
- O9 y6 v1 c2 p4 P# e- b1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
9 \* z- P% k2 g0 E4 I解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
- P) p' o! b2 i+ n8 x①数据样本点个数 6 个以上
6 P6 v* Q" E, d* B②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
, a4 Z6 i5 o% A$ @4 }7 q微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5 k9 K  H2 d& m! g5、 、 时间序列预测
3 G1 k! j7 I) s: i- q, S8 w) P# R预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
( p+ {6 j$ n& r/ `+ S) L- W" f预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
5 y9 a, ^& b: b  q2 p) x( p- N预测波动数据的函数。
7、 、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
' ?1 t6 {/ t) P办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
- _4 ~% k9 J' N$ h1 |8、 、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
+ ~" X' i' b8 k; N. h! [拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
; n6 A, Y# h$ ?. ~& q7 n* r8 _$ ^在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
# \' f  g, k" @5 p  c8 w作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
( k& X1 S/ X3 E5 U; |9 [* x5 y- ~" C12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
$ H* G' [* T2 i秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
  i9 j& t1 Z4 U6 h) w14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
( C! k: P( h/ O+ b其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
0 a- M! V* {3 C0 [评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
& E' }: K$ U# c# U; Y$ ?; O* G解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
6 o) M  t3 S: n, K2 y# Z可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
+ E" C* `( j# x; h. l  t* _. B( @16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
0 A0 x8 Q' ?$ g2 C方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
7 z; d# k! a" B7 ?协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
6 O: n/ t4 w, Y1 r. L* c. ^: I此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
/ c" n( i$ g; x: P! _优解。
9 u- x% F/ B" }% Q8 f18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
% A) w9 a; Y; ~% w+ q, U非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
' k. D, A. P8 z8 y: K+ O9 a7 G- k算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
4 C- F2 g: n+ z$ R% i( T4 Q/ `5 I; n20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
/ b3 s* l0 f3 B4 j排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
) i8 [1 p: m, G3 q即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
% ?0 q( z) s! S  f0 _% s4 t有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
  n: R. w8 V& A4 ~% Z0 p般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
! E$ c7 V0 ^9 {4 `& w: Z21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
8 @: c% A* {8 f3 y例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
7 p/ B1 Y  O4 r% p1 S6 f2 G22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
- |  _" p5 G3 B3 Q$ x+ Y支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
1、聚类分析、
2、因子分析
& h- q' c  _1 z% x5 r* W' e; W/ G3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
4、判别分析
5、典型相关分析
6、对应分析
7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
) k- d  O' W( o( u. e, v9 x' L. ~24 、分类与判别
0 G4 d1 b3 h- O主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
* c1 a# b+ o6 @6 w3、层次聚类
4、密度聚类
2 P$ ^& I3 ]4 \6 y$ ^3 e5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
25 、关联与因果
: S9 D1 z5 e% A2 H9 `  Q0 w1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
$ Y( l/ w* y1 ]( D3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
% Q& s, s( |0 R, J$ }9 u# ]5、典型相关分析
7 V" L( t8 O& ]; L（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
- j2 O  g! L/ h' V# \6、标准化回归分析
+ _5 ]9 {' Y, y( d; ^5 |! h6 Z若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
, ?. e# Y, v6 J9 V5 d: W0 J( T9、优势分析
& d+ P+ L8 U! B) C5 l" J5 _' \) e26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
' L' K4 X7 P4 ~- Z) o7 p2 W% Y/ f量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
! S! Q+ u2 Q8 E3 A* G2 `5 ]率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
  C; r; q0 H8 E% N4 S" o" u1 J- |" `
3 m6 n! U- \: m, C3 J

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个人觉得马尔可夫模型还是比较容易拟合的