数学建模基础学习-常见模型整理及分类（点开即可观看）

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数学模型的分类
( o8 D9 _* `/ s  [5 k, b/ I1. 按模型的数学方法分：
+ S& A# W2 o: ?( f0 p) H( h1 m) p几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
6 o& V$ k, E' _型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
! ?( }' q) s: m性模型和非线性模型等。
7 J3 x- f6 K8 {- o' S3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
% ^9 i  n& K, B+ Y4. 按建模的目的分： ：
; y/ E! X, D! d预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
, _) l# g' r1 S9 N' @; i5. 按对模型结构的了解程度分： ：
/ _5 u" K% I1 r7 d有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
6 [" ]! |2 M; Y6 F! c比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
# [  Z% G* B  M运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
, g- r* K" V6 i9 ?0 Y1 、蒙特卡罗算法
3 {* G2 R; i1 g% p. S% y/ E7 i9 W4 R: ~该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
$ X2 z5 c7 s' p& L5 N# {以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
% |2 P6 _# Z( t$ K; t6 l* T2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
+ n6 O" Z! X* ?% U- Z" Z比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
$ x1 e0 F3 x6 B; k3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
! a2 R# ~0 {; F- v% x2 k法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
* V! r9 f5 g+ E$ P. N4 A) S4 、图论算法
6 [# D: w+ E$ }这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
# Y8 p, }$ f. T  }9 i; @5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
$ x' \4 X; p5 L, F: H2 l这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
" p7 d  i& p; z7 K' A! K6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
2 S8 [* e; I) }2 f4 P9 P' V+ f这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
8 \( [, L* z4 o0 T- z) U& ~) y- ^帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
2 }! c) p  }% y0 G& t7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
& ]2 M5 `! |3 U# H8 、一些连续离散化方法
; p# \9 O9 d7 i2 e很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
6 N# j5 }& b3 q6 |- F' ]4 }如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
. S6 C" d) w) M- g* u的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
( d- U5 v% ?/ ?* w& K行处理
1 f/ t9 {6 ^6 Q算法简介
) U4 f4 F  i' @( j, \! S1 u+ W1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
$ q  c9 R. x  X3 l/ t. f解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
4 e  N7 d7 [( T. \& b①数据样本点个数 6 个以上
* F# ^5 k4 d' I; I* h9 O②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
7 E/ ]% Z# v6 d( w9 b5 k0 x2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
# A' `' D2 W. ]0 F2 O' t& e7 a微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
% N* s6 _  o1 y9 ]1 j1 q8 h9 L, d找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
9 `/ `' U) X( l  }+ J& m6 k3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
" V! X% r$ ~. }; K4 z①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
8 _$ Q8 {- R: M* d; H. t②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
9 B+ Q4 X3 C+ j) X0 P  m) n" c9 H概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
" c- n8 X  H" U% d+ q6、 、 小波分析预测（高大上）
0 N: V0 u% k( O" \数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
& c' g4 ?# M- _4 }. u" y预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
预测波动数据的函数。
7、 、 神经网络 （ 较好） ）
大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
. N2 o) y% [1 _* H, t) m/ v办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
1 p' r- A  ]# p# X8、 、 混沌序列预测（高大上）
5 }' e  g6 {9 s* `: b  ?. ~适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
8 j) t8 T. K, i/ M7 f' i; [1 Y拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
: r6 c* X- {, D/ E评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
5 h6 s7 ?9 {+ c2 H7 c作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
5 i6 I% H6 V, p8 S& Q# M12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
优化问题，对各省发展状况进行评判
2 l! H# b' m- e) U5 i13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
* J- J, `& S: O秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
% R. P4 d/ h# a+ e$ J: ]7 j6 \法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
+ ^4 Q0 \$ l% U  X. E+ c. B. p14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
  o$ j  W5 }8 R+ T0 r4 O其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
) n0 R* A- V6 P/ l5 _/ @的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
7 a% H( c8 s  E& U2 q来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
8 i; o# Z3 ], M6 @* P4 C2 T+ S该方法做评价比一般的方法好。
& g" Q" {" D% @0 M$ y# s16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
  k- z5 e' A: T8 u/ W4 C; i协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
3 J/ J& W$ ~. z/ t2 F素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
5 `/ u4 `- D. ?此外还有灵敏度分析，稳定性分析
" D$ r0 g$ Y( C. d; U8 L17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
. N* Q2 Y: m: D3 k模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
; G% O% a6 ?& W  Q; l18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
: h, C# d6 ~  \8 `, r$ T非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
5 l4 W; i$ P% I智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
( |9 V* W. z. n! G" h算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
8 Q2 J- k2 V, i; M5 [4 P( l8 C9 A& v) d19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
& Y: ?, W% n2 V$ o离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
0 h: n4 G2 |) [3 z) F$ R& E排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
" F: F0 `" o0 d7 r/ K8 f/ c; E3 R有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
8 g( S* K2 v6 @计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
: k! U$ r! K. b. `4 c1 A/ V/ A3 ^! jMATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
6 p  y0 n8 t" C# C2 S6 N0 D8 m' F例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
1 {1 d4 z2 E' j" k22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
1、聚类分析、
2、因子分析
7 F5 o, u% E% z6 ]3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
: S; `# v! x6 l8 ^各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
4、判别分析
5、典型相关分析
" Y5 Z: }* B  m6、对应分析
7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
- T1 o9 E, S$ h( c8 ]( K$ D# \1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
: C% S: B+ W: A! S* g( k* r% _6 i3 N7 Q3、层次聚类
5 r6 S8 j) C$ }  o, i4、密度聚类
5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
8、模糊识别
# o" _/ L9 H/ R, K2 N25 、关联与因果
0 n$ D& G# ~) E1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
/ \( e/ Q- g1 h' q. `8 \4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
9 }7 F6 E6 o1 E. j5 J/ ~一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
0 `: m" D" \  h6、标准化回归分析
0 `* ?+ J8 K/ I/ ]若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
- Y% |' H  S3 @5 t) R% V# I+ L7、生存分析（事件史分析）（较好）
# E) B9 x9 K; U+ V数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
5 h/ ^! d6 S& \. ?8、格兰杰因果检验
" p" u% K8 F; }4 d计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
+ B0 B) P1 t2 d; r1 [量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
& `' w! b4 h1 M率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。

& M' F7 o+ z( u/ Q+ b; n
4 P+ {' a) e+ G4 c# |
/ m/ Y# i% C. p+ V% |  _+ p

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个人觉得马尔可夫模型还是比较容易拟合的
( g+ X/ J7 e) E) z4 O