全国大学生数学竞赛学习笔记（非数学专业组）

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0. 写在前面
3 u" ]5 |9 V* B" T' ~/ ^这次参加全国大学生数学竞赛（非数学专业组），本来是抱着重在参与的想法报名的。准备的过程大概不到一个月吧，挺仓促的，好在学校竞赛培训的老师很负责，做的辅导课件帮了我很大的忙。最后很幸运地获得了北京市数竞的二等奖和全国数竞的二等奖，算是一个不大不小的惊喜吧。在这里把我的学习笔记（参考我校培训老师的课件）分享出来，大家可以对照着查缺补漏，希望对参加数竞的小伙伴们有帮助。（文中截图出自我校数竞培训老师的课件）整体竞赛难度怎么说呢，还是看运气 年份，今年的题就比较简单。不过万变不离其宗吧，掌握好基础的知识点，才能应变越来越花里胡哨的题目。
' ]4 B/ v5 c9 Q7 D7 K, H1 \" b
8 l2 e1 ~* d2 Z% r9 s* Z6 d
3 b( F' C$ H: G' y6 B4 c) g1. 求极限问题
1.1 洛必达
没啥好说的。
6 W# a5 {' u8 V# y1 f
( f1 ]+ r( U+ y" s
1.2 等价无穷小
' i" M  T' b' X4 ]' h% V  E1 D

1.3 Taylor公式
熟记公式~


1.4 两个重要极限
5 n2 i  U( K) i, F+ ]# ?有关ln和e的极限，背下几个常见极限就好。


5 e: x3 C; P. S3 a7 v: ~1.5 利用导数或微分定义
看到函数题干中有f’(a)的值（不为0常数）和f(a)的值（为0），就联想到是否可以联系导数定义解题。


/ p! c* m7 y+ d1.6 微分中值定理
遇到求f(a)=a的a存在性证明，考虑零点定理

6 k3 r7 @7 r6 n* t; N! z" g遇到形如求f’(b)=2bf(b)的存在性证明，考虑用前一问和题干中的零点构造出罗尔定理的两个相等点。构造函数往往带有e^x

) A7 z" e5 X1 b+ Z2 Y1.7 夹逼定理、单调有界原理证明存在性
有这个思想就行。
% f0 H, k9 C# {9 X/ J0 O

1.8 利用积分
7 t8 `/ R7 C0 A$ e* z2 B看到含f’(x) 的不等式，就要想到对两边积分，这样一边可以得到f(x)
4 [4 h9 u6 R: Z- _' U4 }) i, ~
把不等式的一边先等价无穷小化简，再不等式通过两边取积分，化简的一边化为这样的形式（另一边是导数积分完为f(x)），方便判断收敛性：


# _) X. t. u' N2 W$ E$ _
7 Y( B2 l( s' }2 t; d7 `6 }1 W
7 U# L3 }; |5 j3 e8 {2. 导数的计算
/ [) e) _' ?* Y2 l$ \6 s0 P2.1 分段点或特殊点处求导：直接利用定义
' W  ^8 k) P  Z6 R" g& g3 o如有x值使得函数f(x)=0，求该点导数。
$ |' J5 A; Q+ W; P! ^4 x* c# X

; h7 G( s% e( |2.2 隐函数求导 对数求导
4 Q0 M$ ~8 B( }0 j# R当幂数为f(x)等形式时考虑对数求导，消除幂数中的f(x)


& F+ I4 r( m! v, b' P, l2.3 参数方程确定的函数求导
理解过程。


2.4 高阶函数
* T, b0 i2 ]! c; gLeibniz公式
; c# K6 g+ V) H

( Y! C7 J! t8 `+ O$ R常见高阶导数

9 x1 p: w! T" q) y- \3 e
% B' A* t5 }# N  T- _
  S* X- O6 N5 T# g% ]3 F2 ~
2 B! K+ k, p' W+ S1 s5 _7 @3. 导数的应用3.1 一元函数应用3.1.1 函数单调性、极值、最值

没啥好说的。

3.1.2 不等式的证明

• 利用函数的单调性证明
  + K" N" u* N1 d, I, J  w4 g

$ W) ]  Z  K. x6 v2 J% L: Y
2 t4 U+ a4 t4 x3 u0 u, e& w  [+ n3.1.3 确定方程实根个数

利用零点定理（至少有一个零点）+单调性（导数）（至多一个零点）来确定方程实根个数。

• 存在性：零点定理
• 唯一性：单调性/Rolle定理反证
  

# \: ]3 _( Y" ~, F% S# [
, A9 w1 h- O: v

4 H1 _) {2 V( X6 n! m9 ^
7 L+ n/ i) W$ l0 a! o) Y% i

+ w0 Y% I! \2 U" l+ Q7 y# ^4 ^
+ @  Q! I  r9 X' W1 Z

/ i& D. Q! i$ \; _