全国大学生数学竞赛学习笔记（非数学专业组）

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0. 写在前面
4 {4 f4 ], `" C7 g- d这次参加全国大学生数学竞赛（非数学专业组），本来是抱着重在参与的想法报名的。准备的过程大概不到一个月吧，挺仓促的，好在学校竞赛培训的老师很负责，做的辅导课件帮了我很大的忙。最后很幸运地获得了北京市数竞的二等奖和全国数竞的二等奖，算是一个不大不小的惊喜吧。在这里把我的学习笔记（参考我校培训老师的课件）分享出来，大家可以对照着查缺补漏，希望对参加数竞的小伙伴们有帮助。（文中截图出自我校数竞培训老师的课件）整体竞赛难度怎么说呢，还是看运气 年份，今年的题就比较简单。不过万变不离其宗吧，掌握好基础的知识点，才能应变越来越花里胡哨的题目。

" R% Z6 y! J9 U4 m, k8 j$ W, b3 N) W, I
6 T! j8 F, M# w' \; g1. 求极限问题
& M1 z' r. ^2 _. c1.1 洛必达
没啥好说的。


1.2 等价无穷小
8 H* N: k  w/ w' e; N+ T

! w7 A7 A  y0 [* W6 y/ J9 r1.3 Taylor公式
熟记公式~
1 z) ^2 ?- `! X  ]

1.4 两个重要极限
, \: W+ P* }; `4 q$ r1 ?8 v有关ln和e的极限，背下几个常见极限就好。
+ t0 e" `. b' r) v

& X2 F- p" D) p9 q) E1.5 利用导数或微分定义
0 C8 B% J* k' ^- c看到函数题干中有f’(a)的值（不为0常数）和f(a)的值（为0），就联想到是否可以联系导数定义解题。
+ O* k. C7 g" I3 E

; p( I9 o- C( p3 g9 m1.6 微分中值定理
遇到求f(a)=a的a存在性证明，考虑零点定理
5 l. w! m1 e: g" @
遇到形如求f’(b)=2bf(b)的存在性证明，考虑用前一问和题干中的零点构造出罗尔定理的两个相等点。构造函数往往带有e^x

1.7 夹逼定理、单调有界原理证明存在性
$ n+ h* ~3 h3 k% M$ Z/ m有这个思想就行。
6 \% f8 x& G" y" j1 K& B  G
- A4 ]4 @: W! l+ n( }' y
1.8 利用积分
, b# N& u) ]4 b; Z! x看到含f’(x) 的不等式，就要想到对两边积分，这样一边可以得到f(x)
+ X, |! r4 U) S9 H  Z. n
把不等式的一边先等价无穷小化简，再不等式通过两边取积分，化简的一边化为这样的形式（另一边是导数积分完为f(x)），方便判断收敛性：
. G$ X0 z* K8 n$ R! @* T9 V) }( e4 x


: w6 l8 h8 O# m7 t5 q$ u
2. 导数的计算
. `. d8 J$ C8 A2.1 分段点或特殊点处求导：直接利用定义
如有x值使得函数f(x)=0，求该点导数。
. n. y  x5 A' M7 N* _

+ v& c# j' A$ L) p& _8 ]; Y/ i2.2 隐函数求导 对数求导
8 ]9 G$ j" K, X% M. x当幂数为f(x)等形式时考虑对数求导，消除幂数中的f(x)
+ W1 x3 D8 R; S% d- b& ?

$ [7 f4 X8 ?" _+ L2.3 参数方程确定的函数求导
理解过程。

8 p% b; D1 X  p9 l1 d; }9 D( Q
  h* z7 O+ |4 z, ^: V( L( K* z, R2.4 高阶函数
  e) r. y9 @- P' ~+ LLeibniz公式

: l" m" i* d) h. T! g2 i
常见高阶导数

* r, R+ k9 z% s$ T$ E

: b2 E3 u4 z+ U( E! e  N9 K% T
3. 导数的应用3.1 一元函数应用3.1.1 函数单调性、极值、最值

没啥好说的。

; G9 Y- U7 s6 F* y5 B5 j! q

3.1.2 不等式的证明

• 利用函数的单调性证明
  

$ D1 d0 M  K/ }  |$ H
  r/ L4 S0 R' h' t* P3.1.3 确定方程实根个数

利用零点定理（至少有一个零点）+单调性（导数）（至多一个零点）来确定方程实根个数。

• 存在性：零点定理
• 唯一性：单调性/Rolle定理反证
  

$ w: y& r: W4 h
1 J1 w; D! U1 i  z





3 I$ ^6 I4 }0 \! Z/ _# q
) x* Q, g5 o' t. b9 Y  Q7 e
9 G) Y; R5 ~+ c2 t2 I$ k6 H0 y: Z
" S5 m7 q/ P" D) w+ E% r) |4 s- O: G1 @
" _: t) o: L' `* D
% ~- p4 h3 G3 H6 b  J% V
9 N: Y' b2 m' m& @. A% s" z