全国大学生数学竞赛学习笔记（非数学专业组）

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0. 写在前面
这次参加全国大学生数学竞赛（非数学专业组），本来是抱着重在参与的想法报名的。准备的过程大概不到一个月吧，挺仓促的，好在学校竞赛培训的老师很负责，做的辅导课件帮了我很大的忙。最后很幸运地获得了北京市数竞的二等奖和全国数竞的二等奖，算是一个不大不小的惊喜吧。在这里把我的学习笔记（参考我校培训老师的课件）分享出来，大家可以对照着查缺补漏，希望对参加数竞的小伙伴们有帮助。（文中截图出自我校数竞培训老师的课件）整体竞赛难度怎么说呢，还是看运气 年份，今年的题就比较简单。不过万变不离其宗吧，掌握好基础的知识点，才能应变越来越花里胡哨的题目。

) M9 u! x7 g1 u2 J) f! J
1. 求极限问题
1.1 洛必达
没啥好说的。

3 o$ v( S9 I0 R) O* R: h
1.2 等价无穷小
* ^4 y0 [1 z6 i) i8 ?" T
) r0 L3 |9 }4 f7 N% W
1.3 Taylor公式
熟记公式~

. d4 n) M# f1 `  A' x1 i8 q
1.4 两个重要极限
/ |. W0 S3 }$ W, U有关ln和e的极限，背下几个常见极限就好。
0 I  T7 C9 I4 }1 U' A5 ]2 {7 D& z

1.5 利用导数或微分定义
6 \  e, R( b2 C( c看到函数题干中有f’(a)的值（不为0常数）和f(a)的值（为0），就联想到是否可以联系导数定义解题。
; N- K% [4 V. b* {+ e; V

1.6 微分中值定理
7 q! X( p# k' q5 I2 q9 J+ b遇到求f(a)=a的a存在性证明，考虑零点定理

遇到形如求f’(b)=2bf(b)的存在性证明，考虑用前一问和题干中的零点构造出罗尔定理的两个相等点。构造函数往往带有e^x
! V' \& b+ V8 r% F
1.7 夹逼定理、单调有界原理证明存在性
有这个思想就行。
# K- _# \  F9 h8 [$ S7 a

1.8 利用积分
. W+ l4 O6 I0 G/ s看到含f’(x) 的不等式，就要想到对两边积分，这样一边可以得到f(x)
6 N) S' C9 _6 k& |
把不等式的一边先等价无穷小化简，再不等式通过两边取积分，化简的一边化为这样的形式（另一边是导数积分完为f(x)），方便判断收敛性：

$ Z. Q4 a+ Q0 U& E4 B* i+ {
1 k4 L4 |) p8 {9 b
/ h' {2 Q- `) K& i8 Z- G
% a, Q8 ~0 R$ y2. 导数的计算
2.1 分段点或特殊点处求导：直接利用定义
如有x值使得函数f(x)=0，求该点导数。
$ E8 S# O% T4 B" N$ \5 ?- d
9 w2 [7 g# f" v- ?' v; A  w) C2 r
0 x$ r0 f1 ~% j( v' ^. f2.2 隐函数求导 对数求导
# D- T6 w0 b2 U; q* N: I6 r当幂数为f(x)等形式时考虑对数求导，消除幂数中的f(x)


% C" n5 j$ ]5 g* v5 H% c0 C. x2.3 参数方程确定的函数求导
理解过程。


/ `* O# Q4 }% X' A. b" }* {$ Z+ T2.4 高阶函数
) C3 r  R2 z( D/ j+ y# _+ zLeibniz公式


常见高阶导数

6 R- o( B! s9 C& u1 s
6 M+ z" F% R$ u2 D

; ?6 {; h" r9 N; J3. 导数的应用3.1 一元函数应用3.1.1 函数单调性、极值、最值

没啥好说的。

3.1.2 不等式的证明

• 利用函数的单调性证明
  

( E& ~5 Q; Y0 ?2 W3.1.3 确定方程实根个数

利用零点定理（至少有一个零点）+单调性（导数）（至多一个零点）来确定方程实根个数。

• 存在性：零点定理
• 唯一性：单调性/Rolle定理反证
  

* G, n7 G7 j1 r% X6 S' K. m7 V
1 }7 v$ q7 p1 R1 ^0 t1 E( f, o
- V  V; o. C$ F4 K( V& Y! J, o


; e$ Q' R& B$ y! h& z" k5 U4 m) r. j
. C8 J2 W6 r- {! O4 w
! `1 m8 E* o. l3 g
6 [6 C% k2 N2 k2 n