全国大学生数学竞赛学习笔记（非数学专业组）

1440359316

0. 写在前面
这次参加全国大学生数学竞赛（非数学专业组），本来是抱着重在参与的想法报名的。准备的过程大概不到一个月吧，挺仓促的，好在学校竞赛培训的老师很负责，做的辅导课件帮了我很大的忙。最后很幸运地获得了北京市数竞的二等奖和全国数竞的二等奖，算是一个不大不小的惊喜吧。在这里把我的学习笔记（参考我校培训老师的课件）分享出来，大家可以对照着查缺补漏，希望对参加数竞的小伙伴们有帮助。（文中截图出自我校数竞培训老师的课件）整体竞赛难度怎么说呢，还是看运气 年份，今年的题就比较简单。不过万变不离其宗吧，掌握好基础的知识点，才能应变越来越花里胡哨的题目。
1 u/ X$ T4 g1 p  }* n

) u( G  a1 m& \9 t1. 求极限问题
4 }$ K. p  l' r% l: y1 _1.1 洛必达
4 N# T3 E3 }# Z; ~$ n+ [0 s没啥好说的。


) ^% }; C' z" E8 x1 v3 V6 q1.2 等价无穷小
& ~. v; F! b1 n. i& S" h

2 T$ I% I5 M- ]* g1.3 Taylor公式
熟记公式~
- U4 v) x! H. V7 i! m" _
) ~2 _& `. y& _9 N6 T0 @
1.4 两个重要极限
有关ln和e的极限，背下几个常见极限就好。

+ K& \: v- A" w, t/ \! S/ i9 g
) h' ]2 q) k0 O3 X; b1.5 利用导数或微分定义
+ `  q& I9 T' ~  Q看到函数题干中有f’(a)的值（不为0常数）和f(a)的值（为0），就联想到是否可以联系导数定义解题。
' H6 A2 x. X0 B3 s+ v( p% h5 b! V

6 S- g* g0 r2 f# x; D2 V! }" P1.6 微分中值定理
: E' K6 ^$ t: E9 i( e& q遇到求f(a)=a的a存在性证明，考虑零点定理

遇到形如求f’(b)=2bf(b)的存在性证明，考虑用前一问和题干中的零点构造出罗尔定理的两个相等点。构造函数往往带有e^x

' P4 B  {$ x; c: [$ r1.7 夹逼定理、单调有界原理证明存在性
8 b5 J8 P5 j* T8 |2 K% K0 f  Z有这个思想就行。


  W  s+ k) u- R3 M+ i+ v% Y1.8 利用积分
( M2 }( b! h( u+ U% [看到含f’(x) 的不等式，就要想到对两边积分，这样一边可以得到f(x)

把不等式的一边先等价无穷小化简，再不等式通过两边取积分，化简的一边化为这样的形式（另一边是导数积分完为f(x)），方便判断收敛性：

  E' M* D. w' t) u% b. T


$ L7 v' n: s9 Q$ y/ ^2. 导数的计算
9 d0 u: a9 {3 [2.1 分段点或特殊点处求导：直接利用定义
6 ?- c1 Y# ]5 `7 m+ J0 {如有x值使得函数f(x)=0，求该点导数。

: F% O. `- H* v
2.2 隐函数求导 对数求导
7 ]' F# I% q* F1 X6 X# m当幂数为f(x)等形式时考虑对数求导，消除幂数中的f(x)
& w  A- A& V: u% Y4 |4 ]( {

% M% I1 Z0 b7 P2 D! E6 q2.3 参数方程确定的函数求导
, K9 |* E* Y: k0 L5 u1 I5 t理解过程。
$ z. H1 _- A+ l* K) H. G

8 p9 }. X& t7 s  r  n9 v6 P2.4 高阶函数
5 f5 x: t! Y2 T* X- PLeibniz公式


% Z" x' D: Y3 C' l! B1 ?- K常见高阶导数



. _) g* [7 N8 Q3 a
, M9 J  B$ x' j" k% L7 a0 S, q3. 导数的应用3.1 一元函数应用3.1.1 函数单调性、极值、最值

没啥好说的。

3.1.2 不等式的证明

• 利用函数的单调性证明
  / Z& n# P. U+ |* e6 ^; _* c

3.1.3 确定方程实根个数

利用零点定理（至少有一个零点）+单调性（导数）（至多一个零点）来确定方程实根个数。

• 存在性：零点定理
• 唯一性：单调性/Rolle定理反证
  

( Q# O5 X8 [- I( T( x

) Y6 [. u& _  m  K3 {% S2 c; i* ^
, ]! t8 A3 t# H( K



2 ]$ b5 L, C7 h7 Z3 N5 l
* ~! j. ~' L' b1 ~
' P8 U7 Q9 @' x0 P
, C7 g* ]  g0 Q5 S3 \& H, u" H# V9 z
6 l4 k+ J' z: u1 f
* |3 N! \) x9 ]- V9 \& x9 z