【数学建模】常用模型算法及MATLAB代码汇总

杨利霞

【数学建模】常用模型算法及MATLAB代码汇总
一、蒙特卡洛算法
" u+ }& W  Z! p$ E6 z: C( O二、数据拟合
6 r: s( E. j' H三、数据插值
四、图论
1、最短路问题
6 n8 [3 Y4 u9 P, j  K' F% k7 |（1）Dijkstra算法
（2）Floyd算法

" i3 L7 j7 D. ]/ R" Y1 B


' Z5 p% x) ?: {( l: W2 x( M一、蒙特卡洛算法
1、定义
+ U9 I+ s* X& r+ W& |" d- J* e5 u, q
& D; ^- Z. b4 \1 z* v
. B) C& N- L' q* Q* v. G蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种数值计算方法，将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解，故又称随机抽样法或统计实验法。


& j( M4 Z7 W; g* R: [
9 u  ^3 Q2 C/ h7 ?" h& Q1 `8 S" p# \
2、适用范围
0 c9 O* x3 Y! n0 t/ M
3 l* }2 ]) b0 Z( @- s+ O
可以较好的解决多重积分计算、微分方程求解、积分方程求解、特征值计算和非线性方程组求解等高难度和复杂的数学计算问题。
  j. X3 T# U6 b( z' J

/ l- e4 p9 i" _- ^0 j$ ~
& F+ Y, C% Q- {5 m: P+ p, T
3、特点
' ~0 V& T( h  s
& U* K9 `& b0 O+ i7 L
蒙特卡洛算法可以应用在很多场合，但求的是近似解，在模拟样本越大的情况下，越接近于真实值，单样本数增加会带来计算量的大幅上升。对于一些简单问题来说，蒙特卡洛是个笨办法，但对于许多问题来说，它往往是个有效，有时甚至是唯一可行的方法。


& \  e1 j9 Y: b) z7 C. T

' O4 J% j0 p( E1 b7 J1 j1 X" s4、举例

! V/ }; |, p  v! J
4 [- l1 @0 ^) J7 Xy = x^2 ，y = 12 - x 与 X 轴在第一象限与 X 轴围成一个曲边三角形。设计一个随机试验，求该图形的近似值。

  x' l, l3 @. m$ P' w6 G: h


7 b5 p5 l& _! w6 o) \（1）作图
, ~) K  I  A; y8 ]6 U) r
1 X' q1 Z' K9 z; s& U! _
Code：
$ C, ^2 [1 {5 I9 W" B. S

%作图
x = 0:0.25:12;
y1 = x.^2;
% ?  y/ o" c" J! W5 ]; V8 `y2 = 12 - x;
  W3 P& ?( T, Fplot(x, y1, x, y2)
xlabel('x');ylabel('y');
9 `8 V+ q8 b1 ?* `; i! Z%产生图例
legend('y1=x^2', 'y2=12-x');
title('蒙特卡洛算法');
%图中x轴和y轴的范围，中括号前面是y轴范围，中括号后面是x轴范围
0 t! t8 C; b/ @' Z9 g4 ^% maxis([0 15 0 15]);
8 \2 e, y  ?! ^; ]+ ptext(3, 9, '交点');
%加上网格线
grid on
1
/ D/ F  N/ a1 h# [0 d) A. S) v2 [2
3
0 h# g4 b6 K, T/ V3 Z4
5
" [. j% n% O( X# A, Z6
& l6 T8 v" I3 M4 l7
) x- t/ X7 f+ M/ |# T3 \; l" m3 X8
3 B; `2 b% S3 j$ q: J7 V9
10
+ v" a" a  j$ ?; u. f6 C11
12
13
; z' B1 D& d! C1 u9 ~$ W) `! s14


（2）设计的随机试验的思想：在矩形区域[0,12]*[0.9]上产生服从均与分布的10^7个随机点，统计随机点落在曲边三角形内的个数，则曲边三角形的面积近似于上述矩形的面积乘以频率。

) }6 W( R: R) o: c# H
Code：


%蒙特卡洛算法的具体实现
%产生一个1行10000000列的矩阵，矩阵中每个数是从0到12之间随机取
/ i/ J& ?4 ]; D7 Xx = unifrnd(0, 12, [1, 10000000]);
y = unifrnd(0, 9, [1, 10000000]);
frequency = sum(y<x.^2&x<=3)+ sum(y<12-x&x>=3);
area = 12*9*frequency/10^7;
  K5 k/ t8 M1 ?  ^* j( T9 F1 Vdisp(area);
1
2
3
4
5
6
% }' z- u% Y4 f. |8 t7
- b& a$ r* h, y: J% V8 h! b, }所求近似值：
" n7 A3 O/ n' K- n- V

+ v1 N7 Q9 x, E) i

- @1 T1 u$ h. b# b$ q* r
1 T1 J6 Z; ~& N5 i
参考博客：https://blog.csdn.net/u013414501/article/details/50478898
$ V; O4 X! }& @5 j4 R7 K

4 N7 _3 S2 c  p. E4 |
7 o; \) f8 J' n) e8 F* R# s2 ?
4 |9 O9 T' G/ V5 o' q! X

二、数据拟合
0 b& Z/ W$ P2 a8 s. c1 s, X9 }6 w1、定义

% d; x4 l$ R7 }+ T: ?! \
已知有限个数据点，求近似函数，可不过已知数据点，只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最小，从而能较好的反应数据的整体变化趋势。

/ Z+ @1 F7 w" Y) \8 j' v

- c) c9 p# U, V. z+ ]( w# r7 m) R
2、常用方法
5 e- R; i" O% M4 K1 H+ C
1 W3 z& P& i' u+ Z3 d
一般采用最小二乘法。
' X) a- K6 Q9 [2 V' i/ D拟合的实现分为 MATLAB 和 excel 实现。MATLAB 的实现就是 polyfit 函数，主要是多项式拟合。

$ |5 m6 }" X8 Q* q* H
4 u/ n( }' z# D: P( M3、举例

6 l& @8 z* w! l' P* G- w/ n
7 i2 N0 w* n  ?$ l+ w" ?5 ]9 }(1) 数据如下：


* U, z& O# y- Q* X   序号         x         y       z
; I/ |5 k) l# I6 {. J& X+ J; A" P2 t0 ?, c        1        426.6279        0.066        2.897867
" S  c+ c& O! `" ]* S        2        465.325            0.123   1.621569
* E' f7 }+ d! e5 R7 ?! s) c        3        504.0792        0.102        2.429227
        4        419.1864        0.057        3.50554
" \* U) \* s) P        5        464.2019        0.103        1.153921
: q8 q/ j3 H+ `! y1 u: c( w- ^        6        383.0993        0.057        2.297169
        7        416.3144        0.049        3.058917
/ v$ @: p# J0 X& f) x        8        464.2762        0.088        1.369858
) B9 B: k9 d- R        9        453.0949        0.09        3.028741
        10        376.9057        0.049        4.047241
        11        409.0494        0.045        4.838143
        12        449.4363        0.079        4.120973
* |" W# B0 |+ E        13        372.1432        0.041        3.604795
        14        389.0911        0.085        2.048922
        15        446.7059        0.057        3.372603
        16        347.5848        0.03        4.643016
        17        379.3764        0.041        4.74171
8 s% D. ~" v9 W" M9 O" P; W) y3 }+ [        18        453.6719        0.082        1.841441
        19        388.1694        0.051        2.293532
        20        444.9446        0.076        3.541803
8 ~; C: S& S- v: g        21        437.4085        0.056        3.984765
% X3 w& C+ A! A! }$ A8 z! D/ g9 b; L        22        408.9602        0.078        2.291967
# D* ], H0 S( N2 K        23        393.7606        0.059        2.910391
        24        443.1192        0.063        3.080523
- p5 n) `/ G/ T3 L( }% O  [/ @. y! ^        25        514.1963        0.153        1.314749
( K8 E# F, U' N8 r; \6 ^        26        377.8119        0.041        3.967584
        27        421.5248        0.063        3.005718
9 B3 |7 x- @4 G3 F3 u        28        421.5248        0.063        3.005718
        29        421.5248        0.063        3.005718
        30        421.5248        0.063        3.005718
( D/ j! I# I1 x; f( A; Z2 ~  ]% i, n        31        421.5248        0.063        3.005718
        32        421.5248        0.063        3.005718
        33        421.5248        0.063        3.005718
        34        421.5248        0.063        3.005718
# w$ |* i' Z8 ]6 H: \$ a( m6 |        35        421.5248        0.063        3.005718
& z+ w0 `9 }) \        36        421.5248        0.063        3.005718
( `7 L2 U- |& Q3 H  ~& w        37        416.1229        0.111        1.281646
        38        369.019            0.04        2.861201
        39        362.2008        0.036        3.060995
        40        417.1425        0.038        3.69532
1
: b% o6 }% j- q  w1 g2
& d1 A; G! m9 J& A9 ^5 j% u, e2 k3
7 K; h: _1 Z& a' v4
5
6
! \( W/ w" d9 s" z7
8
" |; e& r% h2 z- d( _) ]- b4 S9
10
7 d3 ~7 v% j  i: ^) V( b" i11
4 [5 j9 ?- P$ r! \4 o7 A' p1 A12
/ E, e  E# m% E/ T7 C# ^7 N13
% W0 o, k9 [+ C: i  M3 G: \14
15
16
17
18
" n% `1 _3 s1 x19
1 f6 j- ~# n. U2 a20
21
22
5 p  Z2 i" z6 c' Q: z8 w23
24
8 g# x( R: O7 W! T$ t& [25
' r& q9 @& C$ ?26
9 W+ X% K& i7 j7 N. D2 s  Z1 }27
) A7 N- V$ I& t( R+ k28
29
30
: |! C1 V) |$ d3 a1 ~$ G31
32
$ ]9 v4 v) c0 W: P; ]  P33
34
9 ~& H7 f2 F% v. O2 a+ ^35
36
37
( c' \/ {7 e. f3 c  L38
4 e6 T  [" C; s8 ~/ u* e( \39
7 M1 @" q2 a8 }) O5 D* t40
41
2 ~! L9 |% ]& {; x! z+ Q" {. `

  h' o' \% [2 ^(2) 方法一：使用MATLAB编写代码


%读取表格
5 W2 y& [' N4 h# t2 bA = xlsread('E:\表格\1.xls', 'Sheet1', 'A1:AN2');
4 n. n3 @4 Y) |4 ?2 K, q" J) ZB = A;
[I, J] = size(B);

5 m! R8 M& U; v# T: r$ u6 `%数据拟合
4 |3 r- U5 P0 v5 z%x为矩阵的第一行，y为矩阵的第二行
x = A(1,;
1 M. _! L" ^2 R& d& Iy = A(2,;
%polyfit为matlab中的拟合函数，第一个参数是数据的横坐标
%第二个参数是数据的纵坐标，第三个参数是多项式的最高阶数
%返回值p中包含n+1个多项式系数
  i5 X9 G% B1 O) Jp = polyfit(x, y, 2);
disp(p);
- }) B! j9 D& n# N%下面是作图的代码
4 R, x, j4 c( d: ^9 _x1 = 300:10:600;
, \" u% D3 t7 t$ A$ Z%polyval是matlab中的求值函数，求x1对应的函数值y1
( B3 G" X& {. g% Fy1 = polyval(p,x1);
plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b');
+ t: k4 ]0 t, f( ~%plot(x,'DisplayName','x','YDataSource','x');
" N: |! w- s# z  \, X! O/ b( X, R3 C%figure(gcf);
* }& U5 H& `) \6 _3 `# G6 r1
  u( k) F$ f" N1 W4 \3 E5 e' U" I2
3
4
4 b8 i7 k/ c0 s2 ~5
6 ~! b0 Q( m8 D1 Q. F6
7
! w7 R. L- e6 q8
9
3 J; U2 V4 K( E10
11
12
13
0 T3 I! {% `1 }0 F& L) J5 {% `14
1 s7 v8 B4 Y0 b15
16
17
; S' Z7 I  `; N3 c- f18
19
. T* x9 e6 K' B, _  q5 W, @20
+ V/ z: C% |% S; q3 p21
8 T2 b2 |& }: |7 U9 G

5 V, b/ `& L: }. I9 V8 P# W( w(3) 方法三：使用matlab的图形化拟合包（推荐）
  w" x& W7 M5 b0 }7 q" V
, z9 B: I" y8 W1 Y; D* B- D/ M


: J' m: \5 R; u4 Q% i- K将数据导入工作区并通过cftool命令打开matlab的图形化拟合包
" J  K* m& ^) R6 t7 }+ L  X5 w
5 N% \- G& p$ u6 Z& L: y- @
- L. Y) K3 h: a2 A5 u

选择x、y变量
" K0 ^. R6 m: Z/ z* C( i
: A+ z, f2 K3 p" j  V

, G, w; C) R: t( A/ d! v7 L
/ k# N2 h7 ~; |1 @1 ~; T选择拟合方式和最高项次数
; k5 B% b/ I( S& H3 J  ?+ T


5 p( m9 R1 K- C7 [
得到拟合结果

5 H. Q/ b, |8 s; f( J( Z- g2 g; T+ p
+ R1 ^7 v7 F& `! S  q

使用图形化拟合工具不仅简单快捷，还可以使用多种拟合方式，寻找到最好的拟合曲线。
% G: s% ?' S7 \% m6 t

9 ]3 W6 t# X% U7 [
8 B2 T+ h' \8 u) J

6 T% W4 r, T7 i* x9 Q4 b! @
三、数据插值
; m. D  U8 y: j: E; d* _- G; N1、定义

& a, G9 Z" w4 z& a2 D
在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过给定的全部离散数据点。即求过已知有限个数据点的近似函数。
* t. [2 E6 l* n" [" A( h
6 J% L9 P" O7 J- K
从定义上看，插值和拟合有一定的相似度，但插值要求近似函数通过给定的所有离散数据，而拟合并不要求这样，只要近似函数能较好的反映数据变化的趋势即可（近似含义不同），当测量值是准确的，没有误差时，一般用插值；当测量值与真实值有误差时，一般用数据拟合。

* P8 `/ j* R& u. O2 l


9 c2 z4 T* l% K1 [0 p8 p2、作用
$ C) a& y+ N# E4 k0 V2 z- \& q
" i% t9 X  Z' Y$ {5 t0 ^5 V% v
插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值情况，估算出函数在其他点处的近似值。
' b8 n, m3 M' N7 W: h0 D9 _
0 w, J4 x' s5 r+ T7 X! c
; A% @& c; h. M+ m% U- y8 H" J

3、举例


% g8 a7 X0 q  T! u%years、service和wage是原始数据
/ Q& G2 s5 l2 q, u* myears = 1950:10:1990;
* z# r& w7 n% pservice = 10:10:30;
wage = [ 150.697  199.592  187.625  179.323  195.072; 250.287  203.212  179.092  322.767  226.505;153.706  426.730  249.633  120.281  598.243];
[X, Y] = meshgrid(years, service);
- n; S7 |. j; W4 A8 C: _! ~% % 三维曲线
: X. S  W7 W$ I* b; ?, H, @$ X% plot3(X, Y, wage)
- H: U& A' e: M! C% 三维曲面
figure
surf(X, Y, wage)
; U0 s4 {3 S! q& n# O+ a%interp2是matlab中的二维插值函数，前两个参数是已知位置，后两个是未知位置，w是未知位置的插值结果
) |0 b2 {$ W8 x% S6 iw = interp2(service,years,wage,15,1975);
4 j# S2 ^" f9 a% y8 d1
0 I5 }+ ]9 s5 k; B2
3
4
5
6
7
8
9
  o0 n* G# e& T: d3 d0 u10
! h$ d; ^- d1 {11
12
$ k) j/ |4 v( `5 x* P


, o& s2 ]' Q2 [: I
; F4 r9 N# q- K6 O; O/ L2 k可参考：数学建模常用模型02 ：插值与拟合

  \! h. h8 m$ o$ e7 C9 b


& E1 H9 u# @& d2 ]6 v" m
4 n; i8 U; w0 C: z$ c  S! g, C
) ]% O- ~4 B: k四、图论
1、最短路问题
最短路问题就是选择一条距离最短的路线。
4 {+ f, S- i8 j0 v& V6 E2 X

例如：一名货柜车司机奉命在最短的时间内将一车货物从甲地运往乙地。从甲地到乙地的公路网纵横交错，因此有多种行车路线，这名司机应选择哪条线路呢？假设货柜车的运行速度是恒定的，那么这一问题相当于需要找到一条从甲地到乙地的最短路。（Dijkstra算法）
6 v3 l- m+ C6 J& K. e
8 s$ b: Z& \$ C7 C# N; M2 F! V
具体介绍见这里：最短路径—Dijkstra算法和Floyd算法

# G: x5 l5 |$ g' ^3 M1 X
2 r, k0 t3 Q- J1 d6 d4 S

# o1 a3 l! b6 I, S  h& u（1）Dijkstra算法
& L3 M0 a0 i- f) I/ W0 J: w先给出一个无向图
) ?$ G# u) m* F5 B
2 S" P/ j3 ^# Q: s2 O# w& y

! \  b" E% M4 ?- G
用Dijkstra算法找出以A为起点的单源最短路径步骤如下
- f& G* f4 e$ ]/ f% n# h1 v
* F- n' m4 W& z5 t0 K- d9 ?
8 k; I( t# ?* ^; ?4 l



6 C. ]' j( k$ g2 A# s- y* [代码模板：


#include<iostream>  
#include<cstdio>  
#include<cstdlib>  
" U4 @4 F; J0 ]8 F4 p( ?+ z( J#include<cmath>  
#include<cstring>  
5 K0 K5 \1 \' i" A3 j2 D3 G#include<algorithm>  
7 }) i! q' `! D& Y3 m#include<vector>  
#include<fstream>  
using namespace std;  
- ]3 b0 d4 y0 ?0 z0 C  
const int maxnum = 100;  
5 d/ j0 O  G" Z3 {3 \* p) a$ iconst int maxint = 2147483647;  
/ u2 _1 s( \  L0 y2 j5 ?, ]int dist[maxnum];     // 表示当前点到源点的最短路径长度  
int prev[maxnum];     // 记录当前点的前一个结点  
* ]3 n+ ]+ v8 Iint c[maxnum][maxnum];   // 记录图的两点间路径长度  
8 H7 X; P0 [& wint n, line;             // n表示图的结点数，line表示路径个数  
3 X  ?! @3 e* Hvoid Dijkstra(int n, int v, int *dist, int *prev, int c[maxnum][maxnum])  
) ?; }. b+ l3 n: i8 a& ]. z{  
    bool s[maxnum];    // 判断是否已存入该点到S集合中  
    for(int i=1; i<=n; ++i)  
    {  
$ [' @# Z' t" O. M        dist = c[v];  
7 m1 h6 z$ N1 F9 Z3 f        s = 0;     // 初始都未用过该点  
        if(dist == maxint)  
            prev = 0;  
$ h1 C6 J/ J' l- u7 l  o        else  
            prev = v;  
    }  
7 @) m$ w" m, u% _5 x6 b$ Q8 [    dist[v] = 0;  
    s[v] = 1;  
: e! ?# f5 \% G) u  
2 n7 ^2 F: r3 R" z$ w7 K! S3 U    // 依次将未放入S集合的结点中，取dist[]最小值的结点，放入结合S中  
9 S! `/ i; |% R3 R! \/ i  H6 ?    // 一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源点到所有其他顶点之间的最短路径长度  
0 b/ [6 Q. a: J* d    for(int i=2; i<=n; ++i)  
" A% n) k; `- b* M, Q5 Q    {  
        int tmp = maxint;  
        int u = v;  
& a7 I6 J" e5 z4 o- o& Y        // 找出当前未使用的点j的dist[j]最小值  
        for(int j=1; j<=n; ++j)  
            if((!s[j]) && dist[j]<tmp)  
            {  
                u = j;              // u保存当前邻接点中距离最小的点的号码  
                tmp = dist[j];  
            }  
        s = 1;    // 表示u点已存入S集合中  
# E5 C6 S) n1 d) z# c3 t  g9 a  
4 C) {* @6 K6 e8 ]& _+ Z/ h3 u" C        // 更新dist  
' o" U, v- W2 @4 v8 O. g" e- _2 t        for(int j=1; j<=n; ++j)  
            if((!s[j]) && c[j]<maxint)  
% a0 O' e* R0 d2 n2 Y, Z            {  
: o& \* @# R6 [7 q0 H; p9 k                int newdist = dist + c[j];  
. q1 }0 I/ o5 ~% A' j                if(newdist < dist[j])  
                {  
                    dist[j] = newdist;  
$ V+ J7 P# p+ W; W) B7 Z7 Y. t                    prev[j] = u;  
% ^9 X' E  z: d. c# m0 f                }  
            }  
3 {0 P" |* w& l/ [    }  
9 a0 F* i0 R6 Q}  
- D% H8 y1 I% J9 j( J( W8 Svoid searchPath(int *prev,int v, int u)  
{  
& i; J4 x( b: I. t8 O  Z7 Q  X5 E8 s    int que[maxnum];  
    int tot = 1;  
3 \) p, R' o0 t  m    que[tot] = u;  
2 D8 c7 }& H0 B% ^% u    tot++;  
- H( e- f9 s) p/ o; W    int tmp = prev;  
    while(tmp != v)  
    {  
) y# [/ D7 d! M  {- z- K        que[tot] = tmp;  
9 _3 v" @3 o* f. F! T1 d) I( l9 A        tot++;  
        tmp = prev[tmp];  
* a+ s! \: b  k2 |: Y    }  
3 l; C5 Z1 h3 Q- T    que[tot] = v;  
    for(int i=tot; i>=1; --i)  
        if(i != 1)  
& X! ?4 M0 z5 f1 O$ [% U1 M            cout << que << " -> ";  
$ b' d# J: G3 E) t7 c# Q        else  
            cout << que << endl;  
}  
5 H1 S: j: v% K" Y' `  
' e1 d/ _- j9 C! i7 E  t8 y6 Z  oint main()  
: w5 l' [6 X9 D: L{  
    //freopen("input.txt", "r", stdin);  
6 I2 z/ A% x$ ?; k" X9 B    // 各数组都从下标1开始  
    // 输入结点数  
    cin >> n;  
0 Z' A- h6 a1 `$ d* C    // 输入路径数  
    cin >> line;  
    int p, q, len;          // 输入p, q两点及其路径长度  
( D" M- l3 z. U5 X: `& J( X    // 初始化c[][]为maxint  
    for(int i=1; i<=n; ++i)  
        for(int j=1; j<=n; ++j)  
            c[j] = maxint;  
    for(int i=1; i<=line; ++i)  
8 Z. T! J( w' b8 c) f/ Y/ P% C+ s    {  
! S' Y9 U5 U) N* [        cin >> p >> q >> len;  
        if(len < c[p][q])       // 有重边  
# O  @- I5 i$ R4 l1 K$ b- X8 D2 T        {  
* Y" S# K7 |$ D% @, E            c[p][q] = len;      // p指向q  
4 j6 }, e2 i1 T8 c1 R# c+ ?+ G# ^            c[q][p] = len;      // q指向p，这样表示无向图  
        }  
- q: e" _9 Z0 y8 @1 c+ {    }  
   for(int i=1; i<=n; ++i)  
        dist = maxint;  
    for(int i=1; i<=n; ++i)  
    {  
        for(int j=1; j<=n; ++j)  
            printf("%-16d", c[j]);  
- k! g* P2 b* h        printf("\n");  
. j5 ~6 ~, x/ S6 p: A& |% f    }  
    Dijkstra(n, 1, dist, prev, c);   //仅调用函数求出了源点到其他点的距离 改法ijkstra(n, x, dist, prev, c);  其中x=1,2,3,4,...,n  
  
6 a0 Q) e3 s# `! R. z( q//    for(int i=1; i<=n; ++i)   //dist存储了源点到其他点的距离情况  
- n5 a% H+ S+ I# ~//    {  
//        printf("%-16d", dist);  
$ w) V& J: V4 l4 H" Z' ?//    }  
2 @3 ~" m( P2 @6 b8 c    printf("\n");  
     // 最短路径长度  
) W' `/ U) H# D" O    cout << "源点到最后一个顶点的最短路径长度: " << dist[n] << endl;  
- ^' Z0 w4 S& E) A# V. K     // 路径  
' ?# ~9 m; }" O2 e    cout << "源点到最后一个顶点的路径为: ";  
- \1 G  i0 X# e5 }* `    searchPath(prev, 1, n);  
; \' I, s3 e  `2 ?; p# G* D( ^* j' r    return 0;  
) `! V& i; F3 o6 I" c}  
  
: L* V8 G& J8 a# I: {  s' L9 C  
% l" r$ p$ U- V' E+ f" ^. C6 P3 F/*
3 h8 E9 h. Q2 @; d4 i' C9 Z输入数据:
$ A4 T" x9 {/ T! v9 m4 b7 v4 W 5
1 G% u% m* R% ~' L3 n8 m 7
1 2 10
1 4 30
7 h+ X0 Z/ K  N6 _* h, Z5 v8 j 1 5 100
9 O- e. _' q6 v! c: w* V 2 3 50
' i, g% j  l8 i/ Z, a0 Y 3 5 10
$ M" D! `9 Q, i, H4 a9 a5 u; r 4 3 20
4 5 60
输出数据:
* r$ h+ A: G& R2 `5 M5 C7 W 999999 10 999999 30 100
10 999999 50 999999 999999
999999 50 999999 20 10
* \3 A/ t7 @* X: w7 J* ^) N 30 999999 20 999999 60
4 K- H4 n) o% a! l! r 100 999999 10 60 999999
1 B" R5 e0 p" d( n+ { 源点到最后一个顶点的最短路径长度: 60
6 T0 B8 {% v6 [) _% t' v 源点到最后一个顶点的路径为: 1 -> 4 -> 3 -> 5
*/
$ E" I1 l8 N7 @1
2
6 p' R- n! l7 p  c; F! K) \3
4
1 {2 h8 f& L7 R$ Y5
6
7
8
9
10
+ E% K* B  ]& }! `% f, q7 Z11
! {: P% o+ W% D3 I. A12
13
, V3 V; s6 N  E$ g* @$ C14
15
16
17
18
19
9 ~6 ]( y% O* K3 h20
1 G) r3 ?  j' B" _21
22
4 ]0 J9 l: V5 T23
* j3 C. g  Z+ ~* i3 G24
25
26
6 q, [% W  Q- T( w2 i& J27
- p) X! r( E; }# {28
2 |. ~+ `& S6 j4 j( j; s29
30
31
, Z8 e" L" r! ^, F+ |  R& _: P32
33
34
& [0 b& |6 K2 b3 X5 I6 o' d: ~4 N- P& B35
36
* o* k, M& Z, g. G& J. R6 l6 R2 ?37
38
39
40
41
42
43
: J5 J) L+ A* J/ \44
45
46
5 T5 x$ n: I" Q0 f  U47
) H+ O9 }4 t) _: l" _2 `$ \48
49
50
& @8 K* {2 o# p/ W51
52
53
54
! V$ A, E6 v$ r0 E# p55
& u, v4 \8 g/ j* o) C56
, k, o$ y1 g* Z; I/ F" t- Q6 r57
+ K" b# R# v% c! x1 ^  Q4 B, Z58
59
60
61
62
63
9 N8 n: f( w, C6 |. w8 Q. R64
65
2 x. [( Q9 U' v6 m# D66
67
" g- [0 g; k5 k5 l0 x68
! o8 T* c8 f; L8 a69
6 Y/ o- D' `: `: g8 i  B70
71
) T2 [2 v! \1 p" t* t72
5 z& Q4 g6 C& E9 [9 L) \0 q+ `: z% O73
74
75
+ b' g' O  J- h; M! A! Z76
77
5 q# ~  V+ q" `9 ^) O" j78
. Z% K6 C, \, Y3 [6 J- W, u8 f79
80
81
0 _/ j! o$ Y8 f. N82
83
84
5 S5 M" C: K& E, e6 v85
86
: q. @2 K" ?. t; d( _87
6 o# W. j: _& v& X88
89
3 _) F+ ]9 X9 Z9 D90
5 w$ M9 ^( ~* V, G2 N91
92
93
( ^0 a. u1 Y' p" q* F! y94
95
96
97
98
! S" O9 @5 K7 ^1 R9 M- M; A99
100
- w0 R, b: K3 H, I- q101
102
- [9 h* I. }; }9 r, K0 E103
104
- y: p- i- L$ c# {9 x9 L" n105
- \9 C/ a8 z7 m106
% R* t' @; ~3 V, c; z* B$ N107
0 H$ v# U& p' K# J! ]' _108
8 L4 T0 V/ u; v9 _: ^# _109
110
111
112
113
114
% @, e6 Q- a* _115
2 y, \- c, i4 A( F* b116
5 d$ p0 |' E) }- G117
# _2 ^2 ~( |" Y5 y1 F9 [118
119
120
121
, D* b! h* \3 [/ s0 T# \8 n122
123
) a. y, `( l2 H  S0 g5 [% Y9 q124
125
126
$ H: E8 f9 w- l& {4 P127
128
129
% n* `. K- u( h4 x# W0 _  A# q$ j- O130
$ [& [# o% \2 P) R4 Z% B# Q131
: t/ s3 A" i0 L5 x( E, ^) V5 O132
133
7 ?( b1 T( @! q* T: \2 M134
; p3 j$ z! m; W! {0 j2 k# D6 A135
  t6 O6 W6 ?$ H1 ^9 \136
; d$ K  ^. j  k+ F: s137
, ]4 S+ J6 D/ G* g+ d138
  p& {* S% ^1 @* n139
0 n; V1 `; T' Y+ K140
  b2 }5 L1 f7 M6 H/ r141
5 c5 G6 j! t. P2 R8 O& K2 G1 \142
143
! Y9 g* D8 Z; M144
145
146
7 d3 @3 J; B5 A

（2）Floyd算法
#include<iostream>  
4 g+ r6 C+ V: X2 G  j% ^: d. t#include<cstdio>  
. J; Y$ a  M6 x4 W#include<cstdlib>  
#include<cmath>  
#include<cstring>  
3 O( h9 L: T: k2 k: w#include<algorithm>  
#include<vector>  
+ w! g  Y- z/ ]* J9 E& \" S9 a- u( z#include<fstream>  
using namespace std;  
! J$ ^9 \, ?0 a8 i& D: [  
//设点与点之间的距离均为double型  
double INFTY=2147483647;  
4 M) B* ~; x- l7 ]$ D4 kconst int MAX=1000;  
double dis[MAX][MAX];  
double a[MAX][MAX];  
int path[MAX][MAX];  
int n,m; //结点个数  
  
void Floyd()  
- V  p" {2 n7 T7 D1 _{  
' ]. [+ \2 k8 Y( A# j8 d    int i,j,k;  
    for(i=1;i<=n;i++)  
    {  
" g$ E4 R+ B8 q' K- ~/ e        for(j=1;j<=n;j++)  
        {  
0 @0 W+ e" j- K  h* N0 |- A            dis[j]=a[j];  
            if(i!=j&&a[j]<INFTY)  
" l  ~7 d9 n) P8 `, M+ p4 L  S            {  
4 Y8 f; U0 U. V2 o                path[j]=i;  
' {8 l( [2 I1 t2 M7 t9 W7 x            }  
. [! E2 |$ ~6 e5 m2 ?            else  
                path[j]=-1;  
        }  
1 @- n: l2 C6 `. b    }  
  
  Z5 e5 X! p. r7 q- @4 N4 }    for(k=1;k<=n;k++)  
    {  
        for(i=1;i<=n;i++)  
        {  
* ]' q% t& t5 `( G7 I            for(j=1;j<=n;j++)  
, f2 f) G) c9 t6 L# q+ H            {  
                if(dis[k]+dis[k][j]<dis[j])  
; n( H! ~% p8 p$ T                {  
1 a1 x/ [/ o8 U: j- w3 ]                    dis[j]=dis[k]+dis[k][j];  
                    path[j]=path[k][j];  
' e0 g* R; q1 K3 H. I. P4 e                }  
/ {* [0 X. P- R4 t( c            }  
        }  
! [5 t8 h& z0 |6 s0 _: c    }  
}  
: k9 C  S1 X- V* C' ?/ @  
7 p8 W' H% z/ }& u% ]! R) [int main()  
{  
    //freopen("datain.txt","r",stdin);  
    int beg,enda;  
    double dist;  
: B; S) c' i5 `# w8 P. @    scanf("%d%d",&n,&m);  
    for(int i=1;i<=n;i++)  
    {  
  L; w: h" i$ F: ~( U6 P       for(int j=1;j<=n;j++)  
       {  
7 w3 w2 t6 D0 Y5 I            if(i==j)  
                a[j]=0;  
3 ~7 P9 b, V- V# o$ d  W* ?            else  
4 Q* {: t4 {7 w' [4 ?/ U5 U$ D                a[j]=INFTY;  
. ^3 x2 y. b6 O5 u- k       }  
    }  
" s6 I5 W  C* S  f# G2 w    for(int i=1;i<=m;i++)  
. L- \6 e" w0 Z; @$ p    {  
        scanf("%d%d%lf",&beg,&enda,&dist);  
; o# j% c/ K$ s9 T- f        a[beg][enda]=a[enda][beg]=dist;  
    }  
/ D% N1 i* B/ h. s& [6 G7 u% A5 B- S8 J    Floyd();  
# C/ P, s" i3 K5 J    for(int i=1;i<=n;i++)  
1 N9 k) C; J% k8 ~* b# g    {  
       for(int j=1;j<=n;j++)  
       {  
            printf("%-12lf",dis[j]);  
! H# @" q; u  C9 d$ Z5 V       }  
. Y* M6 S4 _7 F: e       printf("\n");  
    }  
    return 0;  
  i; z! U0 D# W4 {7 {3 I/ g9 i}  
1
2
: F9 B, Z4 y) f  J: P1 s  `3
) d% |$ r2 }! c; ]$ \4
( W6 U- [& {3 N- B5 `5
5 p& s" p9 ]8 P' i" i. K+ O' U/ x6
) v  c2 M  q4 Z. B+ S! z2 i) ]5 s7
' g7 O8 T$ L- f8
9
  C9 T# s3 L% Z' [  X! }: S6 F10
8 d- R7 j. R2 i2 o- e+ {11
  f) N3 g4 f* W  y7 u/ Z6 D, Y12
: q. |. C( ?4 ?: e& C8 Q+ R) ^; L" q13
14
+ j  g0 a% a9 Y5 ~15
16
* n4 m2 J% n: L' e. y: T, q& h' q17
18
19
3 V# y  ^  u5 Q  K  G+ d20
# |& N# u, Z7 v5 S21
22
23
24
25
$ U4 G( T* \/ X& Y/ V& Z1 b26
/ K: a' j; R2 E$ b1 u# Q27
28
- M$ M8 p& V  a* C29
* z% ]# D- D- L# N* h30
2 n% s9 z1 s! a  l31
32
33
34
% W: @4 d! a7 R9 ?7 X6 x9 i3 o8 I35
36
37
38
39
( f' \8 `  I  S% Z8 s2 \4 g: `40
41
0 \# [0 A! O4 ]9 s. x  x- q" z- D42
43
: y: }4 K4 |1 C$ \2 H44
45
46
47
; Q& \* Y" Q0 `0 O1 K3 A6 y48
1 ?3 c( m% ]' L, Y7 s6 ^6 I49
50
* H3 ~  E9 ~6 @) D; R51
52
53
54
55
56
57
58
, A. [+ _- v% v, I59
" Q$ z9 U* w# H# U60
61
62
( e# C: p; {+ @7 G63
" [5 K9 W$ P/ B. {5 P- \3 E& o4 x64
. ]; D/ c, @* a+ u& u$ {2 I65
66
67
  m! ~+ M, O6 R: L68
69
( w( S; G4 o* M& r) U70
4 ~% z* j4 t6 ?! l# @71
! {  W4 n+ ?# {5 f. t8 T" ~72
73
74
75
# s  n+ T* v/ B7 {9 I76
+ Z7 @5 i& ?" o$ o+ J& L+ }: Y77
78
+ a1 g% g/ J: W4 b# z; W0 r79
* {0 t0 v$ P; I' _80
' m( Z. S6 z0 [81
82
  b+ ?8 `1 Y/ S" Y5 G2 T5 E* P83

& b. ~# z) r8 ^2 D/ ]
7 l9 S2 V. S* v# N) q- ~* t- D————————————————
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