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蒙特卡罗(Monte Carlo)方法，或称计算机随机模拟方法，是一种基于“随机数”的计算方法。这一方法源于美国在第一次世界大战进研制原子弹的“曼哈顿计划”。该计划的主持人之一、数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。 ; H5 d0 `; L+ Z8 `2 Z( i
Monte Carlo方法的基本思想很早以前就被人们所发现和利用。早在17世纪，人们就知道用事件发生的“频率”来决定事件的“概率”。19世纪人们用投针试验的方法来决定圆周率π。本世纪40年代电子计算机的出现，特别是近年来高速电子计算机的出现，使得用数学方法在计算机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能。 2 i z( X8 [+ I
考虑平面上的一个边长为1的正方形及其内部的一个形状不规则的“图形”，如何求出这个“图形”的面积呢？Monte Carlo方法是这样一种“随机化”的方法：向该正方形“随机地”投掷N个点落于“图形”内，则该“图形”的面积近似为M/N。
, v5 H6 ^, @9 _2 I) v0 P 可用民意测验来作一个不严格的比喻。民意测验的人不是征询每一个登记选民的意见，而是通过对选民进行小规模的抽样调查来确定可能的优胜者。其基本思想是一样的。 ) n: ~' O$ T" ]
科技计算中的问题比这要复杂得多。比如金融衍生产品（期权、期货、掉期等）的定价及交易风险估算，问题的维数（即变量的个数）可能高达数百甚至数千。对这类问题，难度随维数的增加呈指数增长，这就是所谓的“维数的灾难”(Course Dimensionality)，传统的数值方法难以对付（即使使用速度最快的计算机）。Monte Carlo方法能很好地用来对付维数的灾难，因为该方法的计算复杂性不再依赖于维数。以前那些本来是无法计算的问题现在也能够计算量。为提高方法的效率，科学家们提出了许多所谓的“方差缩减”技巧。 + _. t; F; }' Q2 c h! K" r
另一类形式与Monte Carlo方法相似，但理论基础不同的方法—“拟蒙特卡罗方法” - _9 n1 e) Q- R1 h8 _# R
(Quasi-Monte Carlo方法)—近年来也获得迅速发展。我国数学家华罗庚、王元提出的“华—王”方法即是其中的一例。这种方法的基本思想是“用确定性的超均匀分布序列(数学上称为Low Discrepancy Sequences)代替Monte Carlo方法中的随机数序列。对某些问题该方法的实际速度一般可比Monte Carlo方法提出高数百倍，并可计算精确度。 具体实现的matlab代码：
4 U+ ?) T0 |+ X( A# _. W' o( l---------------------------------------------------------------------------------------------------# _! r) I/ E; r4 W8 O
function val = ballvol(n, m)
, Q+ L X6 m& q1 S8 D* U% BALLVOL Compute volume of unit ball in R^n
% c' v/ q; x l9 `5 p" Y%
/ `5 v+ E/ t1 f9 X5 M% Computes the volume of the n-dimensional unit ball ! O+ g3 t& d: v, m) z7 r# Y* t
% using monte-carlo method.. E: I K$ I8 W6 H! Q
% usage: val = BallVol(n, m)
0 W+ y8 D2 }: ~; v0 ~% where: n = dimension
1 s4 o' l d, X5 `7 {0 K% m = number of realisations
* C" T! w5 e6 A5 e8 \% If the second argument is omitted, 1e4 is taken as default for m.; T& m! y0 L. b% @6 s9 O) j, N% j! k
3 {8 u1 `8 w0 \, Q. }) o% (c) 1998, Rolf Krause, krause@math.fu-berlin.de( y- ~' E# ~1 ]' l; o: |) y
& n, X; F$ A8 }9 c, r. m/ L. W
M = 1e4;
5 E6 P, B# P" \9 G# oerror = 0;% [! r+ ^( s' n7 x
if(nargin <1 | nargin > 2), error('wrong number of arguments'); end
, K5 M* q+ r e6 Zif nargin == 2, M = m; end , ~9 L8 d3 Z( P# M0 ?
: |2 E! `/ _$ }, H* z* sR = rand(n, M); \7 ^* Z7 n% l3 K$ n, a4 Z
in = 0;
1 i- h1 k& Z! m( cfor i=1:M4 Y, E& a' E8 S$ r; B; p5 C
if(norm(R(:,i),2) <= 1.0), in = in+1; end* V1 ~7 I# Q! ^8 _
end
b% b8 g" ?6 {8 z- u6 B" @. C8 v' [& l
val = 2^n*in/M;
4 z* @ Z9 R" @$ T% n& {5 D--------------------------------------------------------------------------------------------------/ ?' w0 M7 O# h: h/ G
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发表于 2005-3-31 22:22
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