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蒙特卡罗(Monte Carlo)方法，或称计算机随机模拟方法，是一种基于“随机数”的计算方法。这一方法源于美国在第一次世界大战进研制原子弹的“曼哈顿计划”。该计划的主持人之一、数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。
* r# R+ O$ k+ Q, l Monte Carlo方法的基本思想很早以前就被人们所发现和利用。早在17世纪，人们就知道用事件发生的“频率”来决定事件的“概率”。19世纪人们用投针试验的方法来决定圆周率π。本世纪40年代电子计算机的出现，特别是近年来高速电子计算机的出现，使得用数学方法在计算机上大量、快速地模拟这样的试验成为可能。
' P1 b! K; J7 D# y# M3 o5 C 考虑平面上的一个边长为1的正方形及其内部的一个形状不规则的“图形”，如何求出这个“图形”的面积呢？Monte Carlo方法是这样一种“随机化”的方法：向该正方形“随机地”投掷N个点落于“图形”内，则该“图形”的面积近似为M/N。 1 V* c6 S: [3 X; T
可用民意测验来作一个不严格的比喻。民意测验的人不是征询每一个登记选民的意见，而是通过对选民进行小规模的抽样调查来确定可能的优胜者。其基本思想是一样的。
' s; _: Z, Q) L6 H+ | 科技计算中的问题比这要复杂得多。比如金融衍生产品（期权、期货、掉期等）的定价及交易风险估算，问题的维数（即变量的个数）可能高达数百甚至数千。对这类问题，难度随维数的增加呈指数增长，这就是所谓的“维数的灾难”(Course Dimensionality)，传统的数值方法难以对付（即使使用速度最快的计算机）。Monte Carlo方法能很好地用来对付维数的灾难，因为该方法的计算复杂性不再依赖于维数。以前那些本来是无法计算的问题现在也能够计算量。为提高方法的效率，科学家们提出了许多所谓的“方差缩减”技巧。
# A5 p/ P7 F2 A* C8 L: Q 另一类形式与Monte Carlo方法相似，但理论基础不同的方法—“拟蒙特卡罗方法”
' L5 C1 b# J3 |8 I(Quasi-Monte Carlo方法)—近年来也获得迅速发展。我国数学家华罗庚、王元提出的“华—王”方法即是其中的一例。这种方法的基本思想是“用确定性的超均匀分布序列(数学上称为Low Discrepancy Sequences)代替Monte Carlo方法中的随机数序列。对某些问题该方法的实际速度一般可比Monte Carlo方法提出高数百倍，并可计算精确度。 具体实现的matlab代码：& ]& ^3 K7 _ A/ n: c
---------------------------------------------------------------------------------------------------# A. n- T2 v$ I" V; Y3 p
function val = ballvol(n, m)3 u1 E I0 P" h' c/ b& y5 e
% BALLVOL Compute volume of unit ball in R^n! `- i$ z1 j4 G F. G, p4 h' n
%
1 M7 {8 w$ o) L. [2 T% Computes the volume of the n-dimensional unit ball
; c/ p& y$ y* G0 O3 g% using monte-carlo method.9 ^; G: l" Y6 J9 b0 ]/ e7 x) L
% usage: val = BallVol(n, m)& Q5 k% r* f, N" l% z
% where: n = dimension
$ |& ]# {( Z/ p h% m = number of realisations4 Z7 ~; R# @& A w+ z
% If the second argument is omitted, 1e4 is taken as default for m.
2 @- e9 H: t! U& \# ?1 `: P: I: M. V0 u; d9 g8 ~" G0 A
% (c) 1998, Rolf Krause, krause@math.fu-berlin.de
$ @5 [# D6 }9 v; G: n. T! z0 Q* m6 g2 L3 U
M = 1e4;( L2 u, d9 e& M' B
error = 0;
( W0 a) V3 ?( f2 k7 bif(nargin <1 | nargin > 2), error('wrong number of arguments'); end: |- \& A1 q( _0 w
if nargin == 2, M = m; end 8 [/ D0 E0 u5 R3 S$ Z4 Z
# @8 n5 \1 I$ A
R = rand(n, M);2 ] f" }2 d5 o
in = 0;, A. \7 J% | W U
for i=1:M
0 j, c7 w; Q, ]3 ~2 H! T) xif(norm(R(:,i),2) <= 1.0), in = in+1; end
( [& O# y7 N; F3 y. R3 U& l \# x1 hend
6 G" ~# a; \# M- D4 ]# q# w' i, m$ Y: r) A5 R, [# z* ]: x
val = 2^n*in/M;5 x& z. e Y+ I
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