[请教]一道数学分析习题

helloyupp

& y' f3 p; K4 D0 r- m' R0 ]设f(x)在R上有定义，且


（1）这种函数有几个？
; _. u7 P/ k) o（2）若f(x)为单调增加函数，问这种函数有几个？
# K! }. i# n0 h9 b# }
" g) e' G& ~0 kps:北大《数学分析解题指南》里面的习题。自学分析，无奈书后答案不详，还望高手不吝赐教啊，先谢谢了！

87lv

第一题无穷多个，第二题只有一个
" E, d/ y* M* W
解：记y=f（x） .. ………………1
则有f（f（x））=f（y）=x ………2
) M/ l7 p( G1 O1 q
: U# e- v! Q( p  b3 A. E) |由1，2 两式有

6 B7 ^9 J* y3 T2 n# bf（x）=y……..3
f（y）=x………4
& Q7 a# b1 o6 ]8 b2 s1 u
. A2 Y# g0 Q' \; ~4 u( k若x=y，则有f（x）=x

若x不等于y，则

" `9 G' m  W6 w5 ~  @6 l由3，4两式得

4 o9 h& j& _: P* E! o' q0 |【f（x）- f（y）】/【x-y】=-1
! p7 O  @  v4 H也就是f（x）的斜率恒等于-1，上式x趋向于y的时候相当于导函数

( o" N: }" v# _7 ^斜率恒等于-1就是f（x）=-x+a；a为任意常数
1 Y) k' h+ M3 n) V: s- L0 u) |# x
所有这种函数有无穷多个，而只有f（x）=x是增函数，于是增函数就只有一个

helloyupp

回复 2# 87lv

# t2 m+ s8 I- J$ f1 H
+ E8 r; p' Z2 G* k: U- e! s* s7 I    非常感谢！

zhoutao15935

严谨吗？。。。。。。。。。。。。。。。

mrx

不严谨，下面的函数亦可：
  }4 Y# R: Y2 ?* S1 J" ff(x)=\left\{\begin{matrix}
) v0 h6 s2 Z6 p9 \x,x= 0\\ \frac{1}{x},x\neq 0
\end{matrix}\right.

mrx

不严谨，下面的函数亦可：
[tex] f(x)=\left\{\begin{matrix} x,x= 0\\ \frac{1}{x},x\neq 0 \end{matrix}\right.[/tex]

mrx

“【f（x）- f（y）】/【x-y】=-1
也就是f（x）的斜率恒等于-1，上式x趋向于y的时候相当于导函数
+ M8 `- z- Q! }- N5 I斜率恒等于-1就是f（x）=-x+a；a为任意常数"
3 Y& c7 l& e7 `$ _由此不可以得出斜率是-1的结论，因为x、y并不是f（x）函数上面的任意两点，此时y是x的函数，不符合导函数的定义。

BenCam

87lv 中答案错误,因为x和y是有内在联系的，不是任取的，所以不能说明所有点的斜率都为-1！

$ Y! E& A6 q# U4 E/ q9 J(1)有可数个.
% {  z7 o, E, }$ ~4 m
(2)只有一个.因为存在反函数.

87lv

回复 7# mrx
& Z% _- E" V: h! u$ o

    谢谢你，我考虑错了！！呵呵！！

彩虹天堂

回复 1# helloyupp

) @1 ?$ C2 N- R/ e) f6 ~# _2 e
    先看看