[请教]一道数学分析习题

helloyupp

' `6 u4 t8 D1 O: J
( V* v: q: J  T# k设f(x)在R上有定义，且
: l% Q! i. ^. H. _+ v

（1）这种函数有几个？
+ P8 q2 J5 a+ ~4 H（2）若f(x)为单调增加函数，问这种函数有几个？

2 ]" X0 |) C: i& @- q3 i, K* jps:北大《数学分析解题指南》里面的习题。自学分析，无奈书后答案不详，还望高手不吝赐教啊，先谢谢了！

87lv

第一题无穷多个，第二题只有一个

解：记y=f（x） .. ………………1
3 @: w3 w- u' r则有f（f（x））=f（y）=x ………2

由1，2 两式有
" i4 D6 h( E' c2 G5 _4 u; U3 }
! u" ?6 H* j" r, _8 Q8 i. Tf（x）=y……..3
8 A( z1 s+ s$ ?" P- ~2 i/ b1 O6 A9 Zf（y）=x………4
+ ]. ?( z/ u5 ~- R( d7 P
& [# F: `* [: L) ]1 b% p7 b若x=y，则有f（x）=x

, R6 y4 M5 C6 ~  l7 _- M1 D若x不等于y，则
  @1 ^/ [. Z( k
! H: U4 y+ ^- G5 N由3，4两式得
8 k& J0 k+ v& w3 r7 S1 h
% B( h; b' k( m, r6 v4 L& j1 F# l' |【f（x）- f（y）】/【x-y】=-1
) t! p' h, E" ?4 o  R# k也就是f（x）的斜率恒等于-1，上式x趋向于y的时候相当于导函数

2 B" g+ W. A: l0 I. N; b9 d+ b斜率恒等于-1就是f（x）=-x+a；a为任意常数
9 a5 W; l  H) o
+ k2 r6 K$ o" C8 A. H5 N所有这种函数有无穷多个，而只有f（x）=x是增函数，于是增函数就只有一个

helloyupp

回复 2# 87lv

; b1 o. A" t' u) D+ S
    非常感谢！

zhoutao15935

严谨吗？。。。。。。。。。。。。。。。

mrx

不严谨，下面的函数亦可：
$ H3 S( u3 a1 n; d% O: `f(x)=\left\{\begin{matrix}
$ {" `6 I' E" b& a3 r" @x,x= 0\\ \frac{1}{x},x\neq 0
\end{matrix}\right.

mrx

不严谨，下面的函数亦可：
[tex] f(x)=\left\{\begin{matrix} x,x= 0\\ \frac{1}{x},x\neq 0 \end{matrix}\right.[/tex]

mrx

“【f（x）- f（y）】/【x-y】=-1
也就是f（x）的斜率恒等于-1，上式x趋向于y的时候相当于导函数
: D3 T2 K8 w* E' k: |斜率恒等于-1就是f（x）=-x+a；a为任意常数"
+ b0 T, w" S  ?0 A' S; u1 l由此不可以得出斜率是-1的结论，因为x、y并不是f（x）函数上面的任意两点，此时y是x的函数，不符合导函数的定义。

BenCam

87lv 中答案错误,因为x和y是有内在联系的，不是任取的，所以不能说明所有点的斜率都为-1！
# V8 Q3 G8 O$ g, }, R1 U6 A+ W! V
! B8 Y( w- K; J7 d) `(1)有可数个.
1 t0 \( _$ `$ }7 Y9 A
(2)只有一个.因为存在反函数.

87lv

回复 7# mrx

2 n$ z1 V8 k7 T) e
    谢谢你，我考虑错了！！呵呵！！

彩虹天堂

回复 1# helloyupp
) F& k$ @# j2 E4 K' c, P

9 \* n) u3 k7 b    先看看