虽然不是我写的，但我觉得很好，希望与大家分享。以下的内容转自校内： 7 \" Q, T8 U" p* ^% b 3 w! I; v7 ?' n) G1 s. X" d从计算数学的字面来看，应该与计算机有密切的联系，也强调% ~5 p( P1 N, L. q1 ]1 u& F3 L
了实践对于计算数学的重要性。也许Parlett教授的一段话能& o$ ^( L3 g5 c! S; u6 r4 p& {" s6 ?
最好地说明这个问题：% c) w# V- |! T
3 v6 L+ j) I: `- w) ]$ N) [' nHow could someone as brilliant as von Neumann think ; A" ]9 ?; ]" C2 Fhard about a subject as mundane as triangular factoriz# [0 ]. y f6 u
-ation of an invertible matrix and not perceive that, 3 j+ s: Q' F$ s' w& I4 `$ d! ~with suitable pivoting, the results are impressively ' Q2 o0 ^1 B0 @/ @good? Partial answers can be suggested-lack of hands-on & P% I1 c2 s6 }) V5 W/ ^experience, concentration on the inverse rather than on! J9 M# B0 ]# p
the solution of Ax = b -but I do not find them adequate. $ B: }: `' K: |7 {9 f1 s2 y0 yWhy did Wilkinson keep the QR algorithm as a backup to a 8 \9 l% a: m7 M/ [9 y2 j- `* ]Laguerre-based method for the unsymmetric eigenproblem$ S% ~* g( ] ], S" e& V' U
for at least two years after the appearance of QR? Why 6 [, n* t# k! w; Y0 mdid more than 20 years pass before the properties of ( H1 r% T1 W7 J1 _9 _. b- p7 Jthe Lanczos algorithm were understood? I believe that* ?2 a) ^3 j5 ]/ y k3 f9 T: p: c
the explanation must involve the impediments to 6 _& M* Q3 Z5 h" ], C+ acomprehension of the effects of finite-precision % y. R% _0 a9 O. Tarithmetic.(引自www.siam.org/siamnews/11-03/matrix.pdf)- R% E' C* ^$ ~; V) s4 i6 ?
+ s: W, Z/ R2 N
既然是计算数学专业的学生，就不能对自己领域内的专家不有所 3 K0 u- h/ t( o4 K+ y了解。早些年华人在计算数学领域里面占有一席之地是因为冯康 1 J j) q7 S* L# l1 x0 H& G, W院士独立于西方，创立了有限元方法，而后又提出辛算法。这里 ) S w' e; D* o只是列出几位比较年轻的华人计算数学专家，因为他们代表了当) Z2 n& X3 O9 G0 }. N
前计算数学的研究热点，也反映华人对计算数学的发展的贡献。% u3 b" r0 y/ q
: V7 O. P/ ]& x% b( E许进超（Pennsylvania州立大学）8 Y2 v" T$ u F: R# t3 x
北京大学长江学者，研究方向：有限元、多重网格法 ( v4 J, a! z" `& r- ?: y* h) xhttp://www.math.psu.edu/xu/ & l. t- q0 K, O1 s/ t- K( j: T; r1 m3 T
袁亚湘 6 [/ M2 G6 F, I* E9 @中科院，研究方向为非线性最优化 6 Q8 J$ M, v- M: \" ^http://lsec.cc.ac.cn/~yyx/ ; a1 b- D1 q3 x) ?2 w + b8 q" P9 `- g# |8 M7 I张平文（北京大学） 7 s! Y2 v+ I0 a3 N: g4 d Q北京大学长江学者，研究方向为复杂流体的模拟、多尺度计算与 1 z$ I0 \! _- F! `5 D模拟、移动网格法等! e$ W' i6 C& E% x- j8 A/ Z& R& { http://www.math.pku.edu.cn/pzhang/index.html " q2 {: G+ J' k! C$ s5 i & O- d* |5 e, _7 x: s4 r2 A' k; U陈志明（中科院）* q5 l' J9 ]) b. b+ y, G
研究方向：科学计算与数值分析，主要为有限元法 8 D# c; z4 u' [0 O: o4 y5 Jhttp://lsec.cc.ac.cn/~zmchen/index-c.html / s2 f( y: x& O$ O' V) z' v! Y% R# M+ b' Y6 N; ?
其他还有黄维章、吴宗敏、Xu Kun、程今等人也非常突出 6 U! C, B1 a# I 9 h( e: E, t8 @3 U7 @: Z$ E" R作为计算数学专业的学生，经常阅读本专业中的主要杂志也许, l4 @; B+ O! C
是颇有裨益的。 % }# O! v$ L$ c: S9 u理论：# { h) E0 k2 o5 R. L, x' t; g+ v
最好的基本是 ) ^1 n" ~" ]3 w! L$ nMathematics of Computation * ^( J- I* ~ F3 g. |$ D* Q, yNumerische Mathematik ) v& m' u) L. V2 e6 m6 w7 RSIAM Journal on Numerical Analysis . L( F/ z1 V( E" `* K9 ySIAM Journal on Matrix Analysis & Applications 1 a! J! i3 {- M3 w8 U# uSIAM Journal on Scientific Computing& y% p7 {5 v3 k+ d
较好的有：4 w N, n: _3 A" R9 ^
BIT6 t& D1 i; e, P" X2 B% m9 O: W
IMA Journal of Numerical Analysis8 J/ M; u1 N2 x4 h; U
Advances in Computational Mathematics 5 M2 u- j: V6 ?$ {( V- F a9 RInverse Problems , A! l8 _2 m# F5 V/ o! T1 L( Q# f9 ?% X0 `; g9 a
还有应用性质的杂志： 4 M* _4 I ?+ `2 bJournal of Computational Physics ! |8 y! O2 g: J" P6 [8 c; @International Journal for Numerical Methods in Engineering, W$ g; R4 U0 Y c4 J( z
Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering ' d7 K1 O7 R7 w; k$ [: dInternational Journal for Numerical Methods in Fluids . g# M; o7 O- UComputers and Fluids& S# O P- v2 P5 j
Computational Mechanics8 b1 o0 h- B) F
还有很多带有Computational字眼的其他学科的期刊：Journal of8 G- c0 ]& b+ O. x( D" v
Computational Chemistry，Computational Material Sciences / v3 e! J) o5 U2 K" d/ b也可以浏览。! T* a2 A, R/ F7 |- Y
. z! f6 R% f, g. Y- u, X7 c' [8 T
但是作为入门来说，大家的综述特别能帮助我们这些新人迅速把握2 I+ g; {3 C$ x I
了解、把握一个领域，因而值得特别重视。这方面最好的是剑桥大 V4 U% n$ ?% q1 ?8 q学出版社出版的Acta Numerica连续出版物。Acta Numerica每年出2 H1 u8 s$ S) n! h
版一本，作者均是该领域的顶尖人物。比如说最近几年水平集方法' O# x% r/ U1 _" d1 c" ^* ~( y
非常热门，05年就有一篇水平集方法创始人之一的Stanley Osher写 8 ]1 ]5 ` _+ \$ U7 ~的Level Set Method in Image Science。其他论题有：entropy - H% u, U! y$ q4 Y+ ~stability (Tadmor E)，radial basis function (Buhmann MD)等& I. m- V4 u* T, L' a5 C! t
等。该出版物我们学校没有订，不过可以从网上可以找到不少。我- I) [' E# I( U) X
这里大概也有二三十篇，可以提供上载。 ) T8 e5 N! t/ v i, f% U& r: o5 x$ q* \( x" l) y
另外一本就是SIAM Review。SIAM Review的每一期里面都有几篇文 1 j4 M& S' I# g; W& V章关于计算数学的内容的，经常从实际问题引伸出计算的问题，或 9 S% E8 b* u ~7 Y& r: S \$ s者是介绍每一个领域的最新进展等。 SIAM News的每一期也有关于; c0 o# L2 P6 v* x8 l( X
计算的有意思的短文，不妨浏览浏览。& ]7 L0 z6 Q- h6 t1 t- ?
% K: W+ B2 H# |0 K
作为数学系的学生，无疑是需要读很多数学书。计算数学的书可以 0 o4 Q! w; T8 a称得上是汗牛充栋。以前在系版上提到过几本。现在再补充一些。5 F' l/ s; L* }) B/ D0 R& d5 N
& E, k6 l2 g/ ~
微分方程数值解是计算数学中的核心论题。传统的方法有有限差分 , v4 F1 g( G) H法、有限元法、边界元法和谱方法。# C- F" _& A$ [- x! B
! ^0 d( k* |4 e" c) x; O有限差分法想法最为简单，比较容易理解。李荣华的那本《微分方程 8 V6 c% R$ D6 W7 W' F% w数值解》就介绍了最基本的东西：收敛性、相容性和稳定性。3 {( k4 X4 x& b* D/ e7 M
Richtmeyer & Morton的《Difference Methods for Initial-Value. Z' B6 E) t+ f6 J, u
Problems》则是差分法方面的经典著作。R. LeVeque最近也有一本2 J& k$ R8 n9 s; i
《Finite Difference Method for Differential Equations》也很7 w$ p2 X' X; j w R
有意思，介绍了差分方法的新的现代概念。LeVeque的书可以在他的% S% `9 ]3 {4 j
主页（http://www.amath.washington.edu/~rjl/）上下载，他的另 # J# r3 o; t8 ~5 J o外一本书《Numerical Methods for Conservation Laws》是守恒律 * p% L8 R3 ^% ^9 A8 u数值方法方面非常出色的著作。 0 C/ ? p% q) w+ F' b: j3 {# C: f6 r8 c4 r0 _: w8 Z: W$ i7 ]* `
有限元法方面自然是推荐使用Ciarlet的《The Finite Element Method % j" _& G, Q& J1 A. t6 Q3 u, p8 @$ Bfor Elliptic Problems》。这也是系里专业科的教材，另外Brenner ( U# v$ ^# V# v. d& K& Scott的《Mathematical Theory of the Finite Element/ w. H' G) v( A* C! \' m
Method》据说也是不错的。 # q8 Z/ [$ Y7 [, N4 F6 R( l 9 E: ~: H7 i7 d4 A谱方法对于规则区域上的问题往往是最为有效的方法。华东师大的# ~* @ C; w: E7 ]0 i, }
郭本瑜教授在这方面做过很好的工作，他的《Spectral Methods x7 Y# a }! h( ^
and Their Applications》广受好评。Purdue大学的沈捷教授也有% h9 _; z2 x W/ g- f: q
很出色的工作，他的一个讲义可从他的主页（http://www.math.purdue.edu/~shen/ 0 B [+ F7 j2 H8 G0 p. ]）, |8 A5 M6 I+ t4 o+ Z4 v* I
上下载，同时还有相关的Matlab和Fortran程序。谱方法方面最好的 . @& I6 V9 D# c1 {& W1 V$ d# o+ \入门书为Trefethen的《Spectral Methods in Matlab》，其他的还7 a" _& a) v! _! q e- [
有Canuto等人的《Spectral Methods in Fluid Dynamics》，不过6 T1 P3 u; v% r, F( K. T
不知道能不能再学校里找到。6 D2 i4 S8 G: j$ `
0 @6 G$ h, [4 k% h# s) O
除了上面这些方法之外，还有近年来比较热门的无网格方法，这些可* ?1 j# `7 @# n( {# i' T
以参考张雄和刘岩的《无网格方法》（清华大学出版社，2003，50￥）。 / x1 I8 ^' ^3 q. [* I1 o. W, R& p
计算数学的主要工具是泛函分析。一般推荐的Yoshida的《Functional, L+ ~3 Z8 k& x; z, _7 F
Analysis》（有中译本：吉田耕作，《泛函分析》）或者Rudin的 * R2 w; n9 y/ v; e I) w《Functional Analysis》。这两本书都是非常难的，但是也是非常# S# K: e+ z" v% @- _* I/ E3 `
经典的书，可能当字典比较合适。但是，泛函分析里面重要的定理! f0 t& _8 f( J# D0 }
在计算里面并不见得特别有用，所以我们要甄别那些可能有用的东 * o# K: J4 h. l0 ^# N西，Sawyer的《数值泛函分析引论》也许是比较合适的入门读物。 ' d7 y$ H. V/ y这本书里面介绍了一些泛函分析概念的来由，如Holder不等式的导3 t k" X E. y; M- `
出，也有泛函分析在计算数学中的应用，比如Kantorovich迭代收敛 # v$ ~& c1 K p8 I性准则的解释。张恭庆的《泛函分析》强调泛函分析的应用，里面- D- N+ T9 H/ i) @& I
也有一些应用于数值计算的例子，比如Lax等价定理，值得读一下。 # D( D# H6 [; a( D3 K $ @2 `/ q" }) z: {: h: d- r5 K% s计算数学还有其他许多重要的分枝，如矩阵计算、反问题、计算流 0 t2 _9 s' K$ e0 V9 S( ]体力学、最优化、逼近论等。由于这方面本人涉略甚少，这里也没 m' @8 t! ?: H- V6 o' e7 W
有什么好说的了。希望计算数学这些方向的其他同许能补充上去。 1 Z3 I, N6 }# W B9 f w8 R 8 S8 @% e- m- w# n最后补充一句，订阅mailing list也是不错的，可以迅速获得关于 . b% d/ m* } Z: t- g计算数学会议、新出版文章等的信息。中文的推荐使用CAM，可在下 1 E0 M. K" Z) Q面的网址注册. d/ W6 F& ?' {+ D http://www.math.hkbu.edu.hk/cam-net/indexcn.html / q* }3 |# V9 m# D$ ]
英文的推荐订阅Clever Moler的NA Digest，可在下面的网址注册* ?" K9 u; P. g) { http://www.netlib.org/na-net / o% w/ \6 U, G/ I% A) j
9 N- q4 p3 C4 P% t8 b. O( \% T9 S; a, v/ S4 x* e
4 y2 m# d! ]) @3 M
先订正一个错误：Sawyer的那本书的题目我: N# q! }4 g @+ s4 |; y- V9 m' p
记错了，应该叫《数值泛函分析初览》，系资料室和图书馆" D6 R* a4 C$ s- B% S
都有中译本的。 ( V! C- l# W4 T" ^6 V4 o$ T ( |& b5 o4 I4 _) M7 [/ h接下来介绍几本矩阵计算方面的书的。浙大的张振跃老师" @$ ~* M: v: M) d
在这方面有很出色的工作，中科院的白中治，北京大学的徐 - ^5 P, Q4 S% \9 ^树方，复旦的魏益民和曹志浩，澳门大学的金小庆都是这方4 U o: K. @' A* ?
向的，还有复旦出去的柏兆俊。肯定还有许多学者在这方面- e1 X& G) F4 y4 p7 f
有很突出的工作，可惜我基本上没什么涉略，这里也不能列 ) @' W3 o) P' b1 E) \3 L出来。 " N' ?# k' `3 x. [ h; O . g6 I- v8 V4 W l# b- l0 H# W* Q- v9 c国外的大牛有Golub，很多这个方向的大家都是他的学生。' B6 Q# q+ ?, e! ?+ f& e
Kahan, James Demmel, Peter Stewart, L N Trefethen,, J6 `% B* H3 E; l, J; R
Higham,这个名单可以列的很长，这些人是矩阵计算方面3 v/ ^& h" r- S$ l2 C, p* F; b
的大家。; ?4 f* K. ~9 |& j
1 w% l- @) a$ g$ A! A4 G# d矩阵计算方面最经典的书应该是J H Wilkinson的《The8 V- c! N3 Z Z5 P
Algebraic Eigenvalue Problem》（有中译本，石钟慈等0 q' T) Q$ O( F0 m+ r
人译，《代数特征值问题》，科学出版社，学校图书馆有， " v& g. o# X8 }5 ^* g4 C系里有英文版的）。这本书虽然老，但是据说读一下还是4 p1 o O1 Q; t9 B2 a) x& A
很有启发的。现在的经典是Golub和- o/ {. Y. O/ N# ~+ k
van Loan的《Matrix Computation》（有中译本，袁亚湘译，$ _/ o& k2 s! D- [
《矩阵计算》，科学出版社），英文版的电子版可以在网上 ! E* k. M) _: Q7 j) G# V* i* n" X找到的。其他的书有Demmel的《Applied Numerical Linear # n, i6 `" v# b3 W- }Algebra》，Trefethen & Bau 的+ n/ _( Z& e/ J* h
《Numerical Linear Algebra》据说也是很好的。Yousef0 S/ ~' |1 M+ _# Q3 j4 W6 X2 @- F% c6 ^$ `
Saad有两本书《Iterative methods for sparse systems》& R/ y) V/ z f+ J: b
和《Numerical methods for large eigenvalue problems》， 4 f6 M0 _( H# e- p: E( G5 H写的挺有意思的，在他的主页 8 q0 w' h2 X- q（http://www-users.cs.umn.edu/~saad/）& q: n+ ]5 j+ [6 {# n7 A
上可以down。说到矩阵计算，还得提到Householder的一本老 9 H4 M8 Z9 K$ W0 _ }* E书，《The theory of matrices in numerical analysis》; D2 P. [* f+ x% [
(有中译本，系里中英文版的都有)。 6 h/ A& o b* ^/ b! g, Z' r 1 i( N4 |$ t1 y8 \1 b/ LLN Trefethen现在是剑桥大学的教授，他写的每一本书都很经典， 5 A5 |# _& @, w7 F3 D* H+ b前面已经到过他的几本书了，《Spectral Method in Matlab》，, ^, H: m) g9 e f& G8 `
《Numerical Linear Algebra》，还有《Finite Difference& g d( L8 T4 |3 t1 S4 ^9 [6 ]4 q
and Spectral methods》（在他的主页上可以 3 E, d5 \# L. U5 M0 Rdown，http://web.comlab.ox.ac.uk/oucl/work/nick.trefethen/）/ a9 c+ U; F/ f2 |) E( G2 [
。读他的书和文章感觉也是人生的一大享受。 P! }& v, ]: d$ D) B0 g7 I ) Y4 p+ M4 b( U& K$ V0 X* M) x他在Cornell大学任教时，曾上过一门课，就是阅读数值计算的经 0 v ~* j6 X0 A' J1 l7 o+ x典文献。为此他写过一个短文，列举了数值计算中的十三篇经典文 6 v+ t1 A1 Y4 K Y. R$ u: s" l献，也许对大家有点启发。 & \5 k, X$ D8 I8 M% c' M ( P$ n2 J$ b. L z3 d1 q2 D5 ?1. Cooley & Tukey (1965) the Fast Fourier Transform # n) o! b, E+ ?( v% }2. Courant, Friedrichs & Lewy (1928) finite difference methods for PDE' m5 D9 I1 I- d0 L
3. Householder (1958) QR factorization of matrices" `0 h/ Y7 X; _
4. Curtiss & Hirschfelder (1952) stiffness of ODEs; BD formulas , k' s2 K' \. D$ D3 O0 l X( j* r5. de Boor (1972) calculations with B-splines 1 I5 x. a! Y1 e- G# {6. Courant (1943) finite element methods for PDE & t6 S0 w; z. |. X( C7. Golub & Kahan (1965) the singular value decomposition * a6 E/ e8 D! u- k' |2 R0 @8. Brandt (1977) multigrid algorithms - _! v5 y4 ]9 D8 a9. Hestenes & Stiefel (1952) the conjugate gradient iteration + P8 u% V: C- U1 ^5 A6 I# j10. Fletcher & Powell (1963)optimization via quasi-Newton updates 6 N$ Z( Z$ S" n) h! ~2 S( ], h11. Wanner, Hairer & Norsett (1978) order stars and applications to ODE % g: Y( b- f2 {6 C: q% r12. Karmarkar (1984)interior pt. methods for linear prog. 0 i, O& `; }2 K, k% G4 `13. Greengard & Rokhlin (1987) multipole methods for particles3 Q8 s3 F7 U8 B
\) i% @) ~; O! ]: Z4 U7 G3 ?: N他的remark也很有意思，We were struck by how young many 3 i/ |! J% v: Y3 J4 tof the authors were when they wrote these **s (average 2 E' ~5 D1 I5 Iage: 34), and by how short an influential ** can be& r" q3 g3 M9 y
(Householder: 3.3 pages, Cooley & Tukey: 4.4).这说明大家 : w$ j) ~; j* p. n( R5 w9 M都还是很有希望的，呵呵。 ! |5 U7 q4 }# E" y& Y2 ] 3 V# [! F {$ }+ ~/ d9 H. V9 P 4 I/ t1 \( m: D* ^4 Q反问题无疑是计算数学中最热门的方向之一。该方向现在有如下' M* ?) h6 c p! q7 k
% @6 S7 @5 H. h9 @) ?' O2 s
几本杂志：Inverse Problems，Journal of Inverse and Ill-posed 3 R, n) U e% e+ N! c7 H' k/ A$ D0 ^& H0 l$ F: O$ Q. Y. g8 x
Problems, Inverse Problems in Sciences and Engineering(以前% o( P+ z( R3 ^' e6 \7 u2 P% _
0 e6 Z/ {6 l% `9 I, [9 w
叫Inverse Problems in Engineering).第一本杂志最好，第二本杂 0 Z# y3 v+ H5 y, W3 s# D- ^3 B0 p7 z6 k
志上面有很多苏联人的工作，第三本偏向于应用。在很多高档次的( I, p2 ]5 q( Q$ S3 P
8 a. M& [9 b! r- k& j
杂志中都有反问题方面的文章，比如SIAM Journal on Numerical + n" @$ \( t- J: _' Q. U- F- A7 r& G! [; h$ b% l ~
Analysis，SIAM Journal on Mathematical Analysis, SIAM , h$ d0 v) r. y! c5 A2 U + e5 B* R) j9 ?Journal on Matrix Analysis and Applications，SIAM Journal on D! y& ^3 e K6 @" P
8 K" C4 S5 U( S# h) NScientific Computing上也有不少反问题方面的文章。( I l. {+ x2 I4 }
" |. R7 H9 }; ^7 f2 n f2 i/ g, f在国内做反问题做的最好的应该是复旦大学的程晋老师，他在反问 ! ^# A0 l5 S, A1 X' f% a- z 3 \! S2 G, a9 ` ]' M1 e题的理论估计方面有不少工作，南京大学的金其年老师也有不少好! W, E5 |. s2 e& B- \$ |
7 Y) K+ Y6 X0 h5 U' t) A
的结果（很年轻！），哈工大有几个人是做应用方面的工作的（他 0 h- w0 K* i# f9 `# y- R; }& t R( b+ U" u: j
们的前校长就是做地球物理中的反问题的）。国际上知名的有HW5 ^' D0 n' A) J, y& E2 _- V3 X3 M
4 T- }$ ^) q3 E" A# x* M7 \$ j/ L5 H
Engl（澳大利亚），Yamamoto（日本）， Kress（德国）， Martin9 h- q% g: P" h K6 P
9 g, a9 {6 a. [0 p& G2 [Hanke（德国）， Isakov（美国）等。% H C' [. q* h$ X% B
IP卡
狗仔卡
发表于 2010-1-23 09:06
转播
淘帖
分享
收藏
支持
反对
微信
提升卡
置顶卡
沉默卡
喧嚣卡
变色卡
抢沙发
显身卡
不懂~~~~~~~
