谈谈计算数学（转自校内）

mzszrj

虽然不是我写的，但我觉得很好，希望与大家分享。以下的内容转自校内：
3 M3 W8 b; }% d
从计算数学的字面来看，应该与计算机有密切的联系，也强调
. z* r5 A/ b, r2 ]. b& c了实践对于计算数学的重要性。也许Parlett教授的一段话能
最好地说明这个问题：

How could someone as brilliant as von Neumann think
1 g2 A$ R+ `& y/ G5 Qhard about a subject as mundane as triangular factoriz
-ation of an invertible matrix and not perceive that,
with suitable pivoting, the results are impressively
good? Partial answers can be suggested-lack of hands-on
experience, concentration on the inverse rather than on
* E6 _" [6 w2 A& E$ U) {, b+ f+ O  Othe solution of Ax = b -but I do not find them adequate.
: N/ q: O- U0 O( z4 G6 oWhy did Wilkinson keep the QR algorithm as a backup to a
- ~! i; M- S$ ?4 ^2 I/ GLaguerre-based method for the unsymmetric eigenproblem
for at least two years after the appearance of QR? Why
4 J. w/ t  A8 H2 U  ]& t6 Y" N/ ldid more than 20 years pass before the properties of
' T6 ~! G* G7 m8 gthe Lanczos algorithm were understood? I believe that
+ O  {2 N& P) V7 E; Gthe explanation must involve the impediments to
( h/ a( A& e& j+ tcomprehension of the effects of finite-precision
arithmetic.(引自www.siam.org/siamnews/11-03/matrix.pdf)

既然是计算数学专业的学生，就不能对自己领域内的专家不有所
2 u$ e9 c$ D- M4 c% f1 [5 I了解。早些年华人在计算数学领域里面占有一席之地是因为冯康
院士独立于西方，创立了有限元方法，而后又提出辛算法。这里
只是列出几位比较年轻的华人计算数学专家，因为他们代表了当
前计算数学的研究热点，也反映华人对计算数学的发展的贡献。
4 m- N( v6 q/ ^0 I  z9 P9 D4 X5 G
. `. P+ w$ S& z, x侯一钊（加州理工）
研究方向：计算流体力学、多尺度计算与模拟、多相流
6 g! U- x; i! R) \http://www.acm.caltech.edu/~hou/
! b! n1 x# Z  \  ?
, i* ?6 ~2 N, r8 Y鄂维南（Princeton大学）
北京大学长江学者，研究方向：多尺度计算与模拟
http://ccse.pku.edu.cn/staff/weinane.htm

2 j! G6 d( ^9 f* M包刚（Michigan州立大学）
6 F7 K1 Y4 J; ~5 S4 P) d5 ^吉林大学长江学者，研究方向：光学与电磁场中的计算等
! f6 D  }( T, Q; _$ s4 R9 A& Rhttp://www.mth.msu.edu/~bao/

金石(Wisconsin大学)
清华大学长江学者，研究方向：双曲守恒律、计算流体力学、
1 v9 g1 X$ d2 z- _0 R- C动力学理论等
6 Y" ^' o6 h; }4 X& X3 ?; ~http://www.math.wisc.edu/~jin/

4 `/ l; y, K& r- v汤涛（香港浸会大学）
中科院，研究方向：移动网格法等
http://www.math.hkbu.edu.hk/~ttang/
! R( u! P' N' U* C! Q
- E/ F8 k, Q- ?; `舒其望（Brown大学）
中科大长江学者，研究方向：计算流体力学、谱方法
# Z% y7 S. I& {5 T* }" }http://www.dam.brown.edu/people/shu/home.html

% P2 t8 N2 x, L. t陈汉夫（香港中文大学）
9 d) g7 O3 H8 X9 t研究方向：数值线性代数
  ~- c5 y, ?' l4 \- M$ G2 Thttp://www.math.cuhk.edu.hk/~rchan/
$ \) e5 W# E( \: A* Z8 ?
8 h5 U! d; w$ |+ y3 q) M许进超（Pennsylvania州立大学）
北京大学长江学者，研究方向：有限元、多重网格法
http://www.math.psu.edu/xu/
% e1 n2 J  o6 c
# s( ]* H: m$ L袁亚湘
: j, _& C& \$ V6 Y8 |$ W2 Q中科院，研究方向为非线性最优化
http://lsec.cc.ac.cn/~yyx/
+ l6 a& X! H3 z  `) x
张平文（北京大学）
# k$ S1 G1 R' o: R北京大学长江学者，研究方向为复杂流体的模拟、多尺度计算与
; J1 N) w9 Z4 F+ e5 e模拟、移动网格法等
( g* _- o- [" o/ Q6 hhttp://www.math.pku.edu.cn/pzhang/index.html
! b( g1 S& S' M7 d# ^2 ~8 x+ Y
! ^. B7 V7 a6 A; U6 B陈志明（中科院）
研究方向：科学计算与数值分析，主要为有限元法
http://lsec.cc.ac.cn/~zmchen/index-c.html

0 }6 ?4 ?+ z! j- u+ E2 |) b其他还有黄维章、吴宗敏、Xu Kun、程今等人也非常突出

0 @, r. I4 q( Q" ^# f- B作为计算数学专业的学生，经常阅读本专业中的主要杂志也许
是颇有裨益的。
理论：
; m* Q! D( S" {) ?最好的基本是
Mathematics of Computation
Numerische Mathematik
SIAM Journal on Numerical Analysis
# T" F( k7 T; T5 K. g( c- C* f! JSIAM Journal on Matrix Analysis & Applications
SIAM Journal on Scientific Computing
较好的有：
( w4 _9 S% v' p2 rBIT
& ~# H2 r9 {* J4 S( hIMA Journal of Numerical Analysis
: L! r( l6 i1 y! ?" \4 P% NAdvances in Computational Mathematics
Inverse Problems

; Z+ T$ b! q- d) ~) M% Y7 @还有应用性质的杂志：
Journal of Computational Physics
0 ]) _' U; q) m+ Y9 @0 dInternational Journal for Numerical Methods in Engineering
! P* r6 \1 h3 Y" P& I* J. i6 jComputer Methods in Applied Mechanics and Engineering
International Journal for Numerical Methods in Fluids
  n4 l$ k& w8 R8 b& t6 c8 aComputers and Fluids
Computational Mechanics
' u/ R9 D1 r# m5 O4 e还有很多带有Computational字眼的其他学科的期刊：Journal of
Computational Chemistry，Computational Material Sciences
" l9 U) }; j; }6 T也可以浏览。

但是作为入门来说，大家的综述特别能帮助我们这些新人迅速把握
了解、把握一个领域，因而值得特别重视。这方面最好的是剑桥大
学出版社出版的Acta Numerica连续出版物。Acta Numerica每年出
; T. q: E5 u! G7 e" U6 v' F; m版一本，作者均是该领域的顶尖人物。比如说最近几年水平集方法
非常热门，05年就有一篇水平集方法创始人之一的Stanley Osher写
的Level Set Method in Image Science。其他论题有：entropy
: {" k% M7 G  {( [" Q, f  F4 Zstability (Tadmor E)，radial basis function (Buhmann MD)等
  t/ l, b9 o# E& i等。该出版物我们学校没有订，不过可以从网上可以找到不少。我
这里大概也有二三十篇，可以提供上载。
4 }, l) ~( c( H9 [
0 N; }7 B) |  d5 S; N+ t另外一本就是SIAM Review。SIAM Review的每一期里面都有几篇文
& X$ t" F8 o- c, k9 k* g章关于计算数学的内容的，经常从实际问题引伸出计算的问题，或
' ]1 j  f* [8 ^; B  Q+ D, g7 n者是介绍每一个领域的最新进展等。 SIAM News的每一期也有关于
9 I( _, n: R+ n; n3 |* B) v; G计算的有意思的短文，不妨浏览浏览。

作为数学系的学生，无疑是需要读很多数学书。计算数学的书可以
称得上是汗牛充栋。以前在系版上提到过几本。现在再补充一些。

微分方程数值解是计算数学中的核心论题。传统的方法有有限差分
法、有限元法、边界元法和谱方法。
* g2 c+ x) Y% c" N- m2 i
有限差分法想法最为简单，比较容易理解。李荣华的那本《微分方程
数值解》就介绍了最基本的东西：收敛性、相容性和稳定性。
$ n! \5 ^. V/ p; W& n9 aRichtmeyer & Morton的《Difference Methods for Initial-Value
- d' ^% G8 X' |; h  ~# [, s. mProblems》则是差分法方面的经典著作。R. LeVeque最近也有一本
; m  |6 D6 q; u/ g) `5 Z《Finite Difference Method for Differential Equations》也很
6 i. v0 P* x9 |% N% C: }有意思，介绍了差分方法的新的现代概念。LeVeque的书可以在他的
( L4 ?' G9 n3 A- q主页（http://www.amath.washington.edu/~rjl/）上下载，他的另
+ i( X* G$ A: ]- z* c外一本书《Numerical Methods for Conservation Laws》是守恒律
数值方法方面非常出色的著作。

# \- n1 j- }7 K' J* Z8 y0 _有限元法方面自然是推荐使用Ciarlet的《The Finite Element Method
for Elliptic Problems》。这也是系里专业科的教材，另外Brenner
& Scott的《Mathematical Theory of the Finite Element
, S" Q" z" c2 `' sMethod》据说也是不错的。

谱方法对于规则区域上的问题往往是最为有效的方法。华东师大的
郭本瑜教授在这方面做过很好的工作，他的《Spectral Methods
9 c- Q' x7 n  |5 tand Their Applications》广受好评。Purdue大学的沈捷教授也有
; F4 |/ q5 N  C# G% l$ D很出色的工作，他的一个讲义可从他的主页（http://www.math.purdue.edu/~shen/
# |5 S/ H* Y$ s0 w）
/ B" e) y* u$ L8 L9 p9 }$ \3 |. f上下载，同时还有相关的Matlab和Fortran程序。谱方法方面最好的
入门书为Trefethen的《Spectral Methods in Matlab》，其他的还
有Canuto等人的《Spectral Methods in Fluid Dynamics》，不过
不知道能不能再学校里找到。

! _$ w# F' v: y8 M: u7 L$ O( K除了上面这些方法之外，还有近年来比较热门的无网格方法，这些可
以参考张雄和刘岩的《无网格方法》（清华大学出版社，2003，50￥）。
  q9 {/ ]6 _& E) P% S. Y8 m0 d
计算数学的主要工具是泛函分析。一般推荐的Yoshida的《Functional
& r- B0 n% e. ?4 r/ h6 a( ?Analysis》（有中译本：吉田耕作，《泛函分析》）或者Rudin的
0 W+ E# o! g' x! u( ]《Functional Analysis》。这两本书都是非常难的，但是也是非常
* z  `9 @  ]  F9 a8 o经典的书，可能当字典比较合适。但是，泛函分析里面重要的定理
在计算里面并不见得特别有用，所以我们要甄别那些可能有用的东
西，Sawyer的《数值泛函分析引论》也许是比较合适的入门读物。
这本书里面介绍了一些泛函分析概念的来由，如Holder不等式的导
, \# Z. L# q. m& S+ {出，也有泛函分析在计算数学中的应用，比如Kantorovich迭代收敛
9 e+ n7 p+ H# ~+ o性准则的解释。张恭庆的《泛函分析》强调泛函分析的应用，里面
1 O! u+ n3 j. E) a/ s4 J7 ?也有一些应用于数值计算的例子，比如Lax等价定理，值得读一下。

计算数学还有其他许多重要的分枝，如矩阵计算、反问题、计算流
体力学、最优化、逼近论等。由于这方面本人涉略甚少，这里也没
有什么好说的了。希望计算数学这些方向的其他同许能补充上去。

最后补充一句，订阅mailing list也是不错的，可以迅速获得关于
: C$ B7 q1 h) `# i* l+ g! V5 H7 S计算数学会议、新出版文章等的信息。中文的推荐使用CAM，可在下
面的网址注册
http://www.math.hkbu.edu.hk/cam-net/indexcn.html
英文的推荐订阅Clever Moler的NA Digest，可在下面的网址注册
% B# j5 t, A, I" [# p! p1 }1 U. ohttp://www.netlib.org/na-net
0 U( N' n+ e- _2 Y6 T: ?, F4 p% i

2 k+ f& h0 s6 Y, s; m, J
先订正一个错误：Sawyer的那本书的题目我
记错了，应该叫《数值泛函分析初览》，系资料室和图书馆
9 c2 I+ X; F: A9 m) t8 W0 i+ ]都有中译本的。
' |5 O* ]- e1 h5 o& p- x
接下来介绍几本矩阵计算方面的书的。浙大的张振跃老师
% i' \; |, l' ?4 e7 h6 K% r2 k在这方面有很出色的工作，中科院的白中治，北京大学的徐
5 ]$ l! L9 E6 I  X树方，复旦的魏益民和曹志浩，澳门大学的金小庆都是这方
向的，还有复旦出去的柏兆俊。肯定还有许多学者在这方面
' b/ a  N2 S0 }有很突出的工作，可惜我基本上没什么涉略，这里也不能列
4 J- w: }. d1 F; r( v出来。

国外的大牛有Golub，很多这个方向的大家都是他的学生。
Kahan, James Demmel, Peter Stewart, L N Trefethen,
Higham,这个名单可以列的很长，这些人是矩阵计算方面
% a, |5 C1 Q) M8 [" ~的大家。

- }2 Z3 N: V$ t0 F( A矩阵计算方面最经典的书应该是J H Wilkinson的《The
Algebraic Eigenvalue Problem》（有中译本，石钟慈等
人译，《代数特征值问题》，科学出版社，学校图书馆有，
系里有英文版的）。这本书虽然老，但是据说读一下还是
很有启发的。现在的经典是Golub和
van Loan的《Matrix Computation》（有中译本，袁亚湘译，
  Z5 H7 m8 j' h6 t, u" y$ a《矩阵计算》，科学出版社），英文版的电子版可以在网上
5 t' \- p% g2 p找到的。其他的书有Demmel的《Applied Numerical Linear
Algebra》，Trefethen & Bau 的
《Numerical Linear Algebra》据说也是很好的。Yousef
: q8 V& r  }! B, USaad有两本书《Iterative methods for sparse systems》
& c# T$ y+ w( F3 A, c( O+ w  B. C; B) X和《Numerical methods for large eigenvalue problems》，
写的挺有意思的，在他的主页
（http://www-users.cs.umn.edu/~saad/）
上可以down。说到矩阵计算，还得提到Householder的一本老
% l8 I* ~, L3 ~8 d; e+ j书，《The theory of matrices in numerical analysis》
(有中译本，系里中英文版的都有)。

5 z+ d( W9 X6 pLN Trefethen现在是剑桥大学的教授，他写的每一本书都很经典，
) V9 F9 t) @7 h' f前面已经到过他的几本书了，《Spectral Method in Matlab》，
( |/ k; V6 p: _5 s《Numerical Linear Algebra》，还有《Finite Difference
. L, J9 p2 r; h# p) l) S. w1 ?and Spectral methods》（在他的主页上可以
, F) ?' ?, Y1 V; A# {3 x: F6 adown，http://web.comlab.ox.ac.uk/oucl/work/nick.trefethen/）
' S4 L- D: S( s/ U0 k* s。读他的书和文章感觉也是人生的一大享受。

他在Cornell大学任教时，曾上过一门课，就是阅读数值计算的经
典文献。为此他写过一个短文，列举了数值计算中的十三篇经典文
  X' W3 K6 k: X3 O+ d献，也许对大家有点启发。
# h1 o$ Q' e. N5 w
6 F2 J; k# Y' g# a1. Cooley & Tukey (1965) the Fast Fourier Transform
& q5 a, {4 ~; x. b7 g0 ?2 W3 z2. Courant, Friedrichs & Lewy (1928) finite difference methods for PDE
5 j0 h8 A; _, {1 i2 {3. Householder (1958) QR factorization of matrices
2 ^' A6 v: u  O! `. X4. Curtiss & Hirschfelder (1952) stiffness of ODEs; BD formulas
5. de Boor (1972) calculations with B-splines
6. Courant (1943) finite element methods for PDE
8 Z4 x9 _4 q6 W; T; e' g, I. `, t7. Golub & Kahan (1965) the singular value decomposition
8. Brandt (1977) multigrid algorithms
9. Hestenes & Stiefel (1952) the conjugate gradient iteration
10. Fletcher & Powell (1963)optimization via quasi-Newton updates
/ ]: W9 G& n6 d  ~) `1 I7 G11. Wanner, Hairer & Norsett (1978) order stars and applications to ODE
12. Karmarkar (1984)interior pt. methods for linear prog.
13. Greengard & Rokhlin (1987) multipole methods for particles
9 u7 d" J9 v+ q( l/ T
% v0 i4 o# h; s' Y, D3 T/ m! J他的remark也很有意思，We were struck by how young many
6 `9 S1 u" e" R$ Z. ]) gof the authors were when they wrote these **s (average
. J$ o4 N+ y7 V7 H  ]age: 34), and by how short an influential ** can be
(Householder: 3.3 pages, Cooley & Tukey: 4.4).这说明大家
4 X* Q- r# V7 u2 q- c都还是很有希望的，呵呵。
4 M4 i& V2 A# m0 ]
& ?: Q) ]* U1 l0 \
反问题无疑是计算数学中最热门的方向之一。该方向现在有如下
4 D7 v2 J8 U4 i. ~( _
几本杂志：Inverse Problems，Journal of Inverse and Ill-posed
7 E2 }- {" S; ]2 i( Q
Problems, Inverse Problems in Sciences and Engineering(以前
$ f1 b& Y2 Q: x- J% s7 D
叫Inverse Problems in Engineering).第一本杂志最好，第二本杂
% j) Z2 K: p; F) G% v- ^- V
志上面有很多苏联人的工作，第三本偏向于应用。在很多高档次的

杂志中都有反问题方面的文章，比如SIAM Journal on Numerical
7 O2 |2 {! K' A2 ~
Analysis，SIAM Journal on Mathematical Analysis, SIAM

Journal on Matrix Analysis and Applications，SIAM Journal on
' z5 `/ @: o( h, a& r' q( Z
Scientific Computing上也有不少反问题方面的文章。
0 Q  U: R8 \) x. S: T0 x
3 W0 x9 `# @. F' n3 t( A在国内做反问题做的最好的应该是复旦大学的程晋老师，他在反问
/ }5 A7 P, }8 |
题的理论估计方面有不少工作，南京大学的金其年老师也有不少好

" x0 U- Q# g, I; G& b5 }的结果（很年轻！），哈工大有几个人是做应用方面的工作的（他
3 i( }  n1 B5 `) F
们的前校长就是做地球物理中的反问题的）。国际上知名的有HW
) ]% V' r4 g. I8 G$ y% M9 E2 R
Engl（澳大利亚），Yamamoto（日本）， Kress（德国）， Martin
3 d, n1 b% N4 H) L! I# Q! ?7 f
3 H& Z, m. k3 @Hanke（德国）， Isakov（美国）等。
* @7 g( i! L1 O& d; C6 \& I
反问题的一个重要特点就是与实际问题联系特别紧密，往往需要根
7 s5 @1 ^. G* Q% N  `' H
7 c9 ?' I( X- B$ m! W+ `据问题的特点设计专门的算法，这也是反问题的难点所在。很多应
- H* a/ Z+ z* F7 h: U
用领域与反问题结合之后成为一个单独的研究领域,如EIT。

" w' E! v) Z& J$ P* P水平集方法应用于反问题似乎是当前反问题算法研究中的一个热点。明尼苏达大学
$ l* b& m+ n8 v8 s0 _6 V2 s的Fadil Santosa最早将水平集方法应用于求解反问

, n, P/ a- S7 }& r( o4 r. t4 Q题，但是没有很大的反响。Engl的学生Martin Burger在2000年将水
4 M, w6 t# ^2 _
平集方法应用于反问题（发表在Inverse Problems上），在国际上

( M! a( m; L: d6 F0 g' f( v有很大的反响。Martin Burger在博士毕业后就被邀请到UCLA的Osher
; G: L* J; h9 X# Z5 r, Y/ C
的小组作研究，并和Osher一起就水平集方法在反问题的应用作了一
) D+ D5 [7 M/ x4 Q% w3 [  V  ?
个综述和展望，值得参考。

$ B3 Z. W2 @0 A& W) ]9 e4 M反问题反面最为经典的当属Tikhonov和Arsenin的《Solutions of
Ill-posed Problems》（有中译本，《不适定问题的解法》，学
校里有，英文版的系里有）。现在反问题反面每篇重要的文章基
2 S* E1 M) Q% l* F$ i5 v本上都要引用这本书。这本书比较抽象，算法方面有所涉及，但
" {6 X2 L7 e0 f8 p是不多。后来Tikhonov和Yogola等人一起写过非线性反问题反问
题理论方面的书，还写过一本算法方面的书，可惜书名我已经忘
1 |$ E" [3 a3 }/ R8 P* {# j记的。个人感觉Groetsch的《The theory of Tikhonov
: v+ I/ X+ e) k. w+ ~+ ^1 {regularization for Fredholm equation of the first kind》
是比较好的入门书，这本书比较薄，也比较容易读懂。读了这本
书之后，阅读反问题理论方面应该不会有很大问题。Kress的
《Linear Integral Equations》和Kirsch的《An Introduction
4 q/ r6 q% p3 @to the Mathematical Theory of Inverse Problems》也是不错
( E- M# n* {  f的入门书。这些书在系资料室里都能找到。Engl等人的
3 W. _& U, y9 Y8 b% y8 ]4 Z1 H, X, g《Regularization of Inverse Problems》广受好评，应该可以
作为进一步阅读的材料。专门的著作有很多，如Isakov的
+ B4 r2 T# I# u, c+ v4 O《Inverse problems for partial differential equations》，
% D# l# K0 a) ~6 hMartin Hanke的《Conjugate Gradient Type Methods for
Ill-posed Problems》应该也是不错的。
8 h; P  o; U7 S2 ~
" j( m! B5 H" z  {7 G: H, Q在反问题的数值算法方面的书籍不多，只有Hansen的《Rank-
deficient and discrete ill-posed problems》和 Vogel的
《Computational Methods for Inverse Problems》。两本
% X8 I( A2 o5 L+ V  Q; B3 @( B书都是非常棒的，要求的基础基本上类似，对矩阵计算的基
本概念非常熟悉。但是侧重点有所不同，Hansen的书容易阅
读，所以在工程师里面也是很popular。Vogel的书稍微数学
5 j0 {  G% y- R$ @( m8 Y, f化，涉及的范围也稍微广一点，比如说很重要的Total
$ P5 t; Q# N  X! Q" mVariation regularization在Hansen的书里就不讨论，但是
Vogel的书里做了非常详细的讨论。Tikhonov的算法书应该
+ C3 l& d/ ~  V( K3 G  i: e3 J- |也有很大的参考价值，可惜我没办法搞到，所以也没法评论
0 M: H7 r6 N, q了。
2 `! i/ u: X0 ~
反问题的reading list 可以在下面的链接中找到：
http://infohost.nmt.edu/~borchers/geop5 ... dings.html
8 b% u/ r5 O; g# t; E; P0 E
, @8 o" o  y! B! N4 u计算的热点似乎有两个特点：
一个是与具体的应用结合形成新的学科，比如说计算流体力学、
计算空气动力学、计算力学、计算物理。这里强调的是为新的学
4 G* w6 I; [5 \4 o8 A1 J1 V5 c科的发展做出贡献，也就是所谓的作为除实验和理论之外的第三
( @0 `  s" x" K  {1 Q2 a种研究手段。材料和生物中的计算问题似乎将是以后的计算数学
中的一个热点，可以参考鄂维南老师的评论文章。

6 t# M: ~7 P# P一个是应用新的数学工具。比如说应用Lie群理论构造保格式的微
分方程数值解法，拓扑引出的continuation method。其缘由可能
是基于某种物理上的考虑，但是可以通过引入新的数学工具来解决。
这也应该是一个值得注意的地方。

bingcheers

内容特别好
7 {& V' F1 R0 n你看了吗


8 t! D( {. y2 P8 {9 [回复 1# mzszrj

celestshakey

好复杂的样子，好多没听过的杂志。。。

文素

不懂~~~~~~~

randy2009

好文章啊，顶了

0.9清1.8清2.7清

顶级高手!!!!!!

hualian110

看着很复杂啊。

此生不悔

这样的文章才能值得叫好文章

汲荷

好好好好好，计算数学啊