二项式幂的展式论证的谬误(致武汉大学数学系的公开信)

数学1+1

0 [/ k& B7 u6 f6 C, [. l5 i  R
% [6 c) O( h/ D

在武汉大学数学系编<<数学分析 ∙ 下册>>,1978年10月第一版,人民教育出版社.67页至69页. 对二项式幂的展式有如下论述:

4)   二项式幂的展式:           

(1+x)^m=1+mx+[m(m-1)/2!]x^2+⋯

+[m(m-1)(m-2)⋯(m-n+1)/n!] x^n+⋯,  -1<x<1   (13)

其中m可以是任何实数, 右边这个级数称作二项式级数.

如果m是正整数, 则上面式子中的级数就只到x^m的项为止, 后面的各项都等于零了. 这样,(13) 不是别的, 就是我们在中学学过的二项式定理. 以下我们将假定m不是正整数, 于是(13) 右面的确是有无穷项的幂级数.

为了证明这一展开式, 首先注意, 用3.1段中的定理 2, 很容易证明(13) 右边这级数的收敛半径R=1.于是它的和函数S(x) 定义于|x|<1:
     S(x)=1+mx+[m(m-1)/2! ]x^2+⋯+

[m(m-1)(m-2)⋯(m-n+1)/n!]x^n+⋯   (13)’

问题是要证明S(x)=(1+x)^m .

     为了要证明这一点, 我们把(13)’ 式逐项求导数(x始终取定在|x|<1的范围内) 得
     S'(x)=m+m(m-1)x+[m(m-1)(m-2)/2!]x^2+⋯

+[m(m-1(m-2))⋯(m-n)/n!] x^n+⋯
2 W, j! D% T- _: F3 l2 z6 O或
     S'(x)/m=1+(m-1)x+[(m-1)(m-2)/2!] x^2+⋯

+[(m-1)(m-2)⋯(m-n)/n! ]x^n+⋯            
把此式两边乘以x,得
9 ^2 i7 e# `( J: p# l) Y9 R. `) `        xS'(x)/m=x+(m-1)x^2+[(m-1)(m-2)/2!]x^3+⋯

+[(m-1)(m-2)⋯(m-n)/n!] x^(n+1)+⋯           
2 Z- B0 W/ [( s! U* Z7 _2 H再把此两式相加,得
         (1+x)S'(x)/m=1+mx+[(m-1)(m-2)/2!+(m-1)]x^2

+[(m-1)(m-2)(m-3)/3!+(m-1)(m-2)/2!]x^3

+⋯ +[(m-1)(m-2)⋯(m-n)/n!

+(m-1)(m-2)⋯(m-n+1)/(n-1)!]x^n+⋯
                     =1+mx+[m(m-1)/2!] x^2+

[m(m-1)(m-2)/3!]x^3+⋯

+[m(m-1)(m-2)⋯(m-n+1)/n!] x^n+⋯
而右边这个级数又回到了(13)’ 的右边, 所以得到S(x) 的一个一阶微分方程:
8 x& F3 d9 c1 U: {" F! c+ j% s          (1+x)S'(x)/m=S(x)或即S'(x)/S(x)=m/(1+x)   
两边求积分
                 ∫[S'(x)/S(x)]dx=∫[m/(1+x)]dx

[size=15.3333px]即

lnS(x)=mln(1+x)+C                     

但是,当x=0时, 由(13)’ 很明显S(0)=1,即lnS(0)=0, 因此在上式中令x=0代入后立刻可以知道C=0. 从而

lnS(x)=mln(1+x)= ln(1+x)^m
- F+ ]- b  w9 R* U  W4 e这就是说,
+ \  }9 f2 a% E                 S(x)=(1+x)^m
     上述论证看似严谨, 以后有作者持上述观点发表了专题论文. 仔细分析, 根据基本积分表有

              [size=15.3333px]∫[1/S(x)]dx =lnS(x)+C
由于C=0,  比较上述论证, 得
               [size=15.3333px]∫[S'(x)/S(x)]dx=[size=15.3333px]∫[1/S(x)]dx
, a: O( v) G0 R% r即
# L1 K+ }! ]  `+ X3 y5 }                  S'(x)=1
这与
& X9 [# J$ V& y, o                 S'(x)=[m/(1+x)]S(x)
不兼容.亦即原著论述只能得到恒等式
                 [size=15.3333px] (1+x)^m[size=15.3333px] =(1+x)^m
3 G6 o/ S7 S) C2 [8 z3 t" q/ `' u; o* c7 B或原式
                   S(x)=1+mx+[m(m-1)/2! ]x^2+⋯+[m(m-1)(m-2)⋯(m-n+1)/n!]x^n+⋯

" k6 Y; q5 n' A( O这样原著关于二项式幂的展式论证没有意义.盼武汉大学数学系在再版数学分析时更正.
3 {7 n9 F! c1 t. t
               

1 }6 E: P  t$ r/ O. q1 ?5 [# R
5 j+ Z. P: v& L* k2 \$ O$ M) q

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景真

民科，鉴定完毕。
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数学1+1

不知道先生是什么科？一个数学命题的真伪判断，其理论依据只与数学的公理系统相关，数学的公理系统的构建是人类智慧的结晶。
6 }8 W% g$ S  x

421018735

学术研究值得赞美

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显然,原著的结论正确,看来问题在
" q" D/ T0 r% [$ v3 t8 x
那么,这一步在论证过程中是否可以省略?