数学建模：优化算法

杨利霞

数学建模：优化算法
. [8 F# |- U" f8 e+ C* D' b  l数学建模问题总共分为四类：
; `2 C  i; t! K9 X; Y. n$ L1. 分类问题 2. 优化问题 3. 评价问题 4. 预测问题

1 _9 r* R0 `/ [4 f, s一、粒子群算法（PSO）
" H& k  R% X5 a/ b
9 j: Z- D8 k. i2 l算法对于Hepper的模拟鸟群(鱼群)的模型进行修正，同遗传算法类似，也是一种基于群体叠代的，但并没有遗传算法用的交叉以及变异，而是粒子在解空间追随最优的粒子进行搜索。
+ x( O/ F4 E  v+ W+ \3 u6 o5 q. OPSO的优势在于简单，容易实现，无需梯度信息，参数少，特别是其天然的实数编码特点特别适合于处理实优化问题。同时又有深刻的智能背景，既适合科学研究，又特别适合工程应用。

基本PSO算法

D维空间中，有m个粒子；
) ~! n* T( S; r3 e* D5 b3 |; q* d粒子i位置：xi=(xi1,xi2,…xiD)
粒子i速度：vi=(vi1,vi2,…viD)，1≤i≤m,1 ≤d ≤D
; [( n2 a! e4 H/ T' Z' J8 ?1 I粒子i经历过的历史最好位置：pi=(pi1,pi2,…piD)
/ }5 T; L9 X+ ^  X. H群体内（或领域内）所有粒子所经历过的最好位置： pg =(pg1,pg2,…pgD)

4 d) a6 v7 f" f8 t* L6 R
7 i3 f0 ^* \4 \2 S) w" W二、模拟退火算法（SA）

- [$ ?1 X0 y# P' f模拟退火过程：
3 D# K" _& i  G& ?设定初始高温，相当于物理退火的加温过程。初始温度要足够高，在实际应用中，要根据以往的经验，通过反复实验来确定T0的值。
( m& t4 T; \/ T' I0 o1 n4 C热平衡达到，相当于物理退火的等温过程。是指在一个给定温度下，SA用特殊的抽样策略进行随机搜索，最终达到平衡状态的过程。这是SA算法的内循环过程。
% v6 [- W3 Y+ b/ T2 K) T0 ?+ d( z6 q降温函数，相当于物理退火的冷却过程。用来控制温度的下降方式，这是SA算法的外循环过程。常用的降温函数有Tk+1=Tk-DT，Tk+1=Tk*r，其中r∈(0.95,0.99)。
# Y! I; I; j6 y* D
三、遗传算法

产生一个初始种群
根据问题的目标函数构造适值函数
% Q. J9 [; H/ d$ s/ {! ~4 U根据适应值的好坏不断选择和繁殖
0 D" [/ b( K6 f6 ^9 N: j. H% t若干代后得到适应值最好的个体即为最优解
$ v1 S4 {3 U% `+ ^' u& ^
6 [3 q* `4 ^) c* C" Q9 N1 K! {, S四、算法步骤
初始种群
7 w+ I' a+ ~2 k' {+ f2 g编码方法—二进制编码，可以对多个编码进行组合。
4 {1 \6 c  v) @6 }$ f适值函数，往往就是目标函数，以值得大小为依据
( \9 V/ j6 p. i0 a: W- O遗传运算，交叉和变异
3 n) S* h( J* z4 s3 u3 m4 |选择策略，算出适应度，根据比例采用转盘模型
停止准则
$ M) K$ W' i: j! Q! L
参考：https://blog.csdn.net/zuochao_2013/article/details/71435105

四、神经网络算法
3 l0 o  O, h; q6 t  `7 v  e
和机器学习模型中的神经网络一样，用来分类或预测

* t) v; R- g1 b8 ]* T3 o' X五、禁忌搜索算法 (Tabu Search)
! S3 i; o  c, O$ F
又称爬山启发式算法，从当前的节点开始，和周围的邻居节点的值进行比较。如果当前节点是最大的，那么返回当前节点，作为最大值(即山峰最高点)；反之就用最高的邻居节点替换当前节点，从而实现向山峰的高处攀爬的目的。它是禁忌搜索的基础，TS算法是在其上改进而来。
优点：
( ~; A- i& a0 d, L' [* q1、容易理解，容易实现，具有较强的通用性；
  S% `8 P8 c4 k3 Q+ z- o2、局部开发能力强，收敛速度很快。
缺点：
7 O* q; T. {/ H  L; |7 }1、全局开发能力弱，只能搜索到局部最优解；
' P) _# s9 b, f2、搜索结果完全依赖于初始解和邻域的映射关系。
( S6 j4 D- i3 T% N. C
将不相同的n件物品分为m组，可以用的编码：
) s, Y$ G! ^" n8 ^+ Z" h; Ka、带分隔符的顺序编码，以自然数1~n分别代表n件物品如：1-3-4-0-2-6-7-5-0-8-9
b、自然数编码，每一位分别代表一件物品，而每一位的值代表该物品所在的分组。如：1-2-1-1-2-2-2-3-3
(2)初始解的获取
4 _4 I( d' O6 ?5 Y% A可以随机给出初始解，也可以事先使用其他启发式等算法给出一个较好的初始解。
(3)移动邻域
移动是从当前解产生新解的途径，例如上述问题中用移动s产生新解s(x)。
1 t9 m0 w% V; u4 \' \+ Z从当前解可以进行的所有移动构成邻域，也可以理解为从当前解经过“一步”可以到达的区域。
* P0 g' d* Q0 d( H(4)禁忌表
+ S5 Y6 S/ H" |. U% m) }- r  E禁忌表的作用：防止搜索出现循环
(5)渴望水平函数
A(x，s)一般为历史上曾经达到的最好目标值，若有C(s(x))
8 Z- L' y" ]" v2 I
六、蚁群算法（AS）
% n; y# L* S9 j5 A

2 a9 U* M9 ?$ n9 I2 A- p$ O+ ?参考：http://www.cnblogs.com/asxinyu/p/Path_Optimization_Tsp_Problem_Ant_System_CSharp.html#_labelTop
% J0 Z2 P  U7 t* e' p$ h9 ?---------------------
$ S! R4 m) z/ w* P0 O8 ?作者：_朝闻道_
来源：CSDN

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