数学建模之目标规划

杨利霞

数学建模之目标规划
+ t  q- H3 E$ h
线性规划只能解决一组线性约束条件下,一个目标的最大值或最小值问题.在实际决策中,衡量方案优劣要考虑多个目标,在这些目标中,有主要的也有次要的,有最大值的也有最小值的,有定量的也有定性的,有相互补充的也有相互对立的,对于这些问题线性规划则无能为力.
1 简介

) d8 |3 c1 W  E8 t1.1求解目标规划的思路

（1）加权系数法
为每一目标赋一个权系数，把多目标模型转化成单一目标的模型。但困难是要确定合理的权系数，以反映不同目标之间的重要程度。
5 X( c; t: j- w% _& @1 x（2）优先等级法
$ _- D0 ^( H  _1 J' j4 d2 R/ B将各目标按其重要程度不同的优先等级，转化为单目标模型。
（3）有效解法
寻求能够照顾到各个目标，并使决策者感到满意的解。由决策者来确定选取哪一个解，即得到一个满意解。但有效解的数目太多而难以将其一一求出。

7 k( t; J+ F: J2 J. m1.2建立目标规划的条件
; S2 Z# Z  b3 o- `" f% P  _5 G- ^
（1）正、负偏差变量。
（2）绝对（刚性）约束和目标约束。
（3）优先因子（优先等级）与权系数。

1.3 目标规划的目标函数

/ L3 n8 c/ V/ |. d& c目标规划的目标函数基本三种形式为
% _: i  C- z( R0 z) ?6 Z（1）第i个目标要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都要尽可能地小，这时

（2）第i个目标要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就是正偏差变量要尽可能地小，这时
" S  \3 F, Z/ n
9 b* \7 H! f( ~! g. Z2 l（3）第i个目标要求超过目标值，即超过量不限，但必须是负偏差变量要尽可能地小，这时


1.4 目标规划的模型应用
" l, q1 s. h3 P' H5 o5 \! ~
1 Y- B3 l/ n& y# @（1）求多目标下产品利润最优的决策方案。
& v2 z$ v, K: q# Y- \9 V) S（2）求多目标下总运费最小的运输调度方案。

/ }! L* ^3 M  c! h, d2 目标规划的一般数学模型
% v. D4 J! r6 B
7 O  w* u! H2 ], Q设xjj(j=1,2,…,n)是目标规划的决策变量，共有m个约束是刚性约束，可能是等式约束，也可能是不等式约束。设有l个柔性目标约束，其目标规划约束的偏差为d+ii+,d−ii−,(i=1,2,…l)。设有q个优先级别，分别为p1,p2,…pq。在同一个优先级中，有不同的权重，分别记为w+kiki+,w−kiki−,(i=1,2,…l)。目标规划模型的一般数学表达式如下
$ |' b7 _6 i6 j$ K8 ]
7 p" r/ v3 `, B: ^# Y" r; W
5 A$ v/ j& X$ g可用序贯算法求解目标规划。
2 [% A% F$ d' U( @) P: D1 L3 e6 P
! G7 M) C- a3 h5 S3 数据包网络分析（DEA）
" I1 A2 k& H' L4 P  g( n
3.1适用范围
; J- }0 N1 O; P1 H# y  E9 @
DEA特别适用于具有多输入多输出的复杂系统，如技术进步、技术创新、资源配置、金融投资等领域，特别对非单纯利益公共部门，如学校、医院、某些文化设施的评价方面。

# M, p9 u+ M, j; V: j3.2 数据包络分析的C2R模型
; R8 m) D5 h. p7 o: {* F6 @! z
" }$ T# k" O( N1 p& c% N- v+ h- B设有n个DMU，每个DMU都有m种投入和s种产出，设xijij(i=1…m;j=i…n)表示第 j个DMU的第i 种投入量，yrjrj(r=1…s;j=i…n)表示第j个DMU的第r种产出量，vii(i=1…m)表示第i种投入的权值，urr(r=1…s)表示第r种产出的权值。
5 B3 a, ^3 H! x, u9 [) Y向量Xjj,Yjj(j=i…n)分别表示决策单元 j 的输入和输出向量，v和u分别表示输入输出权值向量，则Xj=(x1j,x2j,...,xmj)TXj=(x1j,x2j,...,xmj)T，Yj=(x1j,x2j,...,xsj)TYj=(x1j,x2j,...,xsj)T,u=(u1,u2,...,um)Tu=(u1,u2,...,um)T, v=(v1,v2,...,vs)Tv=(v1,v2,...,vs)T
定义决策单元j的效率评价指数为
评价决策单元效率j00的数学模型为
4 b( t% T$ N/ Q

对于C2R模型，有如下定义：
（1）若线性规划问题的最优目标vj0=1j0=1,则称决策单元j00是弱DEA有效的。
（2）若线性规划问题存在最优解并且其最优目标值vj0=1j0=1，则称决策单元j00是EDA有效的。
; |) Z2 v, C: W3 Q

, h" V4 ^9 ]/ ~, Z


3 C% D, v0 |) ?$ ?) s
8 ^% L: D2 }. c/ W1 y, P3 Q( c