尺规三等分任意角的证明(轨迹)

数学1+1

                     尺规三等分任意角的证明(轨迹)
                             苏小光
                          2011年2月22日
/ b  H8 o8 B% A$ o' T' Y' T9 @) z     我本无意研究尺规三等分任意角,一旦研究,又收不住手,现对三等分角又给出新的证明.
    公式1:设N为圆心角,R为半径,l_{1}为扇形弧长,则有
3 h, K+ L. ], m           l_{1}=(NR\pi )/180 .
& ~% x) e% r) m0 u+ B' a$ d    公式2:设l_{2}为圆周长,r为半径,则
& a' c! `. t8 D0 @' p8 b8 O; P           l_{2}=2r\pi .
  \4 |* l5 J# \0 u    定理1 若0<∠BAC<(或等于)360度,则尺规作图可得
/ @" l3 C8 H( d5 d. N: R            ∠BAG=1/3 ∠BAC
8 W( E' p; L, D3 ^7 ^    证明 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=N,则
根据公式1 有
           l_{1}=(NAB\pi )/180
) J4 K" Y( W, f# @   设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
" `! O1 x$ X0 {) N1 u  K3 L           2r\pi=(NAB\pi )/180
   所以圆半径
& {) s$ e( e3 m% n% k. A4 i: f          r=NAB/360,
   在AB的延长线上取点D,使
9 h& W; ~( _% w5 q7 ~         r=BD,
. S. b. u2 V9 d* ^- }   以点D为圆心,以r为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG所以
) r7 m: _0 c9 s" f& s" ?4 _           ∠BAG=1/3 ∠BAC
证毕.
8 x  d* H7 t3 b    例:∠BAC=60(度),尺规作图,使∠BAG=20(度).
- D- l1 M* S1 g/ M解 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=60(度),
1 J& }- x8 F; C& T; i# ^根据公式1 有
           l_{1}=(60AB\pi )/180
" F4 N% B$ ?7 G- G4 _$ t9 ~5 b    设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
          2r\pi=(60AB\pi )/180
; j  n/ p  [8 ?5 E5 }5 W# d6 i% y     所以圆半径
, l1 H2 V6 x5 N# O9 a2 E  H         r=AB/6,
    在AB的延长线上取点D,使
, ]+ X: A# l8 Z2 y8 p5 I        BD=AB/6
    以点D为圆心,以AB/6为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG.所以
- x4 j0 i, ~4 l       ∠BAG=20(度).
   (附图)

数学1+1

尺规三等分任意角的证明

数学1+1

已知 AB=a,求作 x=(1/6)a.
1 n8 F$ {3 m3 D* ?! d; B% N' P作图:   作AB=a,在AB的延长线上作BC=6a,作AC的垂线CD=a,连接DB,延长DB交CA的垂线于点E,AE=x,显然
               AE/AB=CD/BC
             x=(a/6a)a=(1/6)a
' r+ z* ]- p3 u尺规三等分任意角.

gaoshanliu水

强悍。。。。

六棵槐树

没细看，曾经我也是痴迷于推翻不能三等分的论断，但是失败了～

inRm

做梦都想一鸣惊人，可以理解

羅雲琦

楼主可以写篇论文发表啊，尺规三等分角可是世界难题

yinbaoli

楼主热于思考数学历史中的难题，精神可贵！但是……
8 Z1 J2 Y2 C* g0 Z尺规作图要求直尺没有刻度，那么请问该怎样做出BD=r呢？
另外，倍立方体、化圆为方、三等分角这三大几何作图难题在近世数学中已被解决，结论是：不可能！
我记得曾经读到过这样一句话，大概说，在群论中，这三大问题已经被作为普通的习题解决掉了……

xxgzftj

数学1+1

答8楼yinbaoli
            关于怎样作出 BD=r   
        由一楼有
              r／AB=N／360
5 V0 a! }, T+ x/ Y  Z        显然有
              r／AB=a／b,
         a,b为正整数。
/ N9 o: w! I* [2 ]! w5 N( V: B, P- h         在平面上作线段AB,作BA的延长线AC=b× AB  ,作AC的垂线EC=a ×AB ,连接EA,作EA的延长线交AB的垂线BD于点D.
. V0 o: [  G1 z9 [9 j% v% E        易证
4 f) n5 u- Y" {( {        △ACE∽△ABD，
3 b  B$ ?. {1 {" o       所以
       EC／AC＝BD／AB，
     即
4 i+ m' @) H2 ^" H+ Z: {& R7 j       BD＝(a／b)AB.
     令
! j# l8 X5 [$ x& u% e& H1 L       BD=r
     即为所取.