尺规三等分任意角的证明(轨迹)

数学1+1

                     尺规三等分任意角的证明(轨迹)
                             苏小光
' W2 k4 \0 U% K                          2011年2月22日
     我本无意研究尺规三等分任意角,一旦研究,又收不住手,现对三等分角又给出新的证明.
    公式1:设N为圆心角,R为半径,l_{1}为扇形弧长,则有
           l_{1}=(NR\pi )/180 .
    公式2:设l_{2}为圆周长,r为半径,则
           l_{2}=2r\pi .
& u  Z) h# v9 U/ L    定理1 若0<∠BAC<(或等于)360度,则尺规作图可得
4 u0 y- j8 G/ f/ p            ∠BAG=1/3 ∠BAC
( M& v) U  J) b+ T    证明 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=N,则
根据公式1 有
# _5 @' F  C+ B) a, S5 @           l_{1}=(NAB\pi )/180
: J! Q9 d  \8 N* g" J( I3 p6 v9 }   设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
9 o7 \- Q, k0 V% j3 B, J           2r\pi=(NAB\pi )/180
   所以圆半径
          r=NAB/360,
! U! ]! r2 _5 R3 u* O   在AB的延长线上取点D,使
         r=BD,
   以点D为圆心,以r为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG所以
           ∠BAG=1/3 ∠BAC
证毕.
- [2 X0 f( B! X- {    例:∠BAC=60(度),尺规作图,使∠BAG=20(度).
解 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=60(度),
根据公式1 有
* e: h; O6 o: X/ o5 r( P6 v# S: m; x           l_{1}=(60AB\pi )/180
    设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
          2r\pi=(60AB\pi )/180
4 M- C( v- `( h     所以圆半径
  X6 K* z. B0 n         r=AB/6,
    在AB的延长线上取点D,使
8 F2 J8 o& B" |2 k; {        BD=AB/6
    以点D为圆心,以AB/6为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG.所以
" W$ B2 p- C& F2 L9 q  @  N+ N. F! _$ ?       ∠BAG=20(度).
   (附图)

数学1+1

尺规三等分任意角的证明

数学1+1

已知 AB=a,求作 x=(1/6)a.
. q0 q3 f: G" s% ~6 p! H9 H/ t作图:   作AB=a,在AB的延长线上作BC=6a,作AC的垂线CD=a,连接DB,延长DB交CA的垂线于点E,AE=x,显然
               AE/AB=CD/BC
             x=(a/6a)a=(1/6)a
尺规三等分任意角.
( g6 V1 J' M: i! P3 ?2 U! \

gaoshanliu水

强悍。。。。

六棵槐树

没细看，曾经我也是痴迷于推翻不能三等分的论断，但是失败了～

inRm

做梦都想一鸣惊人，可以理解

羅雲琦

楼主可以写篇论文发表啊，尺规三等分角可是世界难题

yinbaoli

楼主热于思考数学历史中的难题，精神可贵！但是……
尺规作图要求直尺没有刻度，那么请问该怎样做出BD=r呢？
另外，倍立方体、化圆为方、三等分角这三大几何作图难题在近世数学中已被解决，结论是：不可能！
我记得曾经读到过这样一句话，大概说，在群论中，这三大问题已经被作为普通的习题解决掉了……

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