尺规三等分任意角的证明(轨迹)

数学1+1

                     尺规三等分任意角的证明(轨迹)
                             苏小光
3 a3 E' Q7 ^# t, @; ?                          2011年2月22日
, `7 C3 `; G" i$ w     我本无意研究尺规三等分任意角,一旦研究,又收不住手,现对三等分角又给出新的证明.
    公式1:设N为圆心角,R为半径,l_{1}为扇形弧长,则有
5 h# v" A$ E+ ^- S+ j0 ?           l_{1}=(NR\pi )/180 .
    公式2:设l_{2}为圆周长,r为半径,则
" r: _6 {4 C! K+ @. p$ i  u/ p! j           l_{2}=2r\pi .
/ R" B: C3 Q* Q1 p, J. a    定理1 若0<∠BAC<(或等于)360度,则尺规作图可得
            ∠BAG=1/3 ∠BAC
6 a4 g9 o7 o4 b" X" c- D    证明 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=N,则
! n/ b, B  u6 P& H) e) H根据公式1 有
           l_{1}=(NAB\pi )/180
   设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
           2r\pi=(NAB\pi )/180
  r; y- R, D3 J& t   所以圆半径
) s4 x; Q: O. h! p! X# H4 o* y          r=NAB/360,
( w* t2 q% ~* y: h   在AB的延长线上取点D,使
5 @: s3 Z- @0 ~- X& n9 O5 z         r=BD,
: h) l* P5 g0 Q, g( g+ D4 r! W   以点D为圆心,以r为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG所以
4 {* B" t0 I6 E, O+ F           ∠BAG=1/3 ∠BAC
. @0 @+ q; Y- Q1 K" y证毕.
    例:∠BAC=60(度),尺规作图,使∠BAG=20(度).
, W+ |  h2 X3 P" d9 y解 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=60(度),
0 S- j/ p6 k& s( K根据公式1 有
           l_{1}=(60AB\pi )/180
, Z3 z# R8 X7 v9 d    设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
% y- X& O" s3 f$ M3 H8 p          2r\pi=(60AB\pi )/180
     所以圆半径
0 {0 s: K4 C  K7 z' v- x         r=AB/6,
    在AB的延长线上取点D,使
6 {2 I' P/ K# D& W4 Y7 v        BD=AB/6
    以点D为圆心,以AB/6为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG.所以
8 O/ L/ y* I- ~: D       ∠BAG=20(度).
   (附图)

数学1+1

尺规三等分任意角的证明

数学1+1

已知 AB=a,求作 x=(1/6)a.
作图:   作AB=a,在AB的延长线上作BC=6a,作AC的垂线CD=a,连接DB,延长DB交CA的垂线于点E,AE=x,显然
               AE/AB=CD/BC
             x=(a/6a)a=(1/6)a
尺规三等分任意角.
- \9 z6 l+ x) p

gaoshanliu水

强悍。。。。

六棵槐树

没细看，曾经我也是痴迷于推翻不能三等分的论断，但是失败了～

inRm

做梦都想一鸣惊人，可以理解

羅雲琦

楼主可以写篇论文发表啊，尺规三等分角可是世界难题

yinbaoli

楼主热于思考数学历史中的难题，精神可贵！但是……
尺规作图要求直尺没有刻度，那么请问该怎样做出BD=r呢？
! W5 q( j7 U# C9 j& m1 B另外，倍立方体、化圆为方、三等分角这三大几何作图难题在近世数学中已被解决，结论是：不可能！
& U% W* x0 h( A8 u+ }我记得曾经读到过这样一句话，大概说，在群论中，这三大问题已经被作为普通的习题解决掉了……

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