尺规三等分任意角的证明(轨迹)

数学1+1

                     尺规三等分任意角的证明(轨迹)
                             苏小光
8 M7 e% [4 P3 E+ r4 o                          2011年2月22日
     我本无意研究尺规三等分任意角,一旦研究,又收不住手,现对三等分角又给出新的证明.
9 ~1 Q5 M+ `% `7 u0 o. H    公式1:设N为圆心角,R为半径,l_{1}为扇形弧长,则有
% w3 W% {4 G; E) S           l_{1}=(NR\pi )/180 .
( M' r0 v4 `) d& a% n5 z+ k1 r6 p    公式2:设l_{2}为圆周长,r为半径,则
5 D8 b0 ~0 N# s( R9 F% d: b- z           l_{2}=2r\pi .
$ `8 @$ Q3 U1 N1 B' x. ?3 o    定理1 若0<∠BAC<(或等于)360度,则尺规作图可得
: h/ V6 s. Z6 ~* U: D7 }4 U            ∠BAG=1/3 ∠BAC
' c( U: M/ X; h1 ^. M    证明 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=N,则
根据公式1 有
7 S% b3 r6 k# a5 c1 [5 p           l_{1}=(NAB\pi )/180
   设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
           2r\pi=(NAB\pi )/180
2 Q$ e8 e# _; C   所以圆半径
          r=NAB/360,
! U2 M+ g+ r' A   在AB的延长线上取点D,使
         r=BD,
   以点D为圆心,以r为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG所以
           ∠BAG=1/3 ∠BAC
证毕.
4 o& V8 o. D9 U3 h- B& B- H    例:∠BAC=60(度),尺规作图,使∠BAG=20(度).
解 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=60(度),
根据公式1 有
# J5 ^' ^, Q9 I  z1 ~- q6 A2 m. g           l_{1}=(60AB\pi )/180
    设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
2 b6 F. h+ i- v2 w3 y          2r\pi=(60AB\pi )/180
+ p; W8 b0 J" Y% ~+ ^! d% m8 n" ^& S     所以圆半径
4 a1 d! @. R* M, D% z& Z( X         r=AB/6,
0 ^' ~1 F2 K8 N: J3 s% w5 v, W    在AB的延长线上取点D,使
. n2 ~6 E# q) N, x1 l  d        BD=AB/6
' A6 j0 v. E- P' Z    以点D为圆心,以AB/6为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG.所以
       ∠BAG=20(度).
   (附图)

数学1+1

尺规三等分任意角的证明

数学1+1

已知 AB=a,求作 x=(1/6)a.
作图:   作AB=a,在AB的延长线上作BC=6a,作AC的垂线CD=a,连接DB,延长DB交CA的垂线于点E,AE=x,显然
               AE/AB=CD/BC
9 a- H5 p, T: A, ?             x=(a/6a)a=(1/6)a
& ^9 B8 D. }$ j0 j! B5 U! |0 T尺规三等分任意角.
3 C4 [7 ]: p7 {& i) ?3 H! K% @

gaoshanliu水

强悍。。。。

六棵槐树

没细看，曾经我也是痴迷于推翻不能三等分的论断，但是失败了～

inRm

做梦都想一鸣惊人，可以理解

羅雲琦

楼主可以写篇论文发表啊，尺规三等分角可是世界难题

yinbaoli

楼主热于思考数学历史中的难题，精神可贵！但是……
尺规作图要求直尺没有刻度，那么请问该怎样做出BD=r呢？
另外，倍立方体、化圆为方、三等分角这三大几何作图难题在近世数学中已被解决，结论是：不可能！
2 i7 Q) T2 A" |+ M5 U我记得曾经读到过这样一句话，大概说，在群论中，这三大问题已经被作为普通的习题解决掉了……

xxgzftj

数学1+1

答8楼yinbaoli
            关于怎样作出 BD=r   
7 b3 g! D* _- ~) U8 [1 b        由一楼有
, P/ a2 m& l1 q% E              r／AB=N／360
        显然有
& E8 k0 E1 t  {* {7 w2 E              r／AB=a／b,
0 d2 a6 u4 V# a/ z9 d) l         a,b为正整数。
/ e+ a8 J6 P% A         在平面上作线段AB,作BA的延长线AC=b× AB  ,作AC的垂线EC=a ×AB ,连接EA,作EA的延长线交AB的垂线BD于点D.
        易证
) y  ^' a* h. \7 |  v0 A        △ACE∽△ABD，
; }2 j0 }: Y' Z' A5 t       所以
( c$ q0 _% U0 K6 U# D2 L5 {" b       EC／AC＝BD／AB，
     即
3 }0 M; L/ z' v: m+ D0 K       BD＝(a／b)AB.
0 I. @% t5 G" W" Q     令
* f+ H5 U. }' h, |& e! C3 h       BD=r
     即为所取.
2 X+ n6 ?- j# L$ [3 i