尺规三等分任意角的证明(轨迹)

数学1+1

                     尺规三等分任意角的证明(轨迹)
4 \6 o  j2 N& M& k3 T                             苏小光
$ c' t: d2 q; b5 y9 _3 V                          2011年2月22日
     我本无意研究尺规三等分任意角,一旦研究,又收不住手,现对三等分角又给出新的证明.
7 x5 b4 o! j  B! H    公式1:设N为圆心角,R为半径,l_{1}为扇形弧长,则有
           l_{1}=(NR\pi )/180 .
7 A9 n! L% l1 F' l* n  a    公式2:设l_{2}为圆周长,r为半径,则
5 Z, b( K4 x4 P4 U! w1 j           l_{2}=2r\pi .
    定理1 若0<∠BAC<(或等于)360度,则尺规作图可得
3 x1 O# U' \! R            ∠BAG=1/3 ∠BAC
    证明 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=N,则
根据公式1 有
           l_{1}=(NAB\pi )/180
3 D& Y7 U2 m7 f   设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
" L& E( J5 k) |7 k           2r\pi=(NAB\pi )/180
   所以圆半径
/ G2 X6 C& @% C6 \3 U          r=NAB/360,
- L6 z+ h8 F$ {; _5 _& k   在AB的延长线上取点D,使
         r=BD,
   以点D为圆心,以r为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG所以
           ∠BAG=1/3 ∠BAC
! U5 E- V6 p+ h5 h4 Q证毕.
; O7 \: `) m$ T! T    例:∠BAC=60(度),尺规作图,使∠BAG=20(度).
4 u. T, I2 C* f2 a解 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=60(度),
根据公式1 有
# N+ P; f2 n% L; p7 j           l_{1}=(60AB\pi )/180
    设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
1 e% n9 ~( e9 g) t! u          2r\pi=(60AB\pi )/180
     所以圆半径
         r=AB/6,
. j: Z$ H8 M1 L    在AB的延长线上取点D,使
        BD=AB/6
    以点D为圆心,以AB/6为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG.所以
& t! A1 z/ A8 w7 H       ∠BAG=20(度).
: Y# c: L9 b5 ?6 p; W   (附图)

数学1+1

尺规三等分任意角的证明

数学1+1

已知 AB=a,求作 x=(1/6)a.
作图:   作AB=a,在AB的延长线上作BC=6a,作AC的垂线CD=a,连接DB,延长DB交CA的垂线于点E,AE=x,显然
               AE/AB=CD/BC
             x=(a/6a)a=(1/6)a
尺规三等分任意角.
# L  ^- q! I6 l* h

gaoshanliu水

强悍。。。。

六棵槐树

没细看，曾经我也是痴迷于推翻不能三等分的论断，但是失败了～

inRm

做梦都想一鸣惊人，可以理解

羅雲琦

楼主可以写篇论文发表啊，尺规三等分角可是世界难题

yinbaoli

楼主热于思考数学历史中的难题，精神可贵！但是……
尺规作图要求直尺没有刻度，那么请问该怎样做出BD=r呢？
另外，倍立方体、化圆为方、三等分角这三大几何作图难题在近世数学中已被解决，结论是：不可能！
我记得曾经读到过这样一句话，大概说，在群论中，这三大问题已经被作为普通的习题解决掉了……

xxgzftj

数学1+1

答8楼yinbaoli
3 W9 G% z2 @; w+ [4 ~2 C1 e            关于怎样作出 BD=r   
9 }; }( |4 F. N( D( g8 N        由一楼有
1 {% I/ E8 g  x/ @6 @+ j9 X+ Q              r／AB=N／360
        显然有
              r／AB=a／b,
         a,b为正整数。
         在平面上作线段AB,作BA的延长线AC=b× AB  ,作AC的垂线EC=a ×AB ,连接EA,作EA的延长线交AB的垂线BD于点D.
        易证
0 w2 I$ a7 O1 m0 \" |8 n        △ACE∽△ABD，
5 U% t: _7 _- O8 F       所以
       EC／AC＝BD／AB，
     即
1 \, e1 V$ h/ W1 L( a6 W2 y       BD＝(a／b)AB.
     令
       BD=r
     即为所取.
2 G% }( j/ N8 m1 r