尺规三等分任意角的证明(轨迹)

数学1+1

                     尺规三等分任意角的证明(轨迹)
$ R* P: M1 |$ A; J                             苏小光
$ C$ r5 X3 c/ G' T* f                          2011年2月22日
2 N; O: c1 P8 v# s( t  e4 k     我本无意研究尺规三等分任意角,一旦研究,又收不住手,现对三等分角又给出新的证明.
    公式1:设N为圆心角,R为半径,l_{1}为扇形弧长,则有
           l_{1}=(NR\pi )/180 .
2 V) p! H+ U) a    公式2:设l_{2}为圆周长,r为半径,则
           l_{2}=2r\pi .
1 l3 }1 I* l# L! M/ _    定理1 若0<∠BAC<(或等于)360度,则尺规作图可得
            ∠BAG=1/3 ∠BAC
    证明 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=N,则
  H' \2 r% Q# d4 U; k* R$ |# ?根据公式1 有
           l_{1}=(NAB\pi )/180
   设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
- j4 W  I0 }7 V/ |6 k           2r\pi=(NAB\pi )/180
   所以圆半径
9 W' t! S6 p2 l          r=NAB/360,
$ Z4 B! I2 E7 P# ?1 R8 ?   在AB的延长线上取点D,使
         r=BD,
   以点D为圆心,以r为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG所以
4 y0 r  Y; ]& J' m! S6 e           ∠BAG=1/3 ∠BAC
证毕.
4 d- z2 Y6 g% g. j- [    例:∠BAC=60(度),尺规作图,使∠BAG=20(度).
解 以∠BAC一边AB为半径,以A点为圆心作弧BC,设弧BC为l_{1},∠BAC=60(度),
根据公式1 有
& c3 Q" }4 Y  `; h; x           l_{1}=(60AB\pi )/180
    设圆周长 l_{2}=l_{1},根据公式 2,有
6 X3 o, t$ y3 j, t  o) [) {6 Q+ [          2r\pi=(60AB\pi )/180
     所以圆半径
         r=AB/6,
    在AB的延长线上取点D,使
        BD=AB/6
    以点D为圆心,以AB/6为半径,作圆D,用圆规三等分圆周,得三等分点B、E、F,圆D在弧BC上旋转,使点F与点G重合,点E与点H重合,点B与点I 重合,显然弧BG的长等于三分之一l_{1},连接AG.所以
1 d- m0 t( M) ]. i       ∠BAG=20(度).
0 q2 v3 \/ g' E9 ~; p8 p8 g4 I   (附图)

数学1+1

尺规三等分任意角的证明

数学1+1

已知 AB=a,求作 x=(1/6)a.
作图:   作AB=a,在AB的延长线上作BC=6a,作AC的垂线CD=a,连接DB,延长DB交CA的垂线于点E,AE=x,显然
8 {$ w% i# q8 ^/ |3 v) Q               AE/AB=CD/BC
             x=(a/6a)a=(1/6)a
尺规三等分任意角.

gaoshanliu水

强悍。。。。

六棵槐树

没细看，曾经我也是痴迷于推翻不能三等分的论断，但是失败了～

inRm

做梦都想一鸣惊人，可以理解

羅雲琦

楼主可以写篇论文发表啊，尺规三等分角可是世界难题

yinbaoli

楼主热于思考数学历史中的难题，精神可贵！但是……
尺规作图要求直尺没有刻度，那么请问该怎样做出BD=r呢？
另外，倍立方体、化圆为方、三等分角这三大几何作图难题在近世数学中已被解决，结论是：不可能！
' y  m$ x5 `' _: f) P我记得曾经读到过这样一句话，大概说，在群论中，这三大问题已经被作为普通的习题解决掉了……

xxgzftj

数学1+1

答8楼yinbaoli
8 O0 r. _+ C1 v7 l3 i# ?; `: K            关于怎样作出 BD=r   
; }  n- o  B+ {% N* O5 G        由一楼有
7 ^# Y' @% H8 W5 U              r／AB=N／360
$ r, z; P; g8 g" j1 \2 _& C        显然有
. n+ Z! t3 T- r  r% [* l3 V0 G              r／AB=a／b,
         a,b为正整数。
         在平面上作线段AB,作BA的延长线AC=b× AB  ,作AC的垂线EC=a ×AB ,连接EA,作EA的延长线交AB的垂线BD于点D.
  M7 |1 r  a. |" [/ C        易证
        △ACE∽△ABD，
       所以
       EC／AC＝BD／AB，
     即
2 z; N% c  V3 c3 q( {       BD＝(a／b)AB.
     令
6 A+ i8 O; a# ?$ F2 p6 x       BD=r
" Z! d& ?3 b. ~9 D/ W     即为所取.