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关于数学分析的一题，求解

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伟~飘逸

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发表于 2011-3-22 10:09 |只看该作者 |倒序浏览

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求证：设f(x)是区间（a,b）上的严格凸函数，若f(x')是f(x)的一个极值，则f(x')是f(x)的极小值

zan

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gyf2008

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发表于 2011-3-22 11:46 |只看该作者 |招呼Ta 关注Ta

因为f(x)是区间（a,b）上的严格凸函数，所以f(x)在区间（a,b）内二阶导数小于零，所以一阶导数单调递减，又f(x')是f(x)的一个极值，所以f'(x')=0，所以在x‘左边有f'(x')>0,右边f'(x')<0，即f(x)在f(x')左边单增右边单减，所以应是极大值。对不起没能证出极小值。请参考自证。

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madio

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发表于 2011-3-22 11:53 |只看该作者 |招呼Ta 关注Ta |邮箱已经成功绑定

利用严格凸函数的二阶导数大于零，然后极小值的性质一阶导数等于零，再利用展开到二阶的台劳公式直接就可以证明任何一个f(x)都比这个点的函数值大，所以是最小值。

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伟~飘逸

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发表于 2011-3-22 13:40 |只看该作者 |招呼Ta 关注Ta

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晕，题目要证的就是最小值

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发表于 2011-3-22 15:19 |只看该作者 |招呼Ta 关注Ta

一楼的楼主好像是对的，支持一下！

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伟~飘逸

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发表于 2011-3-22 15:45 |只看该作者 |招呼Ta 关注Ta

回复贵州桃李满天下的帖子

不是吧，严格凸函数二阶导是大于零的啊

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发表于 2011-3-22 19:40 |只看该作者 |招呼Ta 关注Ta

既然你诚信诚意的推荐了，那我就勉为其难的听听吧！
数学中国社区分享快乐！

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发表于 2011-3-22 23:01 |只看该作者 |招呼Ta 关注Ta

哈哈，我搞错了，若干年前我学习凹凸函数时，是向上凸的函数称为凸函数，刚刚看了一下书，现在的教材改为了向下凸的称为凸函数。所以把我的证明中的二阶导数小于零改为大于零就可以了。

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gyf2008

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发表于 2011-3-22 23:02 |只看该作者 |招呼Ta 关注Ta

定义在某个开区间C内的凸函数f在C内连续，且在除可数个点之外的所有点可微。如果C是闭区间，那么f有可能在C的端点不连续。　　一元可微函数在某个区间上是凸的，当且仅当它的导数在该区间上单调递减。　　一元连续可微函数在区间上是凸的，当且仅当函数位于所有它的切线的上方：对于区间内的所有x和y，都有f(y) ≥ f(x) + f '(x) (y − x)。特别地，如果f '(c) = 0，那么c是f(x)的最小值。　　一元二阶可微的函数在区间上是凸的，当且仅当它的二阶导数是非负的；这可以用来判断某个函数是不是凸函数。如果它的二阶导数是正数，那么函数就是严格凸的，但反过来不成立。例如，f(x) = x4的二阶导数是f "(x) = 12 x2，当x = 0时为零，但x4是严格凸的。　　更一般地，多元二次可微的连续函数在凸集上是凸的，当且仅当它的黑塞矩阵在凸集的内部是正定的。　　凸函数的任何极小值也是最小值。严格凸函数最多有一个最小值。　　对于凸函数f，水平子集{x | f(x) < a}和{x | f(x) ≤ a}（a ∈ R）是凸集。然而，水平子集是凸集的函数不一定是凸函数；这样的函数称为拟凸函数。