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我们都认为数学家应该努力创造好数学。
$ S0 i' Q8 j$ {" K6 [ 但 “好数学” 该如何定义? 甚至是否该斗胆试图加以定义呢?
我从其他地方发现有人总结出了如下也许可以称之为是“好数学”的列表 。我们可以借鉴或者讨论甚至质疑这个总结性的工作,同时也从中吸收到一点好的东西。 比如, “好数学” 可以指 (不分先后顺序): 好的数学题解 (比如在一个重要数学问题上的重大突破); 好的数学技巧 (比如对现有方法的精湛运用, 或发展新的工具); 好的数学理论 (比如系统性地统一或推广一系列现有结果的概念框架或符号选择); 好的数学洞察 (比如一个重要的概念简化, 或对一个统一的原理、 启示、 类比或主题的实现); 好的数学发现 (比如对一个出人意料、 引人入胜的新的数学现象、 关联或反例的揭示); 好的数学应用 (比如应用于物理、 工程、 计算机科学、 统计等领域的重要问题, 或将一个数学领域的结果应用于另一个数学领域); 好的数学展示 (比如对新近数学课题的详尽而广博的概览, 或一个清晰而动机合理的论证); 好的数学教学 (比如能让他人更有效地学习及研究数学的讲义或写作风格, 或对数学教育的贡献); 好的数学远见 (比如富有成效的长远计划或猜想); 好的数学品味 (比如自身有趣且对重要课题、 主题或问题有影响的研究目标); 好的数学公关 (比如向非数学家或另一个领域的数学家有效地展示数学成就); 好的元数学 (比如数学基础、 哲学、 历史、 学识或实践方面的进展); [译者注: 此处 “元数学” 译自 “meta-mathematics”, 不过这里所举的有些内容, 如历史、 实践等, 通常并不属于元数学的范畴。 严密的数学 (所有细节都正确、 细致而完整地给出); 美丽的数学 (比如 Ramanujan 的令人惊奇的恒等式; 陈述简单漂亮, 证明却很困难的结果); 优美的数学 (比如 Paul Erd?s 的 “来自天书的证明” 观念; 通过最少的努力得到困难的结果); [译者注: “来自天书的证明” 译自 “proofs from the Book”。 Paul Erd?s 喜欢将最优美的数学证明说成是来自 “The Book” (我将之译为 “天书”), 他有这样一句名言: 你不一定要相信上帝, 但应该相信 “The Book”。 Erd?s 去世后的第三年, 即 1998 年, Martin Aigner 和 Günter M. Ziegler 以《来自天书的证明》为书名出版了一本书, 收录了几十个优美的数学证明, 以纪念 Erd?s。 创造性的数学 (比如本质上新颖的原创技巧、 观点或各类结果); 有用的数学 (比如会在某个领域的未来工作中被反复用到的引理或方法); 强有力的数学 (比如与一个已知反例相匹配的敏锐的结果, 或从一个看起来很弱的假设推出一个强得出乎意料的结论); 深刻的数学 (比如一个明显非平凡的结果, 比如理解一个无法用更初等的方法接近的微妙现象); 直观的数学 (比如一个自然的、 容易形象化的论证); 明确的数学 (比如对某一类型的所有客体的分类;# ?0 e8 n" _. ^# B N5 J/ c
对一个数学课题的结论);+ ]4 R M/ u. V% h p
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7 L4 {) d8 T s1 q( D欢迎讨论和评价!有你的参与,“好数学”会层出不穷地涌现。( y. j4 Q% j. P$ C7 c
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