抽象代数中关于群的问题，求高手帮忙！

lilianjie

康斯丁 发表于 2011-12-30 23:59
虽然我还是不太懂，不过既然你这么认真的回复我，我还是把它作为最佳答案，我也会再复习一下这部分内容， ...

4 O, S% @6 |9 @# @2 b+ R$ ^丘唯声的书上有你这题

1 K; p$ ]9 s0 R* _7 y; k3 T群作用是表示论的一道坎，表示论最好从晶体群学，从抽像符号化去学不是路，然后再看你的题就是个符号化去定义一种群和子群简单性质问题
' a" P5 b/ o3 J' f0 L4 W9 `
其实你的题就是共轭子群闭包定义问题，gGg^1是共轭子群定义，共轭子群全都正规子群，

只有母群也是正规群（交换群），母群的所有正规子群才能并出母群，就是说S而gGg^1是母群（正规群）的真极大正规子群
/ L/ a% r! o' v
/ ~* E' J- d$ I母群要是非交换群，共轭子群全是正规子群，gGg^1中的g要是属于S，你的题很自然对，g要是不属于S的其它G元素，gGg^1一样只能还落入正规子群，共轭子群就有这特性

lilianjie

对着S4群表看下面就能懂了，我曾把26字母乘群表带身上2月多
1 k* L5 c+ X! H3 Y# e
S4 := Sym({ "a", "b", "c", "d" });
1 r, T! `+ m8 i( A> S4;
' k9 V1 s4 v2 H8 JGenerators(S4);
IsAbelian(S4);不是交换群
* ~& [/ c& m; eSubgroups(S4: Al := "All") ;列出所有子群
Subgroups(S4: Al := "Maximal") ;列出所有极大子群
# ~% v- l9 f$ ~# v. Q% X1 v
3 h( u% q3 n+ K% U* u4 r( ZSubgroupClasses(S4);

1 o# D* {3 E; E, C1 U; U- W6 M) T- oNormalSubgroups(S4);
  s) Z2 O5 `4 s+ I, jAbelianSubgroups(S4) ;
MaximalSubgroups(S4) ;

" U9 h8 B0 ]& r# o+ A! ^& e5 jSubgroupLattice(S4);成格，你可画下这群包扩子群的图
! M: |3 P8 _+ x9 `. j
* y* o  S) M; k3 ?GSet(S4);
8 H. W/ [3 E7 @5 J: nConjugacyClasses(S4);
- ]7 D5 V, x' J5 p% oNumberOfClasses(S4) ; 5类
% g: I4 T! K9 J; V/ K7 @1 w  v
Symmetric group S4 acting on a set of cardinality 4
Order = 24 = 2^3 * 3
9 u7 B* l+ g% m% _{
, b% u# d' X2 T0 v1 d    (c, b, a, d),
  V) T5 T! n: I    (c, b)
}                               两生成元
false
: W2 u/ n  Z) `5 e2 |- H. s* A' o, c: VConjugacy classes of subgroups     子群共扼类
% n6 W3 R8 x6 v6 N6 f7 m------------------------------
$ v$ A/ I5 O- [
[ 1]    Order 1            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 1
2 r9 R3 ^2 `" N: s! {7 }5 c2 Q+ T[ 2]    Order 2            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 2
6 D1 y9 O+ Q3 t+ F+ E            (c, d)(b, a)
[ 3]    Order 2            Length 6
* K. C9 D; J" w3 Q; |9 s        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 2
            (a, d)
% X0 k7 y. m& q( x7 f7 m( m9 U[ 4]    Order 3            Length 4
7 v3 m- d. S; Q        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 3
            (b, a, d)
[ 5]    Order 4            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
* ^$ E0 v  I) Y& ?) Q, E; Y5 V. a            (c, d)(b, a)
& F- z3 G0 N! {2 J2 R            (c, a)(b, d)
9 A! }& k! g# ?  v[ 6]    Order 4            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
+ F3 v. s$ N* u1 C" q/ J        Order = 4 = 2^2
9 Z* }. F& H& p9 e; Z            (c, d, b, a)
) b) L2 a* n) t# f' R0 `- S: W# M# p            (c, b)(a, d)
& c. E+ U6 e* D, e7 O[ 7]    Order 4            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
            (a, d)
3 o. ]8 D7 j6 x            (c, b)(a, d)
$ o6 @0 q4 U! ]8 @[ 8]    Order 6            Length 4
% T- ?( ~4 k9 Q6 T) v' P        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 6 = 2 * 3
1 o" |. l* ?; b. s" L& `/ n6 H            (a, d)
            (b, a, d)
[ 9]    Order 8            Length 3
% |+ O* c- K& u0 @( i( {        Permutation group acting on a set of cardinality 4
, \6 r' h8 C+ A& l. ^        Order = 8 = 2^3
& U7 U6 V) O" D. Z5 E            (a, d)
- w8 ?5 ^$ L) q, E1 e: |. P2 S            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
: @) `! \. J# J: X, l[10]    Order 12           Length 1
; K5 u: s9 ]4 d- ]1 A2 q        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 12 = 2^2 * 3
            (b, a, d)
            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
[11]    Order 24           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 24 = 2^3 * 3
            (a, d)
            (b, a, d)
            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
2 f5 k* _2 l  C! MConjugacy classes of subgroups
9 s$ |* r$ r9 {- {------------------------------
' U- l) Y8 o' |4 {7 x% f# l' I3 @
, `1 Z* x5 v: e( @3 L% {2 E/ r: |& \[1]     Order 6            Length 4
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 6 = 2 * 3
5 m* Z% a0 q; F4 X/ C8 g            (a, d)
            (b, a, d)
[2]     Order 8            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 8 = 2^3
            (a, d)
6 w0 n, s  l4 n            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
7 m: A) T2 a$ h4 ~8 ^5 x[3]     Order 12           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 12 = 2^2 * 3
' ~+ Z2 ^! [% h( l7 I+ k            (b, a, d)
7 t8 P& v% c. J9 O# K0 R- A            (c, d)(b, a)
5 O# U. N. j! E            (c, a)(b, d)
Conjugacy classes of subgroups
------------------------------

[ 1]    Order 1            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
& i% ?7 c) `( q  s* a        Order = 1
[ 2]    Order 2            Length 3
% _2 N/ ~2 I$ h, E% A3 V, q$ K; ~        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 2
            (c, d)(b, a)
; W" o' Z" ]4 ~' ?  a[ 3]    Order 2            Length 6
; I3 G2 c  E+ ^( D8 }* n4 V. \$ r        Permutation group acting on a set of cardinality 4
, D0 u. y' K. ~' M        Order = 2
* w; P0 V0 [2 X1 X) p7 W7 h            (a, d)
% I+ s! e# ~+ \5 r/ h[ 4]    Order 3            Length 4
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 3
! S. L* `% B/ H! V& b            (b, a, d)
[ 5]    Order 4            Length 1
& ]- l+ D0 K/ F" |% W6 ~- {. q        Permutation group acting on a set of cardinality 4
" h! T8 n$ R1 _; I. n" {        Order = 4 = 2^2
            (c, d)(b, a)
0 `3 c- V2 w# y9 }( e; a: K            (c, a)(b, d)
[ 6]    Order 4            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
. z) N0 z1 O% y        Order = 4 = 2^2
            (c, d, b, a)
            (c, b)(a, d)
[ 7]    Order 4            Length 3
; P# c# Q5 s6 R( t- F        Permutation group acting on a set of cardinality 4
- o& W/ V, i7 g; _        Order = 4 = 2^2
            (a, d)
            (c, b)(a, d)
[ 8]    Order 6            Length 4
$ b8 g0 S; l. P        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 6 = 2 * 3
8 m/ p% o3 J4 p. o; W' g, l( g            (a, d)
1 Z! _) x" u; ]- L            (b, a, d)
[ 9]    Order 8            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 8 = 2^3
            (a, d)
            (c, d)(b, a)
( C, H  T7 m' S9 O; v            (c, a)(b, d)
[10]    Order 12           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
' r9 C+ Z  [4 @2 P( f+ _& \! M* h        Order = 12 = 2^2 * 3
            (b, a, d)
8 `1 L) F% l9 z. D) ?: r            (c, d)(b, a)
2 }$ u$ `( D7 s* _6 n            (c, a)(b, d)
[11]    Order 24           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 24 = 2^3 * 3
/ r" y/ Z( F% m+ Z            (a, d)
            (b, a, d)
9 Q- P3 O0 W4 \& R! Y, k. ^            (c, d)(b, a)
5 v% B0 \2 T) k8 i            (c, a)(b, d)
2 [( ?  k8 }2 o- w7 o: I/ dConjugacy classes of subgroups
& G" @) n/ B- e" W------------------------------
8 d# `0 u4 M3 W
[1]     Order 1            Length 1
4 x- K* \! ^6 J7 v8 F6 m1 a        Permutation group acting on a set of cardinality 4
! X& s+ C  @3 Z4 N        Order = 1
[2]     Order 4            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
/ \' L+ Y9 E" g8 q: O1 y        Order = 4 = 2^2
+ H1 Q$ a4 L3 X% T            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
[3]     Order 12           Length 1
: G! x' {  |) D$ M        Permutation group acting on a set of cardinality 4
) x; `8 F* a5 ?' a  L        Order = 12 = 2^2 * 3
# Q' n3 S# j0 @            (b, a, d)
* w; c. z  U+ q& [            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
+ y1 ~: Q  C1 j, t( i[4]     Order 24           Length 1
! I- z: Z( H( L5 f4 |        Permutation group acting on a set of cardinality 4
# B" u5 q5 D0 |/ }1 }2 u  |" |  V. Y        Order = 24 = 2^3 * 3
            (a, d)
            (b, a, d)
5 Y. ?: k$ \% k0 _            (c, d)(b, a)
; P& v# N3 u9 d# J            (c, a)(b, d)
Conjugacy classes of subgroups
------------------------------
+ @  j# j4 C& d# [- S/ {
[1]     Order 1            Length 1
& q6 \4 V. }9 E; N9 ?6 C! w  n        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 1
# n, p) h& r3 G3 n+ l% ~2 [/ C[2]     Order 2            Length 3
7 H) g1 }# {  C. V3 ]3 b        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 2
            (c, d)(b, a)
* k- h% F2 s& X  E% v: D5 i[3]     Order 2            Length 6
1 ?- i' e# G9 f$ `9 M        Permutation group acting on a set of cardinality 4
( P5 s5 t# O9 c        Order = 2
            (a, d)
[4]     Order 3            Length 4
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 3
" c3 a4 x  N3 P/ q3 g# K            (b, a, d)
[5]     Order 4            Length 1
# G& l) f( e6 p8 a" G$ `. P        Permutation group acting on a set of cardinality 4
9 v9 l, t$ a1 [        Order = 4 = 2^2
: Q7 `$ ?' j  {; Y) f. k: ~7 V            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
[6]     Order 4            Length 3
: D: K+ Y* r4 h9 t2 i  u- ]        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
            (c, d, b, a)
- P3 A; ~! d; }5 S5 A            (c, b)(a, d)
[7]     Order 4            Length 3
, `6 E: x# S; E" ?* a. J" G        Permutation group acting on a set of cardinality 4
1 u* X/ @% Y; W0 F8 `* j        Order = 4 = 2^2
            (a, d)
; O- ~8 e& A3 J' v, O            (c, b)(a, d)
Conjugacy classes of subgroups
* H. i, a( H, p+ I/ r1 ^' [------------------------------
1 Z: U! S) G1 L+ Q
2 |" V1 t+ @4 l$ R5 k[1]     Order 6            Length 4
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 6 = 2 * 3
3 z; R% ~( q- Y4 C            (a, d)
9 L( p9 W$ o7 Y$ z# u+ l9 F            (b, a, d)
[2]     Order 8            Length 3
" u0 z! m/ I2 y* n; J+ o9 h, `1 Y        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 8 = 2^3
+ d* l, Z4 \: Q3 }! {7 m9 Z0 u            (a, d)
9 {/ @6 s; E* y: D+ ~8 P3 p            (c, d)(b, a)
7 A( W6 b1 v) ?            (c, a)(b, d)
" ]2 E; L* u! \[3]     Order 12           Length 1
5 m3 y1 Y. s+ n* }  E. H        Permutation group acting on a set of cardinality 4
) L# h8 a4 J. z9 g. k        Order = 12 = 2^2 * 3
            (b, a, d)
& C4 _7 J. b8 g            (c, d)(b, a)
' U" m( L3 a$ N5 b+ e            (c, a)(b, d)

% x" j$ W) f+ v: E5 j# wPartially ordered set of subgroup classes
" d( A% q6 D) T8 m* z" G-----------------------------------------
% \2 c; p; w) M: Z
' B; M* t& r# M" C[11]  Order 24  Length 1  Maximal Subgroups: 8 9 10
---
5 c% A: I3 y! L1 }/ U$ o[10]  Order 12  Length 1  Maximal Subgroups: 4 5
0 p2 m+ N0 o+ G3 c4 V8 l2 a! W[ 9]  Order 8   Length 3  Maximal Subgroups: 5 6 7
  ?' m: n# l) E" a  n( a. R' o---
[ 8]  Order 6   Length 4  Maximal Subgroups: 3 4
[ 7]  Order 4   Length 3  Maximal Subgroups: 2
$ l# J+ s, z' P2 E. r$ a7 c! y; V[ 6]  Order 4   Length 3  Maximal Subgroups: 2 3
6 O  S* ]' s6 ~0 s/ p[ 5]  Order 4   Length 1  Maximal Subgroups: 2
$ k6 T2 [1 P" c5 y---
[ 4]  Order 3   Length 4  Maximal Subgroups: 1
[ 3]  Order 2   Length 6  Maximal Subgroups: 1
[ 2]  Order 2   Length 3  Maximal Subgroups: 1
---
) V. ~) ?1 N1 k6 M0 {' E* |2 o+ y[ 1]  Order 1   Length 1  Maximal Subgroups:
9 [" g' l3 o6 B: r' @
8 {) s( m, F. n# F2 Q$ `- c! yGSet{@ c, b, a, d @}
7 b( J6 i9 Q$ l4 eConjugacy Classes of group S4
- y- u8 x0 I# c+ n+ o-----------------------------
. V5 w3 K) v# O" ~* K. ]- x[1]     Order 1       Length 1      
+ m- D6 j+ T* A; Y: B0 j7 ^! h- M# q: d        Rep Id(S4)
9 m4 L) g8 S9 b; O
8 Z5 b  K& r* _' O' H6 j[2]     Order 2       Length 3      
        Rep (c, b)(a, d)
! ]" X7 `+ _, D, ~5 p6 q9 S! g( Z3 w4 P
[3]     Order 2       Length 6      
        Rep (c, b)
" m: p: u# _! V5 F
% n/ B2 ?9 r, W* `6 x5 L8 z4 j7 c2 [[4]     Order 3       Length 8      
2 h9 p  ?& \6 g! E. y. q        Rep (c, b, a)
  n$ n9 ~9 @1 T) N
[5]     Order 4       Length 6      
2 \0 W) r1 ^! a! N5 Z8 G        Rep (c, b, a, d)
. W. |( s' o1 r

" z0 f) c9 `  _1 D( D5

lilianjie

        <row>0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23</row>
, n6 r& ~6 h6 p: z9 }6 q        <row>1 15 17 16 3 0 12 11 6 18 13 21 9 7 22 2 23 5 20 10 8 19 4 14</row>
        <row>2 17 0 14 23 15 18 19 9 8 11 10 20 21 3 5 22 1 6 7 12 13 16 4</row>
  ]+ k  e, I. y8 P( i0 x0 c        <row>3 4 14 0 1 16 11 12 21 13 18 6 7 9 2 22 5 23 10 20 19 8 15 17</row>
! S6 ^  r/ D& Y& m& `$ d& ?1 }        <row>4 22 23 5 0 3 7 6 11 10 9 8 13 12 15 14 17 16 19 18 21 20 1 2</row>
        <row>5 0 15 4 22 17 8 13 20 12 19 7 6 10 23 1 3 2 9 21 18 11 14 16</row>
        <row>6 12 18 11 7 8 0 4 5 15 14 3 1 22 10 9 21 20 2 23 17 16 13 19</row>
        <row>7 13 19 8 6 11 4 0 3 14 15 5 22 1 9 10 20 21 23 2 16 17 12 18</row>
        <row>8 6 9 7 13 20 5 22 17 1 23 4 0 14 19 12 11 18 15 16 2 3 10 21</row>
: ~+ j. X  k* a$ _6 d        <row>9 18 8 19 21 12 15 16 1 17 4 23 2 3 7 20 10 6 5 22 0 14 11 13</row>
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lilianjie

( B" J; Y. [) D! l- v' p

lilianjie 发表于 2012-1-1 13:18
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2 q& A# H* \$ i6 y* l9 k' T1231231234

康斯丁

lilianjie 发表于 2012-1-1 13:19
" Z% ?+ @" Z# W1231231234

大师啊。。。。。你太厉害了！

lilianjie

过奖过奖！还在路上！

xxgzftj

xixiai10jk

上次听谁说过这个。。好像有点忘了。想想。
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