抽象代数中关于群的问题，求高手帮忙！

lilianjie

康斯丁 发表于 2011-12-30 23:59
4 Q6 o4 E- |. \6 R6 {( h; ~虽然我还是不太懂，不过既然你这么认真的回复我，我还是把它作为最佳答案，我也会再复习一下这部分内容， ...

3 I, C4 C% M" Y* }; g丘唯声的书上有你这题
( A8 H. L3 v* J2 e( n/ z: w7 N
群作用是表示论的一道坎，表示论最好从晶体群学，从抽像符号化去学不是路，然后再看你的题就是个符号化去定义一种群和子群简单性质问题

其实你的题就是共轭子群闭包定义问题，gGg^1是共轭子群定义，共轭子群全都正规子群，
6 G3 |) j7 X" q% ~' s7 }/ w2 C% |( X
4 o3 a8 o" j% q# t! D  q只有母群也是正规群（交换群），母群的所有正规子群才能并出母群，就是说S而gGg^1是母群（正规群）的真极大正规子群

母群要是非交换群，共轭子群全是正规子群，gGg^1中的g要是属于S，你的题很自然对，g要是不属于S的其它G元素，gGg^1一样只能还落入正规子群，共轭子群就有这特性

lilianjie

对着S4群表看下面就能懂了，我曾把26字母乘群表带身上2月多
- r) v, \3 D8 y& G4 i
S4 := Sym({ "a", "b", "c", "d" });
> S4;
Generators(S4);
IsAbelian(S4);不是交换群
% k: W; I/ g% U4 h: i( M, h! USubgroups(S4: Al := "All") ;列出所有子群
Subgroups(S4: Al := "Maximal") ;列出所有极大子群

SubgroupClasses(S4);

NormalSubgroups(S4);
AbelianSubgroups(S4) ;
. I. `% X# V' F1 ?- P3 vMaximalSubgroups(S4) ;

SubgroupLattice(S4);成格，你可画下这群包扩子群的图

1 ]% I, z, V- `+ y3 Q5 ]5 EGSet(S4);
/ C" B% f% Q/ G$ g& j' e/ D1 H9 ]! lConjugacyClasses(S4);
NumberOfClasses(S4) ; 5类
! o3 K( w, d: d$ F' l- P
8 |; l- u9 F5 H/ L, zSymmetric group S4 acting on a set of cardinality 4
Order = 24 = 2^3 * 3
. x! \& \  W2 |. w3 v  D3 ~{
    (c, b, a, d),
    (c, b)
}                               两生成元
" ?2 l& C1 k' l! P8 z- ifalse
6 l5 m3 V% c! g0 E% g5 G8 ^Conjugacy classes of subgroups     子群共扼类
------------------------------
' N! I# s$ d) }+ b: x
[ 1]    Order 1            Length 1
* y0 P- w. M# i7 H7 S8 x        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 1
2 w2 b7 Z# K  d) y[ 2]    Order 2            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
( F2 H: b! g# L( r5 z, `! Z4 S        Order = 2
$ Q0 {5 I5 P8 {            (c, d)(b, a)
9 K) O0 q- j3 M5 _& v' G# A[ 3]    Order 2            Length 6
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 2
            (a, d)
& ?! `+ A- U" |7 T[ 4]    Order 3            Length 4
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 3
            (b, a, d)
[ 5]    Order 4            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
2 d- T5 r) `4 d5 H  w" }- E            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
0 L, P* H$ C9 P! |8 n; ~8 u* Z8 d[ 6]    Order 4            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
& b: O: y$ S) L$ J        Order = 4 = 2^2
            (c, d, b, a)
( W: s5 D, s% S            (c, b)(a, d)
[ 7]    Order 4            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
' M. ^- J9 ^5 q0 X" x. L5 B$ [        Order = 4 = 2^2
            (a, d)
3 ]) o( p# C, |# R# n8 D! u4 P            (c, b)(a, d)
[ 8]    Order 6            Length 4
6 _/ \6 Q+ b( A" n! U9 B5 Q        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 6 = 2 * 3
' c+ G+ z' R- @            (a, d)
0 @5 B6 p" g5 T. C1 i4 K            (b, a, d)
! o. l, p3 h0 M! \- Z6 O[ 9]    Order 8            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 8 = 2^3
            (a, d)
            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
0 m# P( P8 e, ]2 M8 _3 H[10]    Order 12           Length 1
' M' q  g0 c; I& u% w0 A! l+ c        Permutation group acting on a set of cardinality 4
9 M. R( _! d2 }8 Z+ Q) ^. _6 W        Order = 12 = 2^2 * 3
" T. s1 @2 I2 t2 h            (b, a, d)
) l5 k' f3 D1 ~; f            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
" q" G) w8 l4 }1 \. d[11]    Order 24           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 24 = 2^3 * 3
8 s/ u( f7 C: u! |8 b5 Y& }            (a, d)
" U( H* p1 X) z/ n: I            (b, a, d)
' o3 i$ V8 i- f            (c, d)(b, a)
5 m2 q6 p1 \+ u# k& ~) y            (c, a)(b, d)
Conjugacy classes of subgroups
! C, c) L) z4 k, B- l7 h------------------------------
8 [* u/ b( D. ?) d* M+ N
[1]     Order 6            Length 4
* v0 i$ E6 M0 l/ z: u; l        Permutation group acting on a set of cardinality 4
" \4 L# f! T/ _        Order = 6 = 2 * 3
$ X# L$ l. f. e# A8 g            (a, d)
! D( K3 G6 A" n% [, J3 m2 G            (b, a, d)
[2]     Order 8            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
6 z$ q- y- U6 P! h1 T3 q        Order = 8 = 2^3
( |% H" K3 h; ~            (a, d)
            (c, d)(b, a)
5 G* m; v0 ~1 j" x            (c, a)(b, d)
" p/ h5 c+ w8 l5 a( F; X[3]     Order 12           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 12 = 2^2 * 3
            (b, a, d)
            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
. U3 I; t$ }, _# B& V8 _Conjugacy classes of subgroups
, u' `: i& j& {------------------------------

[ 1]    Order 1            Length 1
) r! Z) |4 J5 X3 X) o9 t1 T        Permutation group acting on a set of cardinality 4
( b' \" B( W% f4 Y. R- k        Order = 1
[ 2]    Order 2            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
7 V% }4 t" k' Z7 E) q1 V        Order = 2
$ X# P. [3 M& R5 L  t8 Q            (c, d)(b, a)
* H! X: H& c/ ?* l4 E- d[ 3]    Order 2            Length 6
0 W! k9 M3 a' a+ @% x        Permutation group acting on a set of cardinality 4
; R" P' I7 X/ p& W9 N& V        Order = 2
, K! ~" A$ E& W- C. R* `            (a, d)
[ 4]    Order 3            Length 4
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
* B2 j$ r' ^& q) ?- Q        Order = 3
' G& B. f7 U; Q: ?            (b, a, d)
[ 5]    Order 4            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
[ 6]    Order 4            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
+ W5 z  G( S1 l" F+ ?4 u            (c, d, b, a)
            (c, b)(a, d)
[ 7]    Order 4            Length 3
( E( l/ o# J6 @8 J3 J        Permutation group acting on a set of cardinality 4
3 g, {+ E. _/ D5 Z        Order = 4 = 2^2
# W: ]& h) M! w- ^3 M# l            (a, d)
/ s- V$ ~2 _* o4 K% W' y            (c, b)(a, d)
[ 8]    Order 6            Length 4
3 @. o, _0 `9 X        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 6 = 2 * 3
            (a, d)
            (b, a, d)
[ 9]    Order 8            Length 3
; k8 G; |+ d+ N. R  L2 V0 t        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 8 = 2^3
" J% K9 l8 }9 |: n            (a, d)
* |( W" G! c* I. n9 ]3 K2 A            (c, d)(b, a)
- I' Z' H, v0 C* ]/ D. h            (c, a)(b, d)
[10]    Order 12           Length 1
& M% _7 Y5 O: E. j0 R        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 12 = 2^2 * 3
  i, i& E% B' I4 o. Z( }            (b, a, d)
) |5 |' l- h3 X            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
[11]    Order 24           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
' O" p% ]. M  F5 x! G: B; ]        Order = 24 = 2^3 * 3
            (a, d)
            (b, a, d)
            (c, d)(b, a)
) C% I! F/ U9 ]: R% E$ K/ M            (c, a)(b, d)
" ~. X* O9 R' }9 N" p/ xConjugacy classes of subgroups
------------------------------

[1]     Order 1            Length 1
5 D  d6 L  y2 Y" U/ Z" x9 ~        Permutation group acting on a set of cardinality 4
; `7 L4 H# \7 E. e' C        Order = 1
0 p, f! B/ f  u( v3 ]! ^. J0 q[2]     Order 4            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
/ j( d8 q1 |0 G( F            (c, d)(b, a)
7 l1 P9 A# A- P9 R* O1 r            (c, a)(b, d)
[3]     Order 12           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
) y! m8 d! x. A' [+ U% r        Order = 12 = 2^2 * 3
            (b, a, d)
4 ~  I. Z1 w* b% h0 {) p            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
/ Q  {" k8 c+ ], N, `- y' d) o[4]     Order 24           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 24 = 2^3 * 3
            (a, d)
            (b, a, d)
. u7 T4 {! }& @9 J2 c5 H' J            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
2 X. L( `* x* A# l  v, Y. pConjugacy classes of subgroups
" q$ m/ }; ^) m& n------------------------------

" F1 q! P  e  P2 ^  l[1]     Order 1            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
5 U4 _: U2 e/ d        Order = 1
[2]     Order 2            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
0 @: f" f7 J' p1 A9 [7 q        Order = 2
            (c, d)(b, a)
/ {4 O: [) a) G# ][3]     Order 2            Length 6
" X$ m0 Y: o* N' J3 O9 x        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 2
) G  H& N% r5 w1 c; j            (a, d)
' f# A9 j  ]( O: `+ {[4]     Order 3            Length 4
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 3
            (b, a, d)
[5]     Order 4            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
            (c, d)(b, a)
/ G0 I, t  e$ Q- e* ?1 b            (c, a)(b, d)
! T! T: B# ^& Q- C5 |- y5 c- f[6]     Order 4            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
            (c, d, b, a)
            (c, b)(a, d)
% U: O# f, T( N% Y( H[7]     Order 4            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
            (a, d)
            (c, b)(a, d)
Conjugacy classes of subgroups
8 R! L* `8 g' g2 M3 I# ?------------------------------
  V8 B& |- |# I
; G$ h. d8 y$ S7 o) k+ w3 o[1]     Order 6            Length 4
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 6 = 2 * 3
9 f; J/ ?" i- F" w8 w2 M+ m            (a, d)
" ?, k! ^& S- V; F/ i0 d0 ?            (b, a, d)
[2]     Order 8            Length 3
5 ~$ r& e- D+ Z7 j. x, S        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 8 = 2^3
            (a, d)
) ]2 S9 P/ Y% O" t0 Q            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
[3]     Order 12           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
* Y* a; T+ `: w, h. ]        Order = 12 = 2^2 * 3
/ F+ y* U% X/ Y4 r8 F; k- u            (b, a, d)
! _' x9 x, L6 X' _5 |; [% |            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)

) t. }0 T# y2 K5 z3 cPartially ordered set of subgroup classes
, |* z. u! Y1 f3 L1 s" k0 Q-----------------------------------------
7 J9 o2 _2 g" r3 G: g4 t
[11]  Order 24  Length 1  Maximal Subgroups: 8 9 10
---
[10]  Order 12  Length 1  Maximal Subgroups: 4 5
[ 9]  Order 8   Length 3  Maximal Subgroups: 5 6 7
---
, a: q+ ]2 j" h9 o6 n' p[ 8]  Order 6   Length 4  Maximal Subgroups: 3 4
[ 7]  Order 4   Length 3  Maximal Subgroups: 2
[ 6]  Order 4   Length 3  Maximal Subgroups: 2 3
[ 5]  Order 4   Length 1  Maximal Subgroups: 2
0 D; {. K9 N0 l- x---
% J6 L+ M  M- @[ 4]  Order 3   Length 4  Maximal Subgroups: 1
7 ~% r3 S6 B& B- H9 H1 T[ 3]  Order 2   Length 6  Maximal Subgroups: 1
[ 2]  Order 2   Length 3  Maximal Subgroups: 1
( k9 `  N) r2 I---
! h; g: @* C7 K" U- H[ 1]  Order 1   Length 1  Maximal Subgroups:
2 ^8 i' k( J' b' W# z+ h
GSet{@ c, b, a, d @}
5 ^4 e, t% N- [; N( PConjugacy Classes of group S4
) K! g) O: H6 x1 ~5 ?. M4 T-----------------------------
[1]     Order 1       Length 1      
9 M! `5 Q; J0 C5 ~; x' J        Rep Id(S4)

[2]     Order 2       Length 3      
! p4 f; C- R' c0 y        Rep (c, b)(a, d)

3 t+ i& V) K9 J, m8 F. O[3]     Order 2       Length 6      
' K9 W6 E0 \) U2 A8 j9 z        Rep (c, b)
! H' I% L& |1 n' V4 O3 X' r% g: m
[4]     Order 3       Length 8      
% ?+ }, {5 m. e        Rep (c, b, a)
5 p. y2 k: n  W2 R& w
- {5 y* L/ }+ ]5 w[5]     Order 4       Length 6      
        Rep (c, b, a, d)
+ _; {3 W8 m) O! x  C

- r/ I/ J5 q" K* k* X: u5

lilianjie

        <row>0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23</row>
        <row>1 15 17 16 3 0 12 11 6 18 13 21 9 7 22 2 23 5 20 10 8 19 4 14</row>
. G1 a+ l& d# T        <row>2 17 0 14 23 15 18 19 9 8 11 10 20 21 3 5 22 1 6 7 12 13 16 4</row>
. M- s% F  O. y1 [3 J8 e3 @        <row>3 4 14 0 1 16 11 12 21 13 18 6 7 9 2 22 5 23 10 20 19 8 15 17</row>
9 X# B( K- E9 R        <row>4 22 23 5 0 3 7 6 11 10 9 8 13 12 15 14 17 16 19 18 21 20 1 2</row>
        <row>5 0 15 4 22 17 8 13 20 12 19 7 6 10 23 1 3 2 9 21 18 11 14 16</row>
( C9 d% T# t) m+ i& |/ H        <row>6 12 18 11 7 8 0 4 5 15 14 3 1 22 10 9 21 20 2 23 17 16 13 19</row>
$ \7 F9 W* ~; f' _6 Z$ L0 t1 {8 [        <row>7 13 19 8 6 11 4 0 3 14 15 5 22 1 9 10 20 21 23 2 16 17 12 18</row>
        <row>8 6 9 7 13 20 5 22 17 1 23 4 0 14 19 12 11 18 15 16 2 3 10 21</row>
+ K9 x! y) I4 }1 a, i        <row>9 18 8 19 21 12 15 16 1 17 4 23 2 3 7 20 10 6 5 22 0 14 11 13</row>
        <row>10 19 11 18 20 13 14 17 22 16 0 2 23 5 6 21 9 7 3 1 4 15 8 12</row>
        <row>11 7 10 6 12 21 3 1 16 22 2 0 4 15 18 13 8 19 14 17 23 5 9 20</row>
. N( k7 x5 b, |3 Y' d# \5 R% h" a. A        <row>12 9 20 21 11 6 1 3 0 2 22 16 15 4 13 18 19 8 17 14 5 23 7 10</row>
4 p# k  M7 I8 V+ h( T/ h) R5 N        <row>13 10 21 20 8 7 22 5 4 23 1 17 14 0 12 19 18 11 16 15 3 2 6 9</row>
3 ~' v% i2 G+ y* y        <row>14 23 3 2 17 22 10 20 13 21 6 18 19 8 0 16 15 4 11 12 7 9 5 1</row>
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lilianjie

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lilianjie 发表于 2012-1-1 13:18
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康斯丁

lilianjie 发表于 2012-1-1 13:19
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大师啊。。。。。你太厉害了！
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lilianjie

过奖过奖！还在路上！

xxgzftj

xixiai10jk

上次听谁说过这个。。好像有点忘了。想想。

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