抽象代数中关于群的问题，求高手帮忙！

lilianjie

康斯丁 发表于 2011-12-30 23:59
虽然我还是不太懂，不过既然你这么认真的回复我，我还是把它作为最佳答案，我也会再复习一下这部分内容， ...

' g+ H% [! t+ C6 P1 o丘唯声的书上有你这题
# i! I2 k' u( R. J( Y9 D  o& u
$ u4 r, X8 q: S1 P" B1 }群作用是表示论的一道坎，表示论最好从晶体群学，从抽像符号化去学不是路，然后再看你的题就是个符号化去定义一种群和子群简单性质问题

其实你的题就是共轭子群闭包定义问题，gGg^1是共轭子群定义，共轭子群全都正规子群，
9 Q0 j* v' o. T: D# x$ S1 g
只有母群也是正规群（交换群），母群的所有正规子群才能并出母群，就是说S而gGg^1是母群（正规群）的真极大正规子群

母群要是非交换群，共轭子群全是正规子群，gGg^1中的g要是属于S，你的题很自然对，g要是不属于S的其它G元素，gGg^1一样只能还落入正规子群，共轭子群就有这特性

lilianjie

对着S4群表看下面就能懂了，我曾把26字母乘群表带身上2月多
, c- F! c9 I' m7 V
. R( T' }+ u9 x. m7 I# v9 Y4 lS4 := Sym({ "a", "b", "c", "d" });
> S4;
9 j' z0 h; D  u' `* S' O. c1 |* MGenerators(S4);
IsAbelian(S4);不是交换群
5 C" P; q4 o* I8 k$ _Subgroups(S4: Al := "All") ;列出所有子群
Subgroups(S4: Al := "Maximal") ;列出所有极大子群

SubgroupClasses(S4);

NormalSubgroups(S4);
AbelianSubgroups(S4) ;
9 u; J1 u$ y" S0 u/ bMaximalSubgroups(S4) ;

6 X# ]  G2 ?! D- |; }$ c8 x5 H) }# ISubgroupLattice(S4);成格，你可画下这群包扩子群的图

GSet(S4);
ConjugacyClasses(S4);
& G2 l3 n, @6 D5 `9 qNumberOfClasses(S4) ; 5类
, U3 n. G$ C2 m; @3 o& {
Symmetric group S4 acting on a set of cardinality 4
Order = 24 = 2^3 * 3
{
- f" P8 C1 |0 J1 v3 ^! n* E    (c, b, a, d),
9 m2 y7 z5 t# x' q1 Q4 f    (c, b)
}                               两生成元
  K+ \5 u0 }/ Rfalse
Conjugacy classes of subgroups     子群共扼类
------------------------------
9 m( N/ F0 R( M- @4 Z3 |$ c1 B
[ 1]    Order 1            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 1
/ t* y# ?5 r9 R& L[ 2]    Order 2            Length 3
* P/ b- o, ^5 K; y9 P% j* S        Permutation group acting on a set of cardinality 4
; ^! u8 I2 O/ {        Order = 2
            (c, d)(b, a)
[ 3]    Order 2            Length 6
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 2
8 D$ A; J4 b$ Z0 ]            (a, d)
[ 4]    Order 3            Length 4
: r4 |( R* V  j' ?3 r8 K        Permutation group acting on a set of cardinality 4
- k% _4 R( T3 x$ k3 ]) K- \+ J! U4 \+ X        Order = 3
! j8 B! t/ H2 b9 m/ A1 @            (b, a, d)
9 C, m, y0 n. X5 K' g0 Q[ 5]    Order 4            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
[ 6]    Order 4            Length 3
* h+ v% T3 X) f$ e        Permutation group acting on a set of cardinality 4
6 J" p3 q% L7 g  y8 m        Order = 4 = 2^2
8 d9 l" z: l% \0 {) W6 R            (c, d, b, a)
+ N0 R3 T2 e2 N! J/ [+ g: B            (c, b)(a, d)
) e* x: u, e- K6 d$ g) i% e[ 7]    Order 4            Length 3
& \$ Y. ^" {! }% P/ |        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
            (a, d)
! u7 y) |& K2 T$ E* L9 r3 o            (c, b)(a, d)
9 V. M9 F# V0 r# V. z; W[ 8]    Order 6            Length 4
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 6 = 2 * 3
7 q/ t0 _( ~  L            (a, d)
7 o0 p3 R0 T4 l! m4 o6 h            (b, a, d)
[ 9]    Order 8            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 8 = 2^3
1 l) K; g- {/ P2 y            (a, d)
            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
[10]    Order 12           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 12 = 2^2 * 3
7 C/ i( A+ g2 ]/ [+ m/ J! h/ I            (b, a, d)
            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
[11]    Order 24           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
( q# m/ u' u5 e* _$ z# Y        Order = 24 = 2^3 * 3
2 u6 w6 t! D# p- c& A0 U5 s            (a, d)
            (b, a, d)
            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
, ]7 S1 m1 A5 \3 m- P8 ~Conjugacy classes of subgroups
------------------------------

: U" d. n2 i& {- K# X! R! B[1]     Order 6            Length 4
+ Z& G, b$ d4 \: t8 b9 o8 R        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 6 = 2 * 3
  W0 O3 N, X7 l* O' w            (a, d)
            (b, a, d)
) l# B8 B) \0 |$ R+ E9 `[2]     Order 8            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
" g. h! N' ^9 K1 n2 _        Order = 8 = 2^3
" x$ K: }5 o7 Q* I3 H            (a, d)
1 B5 f9 W) b# _0 U4 X/ ^/ Y            (c, d)(b, a)
! g5 }  ^( J3 l, A+ V; t1 ^            (c, a)(b, d)
+ Q. n; @0 a8 e2 }[3]     Order 12           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 12 = 2^2 * 3
            (b, a, d)
- r( w5 R' c. S( L" m: T            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
+ O( a. U" W4 w. J1 rConjugacy classes of subgroups
------------------------------
1 a1 y" b, i3 e4 [
[ 1]    Order 1            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
( d5 G* ?4 [% ^4 m  O; G$ d& d$ O0 e        Order = 1
. w' p' w1 H- R$ l9 t' h[ 2]    Order 2            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
+ J3 ^% H2 e& o. `; N        Order = 2
            (c, d)(b, a)
. z- z% d3 u8 r* s- E[ 3]    Order 2            Length 6
# s8 x, F# ^. p+ X9 ?9 l        Permutation group acting on a set of cardinality 4
7 p3 V+ ]9 R: C        Order = 2
$ d6 J/ x' \' m% i& V5 V% [            (a, d)
4 y3 l! X) e7 l6 v, I8 h+ o5 d[ 4]    Order 3            Length 4
+ |. ]% c5 F2 |  a        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 3
            (b, a, d)
[ 5]    Order 4            Length 1
: l6 l9 S- ^8 i$ z- l" X0 b        Permutation group acting on a set of cardinality 4
% N: `8 z; E$ o9 z( U* M        Order = 4 = 2^2
            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
[ 6]    Order 4            Length 3
' v9 y0 i9 ]6 B7 X9 ^        Permutation group acting on a set of cardinality 4
2 {1 i- D4 c% _1 m8 y* t        Order = 4 = 2^2
            (c, d, b, a)
            (c, b)(a, d)
[ 7]    Order 4            Length 3
- n, \3 e1 a0 \        Permutation group acting on a set of cardinality 4
. o. B) p6 ^, k8 [+ D. n        Order = 4 = 2^2
            (a, d)
, U5 H% k; Y& Z. g- v, M  X" r* P            (c, b)(a, d)
4 n( P% r9 S4 Y+ o2 A3 X% S[ 8]    Order 6            Length 4
5 |: u5 n9 w! v4 U+ }, k) g        Permutation group acting on a set of cardinality 4
# ~) p! {; |- q# r        Order = 6 = 2 * 3
            (a, d)
            (b, a, d)
[ 9]    Order 8            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 8 = 2^3
            (a, d)
3 c9 u+ N% F% U! r% r* a( J8 o            (c, d)(b, a)
* f9 I" o& K& g) {' F8 B            (c, a)(b, d)
[10]    Order 12           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
' e$ Q4 W$ ]/ ^& W1 C) \5 ^        Order = 12 = 2^2 * 3
$ g: L, ?* K6 x( I- C            (b, a, d)
5 |" H2 [. a$ J            (c, d)(b, a)
1 r. H( r) T; X' d7 t1 d  h: D            (c, a)(b, d)
[11]    Order 24           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
6 p* _# {4 s+ ~- G' U& i' |        Order = 24 = 2^3 * 3
! T, h1 G/ p7 I' C5 i3 G            (a, d)
            (b, a, d)
" Y- A  {- ~: I* M& M: {            (c, d)(b, a)
+ `/ O1 q" q: `) k            (c, a)(b, d)
& @5 ?9 j( B- Y( I  C, `Conjugacy classes of subgroups
------------------------------

[1]     Order 1            Length 1
! L$ z* U- e) W  @8 l        Permutation group acting on a set of cardinality 4
% r# a6 X. Y' h' k, B        Order = 1
  E: X- ]) \: [( V( V[2]     Order 4            Length 1
+ a9 R9 V# T7 |0 m! p        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
+ \/ c5 }- T+ o  w[3]     Order 12           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
) t# ?% s: F( n0 j6 B" l        Order = 12 = 2^2 * 3
            (b, a, d)
            (c, d)(b, a)
* ^: \8 Y' E  R3 o1 B4 B            (c, a)(b, d)
2 ~  C# n% X3 [[4]     Order 24           Length 1
  F- c$ w) y  W        Permutation group acting on a set of cardinality 4
  ^: x. X4 g2 f' L3 W" M; ^( a        Order = 24 = 2^3 * 3
            (a, d)
            (b, a, d)
            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
Conjugacy classes of subgroups
------------------------------
8 _9 N  W$ r5 J3 G# B
[1]     Order 1            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
5 n: t9 R8 Y3 E        Order = 1
[2]     Order 2            Length 3
1 t/ a; {( V7 ~$ _7 \        Permutation group acting on a set of cardinality 4
' w" _6 F4 i3 _3 ]- F7 [' Q$ U        Order = 2
6 d2 k. I' ~% Z$ h, n  a* o            (c, d)(b, a)
[3]     Order 2            Length 6
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
. N6 x0 T7 {0 G6 _& R9 C( _0 m/ F$ c' K        Order = 2
            (a, d)
, J# c2 ~% C3 W" {4 e: E! v[4]     Order 3            Length 4
) t+ I/ c) U, b" h& h: Q        Permutation group acting on a set of cardinality 4
0 V# c& c5 s! f! a! l+ W8 X        Order = 3
            (b, a, d)
[5]     Order 4            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
/ Z* a" C& j, t9 N  R0 k0 m            (c, d)(b, a)
" }4 X- O/ `2 p            (c, a)(b, d)
[6]     Order 4            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
, i2 e0 ?( q, E0 M            (c, d, b, a)
, }& R" v8 N* V8 j" o4 v            (c, b)(a, d)
[7]     Order 4            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
+ U: T% e$ ?0 A3 g( Y. i        Order = 4 = 2^2
            (a, d)
            (c, b)(a, d)
Conjugacy classes of subgroups
, _+ q( I) |9 u! t7 T7 i------------------------------
4 g8 a) Z, f, L# H8 S
[1]     Order 6            Length 4
: D9 s4 n' R$ ?$ w9 n        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 6 = 2 * 3
            (a, d)
* z; T. t# R' C# F: Y$ H# Q2 z  `            (b, a, d)
3 [3 T# t7 L. H- e[2]     Order 8            Length 3
# S7 X2 Q+ H0 F& N1 o+ J        Permutation group acting on a set of cardinality 4
8 \( H+ A- R$ G# h& ?; H        Order = 8 = 2^3
            (a, d)
: q6 K% \* d. a' G/ a3 }# T            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
4 I# G1 P* A- {/ F3 O[3]     Order 12           Length 1
9 I5 z# W/ |; s6 N! P! {2 H2 z+ x0 Z( N        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 12 = 2^2 * 3
2 C/ ~! r5 ]( u) V            (b, a, d)
% d" W- A) `5 g- R! Z; ?9 r) h            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)

- s4 v$ w) c  G) m3 jPartially ordered set of subgroup classes
-----------------------------------------
0 x3 V6 L6 h- i' Z; W0 n, h( P
[11]  Order 24  Length 1  Maximal Subgroups: 8 9 10
! c! i1 N! s7 n; u---
0 I. s, w% k6 h5 ]$ G8 _[10]  Order 12  Length 1  Maximal Subgroups: 4 5
0 H: X7 C3 _1 h- @" n[ 9]  Order 8   Length 3  Maximal Subgroups: 5 6 7
- H$ \4 Z9 a; O5 W* F( @) \---
[ 8]  Order 6   Length 4  Maximal Subgroups: 3 4
* U4 X" Y, Z& h/ V- j2 q9 P[ 7]  Order 4   Length 3  Maximal Subgroups: 2
" A: y+ J7 u! s" Y/ T9 m; U3 j- E[ 6]  Order 4   Length 3  Maximal Subgroups: 2 3
0 S/ \  P! e$ H/ }; Y; u. e[ 5]  Order 4   Length 1  Maximal Subgroups: 2
---
[ 4]  Order 3   Length 4  Maximal Subgroups: 1
' X, F  S) M3 V3 N+ s[ 3]  Order 2   Length 6  Maximal Subgroups: 1
[ 2]  Order 2   Length 3  Maximal Subgroups: 1
, e$ w! n: ^% Q! E) N; W- X& N---
[ 1]  Order 1   Length 1  Maximal Subgroups:
' [1 Q8 o8 E% o8 A# Y8 w
GSet{@ c, b, a, d @}
Conjugacy Classes of group S4
+ y2 _* u- [, _8 `- r5 O-----------------------------
[1]     Order 1       Length 1      
: n0 X1 @* i7 W, d: P        Rep Id(S4)

, M) |$ K4 |, W[2]     Order 2       Length 3      
        Rep (c, b)(a, d)

- t3 z. v) e% z3 r. E* ~, `[3]     Order 2       Length 6      
        Rep (c, b)
" v* n  L, q- Q8 n- b/ |# j
: B% Y& }2 G; S( {1 g2 T" P0 s5 P[4]     Order 3       Length 8      
6 T/ V, u3 k' W7 ]+ K, \( c        Rep (c, b, a)

[5]     Order 4       Length 6      
6 j" J3 @. Q0 `, y8 _' Q1 N! |& U- Y        Rep (c, b, a, d)
0 a8 V5 f9 a4 ~
* |: N% ~2 Y. `$ `2 j
5

lilianjie

        <row>0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23</row>
6 e" ^3 j5 y( [# p( B) ]7 P        <row>1 15 17 16 3 0 12 11 6 18 13 21 9 7 22 2 23 5 20 10 8 19 4 14</row>
        <row>2 17 0 14 23 15 18 19 9 8 11 10 20 21 3 5 22 1 6 7 12 13 16 4</row>
$ \% T0 W' i. u- Q        <row>3 4 14 0 1 16 11 12 21 13 18 6 7 9 2 22 5 23 10 20 19 8 15 17</row>
        <row>4 22 23 5 0 3 7 6 11 10 9 8 13 12 15 14 17 16 19 18 21 20 1 2</row>
! w: K% h) Z+ I) o        <row>5 0 15 4 22 17 8 13 20 12 19 7 6 10 23 1 3 2 9 21 18 11 14 16</row>
        <row>6 12 18 11 7 8 0 4 5 15 14 3 1 22 10 9 21 20 2 23 17 16 13 19</row>
        <row>7 13 19 8 6 11 4 0 3 14 15 5 22 1 9 10 20 21 23 2 16 17 12 18</row>
  D$ N+ g) p, H$ E0 `0 Y        <row>8 6 9 7 13 20 5 22 17 1 23 4 0 14 19 12 11 18 15 16 2 3 10 21</row>
" |: e0 A0 ~/ B" H        <row>9 18 8 19 21 12 15 16 1 17 4 23 2 3 7 20 10 6 5 22 0 14 11 13</row>
        <row>10 19 11 18 20 13 14 17 22 16 0 2 23 5 6 21 9 7 3 1 4 15 8 12</row>
        <row>11 7 10 6 12 21 3 1 16 22 2 0 4 15 18 13 8 19 14 17 23 5 9 20</row>
, w! }$ Y0 n3 L# v1 N        <row>12 9 20 21 11 6 1 3 0 2 22 16 15 4 13 18 19 8 17 14 5 23 7 10</row>
3 T4 K4 Y5 l! R# ]6 I  \& v7 F  q        <row>13 10 21 20 8 7 22 5 4 23 1 17 14 0 12 19 18 11 16 15 3 2 6 9</row>
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lilianjie

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lilianjie 发表于 2012-1-1 13:18
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康斯丁

lilianjie 发表于 2012-1-1 13:19
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大师啊。。。。。你太厉害了！

lilianjie

过奖过奖！还在路上！

xxgzftj

xixiai10jk

上次听谁说过这个。。好像有点忘了。想想。





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