抽象代数中关于群的问题，求高手帮忙！

lilianjie

康斯丁 发表于 2011-12-30 23:59
& J$ k0 p. r5 S( Y' D  K( n1 h# W虽然我还是不太懂，不过既然你这么认真的回复我，我还是把它作为最佳答案，我也会再复习一下这部分内容， ...

丘唯声的书上有你这题
9 e) ~# c- `0 ]; M$ r7 ?: K2 E
群作用是表示论的一道坎，表示论最好从晶体群学，从抽像符号化去学不是路，然后再看你的题就是个符号化去定义一种群和子群简单性质问题
7 O; V, r, K4 M1 b6 D( \
) i4 t) R7 r' r. U: `- ^/ V其实你的题就是共轭子群闭包定义问题，gGg^1是共轭子群定义，共轭子群全都正规子群，

只有母群也是正规群（交换群），母群的所有正规子群才能并出母群，就是说S而gGg^1是母群（正规群）的真极大正规子群
3 I' ?1 ]6 S4 L6 b: ~: x- `
母群要是非交换群，共轭子群全是正规子群，gGg^1中的g要是属于S，你的题很自然对，g要是不属于S的其它G元素，gGg^1一样只能还落入正规子群，共轭子群就有这特性

lilianjie

对着S4群表看下面就能懂了，我曾把26字母乘群表带身上2月多
: K; c# A4 D" ~, H$ G9 O5 v: U
S4 := Sym({ "a", "b", "c", "d" });
> S4;
Generators(S4);
IsAbelian(S4);不是交换群
. w. D3 h7 A7 i5 {( uSubgroups(S4: Al := "All") ;列出所有子群
Subgroups(S4: Al := "Maximal") ;列出所有极大子群
5 w( M) |" }( ~2 O4 F$ k
" T7 M2 C: V5 fSubgroupClasses(S4);

NormalSubgroups(S4);
' L8 h2 w1 m, V0 M/ b6 Z: p/ `AbelianSubgroups(S4) ;
2 o+ H/ I. s2 ~5 L* e8 g9 g; yMaximalSubgroups(S4) ;

6 g. F* I# E+ _  @5 _; v+ PSubgroupLattice(S4);成格，你可画下这群包扩子群的图
1 {! b0 J8 E3 l' Z2 C/ r
8 ^3 h8 }, F9 ~. q: F* Y: nGSet(S4);
ConjugacyClasses(S4);
NumberOfClasses(S4) ; 5类
" U! \' p) }4 W* c7 {8 k
6 e) s+ @& Q/ _. |; s9 B0 @4 ~) CSymmetric group S4 acting on a set of cardinality 4
Order = 24 = 2^3 * 3
{
  }% [9 O, P* [; D7 k8 ^    (c, b, a, d),
    (c, b)
2 e9 q$ o+ b, L. g+ d}                               两生成元
false
Conjugacy classes of subgroups     子群共扼类
------------------------------

[ 1]    Order 1            Length 1
: S( c7 z2 N2 o0 N8 Q        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 1
1 K' q8 B* |- m$ X[ 2]    Order 2            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 2
1 I# }2 o2 M) ]6 Q3 v" z            (c, d)(b, a)
9 c" p, |1 y( l$ N[ 3]    Order 2            Length 6
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
* N' M5 o/ d( C- L  `+ A3 S        Order = 2
            (a, d)
: g. d) x3 _( t2 @& h[ 4]    Order 3            Length 4
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 3
            (b, a, d)
% g2 y* ^7 x9 `/ \* o3 S[ 5]    Order 4            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
  ]1 [( m* r; l* n4 t+ j        Order = 4 = 2^2
7 n4 J8 u; a+ W( s' _            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
. T# {' |- C& ]% m; S[ 6]    Order 4            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
) t) _9 W- `/ ^        Order = 4 = 2^2
            (c, d, b, a)
5 c" C' B  r# P, n9 G2 \            (c, b)(a, d)
[ 7]    Order 4            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
, X3 N/ M1 z9 D& P- y8 M! j7 {        Order = 4 = 2^2
6 C* y4 X2 k7 @( d            (a, d)
. O( I% V( y$ F& O            (c, b)(a, d)
[ 8]    Order 6            Length 4
0 _' ?  z3 D" d. L, L6 C, R0 i" c. L        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 6 = 2 * 3
, ?5 i6 z' A% n: s            (a, d)
6 O$ r2 ~+ T7 z0 `) x            (b, a, d)
/ `- K# j# X) n3 Q* Z+ q) K, a[ 9]    Order 8            Length 3
% M( u+ Z! C8 p4 @5 F! }        Permutation group acting on a set of cardinality 4
3 z1 j+ B. ~+ f5 c* C6 p        Order = 8 = 2^3
+ Z/ o: A0 e+ k/ F: O            (a, d)
8 k+ @9 _, O  M7 _2 |            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
[10]    Order 12           Length 1
# m% L5 I! f: K( r$ B5 D        Permutation group acting on a set of cardinality 4
- y) R/ }1 B# ~7 h3 F0 q# Q        Order = 12 = 2^2 * 3
            (b, a, d)
0 |" r" u' G) r, d0 T( E9 l$ o            (c, d)(b, a)
# o  G, s% _- g; _0 ?2 Y            (c, a)(b, d)
[11]    Order 24           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 24 = 2^3 * 3
            (a, d)
            (b, a, d)
            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
Conjugacy classes of subgroups
------------------------------

[1]     Order 6            Length 4
, k) ~0 a  Q( O, d        Permutation group acting on a set of cardinality 4
% z* i: M! J, Q1 U4 v4 e1 y        Order = 6 = 2 * 3
% O3 P4 `; B2 c% k+ O' v7 U            (a, d)
            (b, a, d)
8 A4 Q7 f1 j% X9 T8 z[2]     Order 8            Length 3
% P' c" V, A8 G) l8 J        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 8 = 2^3
  e) z4 ~4 G8 E6 X            (a, d)
! v3 ?7 |; ~( S# D            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
# S1 D1 M  Z3 K: H0 i[3]     Order 12           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 12 = 2^2 * 3
            (b, a, d)
7 [1 o7 d) y' p7 H# D( _2 g# Y            (c, d)(b, a)
7 E, b  E) r  s5 I) t            (c, a)(b, d)
Conjugacy classes of subgroups
8 `: _7 Y9 l2 I  Q------------------------------

$ c. o  o& R2 ?8 u" w( E% K[ 1]    Order 1            Length 1
! K; L) T: l4 y/ ?" }5 M        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 1
[ 2]    Order 2            Length 3
/ k! ~! ]3 w# |; b7 l$ V# l# m        Permutation group acting on a set of cardinality 4
- z% I- G  b. t4 e! p9 ~: y        Order = 2
            (c, d)(b, a)
[ 3]    Order 2            Length 6
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
6 w- A* U$ r" [1 h2 u        Order = 2
" J2 H/ I1 u: x  l; q& i+ A6 x            (a, d)
0 i0 z8 G5 _. Z4 t. g4 L[ 4]    Order 3            Length 4
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
1 g7 T. g  k) a5 _' m        Order = 3
/ F8 I- p7 w, H5 a/ T+ n            (b, a, d)
* l" m8 y% `) k$ R1 i5 b( Q[ 5]    Order 4            Length 1
; Y4 s7 W3 c, Y$ ~: o2 x1 \' u5 m        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
2 p+ H2 A# J( {5 u) @' E            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
[ 6]    Order 4            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
            (c, d, b, a)
, `* C9 e  m3 M  {6 i; M# C            (c, b)(a, d)
[ 7]    Order 4            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
  W# P& U" x& N& B' A9 C        Order = 4 = 2^2
            (a, d)
            (c, b)(a, d)
[ 8]    Order 6            Length 4
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 6 = 2 * 3
            (a, d)
5 M8 g$ R% z( l( h            (b, a, d)
. ^" J% Y7 ]  l& G$ B[ 9]    Order 8            Length 3
# I8 M5 o7 g6 P- z& L! c' S        Permutation group acting on a set of cardinality 4
5 g& p/ v$ s7 {5 |# [, `5 n2 [        Order = 8 = 2^3
; C6 G" I" ~* A            (a, d)
& R6 R6 m) _4 T5 B            (c, d)(b, a)
" y: X, E  W0 l1 \, ]1 D) D            (c, a)(b, d)
[10]    Order 12           Length 1
/ K$ Z8 N9 ^8 p        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 12 = 2^2 * 3
9 h. |2 a4 }5 A            (b, a, d)
6 J' A* B9 A; o- O# S            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
[11]    Order 24           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 24 = 2^3 * 3
3 T" ]0 Y" i4 c# }3 d- F" n            (a, d)
- X( G1 ~: |# @' F            (b, a, d)
" }0 B: {9 ~8 \6 f  ?4 C, l            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
$ g1 @+ m1 g' CConjugacy classes of subgroups
------------------------------
7 Q$ |! [- f( d# c9 e7 ]
[1]     Order 1            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 1
" h5 @$ A7 G5 R0 V+ t! P  D[2]     Order 4            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
" w* D& l) A+ Z% D2 p5 W0 L" c            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
[3]     Order 12           Length 1
! J' q" E& x4 v6 T        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 12 = 2^2 * 3
            (b, a, d)
: }" D: u% H; }7 ]# z# f( @/ e            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
[4]     Order 24           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
- l4 ~" H# n% r9 [9 [% w        Order = 24 = 2^3 * 3
            (a, d)
# d6 u5 e1 ~& o: s7 b            (b, a, d)
            (c, d)(b, a)
8 T4 m0 S) ]4 G$ ]1 v            (c, a)(b, d)
Conjugacy classes of subgroups
6 V4 l' Q/ J) J0 I) {. f------------------------------

6 l5 L! E1 ^$ t2 Z. ][1]     Order 1            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
. ]" F* [9 i" f/ X; E        Order = 1
6 U1 Q# B9 q5 q  ~9 |9 P[2]     Order 2            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
2 F* u5 U& r' ]( S& {6 T7 C& y2 Z" n! a        Order = 2
            (c, d)(b, a)
% S' l) @( ~: V9 Z- Y[3]     Order 2            Length 6
3 T+ Q9 y9 ^& T6 E        Permutation group acting on a set of cardinality 4
0 K8 ^5 y' V) k9 x9 Z. |        Order = 2
9 _1 e9 L7 ]0 Q. R! f& Y            (a, d)
[4]     Order 3            Length 4
. ~' |7 w& P3 p" z! X        Permutation group acting on a set of cardinality 4
4 r* ^& R* I5 ^. ~9 b        Order = 3
            (b, a, d)
[5]     Order 4            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
. p$ h+ M- J) Q% ]6 X6 J* Y: ^& o[6]     Order 4            Length 3
9 C0 C1 p0 s) K! y' V8 V" d: Y        Permutation group acting on a set of cardinality 4
: G" x% C; P* Y, y        Order = 4 = 2^2
! |) f2 I+ t1 T7 p3 r1 y7 `            (c, d, b, a)
# A% r6 X! I8 R7 Z. K/ O6 C            (c, b)(a, d)
[7]     Order 4            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
            (a, d)
8 l6 k4 V7 }1 t4 W  V            (c, b)(a, d)
9 r$ w7 k8 D5 I/ p& W" P0 S/ Q) lConjugacy classes of subgroups
------------------------------

[1]     Order 6            Length 4
' W$ c# N7 X8 \        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 6 = 2 * 3
6 e1 A. K( f, s0 B1 R# n            (a, d)
            (b, a, d)
[2]     Order 8            Length 3
' U1 w. y% Y  V. m! |        Permutation group acting on a set of cardinality 4
' c/ u7 m4 v& m        Order = 8 = 2^3
            (a, d)
            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
[3]     Order 12           Length 1
0 k1 Q, A  n/ p+ h7 X& }: v8 W( c        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 12 = 2^2 * 3
# O: F0 X. U- q& u, a# b            (b, a, d)
7 o5 @( `$ {$ M  x' \6 @. P            (c, d)(b, a)
, x* Z2 ^4 b0 @+ F/ ?; \3 U/ V            (c, a)(b, d)

Partially ordered set of subgroup classes
-----------------------------------------
2 v4 [/ K. f4 [& z5 J
[11]  Order 24  Length 1  Maximal Subgroups: 8 9 10
---
8 F4 n5 W; u# {% v$ a3 b. k! W3 `( T# \[10]  Order 12  Length 1  Maximal Subgroups: 4 5
; Y9 C9 x* R4 O( g1 F8 P[ 9]  Order 8   Length 3  Maximal Subgroups: 5 6 7
---
; W5 b4 D- L8 R, }[ 8]  Order 6   Length 4  Maximal Subgroups: 3 4
[ 7]  Order 4   Length 3  Maximal Subgroups: 2
[ 6]  Order 4   Length 3  Maximal Subgroups: 2 3
# q1 R8 n; [. d2 m[ 5]  Order 4   Length 1  Maximal Subgroups: 2
% U; A+ T( e+ n5 i---
[ 4]  Order 3   Length 4  Maximal Subgroups: 1
[ 3]  Order 2   Length 6  Maximal Subgroups: 1
[ 2]  Order 2   Length 3  Maximal Subgroups: 1
8 ^0 l+ Z- P; p---
2 M! d( H! f: a# W[ 1]  Order 1   Length 1  Maximal Subgroups:

1 P' G# v( i' U" NGSet{@ c, b, a, d @}
Conjugacy Classes of group S4
-----------------------------
* h  Q5 B. y2 A- S[1]     Order 1       Length 1      
        Rep Id(S4)

[2]     Order 2       Length 3      
        Rep (c, b)(a, d)

[3]     Order 2       Length 6      
        Rep (c, b)

[4]     Order 3       Length 8      
9 B, \* I6 N7 x, T* \        Rep (c, b, a)
( h/ @& N4 _8 d( S- H% _' R9 f
[5]     Order 4       Length 6      
        Rep (c, b, a, d)
  p& v- T0 s6 t1 R
- }5 K9 N8 x, y1 v
5

lilianjie

        <row>0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23</row>
( S4 l+ u. n$ p& y' k4 \1 M        <row>1 15 17 16 3 0 12 11 6 18 13 21 9 7 22 2 23 5 20 10 8 19 4 14</row>
& \0 |7 h3 n9 S% ~+ p" `        <row>2 17 0 14 23 15 18 19 9 8 11 10 20 21 3 5 22 1 6 7 12 13 16 4</row>
  b8 V) g7 C5 B* T        <row>3 4 14 0 1 16 11 12 21 13 18 6 7 9 2 22 5 23 10 20 19 8 15 17</row>
        <row>4 22 23 5 0 3 7 6 11 10 9 8 13 12 15 14 17 16 19 18 21 20 1 2</row>
        <row>5 0 15 4 22 17 8 13 20 12 19 7 6 10 23 1 3 2 9 21 18 11 14 16</row>
' I$ t( ?3 s  }7 O/ j        <row>6 12 18 11 7 8 0 4 5 15 14 3 1 22 10 9 21 20 2 23 17 16 13 19</row>
3 e4 K9 d! e- t; U5 M* D        <row>7 13 19 8 6 11 4 0 3 14 15 5 22 1 9 10 20 21 23 2 16 17 12 18</row>
: W9 `6 K, y: |; p        <row>8 6 9 7 13 20 5 22 17 1 23 4 0 14 19 12 11 18 15 16 2 3 10 21</row>
        <row>9 18 8 19 21 12 15 16 1 17 4 23 2 3 7 20 10 6 5 22 0 14 11 13</row>
5 I( b7 S; K2 ?1 B5 ^/ y        <row>10 19 11 18 20 13 14 17 22 16 0 2 23 5 6 21 9 7 3 1 4 15 8 12</row>
        <row>11 7 10 6 12 21 3 1 16 22 2 0 4 15 18 13 8 19 14 17 23 5 9 20</row>
+ |" K. ]8 i3 `- @3 G        <row>12 9 20 21 11 6 1 3 0 2 22 16 15 4 13 18 19 8 17 14 5 23 7 10</row>
0 c5 l# Q8 [) r3 J% [: F9 |        <row>13 10 21 20 8 7 22 5 4 23 1 17 14 0 12 19 18 11 16 15 3 2 6 9</row>
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lilianjie

2 v2 P" d- d' |- Y1 v% Q

lilianjie 发表于 2012-1-1 13:18
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康斯丁

lilianjie 发表于 2012-1-1 13:19
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% @3 O: ]$ s5 Q4 j( ?大师啊。。。。。你太厉害了！
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lilianjie

过奖过奖！还在路上！

xxgzftj

xixiai10jk

上次听谁说过这个。。好像有点忘了。想想。
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