抽象代数中关于群的问题，求高手帮忙！

lilianjie

康斯丁 发表于 2011-12-30 23:59
" B. Z2 M4 K# V' B* Q) E$ {, E虽然我还是不太懂，不过既然你这么认真的回复我，我还是把它作为最佳答案，我也会再复习一下这部分内容， ...

$ j# F/ J9 D% O$ S8 c丘唯声的书上有你这题

群作用是表示论的一道坎，表示论最好从晶体群学，从抽像符号化去学不是路，然后再看你的题就是个符号化去定义一种群和子群简单性质问题
, l. Y; |3 I+ D5 z, N, |, C* k
4 ]. Q1 N, {, y# u3 Y其实你的题就是共轭子群闭包定义问题，gGg^1是共轭子群定义，共轭子群全都正规子群，
: {1 n- e9 e5 \1 f, h
; j4 M( h; a- G$ i: M只有母群也是正规群（交换群），母群的所有正规子群才能并出母群，就是说S而gGg^1是母群（正规群）的真极大正规子群
% e# w, o7 B! b8 ^% f% T$ O1 V
母群要是非交换群，共轭子群全是正规子群，gGg^1中的g要是属于S，你的题很自然对，g要是不属于S的其它G元素，gGg^1一样只能还落入正规子群，共轭子群就有这特性

lilianjie

对着S4群表看下面就能懂了，我曾把26字母乘群表带身上2月多

+ I2 r( c/ F) w9 P! c! S+ wS4 := Sym({ "a", "b", "c", "d" });
$ `: Q2 N8 x: Q> S4;
Generators(S4);
IsAbelian(S4);不是交换群
Subgroups(S4: Al := "All") ;列出所有子群
* h" L+ D) B8 B+ q, L5 G# x Subgroups(S4: Al := "Maximal") ;列出所有极大子群

5 H1 r: ?" O9 T7 BSubgroupClasses(S4);

NormalSubgroups(S4);
AbelianSubgroups(S4) ;
MaximalSubgroups(S4) ;
. ~/ x; E9 C$ d, d3 J' w! R% I9 w
. t0 H/ X; \- }SubgroupLattice(S4);成格，你可画下这群包扩子群的图

GSet(S4);
ConjugacyClasses(S4);
& V2 {* R! K3 Y! [9 G, ~/ U3 PNumberOfClasses(S4) ; 5类

Symmetric group S4 acting on a set of cardinality 4
1 @4 I% {+ N& O6 e* aOrder = 24 = 2^3 * 3
{
5 V' t$ w0 @" C( W    (c, b, a, d),
" J/ M: y  E. b0 I3 c9 n6 ]    (c, b)
$ v- a- b: R$ s4 H2 J& C}                               两生成元
. j0 c& g  h4 h4 m4 ]8 S8 dfalse
+ {5 o8 G! v3 P3 K" b$ ]9 bConjugacy classes of subgroups     子群共扼类
------------------------------
& i  u) N4 s/ e6 J6 Y2 T
8 A. L  I- R: G, w% t9 \4 R1 A. w[ 1]    Order 1            Length 1
9 e0 y# d0 }7 S/ P) {9 s; _) p8 {        Permutation group acting on a set of cardinality 4
$ {$ ~+ @% D$ d3 T        Order = 1
! L8 J7 W" v% m[ 2]    Order 2            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 2
8 Q8 U4 N+ V! V! a: [! k            (c, d)(b, a)
[ 3]    Order 2            Length 6
% c/ [' @) j" p# v8 A        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 2
            (a, d)
5 z' o4 ~# F9 {2 N; S5 J' S8 M+ |* o* P[ 4]    Order 3            Length 4
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
" ^, h6 _9 l4 v' D9 {5 m% _' l        Order = 3
            (b, a, d)
[ 5]    Order 4            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
# y  n9 B2 p3 p  c- l: c        Order = 4 = 2^2
            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
[ 6]    Order 4            Length 3
7 O8 S) [0 K7 G# J: g1 n& u        Permutation group acting on a set of cardinality 4
: X2 R: k/ h5 J, d        Order = 4 = 2^2
            (c, d, b, a)
9 B1 X1 D; U4 `* c2 h            (c, b)(a, d)
[ 7]    Order 4            Length 3
7 O& s4 W: g; z+ C0 u        Permutation group acting on a set of cardinality 4
, f: P; p/ w& z6 M/ ~$ Y        Order = 4 = 2^2
            (a, d)
            (c, b)(a, d)
[ 8]    Order 6            Length 4
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
7 e* S( N4 E) e7 s' p& m        Order = 6 = 2 * 3
$ }' t9 c/ _0 J9 D% F  B4 I            (a, d)
            (b, a, d)
" ~/ a1 K8 B- \* }3 Z[ 9]    Order 8            Length 3
2 k! ?1 d( ^$ V+ ?        Permutation group acting on a set of cardinality 4
: U! T9 t$ j! y0 B! w7 ?$ p        Order = 8 = 2^3
            (a, d)
            (c, d)(b, a)
) l. p6 u1 L" {            (c, a)(b, d)
[10]    Order 12           Length 1
0 M. h  r! z: G( j$ g  C  k& k        Permutation group acting on a set of cardinality 4
/ S, A4 H' v' A7 y  T        Order = 12 = 2^2 * 3
* m% X7 N; W- [4 Y4 y            (b, a, d)
- J, \: F, E& n, U. ^            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
9 K9 v+ j# V$ r0 f3 ]% c4 B[11]    Order 24           Length 1
( n% s) U+ C% w' ]        Permutation group acting on a set of cardinality 4
1 e0 u; C0 U: [: E( D        Order = 24 = 2^3 * 3
$ Q& ~9 ~& N  G* }! p1 I            (a, d)
' ]/ L* K; g3 n            (b, a, d)
+ {* y6 A) y1 l) H            (c, d)(b, a)
/ t0 e7 F( g- v: \* b1 V            (c, a)(b, d)
Conjugacy classes of subgroups
0 k# `1 g  B' U8 `" E------------------------------
7 F* H0 ~6 B) m7 a8 m: P2 W' a
[1]     Order 6            Length 4
% v. w; P$ M' r8 H1 G3 B% |        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 6 = 2 * 3
9 w& L- m' Z3 t$ E            (a, d)
            (b, a, d)
$ V) O# g, S( j3 i9 D! O[2]     Order 8            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
4 Z9 s: e4 G+ m$ c! v2 w6 p9 ^        Order = 8 = 2^3
            (a, d)
  a0 z; x: S4 `8 f2 n            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
  ^0 q/ r4 y" p) H( ~[3]     Order 12           Length 1
0 X- h& e. p7 Y% ?( z6 s5 }& I        Permutation group acting on a set of cardinality 4
3 ?0 s2 V% h" v4 I7 l, Z        Order = 12 = 2^2 * 3
            (b, a, d)
: s8 q& U% B( w3 Z. y4 F- W            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
: D# A2 Q$ F! A" V! ~Conjugacy classes of subgroups
0 U3 p9 B* r& {! P+ q------------------------------

! d1 P/ z7 J# Q5 f( U6 I( j, Y[ 1]    Order 1            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 1
[ 2]    Order 2            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 2
+ S: y! {- P+ O9 J6 E            (c, d)(b, a)
[ 3]    Order 2            Length 6
, F9 w; E' l/ s8 E9 _9 U4 m' [        Permutation group acting on a set of cardinality 4
& B/ B$ ^/ q3 a! c( B) e( ~9 v        Order = 2
* j: k* [2 i& _6 \$ k            (a, d)
; s1 b" t+ z6 H7 ^7 I[ 4]    Order 3            Length 4
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
; K) m& e# E7 L  b- F; T        Order = 3
0 I, i- c3 e. d4 G: J7 I2 y8 v            (b, a, d)
/ ^  K. P& r# R! Z" ]( S2 e[ 5]    Order 4            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
) t, M$ ]+ X  ^) y- c$ J  T            (c, d)(b, a)
$ k5 g8 r8 \  Y' @. w$ E( {+ ~) ]            (c, a)(b, d)
6 l0 {* Z  T% y2 T0 h[ 6]    Order 4            Length 3
. G/ a8 k6 p& `6 a! f! S$ T5 D% S5 V        Permutation group acting on a set of cardinality 4
# `4 V. {2 u4 h( x' \& \& ]7 h        Order = 4 = 2^2
9 W* z" T7 T/ X, K! X; o- U/ @            (c, d, b, a)
! d$ q" o6 m+ W2 Z/ j9 e+ x+ q            (c, b)(a, d)
6 Y8 y3 x% d9 A! e' p* w4 i[ 7]    Order 4            Length 3
- q9 f6 y1 v3 K! W; @9 W+ J* I        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
            (a, d)
! K2 p/ ^% A# D, R            (c, b)(a, d)
5 E: U4 J$ D% Q( n0 P[ 8]    Order 6            Length 4
% q  u9 y7 p( S; x0 k* T9 D        Permutation group acting on a set of cardinality 4
/ A! h# S, q- l0 w4 g" c/ |        Order = 6 = 2 * 3
, V2 B  w# `; j6 ?5 W. `- E* ^; K# a+ c0 I            (a, d)
            (b, a, d)
[ 9]    Order 8            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 8 = 2^3
            (a, d)
            (c, d)(b, a)
/ X* E2 P8 r1 x0 E0 a            (c, a)(b, d)
' R3 I% w$ G& e0 k7 o+ d, _; F) T[10]    Order 12           Length 1
/ `2 x- R1 |+ n- c+ R        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 12 = 2^2 * 3
            (b, a, d)
            (c, d)(b, a)
; Z5 K& [2 A/ y2 Z            (c, a)(b, d)
5 _' L% q/ i0 a[11]    Order 24           Length 1
- S# _. n) e& K, _- M' G0 y6 k        Permutation group acting on a set of cardinality 4
! P5 f2 C/ W  \        Order = 24 = 2^3 * 3
! j3 {9 Q, F0 U1 W6 f, Z            (a, d)
            (b, a, d)
0 i2 g0 h  g: h; S/ ]4 P" {            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
Conjugacy classes of subgroups
------------------------------
# @- V: R4 T" ?, G# ^  ~  h5 q* j! v/ [
: j6 S  `9 L" d[1]     Order 1            Length 1
& J# S$ ]& l4 ^        Permutation group acting on a set of cardinality 4
6 A2 [0 @) z4 t% a9 x        Order = 1
$ Y" j) V5 F+ N1 J( X2 r' p$ z[2]     Order 4            Length 1
6 V! J+ U  c" J2 H        Permutation group acting on a set of cardinality 4
: H3 S& p  n' S( W& G        Order = 4 = 2^2
, N" @1 n/ K+ ?3 m  A; b0 w            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
- X! o6 A7 b( m2 o: j0 e[3]     Order 12           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 12 = 2^2 * 3
* W7 c1 V. q  }            (b, a, d)
            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
& Y1 D( R) |' ]; d! r6 `, c[4]     Order 24           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
5 x  H* e3 X0 U$ \; s3 {+ x        Order = 24 = 2^3 * 3
            (a, d)
. X/ j$ w& A! W+ y8 @            (b, a, d)
2 X1 P& O" g$ k, M0 d; j6 ]            (c, d)(b, a)
3 L& z" \" K% N) h/ Z* ~            (c, a)(b, d)
Conjugacy classes of subgroups
5 M- Y  z# Q; s% s0 l4 V8 z------------------------------

$ U9 }. y, m  A; J  h[1]     Order 1            Length 1
9 M& p  h: O/ _4 I7 p        Permutation group acting on a set of cardinality 4
+ v) F: T# p! i% l. x6 ]        Order = 1
[2]     Order 2            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 2
            (c, d)(b, a)
0 b  Z0 h' F5 D& O( N5 b$ I[3]     Order 2            Length 6
2 ^+ ^# [# N  {  c# F4 m/ I        Permutation group acting on a set of cardinality 4
' l2 n# p# I0 \- _4 a5 R2 F        Order = 2
            (a, d)
[4]     Order 3            Length 4
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
4 q! Q0 B9 B7 g. |        Order = 3
            (b, a, d)
[5]     Order 4            Length 1
8 y( z* c8 V0 v        Permutation group acting on a set of cardinality 4
  k0 d! O. ]* b$ b: C' h6 J/ [        Order = 4 = 2^2
, i) J8 F$ v7 r, T7 x9 x% o            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
2 c3 B: V  d; {: ?[6]     Order 4            Length 3
) y$ X6 Z9 F9 m, f        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
( O! o7 g' ^3 L& m3 R, q3 R            (c, d, b, a)
            (c, b)(a, d)
[7]     Order 4            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
$ s5 C9 n. h" p        Order = 4 = 2^2
            (a, d)
            (c, b)(a, d)
2 ^/ h& ?" T( wConjugacy classes of subgroups
' C: F2 |" Y. {; n; u2 S$ ?------------------------------

% j8 }: ~0 B$ p[1]     Order 6            Length 4
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
  p. V. m( W- e        Order = 6 = 2 * 3
            (a, d)
7 b3 z( W" C$ `            (b, a, d)
) l: i' b5 ]; \  O3 a[2]     Order 8            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 8 = 2^3
& e: ]1 u0 N% p1 c+ @. E$ `2 ?+ l4 h            (a, d)
- D0 s- B/ R) Z            (c, d)(b, a)
8 s  i0 D" h& y7 {            (c, a)(b, d)
[3]     Order 12           Length 1
7 i3 t1 S' [/ Y6 \        Permutation group acting on a set of cardinality 4
/ t5 _8 M1 ^; K  p        Order = 12 = 2^2 * 3
            (b, a, d)
9 x. z- F; L" r0 i: D0 d  \% t            (c, d)(b, a)
. S. ^! v2 I+ G; b, T! `6 G' n& ?            (c, a)(b, d)
* s9 }+ d+ C6 l% l- }( x6 q, d1 s
! [/ ]8 A. e3 }( L4 V/ _/ e7 B9 ]Partially ordered set of subgroup classes
-----------------------------------------
8 E  ~5 s  q* X+ c
. z" q" r0 X& i* k4 \[11]  Order 24  Length 1  Maximal Subgroups: 8 9 10
---
8 F$ \3 u9 J, L( g, K[10]  Order 12  Length 1  Maximal Subgroups: 4 5
9 l5 }8 Z$ h$ i[ 9]  Order 8   Length 3  Maximal Subgroups: 5 6 7
---
# _2 ~+ _: J+ E- s+ j[ 8]  Order 6   Length 4  Maximal Subgroups: 3 4
; C0 R( G. V9 D7 F- \! ?+ |[ 7]  Order 4   Length 3  Maximal Subgroups: 2
[ 6]  Order 4   Length 3  Maximal Subgroups: 2 3
[ 5]  Order 4   Length 1  Maximal Subgroups: 2
0 i9 ^' k' P- z---
4 z& g$ X" c! J& |& u. [( B[ 4]  Order 3   Length 4  Maximal Subgroups: 1
[ 3]  Order 2   Length 6  Maximal Subgroups: 1
[ 2]  Order 2   Length 3  Maximal Subgroups: 1
5 L4 j% `: Q0 X% M/ l---
( M9 l; }  d( `/ A: o2 T[ 1]  Order 1   Length 1  Maximal Subgroups:

# T4 r4 y6 [' [GSet{@ c, b, a, d @}
- D6 t/ q; _+ l) `Conjugacy Classes of group S4
8 D& J4 v1 A9 j8 h2 h) G7 h-----------------------------
* ]( [7 U' C& b' r4 c[1]     Order 1       Length 1      
        Rep Id(S4)

[2]     Order 2       Length 3      
* M$ D# U3 I. P( p/ {5 ?* E        Rep (c, b)(a, d)
% T* F4 s' i% ^8 g0 B, I, O6 C% m7 G
[3]     Order 2       Length 6      
. R) p* |9 X- M3 a3 H  z        Rep (c, b)
+ g8 [  h8 K, L4 u+ l8 G
[4]     Order 3       Length 8      
7 y( m! e( g$ P/ }: L        Rep (c, b, a)

0 y& z/ f4 W0 `9 G2 U0 {. ~[5]     Order 4       Length 6      
        Rep (c, b, a, d)

  h6 K( S% }: \: M; q2 S& k5 h
/ w  [, R- X; N+ d- L3 H* o0 c5

lilianjie

        <row>0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23</row>
        <row>1 15 17 16 3 0 12 11 6 18 13 21 9 7 22 2 23 5 20 10 8 19 4 14</row>
        <row>2 17 0 14 23 15 18 19 9 8 11 10 20 21 3 5 22 1 6 7 12 13 16 4</row>
7 Q/ v- l4 D3 K  P7 j' b! l1 i        <row>3 4 14 0 1 16 11 12 21 13 18 6 7 9 2 22 5 23 10 20 19 8 15 17</row>
9 e( P; {0 [% A7 z$ g4 y        <row>4 22 23 5 0 3 7 6 11 10 9 8 13 12 15 14 17 16 19 18 21 20 1 2</row>
        <row>5 0 15 4 22 17 8 13 20 12 19 7 6 10 23 1 3 2 9 21 18 11 14 16</row>
        <row>6 12 18 11 7 8 0 4 5 15 14 3 1 22 10 9 21 20 2 23 17 16 13 19</row>
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lilianjie

lilianjie 发表于 2012-1-1 13:18
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康斯丁

lilianjie 发表于 2012-1-1 13:19
1231231234

大师啊。。。。。你太厉害了！

lilianjie

过奖过奖！还在路上！

xxgzftj

xixiai10jk

上次听谁说过这个。。好像有点忘了。想想。

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