抽象代数中关于群的问题，求高手帮忙！

lilianjie

康斯丁 发表于 2011-12-30 23:59
虽然我还是不太懂，不过既然你这么认真的回复我，我还是把它作为最佳答案，我也会再复习一下这部分内容， ...

丘唯声的书上有你这题

群作用是表示论的一道坎，表示论最好从晶体群学，从抽像符号化去学不是路，然后再看你的题就是个符号化去定义一种群和子群简单性质问题
+ Y4 ]# J( d$ K! o) Q
其实你的题就是共轭子群闭包定义问题，gGg^1是共轭子群定义，共轭子群全都正规子群，

1 d9 `: w9 @% D只有母群也是正规群（交换群），母群的所有正规子群才能并出母群，就是说S而gGg^1是母群（正规群）的真极大正规子群

母群要是非交换群，共轭子群全是正规子群，gGg^1中的g要是属于S，你的题很自然对，g要是不属于S的其它G元素，gGg^1一样只能还落入正规子群，共轭子群就有这特性

lilianjie

对着S4群表看下面就能懂了，我曾把26字母乘群表带身上2月多
0 ^) _7 y- b' H5 n
/ j2 o& ?" u+ j0 T# s5 HS4 := Sym({ "a", "b", "c", "d" });
> S4;
5 ]' V7 i) j/ S9 R2 X. ]( m6 LGenerators(S4);
8 m& h# j: T* y! w. \: E' v. {IsAbelian(S4);不是交换群
5 H2 y% k, t6 @( k4 v, n. ]9 t  TSubgroups(S4: Al := "All") ;列出所有子群
3 J+ K4 c9 ^+ X' ^0 s! M3 |3 Q+ I9 H Subgroups(S4: Al := "Maximal") ;列出所有极大子群

. Y, m. b9 v, r" Z, m- W1 RSubgroupClasses(S4);

5 U( ^+ p9 Z3 W8 G+ yNormalSubgroups(S4);
AbelianSubgroups(S4) ;
MaximalSubgroups(S4) ;
" O# g# c, [; B6 `& T
8 h  E- I: j( f: W1 J7 HSubgroupLattice(S4);成格，你可画下这群包扩子群的图
  z9 o- R2 b! U; I, I
GSet(S4);
ConjugacyClasses(S4);
3 O- _( Z' I$ r) u9 `1 INumberOfClasses(S4) ; 5类
7 Y) U+ I4 J$ ~# {3 F( _
Symmetric group S4 acting on a set of cardinality 4
. r1 q/ z0 S5 q. m( k4 sOrder = 24 = 2^3 * 3
{
    (c, b, a, d),
    (c, b)
2 `& N6 T, T: r* F4 D}                               两生成元
0 K8 G6 j0 P- r; f# g: Q8 F0 Afalse
Conjugacy classes of subgroups     子群共扼类
------------------------------

3 _$ t  H# H" @2 m1 z0 O; k[ 1]    Order 1            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 1
[ 2]    Order 2            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
( g) M& I( n+ i. i4 h        Order = 2
            (c, d)(b, a)
) o; I9 @7 J' B+ D- K) [# e4 P[ 3]    Order 2            Length 6
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 2
3 k/ o# G+ }' u! z2 j            (a, d)
[ 4]    Order 3            Length 4
( I3 F& @# m1 P3 _! ]        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 3
; o' J3 e' ~; w; P, i            (b, a, d)
[ 5]    Order 4            Length 1
" J1 z; t2 o/ p4 R& Y: q& r' c+ T        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
! L. X7 h* Z% a            (c, d)(b, a)
2 v, T, I# y0 H' u! p5 W            (c, a)(b, d)
( Y; s7 F' L$ `+ a+ g' d[ 6]    Order 4            Length 3
: G) ~' z' Q' w) z7 v6 H        Permutation group acting on a set of cardinality 4
  r& p+ _& s& X5 F4 V        Order = 4 = 2^2
            (c, d, b, a)
            (c, b)(a, d)
) i5 @5 B/ J8 s- N' L( K[ 7]    Order 4            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
6 K: m0 A8 |8 \        Order = 4 = 2^2
( T# X, M  e1 \! }# L+ q* g9 D8 S            (a, d)
+ Y0 Q' i/ w! X: S; S, @- u0 N+ @- Y3 l            (c, b)(a, d)
: y& {( o* L% V: [4 l[ 8]    Order 6            Length 4
8 e0 o6 b7 N! N: F  i* C        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 6 = 2 * 3
* Q1 S( L  T  e: E/ V0 c            (a, d)
. y- ]; Q0 V6 H  S, a/ ~5 f            (b, a, d)
[ 9]    Order 8            Length 3
% _  b! U3 i4 q3 H        Permutation group acting on a set of cardinality 4
5 N. ^5 ]7 \- l. v9 }- T, C$ d        Order = 8 = 2^3
# w$ m' B3 g: @7 S" ~            (a, d)
" A8 E8 ]% l0 n8 F: M; ?            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
+ h9 a: j7 s- T( r* Y% g( w" j[10]    Order 12           Length 1
( p$ F: Q% ^6 f' c- W        Permutation group acting on a set of cardinality 4
5 }- E- M8 o5 ^* b        Order = 12 = 2^2 * 3
2 A# t4 w2 l8 n            (b, a, d)
            (c, d)(b, a)
! B9 l: C  ~9 W3 M+ Z            (c, a)(b, d)
- Z" P9 t' v# P, m[11]    Order 24           Length 1
) I9 }& p5 a4 P7 k0 ?        Permutation group acting on a set of cardinality 4
. F$ |. J9 b7 P" [5 T        Order = 24 = 2^3 * 3
, }6 A/ ^0 D! p( G" ~: o            (a, d)
8 O. k( l* }* K8 S- I            (b, a, d)
: J# `' H$ n/ C. \- q  W            (c, d)(b, a)
& {, Z* ?3 D- n+ r6 W            (c, a)(b, d)
Conjugacy classes of subgroups
8 C8 P: [. f7 i. T) X------------------------------
1 T& `2 P( U7 x% a
[1]     Order 6            Length 4
; r9 w/ l1 o8 \' ~        Permutation group acting on a set of cardinality 4
% R+ q% n0 E9 h7 j        Order = 6 = 2 * 3
            (a, d)
            (b, a, d)
: V3 M4 m) ~1 T1 Q3 `& }3 Q[2]     Order 8            Length 3
9 m9 v% o5 e! G4 z; K5 ~1 N        Permutation group acting on a set of cardinality 4
. S4 S( }5 u( ~" r, E        Order = 8 = 2^3
' _) H6 [7 U( M. s8 ]( j# ?            (a, d)
            (c, d)(b, a)
! d0 H+ I) k; j: n( G            (c, a)(b, d)
) q' _& J  A1 L' h: v[3]     Order 12           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 12 = 2^2 * 3
            (b, a, d)
8 q9 G; k. u3 N0 `! T            (c, d)(b, a)
6 @* U! V1 t1 E' t3 g            (c, a)(b, d)
0 l: h2 l; d. FConjugacy classes of subgroups
, X4 y3 {: L) l2 D2 y0 {6 t" g2 @------------------------------
0 M& w( v2 p3 D% {
' L% q0 K2 C3 [+ i[ 1]    Order 1            Length 1
& E% q) _6 `/ N1 c" F6 E        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 1
[ 2]    Order 2            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
! Y6 y7 U/ P3 Q: Q        Order = 2
            (c, d)(b, a)
[ 3]    Order 2            Length 6
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
/ Y7 z4 a) f5 [( W: T        Order = 2
            (a, d)
[ 4]    Order 3            Length 4
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
* U$ c# h: ]0 I* ?) u        Order = 3
            (b, a, d)
[ 5]    Order 4            Length 1
7 }# ?4 W) |5 t9 F        Permutation group acting on a set of cardinality 4
# C/ b& o( E; P/ ^2 _        Order = 4 = 2^2
: y3 m& A- g9 n            (c, d)(b, a)
) ]% m/ U. I: P1 j1 N6 I. \' `            (c, a)(b, d)
[ 6]    Order 4            Length 3
6 N$ K3 P( |( k, X        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
" z6 A7 G& w- s+ r! X# f) @            (c, d, b, a)
            (c, b)(a, d)
; a% Y1 ^# T4 ?* H[ 7]    Order 4            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
2 J( L4 w$ S# m, M- J2 u        Order = 4 = 2^2
            (a, d)
            (c, b)(a, d)
[ 8]    Order 6            Length 4
5 ]# a3 L. S4 w0 E$ J6 ^        Permutation group acting on a set of cardinality 4
3 _* @# y1 ^: b. b        Order = 6 = 2 * 3
' H% V# H' U& o  ]            (a, d)
9 C# J7 o* _' z  k# O            (b, a, d)
/ c  P1 T; X8 x: Q% x& e[ 9]    Order 8            Length 3
4 d7 j9 z3 v% [# b: [        Permutation group acting on a set of cardinality 4
" E( G" Y3 b# I/ b1 o, a6 F! i8 y        Order = 8 = 2^3
            (a, d)
' z1 d, s, Q0 a) e% h* Y7 A! G            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
6 j7 J8 W$ d6 ~[10]    Order 12           Length 1
' {- a; g/ \0 ]9 A        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 12 = 2^2 * 3
& u8 d. h+ f6 f" U. I            (b, a, d)
( [& f$ E7 o" L4 U+ z3 w6 O            (c, d)(b, a)
; y4 ~4 k8 ]* W  t/ f            (c, a)(b, d)
[11]    Order 24           Length 1
3 d+ L2 S$ H' X- t$ O0 M$ c- B. _2 I        Permutation group acting on a set of cardinality 4
0 M) s& ]& p% b) p# n/ l. H        Order = 24 = 2^3 * 3
            (a, d)
            (b, a, d)
# O  o0 F9 ~# \$ U. p+ H9 F  S# J            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
' W& c# M; Q& _/ c7 o; _) CConjugacy classes of subgroups
- \9 h* L" X7 h& a6 V------------------------------
: R( A, w3 [/ R* P9 f
& V2 f1 }& t$ e7 Q: ?, F[1]     Order 1            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
- S" G5 {( G8 \& [1 c& g        Order = 1
[2]     Order 4            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
$ q. y! }, K* u% Z2 C1 m        Order = 4 = 2^2
            (c, d)(b, a)
5 r  d! o% k4 T  Y1 ?            (c, a)(b, d)
# N; d# j6 u0 ]* h2 j* `[3]     Order 12           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 12 = 2^2 * 3
            (b, a, d)
6 V( K- P- |. x3 F5 u            (c, d)(b, a)
( x9 O  ?0 ?* v3 r2 Y2 T+ S            (c, a)(b, d)
4 K/ j  ^, }$ S& o0 ]" Q9 w' ]6 u6 n2 H[4]     Order 24           Length 1
' p/ V/ b4 m8 g- D9 K7 \9 T! R' p        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 24 = 2^3 * 3
            (a, d)
            (b, a, d)
% {2 [6 J/ f0 {6 G+ K( D; Z            (c, d)(b, a)
* i/ r9 H5 _+ T. t: ]0 L4 a0 K            (c, a)(b, d)
Conjugacy classes of subgroups
------------------------------
' [. T% `4 ~" b6 M% @2 m
9 D" b& W2 o8 z$ g! P[1]     Order 1            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
. q/ }4 p6 k8 W9 N5 ?; I8 O        Order = 1
[2]     Order 2            Length 3
1 V% ]' D7 E  U$ t3 N  A) @+ Z        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 2
% t  q& J) m* d* H! z- j            (c, d)(b, a)
! F# W+ a5 v9 [. F8 g[3]     Order 2            Length 6
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 2
' p1 W$ p* j+ h- ]+ j            (a, d)
[4]     Order 3            Length 4
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
& c7 z$ F% G$ |& K) C$ S( K        Order = 3
            (b, a, d)
; U' F# Z; a, D[5]     Order 4            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
; y$ h* a4 u3 U+ d$ J! j/ E- H[6]     Order 4            Length 3
8 X9 i9 F  t+ r6 e, \( b+ E2 m9 U        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
9 S! h; P0 y3 g: ]' m* Z            (c, d, b, a)
4 O# k. \0 j1 x. ]$ |$ k            (c, b)(a, d)
[7]     Order 4            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
9 }- Q5 H3 C( g% o3 H( ?            (a, d)
- e; o  ^% Y& Q% M            (c, b)(a, d)
; L( ]2 i1 t! J* b) QConjugacy classes of subgroups
------------------------------

% k  J4 x6 F5 y4 S5 f[1]     Order 6            Length 4
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 6 = 2 * 3
, P5 x" J7 V. l' G6 `  R            (a, d)
, i( z; i, _* E- D) x            (b, a, d)
[2]     Order 8            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
! C0 b5 J0 t; C+ H        Order = 8 = 2^3
            (a, d)
6 ~4 d+ g+ j6 W8 Y2 P            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
7 B' ?! L) s  u) C, O& F6 n4 {[3]     Order 12           Length 1
2 ]# J4 n  B3 E3 R        Permutation group acting on a set of cardinality 4
9 h% J0 t: N; Z* k5 \        Order = 12 = 2^2 * 3
            (b, a, d)
: w1 w4 i: P* n            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
! t4 q2 D; _- |' M+ K2 }
3 ?  B: r5 b" @1 H2 C5 X3 _Partially ordered set of subgroup classes
-----------------------------------------

[11]  Order 24  Length 1  Maximal Subgroups: 8 9 10
$ _. c. E7 C. l9 \: o* R3 @---
[10]  Order 12  Length 1  Maximal Subgroups: 4 5
[ 9]  Order 8   Length 3  Maximal Subgroups: 5 6 7
---
2 [1 b0 G% s. G4 k[ 8]  Order 6   Length 4  Maximal Subgroups: 3 4
& B" K/ f" p( R9 ?[ 7]  Order 4   Length 3  Maximal Subgroups: 2
[ 6]  Order 4   Length 3  Maximal Subgroups: 2 3
[ 5]  Order 4   Length 1  Maximal Subgroups: 2
$ b3 ~( |& X. S, f/ Z---
& L4 A9 u5 Z+ P  x8 q* _& j+ _5 t[ 4]  Order 3   Length 4  Maximal Subgroups: 1
; ~5 O9 V# S8 l2 l# n- ~7 R' F( p* \[ 3]  Order 2   Length 6  Maximal Subgroups: 1
. e3 M; U, U/ `  ^6 f[ 2]  Order 2   Length 3  Maximal Subgroups: 1
---
[ 1]  Order 1   Length 1  Maximal Subgroups:
* `% ~- k& P; y$ a& F9 j4 U1 J& `
GSet{@ c, b, a, d @}
Conjugacy Classes of group S4
-----------------------------
[1]     Order 1       Length 1      
4 F0 x. [8 B; c) l' ?        Rep Id(S4)

% J. |1 A7 i# D* w5 T( C[2]     Order 2       Length 3      
        Rep (c, b)(a, d)
9 f. _. X7 v- X
0 M, t( P& e* s+ u[3]     Order 2       Length 6      
        Rep (c, b)

' T1 _5 \% M7 ]% p5 `( k[4]     Order 3       Length 8      
* W7 ^" Q) @1 I0 J( t        Rep (c, b, a)

. K: w0 t4 `+ y4 G' v) s3 U[5]     Order 4       Length 6      
0 y2 ], f% b4 c        Rep (c, b, a, d)
$ H  W; F% X. X. a6 t" Q
7 |6 w% u; d5 {/ H- G
8 V+ Q2 {! ]2 Z* `% [" l5

lilianjie

        <row>0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23</row>
        <row>1 15 17 16 3 0 12 11 6 18 13 21 9 7 22 2 23 5 20 10 8 19 4 14</row>
5 K" j& L  {" H        <row>2 17 0 14 23 15 18 19 9 8 11 10 20 21 3 5 22 1 6 7 12 13 16 4</row>
        <row>3 4 14 0 1 16 11 12 21 13 18 6 7 9 2 22 5 23 10 20 19 8 15 17</row>
        <row>4 22 23 5 0 3 7 6 11 10 9 8 13 12 15 14 17 16 19 18 21 20 1 2</row>
* I4 W5 d  ~7 K3 ~        <row>5 0 15 4 22 17 8 13 20 12 19 7 6 10 23 1 3 2 9 21 18 11 14 16</row>
4 q$ s; i/ z/ j6 M, ~/ }) ?        <row>6 12 18 11 7 8 0 4 5 15 14 3 1 22 10 9 21 20 2 23 17 16 13 19</row>
' m3 v. O% ]1 s( e0 O7 A1 c        <row>7 13 19 8 6 11 4 0 3 14 15 5 22 1 9 10 20 21 23 2 16 17 12 18</row>
        <row>8 6 9 7 13 20 5 22 17 1 23 4 0 14 19 12 11 18 15 16 2 3 10 21</row>
* }  _# L, J+ O        <row>9 18 8 19 21 12 15 16 1 17 4 23 2 3 7 20 10 6 5 22 0 14 11 13</row>
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lilianjie

lilianjie 发表于 2012-1-1 13:18
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康斯丁

lilianjie 发表于 2012-1-1 13:19
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; X. A2 }$ w$ U- g& `. m$ c大师啊。。。。。你太厉害了！
* J( Y) H2 h# v" C  S

lilianjie

过奖过奖！还在路上！

xxgzftj

xixiai10jk

上次听谁说过这个。。好像有点忘了。想想。



$ u+ n& F# M. v+ F





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