抽象代数中关于群的问题，求高手帮忙！

lilianjie

康斯丁 发表于 2011-12-30 23:59
7 K# H6 q* D+ \. a虽然我还是不太懂，不过既然你这么认真的回复我，我还是把它作为最佳答案，我也会再复习一下这部分内容， ...

6 B9 Z- w5 e2 v7 K6 V" u' Z丘唯声的书上有你这题

群作用是表示论的一道坎，表示论最好从晶体群学，从抽像符号化去学不是路，然后再看你的题就是个符号化去定义一种群和子群简单性质问题

其实你的题就是共轭子群闭包定义问题，gGg^1是共轭子群定义，共轭子群全都正规子群，

6 O' _  w4 y! ^7 p% E+ N! k% G只有母群也是正规群（交换群），母群的所有正规子群才能并出母群，就是说S而gGg^1是母群（正规群）的真极大正规子群

母群要是非交换群，共轭子群全是正规子群，gGg^1中的g要是属于S，你的题很自然对，g要是不属于S的其它G元素，gGg^1一样只能还落入正规子群，共轭子群就有这特性

lilianjie

对着S4群表看下面就能懂了，我曾把26字母乘群表带身上2月多

S4 := Sym({ "a", "b", "c", "d" });
> S4;
Generators(S4);
% S) u: H, n- q1 L- xIsAbelian(S4);不是交换群
, B& Y) V$ m; ASubgroups(S4: Al := "All") ;列出所有子群
" x5 V* o$ M, Z& W$ Y: c. [6 N Subgroups(S4: Al := "Maximal") ;列出所有极大子群

( v2 E2 g: U4 D5 W  ]8 ASubgroupClasses(S4);
! t9 o1 O2 W5 k4 H
NormalSubgroups(S4);
6 Y2 V7 i) _* g7 e9 M+ ZAbelianSubgroups(S4) ;
7 K& Q6 T0 W: a2 ^* U3 oMaximalSubgroups(S4) ;

1 P' t" t6 Q" F' a# HSubgroupLattice(S4);成格，你可画下这群包扩子群的图
- Z) }) v: E3 z+ k/ G6 F8 W! F1 ^8 M
GSet(S4);
) O% u" }  x" o; y, A1 v* ^ConjugacyClasses(S4);
) K) O$ x. |5 vNumberOfClasses(S4) ; 5类
9 ?0 j9 d" w9 J5 @
Symmetric group S4 acting on a set of cardinality 4
9 I$ m9 X' {% SOrder = 24 = 2^3 * 3
5 O4 ?3 D3 F% ]% q{
6 n& a4 {5 D$ Y2 I4 f6 Q0 E# }; k    (c, b, a, d),
    (c, b)
}                               两生成元
5 i# R/ [( A% a! P6 V2 e7 Zfalse
" x$ e, o, z. VConjugacy classes of subgroups     子群共扼类
------------------------------

[ 1]    Order 1            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
5 H& L, L% ~, K" J% b' |. }        Order = 1
[ 2]    Order 2            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 2
            (c, d)(b, a)
[ 3]    Order 2            Length 6
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
3 j4 Q1 u1 M( Q& c+ d0 c) k* {1 x        Order = 2
            (a, d)
[ 4]    Order 3            Length 4
9 x/ D" v: h" S$ I, B0 V( {" B        Permutation group acting on a set of cardinality 4
& }. f+ [$ D# D) C5 H5 e; W/ E$ L& e- E        Order = 3
/ K! B4 G# K1 t4 v/ {' S# C# Z            (b, a, d)
& `, N& [  z3 f, ]! h[ 5]    Order 4            Length 1
! B: b. k8 ?8 C, k4 M        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
  M1 I8 O1 y/ ~4 f: a# A( Z& x            (c, d)(b, a)
& W0 h2 o2 @( |0 w            (c, a)(b, d)
: H* d  d) e. W: a$ V. ]( U[ 6]    Order 4            Length 3
2 e3 m! M' \3 v0 P+ Q: p/ }  k        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
            (c, d, b, a)
* _# a) n# o- ~$ S/ S            (c, b)(a, d)
3 e; ~4 l0 t/ B! M/ c+ r[ 7]    Order 4            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
            (a, d)
            (c, b)(a, d)
* k/ S5 n( E# d2 T$ y[ 8]    Order 6            Length 4
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 6 = 2 * 3
; \) g4 ^% V- k- [1 t  ~5 x            (a, d)
            (b, a, d)
; t: ?0 c5 m7 d* O[ 9]    Order 8            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 8 = 2^3
            (a, d)
5 b6 H; V. V) |; W/ k. B            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
[10]    Order 12           Length 1
) e  g0 }5 u6 e4 ?, X        Permutation group acting on a set of cardinality 4
- b+ L+ a- b) }5 m        Order = 12 = 2^2 * 3
3 @( X4 j; b. y* j) ~. W            (b, a, d)
            (c, d)(b, a)
; |* c  Q* Z5 q4 ~" p1 \1 F            (c, a)(b, d)
! _1 X5 `  S- R3 A7 T% @[11]    Order 24           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
- L" J6 v* I3 x3 O' s  C: E4 _* x! j* b  r        Order = 24 = 2^3 * 3
( p. L) U0 I1 u5 M2 O$ a5 z            (a, d)
! A, k) M- Z9 D: U9 l            (b, a, d)
) ]* `! \* |1 H  S3 j9 Z, a3 c            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
Conjugacy classes of subgroups
------------------------------

* p. P" G  y. d% c3 n/ U[1]     Order 6            Length 4
5 {7 c3 T; |( C* v8 |        Permutation group acting on a set of cardinality 4
+ r5 A% ~6 [" N( @' j        Order = 6 = 2 * 3
% r6 }9 H" z! Q            (a, d)
            (b, a, d)
1 ^7 K% S3 r* p7 g( O% i0 Q; d[2]     Order 8            Length 3
( M, u) P' j$ W: n$ ^  Q, f. a        Permutation group acting on a set of cardinality 4
  k1 e/ {" k) \# J$ r2 H" \        Order = 8 = 2^3
) D: R* I, J* ^            (a, d)
            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
/ y) h5 l5 a' Z. S[3]     Order 12           Length 1
& v5 |8 f& ^# n6 ~" I) P        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 12 = 2^2 * 3
4 u7 V1 g! |1 r6 D3 t1 z, H8 I. @            (b, a, d)
5 i/ R+ O1 r# l0 n# H: C            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
: k" E) \! x( W4 H- H/ wConjugacy classes of subgroups
------------------------------

1 w0 D  u, k5 a0 {- a0 e' H[ 1]    Order 1            Length 1
+ \' @- o5 r7 W, I        Permutation group acting on a set of cardinality 4
" Q. s+ I: h$ o- b( G; M5 S' l5 m+ Q        Order = 1
1 n* I0 G3 o% |" A* r1 l[ 2]    Order 2            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 2
            (c, d)(b, a)
: m' d8 D$ {3 G+ d# J/ q* C' `[ 3]    Order 2            Length 6
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
/ f8 `- G: Q* a2 @2 t  M9 \; y        Order = 2
1 c2 [, @- a, A1 G! b$ q! M; u            (a, d)
0 G+ G- ]4 I  R" Q% @9 R[ 4]    Order 3            Length 4
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 3
( P2 l2 Q! V0 Q& f0 v# n7 P            (b, a, d)
6 R" g9 }+ e+ f" d" C[ 5]    Order 4            Length 1
; k8 E/ v& Z! v1 @        Permutation group acting on a set of cardinality 4
) @& D! y( q( |1 `1 j0 }        Order = 4 = 2^2
3 l+ {# s& J3 e+ B/ D/ B, E            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
[ 6]    Order 4            Length 3
$ G; O/ }9 E0 S$ G* N: D        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
            (c, d, b, a)
            (c, b)(a, d)
7 S" |: o# h- j+ F+ Q4 l[ 7]    Order 4            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
% i* F" s  N& F& Y0 m        Order = 4 = 2^2
/ A# m. a. ~8 ~" J( M            (a, d)
) \: Z  L( h( A2 d: ]! Z            (c, b)(a, d)
[ 8]    Order 6            Length 4
% E$ s) y, j& U6 Z/ |! D+ D        Permutation group acting on a set of cardinality 4
9 S* k* [7 G/ J        Order = 6 = 2 * 3
! o' y5 {/ Q" ]7 W            (a, d)
* G. A( H0 @. U) ]& O% V            (b, a, d)
[ 9]    Order 8            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
. f) R2 X: v5 Y+ \9 b! N        Order = 8 = 2^3
            (a, d)
            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
[10]    Order 12           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
0 @' u. b/ E& }; x  Q        Order = 12 = 2^2 * 3
            (b, a, d)
            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
[11]    Order 24           Length 1
4 l  ~' B  s; Z" }; h  V- t7 F        Permutation group acting on a set of cardinality 4
2 v8 I* N5 M/ B# w& S) \        Order = 24 = 2^3 * 3
            (a, d)
            (b, a, d)
# J, J6 w: b' n+ `' }% v            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
Conjugacy classes of subgroups
0 T" ^, p. f. h! C6 B6 m6 x------------------------------
' u' N6 S2 j1 |% S5 b# s% D! N
[1]     Order 1            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 1
[2]     Order 4            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
: m3 y0 {( w) `        Order = 4 = 2^2
( c4 V  \. E& p4 ]: H            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
[3]     Order 12           Length 1
: |! L% ?' b( l0 }        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 12 = 2^2 * 3
            (b, a, d)
            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
2 i$ d# [# |* t, A( M[4]     Order 24           Length 1
5 f% D- w. Z5 K        Permutation group acting on a set of cardinality 4
+ r9 u& N- I; A" y        Order = 24 = 2^3 * 3
4 I: _$ m) u, [. B( x5 \            (a, d)
7 l( a* y2 n" l4 g            (b, a, d)
) s7 @' I& a( s, t. R5 j' ]9 t            (c, d)(b, a)
1 Z; O$ b" r$ M4 Y$ g+ s+ U2 l& ~4 A! F            (c, a)(b, d)
( w' z% I. ~, `$ x' \Conjugacy classes of subgroups
------------------------------

4 ~* {4 v' a, H[1]     Order 1            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
' y/ V* e" Y* W$ L# i, @8 M& w        Order = 1
[2]     Order 2            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
- g; ?' m' R4 U" v        Order = 2
' A' Z7 J1 H/ V- ?3 E6 M( J6 W# H            (c, d)(b, a)
[3]     Order 2            Length 6
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 2
            (a, d)
3 I* @$ b8 V6 d5 L5 o9 V$ Z* k[4]     Order 3            Length 4
8 G. H' L0 I- \- Z" F9 Q$ e        Permutation group acting on a set of cardinality 4
1 ]6 K7 z; j) s$ l2 Q6 K7 ^: G3 D, E* Y        Order = 3
            (b, a, d)
, e/ V9 k( I5 {+ n" o[5]     Order 4            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
            (c, d)(b, a)
' X. V: z1 M& ]; Y. T; w            (c, a)(b, d)
8 i* `1 A) H" h! E' R, I' H[6]     Order 4            Length 3
( P% F! R+ ?; a        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
            (c, d, b, a)
. ]- b. c; q- U" X            (c, b)(a, d)
[7]     Order 4            Length 3
4 T% O" X% W+ g% b/ `7 c: ]        Permutation group acting on a set of cardinality 4
# t8 W  d4 @8 Y$ `) _# E        Order = 4 = 2^2
            (a, d)
            (c, b)(a, d)
, ^4 h! o; [/ t9 p( ]+ e' G% EConjugacy classes of subgroups
------------------------------
- N6 s. b% h* S4 l
+ t& N; v; L$ A) q[1]     Order 6            Length 4
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 6 = 2 * 3
            (a, d)
7 g# g+ C" W6 f4 Z8 b; N9 I! `' D            (b, a, d)
[2]     Order 8            Length 3
: i0 _& e4 A# u6 M4 h7 R/ D        Permutation group acting on a set of cardinality 4
! `& ], m% I$ F- t3 x* ]        Order = 8 = 2^3
# O, c2 c$ j0 Z; Y            (a, d)
4 ?0 h# Z+ j: C% l; \. I  ]$ `            (c, d)(b, a)
1 d; n9 C4 p1 t. `6 u            (c, a)(b, d)
) o2 O( S, D3 s! {! c  c[3]     Order 12           Length 1
1 x  b3 p3 @0 m! {6 z) ~) V$ T        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 12 = 2^2 * 3
0 W$ U. M, Z- {$ s, b6 U/ m            (b, a, d)
            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
$ N; T' g7 ~" _% ~6 ?" ?
( L7 ~$ L  Y. R* l$ pPartially ordered set of subgroup classes
; E$ X' z5 K# P( }! z-----------------------------------------
: ?4 {% T3 V# s: \
[11]  Order 24  Length 1  Maximal Subgroups: 8 9 10
---
[10]  Order 12  Length 1  Maximal Subgroups: 4 5
2 f7 O7 f/ ]1 k9 J[ 9]  Order 8   Length 3  Maximal Subgroups: 5 6 7
3 I0 T6 s0 O$ w---
[ 8]  Order 6   Length 4  Maximal Subgroups: 3 4
1 r$ z9 ^9 r, x, e# p0 l2 n[ 7]  Order 4   Length 3  Maximal Subgroups: 2
[ 6]  Order 4   Length 3  Maximal Subgroups: 2 3
" b( B0 y3 K6 j9 Z3 L[ 5]  Order 4   Length 1  Maximal Subgroups: 2
! ~5 B  V# ]- L7 k5 G' U2 M---
$ @9 J0 j7 d0 c( U1 A[ 4]  Order 3   Length 4  Maximal Subgroups: 1
# [0 M1 I! g9 F; P! @8 ^' J5 {* g[ 3]  Order 2   Length 6  Maximal Subgroups: 1
[ 2]  Order 2   Length 3  Maximal Subgroups: 1
; \( \' M  x/ t$ n+ K---
. L$ o) P, ^, k: a[ 1]  Order 1   Length 1  Maximal Subgroups:

6 f1 P- c4 f0 Z( Z: K7 i/ i1 {GSet{@ c, b, a, d @}
Conjugacy Classes of group S4
-----------------------------
[1]     Order 1       Length 1      
        Rep Id(S4)

[2]     Order 2       Length 3      
/ e' H$ O: e$ g5 F3 L% @! U! H        Rep (c, b)(a, d)

[3]     Order 2       Length 6      
        Rep (c, b)

% F$ t3 O/ r4 N: @[4]     Order 3       Length 8      
        Rep (c, b, a)
" t( a8 U" D/ x3 V
[5]     Order 4       Length 6      
        Rep (c, b, a, d)

& i# d; L8 c: {# n0 Y# @& [& s
' K* m4 _# _1 O5

lilianjie

        <row>0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23</row>
        <row>1 15 17 16 3 0 12 11 6 18 13 21 9 7 22 2 23 5 20 10 8 19 4 14</row>
        <row>2 17 0 14 23 15 18 19 9 8 11 10 20 21 3 5 22 1 6 7 12 13 16 4</row>
        <row>3 4 14 0 1 16 11 12 21 13 18 6 7 9 2 22 5 23 10 20 19 8 15 17</row>
        <row>4 22 23 5 0 3 7 6 11 10 9 8 13 12 15 14 17 16 19 18 21 20 1 2</row>
" \# B; O- q3 X( z! h7 t        <row>5 0 15 4 22 17 8 13 20 12 19 7 6 10 23 1 3 2 9 21 18 11 14 16</row>
        <row>6 12 18 11 7 8 0 4 5 15 14 3 1 22 10 9 21 20 2 23 17 16 13 19</row>
7 L% D( X7 N5 G7 p        <row>7 13 19 8 6 11 4 0 3 14 15 5 22 1 9 10 20 21 23 2 16 17 12 18</row>
        <row>8 6 9 7 13 20 5 22 17 1 23 4 0 14 19 12 11 18 15 16 2 3 10 21</row>
" B. l: ^& I8 T, e        <row>9 18 8 19 21 12 15 16 1 17 4 23 2 3 7 20 10 6 5 22 0 14 11 13</row>
8 ]' _: W, `/ r' D: f        <row>10 19 11 18 20 13 14 17 22 16 0 2 23 5 6 21 9 7 3 1 4 15 8 12</row>
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1 o) o6 b$ \$ k. ^3 E% E% e' F% f        <row>12 9 20 21 11 6 1 3 0 2 22 16 15 4 13 18 19 8 17 14 5 23 7 10</row>
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lilianjie

lilianjie 发表于 2012-1-1 13:18
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康斯丁

lilianjie 发表于 2012-1-1 13:19
4 ~8 A5 W; Q3 [7 H4 n0 g1231231234

2 p) X9 |0 {5 J9 _+ Y% I4 B1 x7 J大师啊。。。。。你太厉害了！
2 h; v  ~7 G1 D" ?4 o* v3 U" ^

lilianjie

过奖过奖！还在路上！

xxgzftj

xixiai10jk

上次听谁说过这个。。好像有点忘了。想想。

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