抽象代数中关于群的问题，求高手帮忙！

lilianjie

康斯丁 发表于 2011-12-30 23:59
) ]( c* u2 X* D! v3 s% ^虽然我还是不太懂，不过既然你这么认真的回复我，我还是把它作为最佳答案，我也会再复习一下这部分内容， ...

丘唯声的书上有你这题

; j# K) |6 {* v. p' B; H群作用是表示论的一道坎，表示论最好从晶体群学，从抽像符号化去学不是路，然后再看你的题就是个符号化去定义一种群和子群简单性质问题

其实你的题就是共轭子群闭包定义问题，gGg^1是共轭子群定义，共轭子群全都正规子群，
* O2 `2 W4 E; i" ?6 S4 |; ~( y) W6 P
只有母群也是正规群（交换群），母群的所有正规子群才能并出母群，就是说S而gGg^1是母群（正规群）的真极大正规子群

" J3 }6 a8 {# E3 o) e( `+ y母群要是非交换群，共轭子群全是正规子群，gGg^1中的g要是属于S，你的题很自然对，g要是不属于S的其它G元素，gGg^1一样只能还落入正规子群，共轭子群就有这特性

lilianjie

对着S4群表看下面就能懂了，我曾把26字母乘群表带身上2月多

; l. J4 V8 d9 }5 jS4 := Sym({ "a", "b", "c", "d" });
> S4;
Generators(S4);
IsAbelian(S4);不是交换群
Subgroups(S4: Al := "All") ;列出所有子群
Subgroups(S4: Al := "Maximal") ;列出所有极大子群
! S( r7 k; L1 ?7 i% _1 A+ t
8 g* V* _' |' P* E! c/ n; XSubgroupClasses(S4);

$ l. a& K$ \9 s) rNormalSubgroups(S4);
AbelianSubgroups(S4) ;
* C4 r3 r! c5 g; wMaximalSubgroups(S4) ;
8 W  q& h& ?6 l0 U& U
; \. J: {5 C! B3 }) FSubgroupLattice(S4);成格，你可画下这群包扩子群的图
4 g+ i, g& h. j. t4 Q, M5 y5 R- k
GSet(S4);
" r( i8 K/ A8 G& FConjugacyClasses(S4);
4 J" C) n$ B! PNumberOfClasses(S4) ; 5类

+ j1 M3 [) K- |# [Symmetric group S4 acting on a set of cardinality 4
Order = 24 = 2^3 * 3
{
    (c, b, a, d),
# \6 w# g7 Q, W' ]: d, C    (c, b)
}                               两生成元
& K8 m9 D" ^! @9 Kfalse
Conjugacy classes of subgroups     子群共扼类
) Y! n8 }- F/ }5 w  C6 c+ R------------------------------
! z- @- k( X5 v  n- Z$ _
) m9 \, T; \6 X+ {- x1 P+ R9 P[ 1]    Order 1            Length 1
# e7 F4 h- \* M8 p! L0 b6 {        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 1
[ 2]    Order 2            Length 3
4 C% Y- \2 c3 a# r& G% l; z) Y        Permutation group acting on a set of cardinality 4
# q; |) s0 c4 ^# J: b- M4 m        Order = 2
            (c, d)(b, a)
8 ^, w- d5 d& }% x. B4 Q3 ^[ 3]    Order 2            Length 6
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
6 U4 L8 z0 V' {2 v5 V6 T        Order = 2
            (a, d)
[ 4]    Order 3            Length 4
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 3
            (b, a, d)
[ 5]    Order 4            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
. f4 C7 C8 c$ D/ [            (c, d)(b, a)
5 K5 |& I9 z% D- d, a* y            (c, a)(b, d)
' h8 C7 B* ~* m; f9 F) j[ 6]    Order 4            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
! Z1 _! u2 k/ m        Order = 4 = 2^2
            (c, d, b, a)
            (c, b)(a, d)
7 h$ ~3 _0 B# T3 C, R# \+ q[ 7]    Order 4            Length 3
3 z. l7 @4 N/ O! C1 }2 m0 w) A) S        Permutation group acting on a set of cardinality 4
! b  ]/ z6 A, a1 U( j3 j3 M        Order = 4 = 2^2
9 J/ v; Z) `" c4 j            (a, d)
' D$ u4 B' r1 r/ o8 Q+ _            (c, b)(a, d)
6 o$ @: B* Z: B6 m[ 8]    Order 6            Length 4
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
( t. M$ Y' d  K5 V3 q% q, N: E2 P% G        Order = 6 = 2 * 3
            (a, d)
8 M% X9 X8 t* E8 S* a& _) A" ]            (b, a, d)
[ 9]    Order 8            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
1 T% r: ^- V, M        Order = 8 = 2^3
            (a, d)
6 d- ]3 ?8 a" z1 d            (c, d)(b, a)
) ^, P8 N$ J# g            (c, a)(b, d)
[10]    Order 12           Length 1
8 C) [) M* C9 G) P) M        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 12 = 2^2 * 3
            (b, a, d)
5 t! j- k, x8 Y2 |! Y            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
; X; O+ s$ |+ ?& Z5 v8 }[11]    Order 24           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 24 = 2^3 * 3
4 X; }5 g- z. y" t9 _" y" ?7 K            (a, d)
; V3 d  n* w1 w7 r) @            (b, a, d)
            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
Conjugacy classes of subgroups
------------------------------
) u' ]# h4 m6 l# I# n( l
[1]     Order 6            Length 4
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 6 = 2 * 3
8 h9 @0 G$ q! Y5 h- T' i            (a, d)
            (b, a, d)
# n( C  B/ t* z9 E; s[2]     Order 8            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 8 = 2^3
9 i  c, F" b6 r& W& p7 R% }' d            (a, d)
            (c, d)(b, a)
; S8 {/ Q( Y9 J# f            (c, a)(b, d)
0 O7 m% f/ u& Y( Z0 c! A[3]     Order 12           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
# o  r9 q8 c. V& E        Order = 12 = 2^2 * 3
/ @4 N5 L0 ]+ p: Z9 c1 V            (b, a, d)
            (c, d)(b, a)
: D% p3 L, `+ l2 K/ D            (c, a)(b, d)
Conjugacy classes of subgroups
------------------------------

[ 1]    Order 1            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
3 r" v9 z* G4 B. M        Order = 1
4 f  U" T9 O' W, G[ 2]    Order 2            Length 3
, P! z2 Z6 x0 d  l$ X. e4 Z        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 2
            (c, d)(b, a)
[ 3]    Order 2            Length 6
6 h$ r( r0 T" {        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 2
3 a7 g! D7 D- ^. z1 f            (a, d)
[ 4]    Order 3            Length 4
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
7 y4 Z! ]/ d9 r7 Y. h- d        Order = 3
% F; p- A0 M: s            (b, a, d)
$ `( ~* Z2 [2 T& l$ G[ 5]    Order 4            Length 1
2 c% S3 o' b8 Y        Permutation group acting on a set of cardinality 4
* g6 X: Z, w  C( i% x        Order = 4 = 2^2
            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
* p9 I, p/ v/ Z& k# a3 h$ d0 u4 S[ 6]    Order 4            Length 3
2 k: j4 ?: A2 Q        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
$ Y1 w3 C- @8 Q  B, M  J            (c, d, b, a)
5 ?, J% z$ A0 f" I- y            (c, b)(a, d)
[ 7]    Order 4            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
: ~5 R+ S: w, `' U            (a, d)
1 r8 C* ~- u1 p+ [+ r  T# t            (c, b)(a, d)
! {8 K- g) `' t2 X[ 8]    Order 6            Length 4
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
) @! f( i3 U2 h9 g. ~4 y$ I. D8 _5 S        Order = 6 = 2 * 3
            (a, d)
1 i! |; n4 W* R/ c) A            (b, a, d)
  O1 c& d/ j+ R& h+ r) n2 U[ 9]    Order 8            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 8 = 2^3
$ N3 P" i  [+ g3 d! _; M% H3 b# y* X6 r            (a, d)
' e: h$ C7 d3 k3 d: n            (c, d)(b, a)
3 C2 a: I6 I3 R& i4 G' y: U            (c, a)(b, d)
[10]    Order 12           Length 1
% [% H, Q7 [" s- Y1 u5 J  y        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 12 = 2^2 * 3
& Y8 [) @( O2 Q5 h  i. G            (b, a, d)
6 q. n& a% R3 D9 D0 Q            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
9 X8 l6 x6 I# U2 |6 Z6 m* M( v[11]    Order 24           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 24 = 2^3 * 3
            (a, d)
            (b, a, d)
            (c, d)(b, a)
4 F' @: p  V# u( W( r            (c, a)(b, d)
Conjugacy classes of subgroups
' ~; b+ \; \% ?- j' K------------------------------

2 B7 S. w  q/ W. r1 i& ~8 x[1]     Order 1            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 1
[2]     Order 4            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
+ E: p# J4 b4 V! R% k        Order = 4 = 2^2
0 G3 s2 G7 R% B# |9 G            (c, d)(b, a)
/ q$ S6 H5 J, I0 ~  i5 s            (c, a)(b, d)
[3]     Order 12           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
2 Y7 F- q) N  t" o0 j9 o        Order = 12 = 2^2 * 3
7 V" S. ^7 D" T9 t8 g- U1 E  [            (b, a, d)
            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
[4]     Order 24           Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 24 = 2^3 * 3
( E& o! T7 G" a: J" Z: n4 N            (a, d)
: U5 I" p$ V; @1 Z' M3 t            (b, a, d)
            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
Conjugacy classes of subgroups
7 T  U! i! y" c/ {* Z2 [------------------------------
' `) u8 X7 o1 I# |9 B
5 n. R& q# a  W. D2 E( C[1]     Order 1            Length 1
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 1
[2]     Order 2            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
. e4 c9 P+ {9 s        Order = 2
            (c, d)(b, a)
[3]     Order 2            Length 6
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 2
            (a, d)
' B8 g2 x, h; Z/ U9 X[4]     Order 3            Length 4
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 3
            (b, a, d)
[5]     Order 4            Length 1
% f( f: ?4 q: `; W        Permutation group acting on a set of cardinality 4
' _6 o& w0 Y$ P, I# ?        Order = 4 = 2^2
4 F7 J" d+ k" H            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)
[6]     Order 4            Length 3
- F+ w( L+ [" Q$ v        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
            (c, d, b, a)
            (c, b)(a, d)
[7]     Order 4            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 4 = 2^2
+ N% t1 [& f! |/ W: R$ i/ s% c% r            (a, d)
7 m8 g. i6 W. z/ E7 m7 i6 p; v            (c, b)(a, d)
5 G- Q& y9 W& p& m- [) ?" L  mConjugacy classes of subgroups
------------------------------

[1]     Order 6            Length 4
* f/ t2 p$ ]6 N# n; g9 |/ \3 U        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 6 = 2 * 3
            (a, d)
            (b, a, d)
& f' ]% n" V1 g# X0 X' ^. q! J6 Q[2]     Order 8            Length 3
        Permutation group acting on a set of cardinality 4
        Order = 8 = 2^3
" [- U) ^5 \5 K' R) H            (a, d)
5 ]) e% W! y* |$ M$ h            (c, d)(b, a)
5 c/ x4 W- B% v" c9 O            (c, a)(b, d)
  E( h: i$ C/ b, X* j+ z[3]     Order 12           Length 1
5 s5 b) l9 |9 v        Permutation group acting on a set of cardinality 4
  Y1 p% J2 b3 i! F7 b! g        Order = 12 = 2^2 * 3
! e& A7 ?2 R* ^6 f/ j, G            (b, a, d)
            (c, d)(b, a)
            (c, a)(b, d)

  r% }$ h& n6 ~3 T+ G  t( FPartially ordered set of subgroup classes
-----------------------------------------
4 k/ z2 o; f1 O9 X+ S
3 H1 U9 c' P$ \[11]  Order 24  Length 1  Maximal Subgroups: 8 9 10
3 z. _" a) Q- I4 Z% Y* J. b---
7 u4 Z. o8 M. x' L5 e/ V' f[10]  Order 12  Length 1  Maximal Subgroups: 4 5
[ 9]  Order 8   Length 3  Maximal Subgroups: 5 6 7
---
: i( N, {  [! n[ 8]  Order 6   Length 4  Maximal Subgroups: 3 4
% {) C9 M" F5 o. m[ 7]  Order 4   Length 3  Maximal Subgroups: 2
[ 6]  Order 4   Length 3  Maximal Subgroups: 2 3
[ 5]  Order 4   Length 1  Maximal Subgroups: 2
- n8 X% a+ |* Q. F6 ^---
. \: a" z/ B3 _. F[ 4]  Order 3   Length 4  Maximal Subgroups: 1
[ 3]  Order 2   Length 6  Maximal Subgroups: 1
[ 2]  Order 2   Length 3  Maximal Subgroups: 1
3 X8 d6 X7 c! u0 w- `. ]---
# u: V, G1 m" j" c* R[ 1]  Order 1   Length 1  Maximal Subgroups:

  X/ f6 b8 J1 ]4 v& P4 |GSet{@ c, b, a, d @}
Conjugacy Classes of group S4
-----------------------------
[1]     Order 1       Length 1      
$ o" E- G3 n" a$ P3 l9 K! \        Rep Id(S4)
6 z& G' w+ F# \
[2]     Order 2       Length 3      
; c) c( F4 o5 W( }$ P' \        Rep (c, b)(a, d)

4 E9 l  C* c* ?6 @: V! d. w4 L+ X[3]     Order 2       Length 6      
        Rep (c, b)
* B5 ]9 ~2 w1 e4 z! P9 `7 Y
" ^8 o4 y3 o, S[4]     Order 3       Length 8      
        Rep (c, b, a)
. u. R' Z5 E' q& P- H
[5]     Order 4       Length 6      
# ]* f8 o4 }9 @# S        Rep (c, b, a, d)
' r7 W8 t( L) q/ J0 @4 T
8 `3 C" @6 D$ J  C4 A3 W
5

lilianjie

        <row>0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23</row>
) t' d/ S+ h+ V. i" n        <row>1 15 17 16 3 0 12 11 6 18 13 21 9 7 22 2 23 5 20 10 8 19 4 14</row>
        <row>2 17 0 14 23 15 18 19 9 8 11 10 20 21 3 5 22 1 6 7 12 13 16 4</row>
4 h7 b( r4 Y! W* }4 l, ]        <row>3 4 14 0 1 16 11 12 21 13 18 6 7 9 2 22 5 23 10 20 19 8 15 17</row>
        <row>4 22 23 5 0 3 7 6 11 10 9 8 13 12 15 14 17 16 19 18 21 20 1 2</row>
. g+ p. R3 o0 V$ ~3 }        <row>5 0 15 4 22 17 8 13 20 12 19 7 6 10 23 1 3 2 9 21 18 11 14 16</row>
        <row>6 12 18 11 7 8 0 4 5 15 14 3 1 22 10 9 21 20 2 23 17 16 13 19</row>
3 `* X! ~& T, H  ^/ [9 J  h. n* q        <row>7 13 19 8 6 11 4 0 3 14 15 5 22 1 9 10 20 21 23 2 16 17 12 18</row>
        <row>8 6 9 7 13 20 5 22 17 1 23 4 0 14 19 12 11 18 15 16 2 3 10 21</row>
3 ^6 ?( ^! W5 R2 S3 Q& Q        <row>9 18 8 19 21 12 15 16 1 17 4 23 2 3 7 20 10 6 5 22 0 14 11 13</row>
  }+ t0 ~  w" A) Q: Z# V( ?# Q' @        <row>10 19 11 18 20 13 14 17 22 16 0 2 23 5 6 21 9 7 3 1 4 15 8 12</row>
/ c& Y* \9 v' ^6 T. m- }2 p        <row>11 7 10 6 12 21 3 1 16 22 2 0 4 15 18 13 8 19 14 17 23 5 9 20</row>
        <row>12 9 20 21 11 6 1 3 0 2 22 16 15 4 13 18 19 8 17 14 5 23 7 10</row>
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lilianjie

lilianjie 发表于 2012-1-1 13:18
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康斯丁

lilianjie 发表于 2012-1-1 13:19
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大师啊。。。。。你太厉害了！
8 m; j" C& ?/ z- A7 d. D0 D

lilianjie

过奖过奖！还在路上！

xxgzftj

xixiai10jk

上次听谁说过这个。。好像有点忘了。想想。
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